MODUL 2
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
2.1. Determinan
Definisi 2.1 (Determinan)
Untuk setiap matriks berukuran n x n, yang dikaitkan dengan suatu bilangan real dengan sifat tertentu dinamakan determinan, dengan notasi dari determinan matriks A adalah det(A) atau │A│
Contoh 2.1 :
Diberikan matriks A dan B sebagai berikut :
3 4 1 2 3 2 3 4 7 A dan 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a B a a a
Buat determinan dari A dan B. Jawab :
Sesuai dengan definisi 2.1, maka diperoleh :
3 4 1 det( ) 2 3 2 3 4 7 A 11 12 1 21 22 2 1 2 det( ) n n n n nn a a a a a a B a a a
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa determinan adalah suatu fungsi dengan domain himpunan matriks-matriks bertipe n x n dan hasilnya adalah bilangan riil dengan aturan untuk menentukan determina n akan dibicarakan dibawah ini.
Misal untuk n = 1 kita definisikan det(a11)= a11.
Untuk menentukan nilai determinan dari suatu matriks, dapat dilakukan dengan beberapa metode, antara lain :
a. Perluasan Kofaktor
Untuk menghitung determinan dari suatu matriks, dengan menggunakan perluasan kofaktor, pandanglah suatu unsur aij dari matriks A berukuran n x n sebagai berikut :
11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a
Jika pada A baris ke-i kolom ke-j dihilangkan maka kita mendapat submatriks berukuran (n-1) x (n-1). Determinan submatriks ini disebut minor unsur aij dilambangkan dengan Mij, sedang (-1)i+jMij disebut kofaktornya dan ini dilambangkan dengan Aij.
Jadi :
Aij = (-1)i+jMij.
Jika A matriks berukuran n x n dengan n > 2, maka a) det(A) = aijAij + a2jA2j + … + anjAnj
=
n i 1
aijAij untuk j tetap 1 ≤ j ≤ n
b) det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
=
n j 1
aijAij untuk i tetap 1 ≤ i ≤ n
Bentuk a) disebut pengembangan determinan menurut kolom j dan bentuk b) disebut pengembangan determinan menurut baris ke-i. Untuk n = 2 kita dapatkan :
11 12 2 1 2 2 12 21 22 11 21 22 11 22 12 21 det( ) |A A| a a ( 1) a a ( 1) a a a a a a a a
Dengan kata lain determinan dari suatu matriks berukuran 2 x 2 adala h perkalian elemen-elemen diagonal utama dikurangi dengan perkalian elemen-elemen diagonal lainnya.
Sedang untuk n = 3, jika kita lakukan pengembangan baris pertama diperoleh :
det(A) = |A| = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a
= (-1)1+1 ∙ a11 22 23 32 33 a a a a + (-1) 1+2 ∙ a 12 21 23 31 33 a a a a + (-1)1+3 ∙ a13 21 22 31 32 a a a a ) ( ) ( ) ( 31 22 32 21 13 31 23 33 21 12 32 23 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a 31 22 13 32 21 13 33 21 12 31 23 12 32 23 11 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a b. Aturan Sarrus
Aturan sarrus, hanya digunakan untuk menentukan determinan matriks berukuran 3 x 3. Dimana untuk menghitung nilai determinannya sebagai berikut :
11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a
Tulis lagi kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kolom ke-3. Kemudian tarik diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dan dua garis lagi yang sejajar. Ketiga garis tersebut menghasilkan tiga suku yang bertanda (+).
Kemudian diagonal kedua beserta dua garis sejajar yang lain menghasilkan tiga suku yang bertanda (-).
Jadi,
|A| = a11a22a33 – a11a23a32 – a12a23a31 + a12a21a33+ a13a21a32 - a13a22a31
Contoh 2.2.
Hitunglah determinan dari matriks :
2 3 1 3 1 1 2 3 4 2 3 1 2 A dan B Jawab :
a. Dengan rumus untuk A berukuran 2x2 diperoleh : (-)
3 1
det( ) (3)( 2) (1)(4) 6 4 10
4 2
A
b. Dengan menggunakan penguraian menurut baris ke 1 diperoleh :
1 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 3 1 2 det( ) 1 2 3 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2(4 3) 3(2 9) (1 6) 18 B
Jika dikerjakan dengan aturan Sarrus diperoleh hasil sebagai berikut :
1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 sehingga
2.2.2 3.3.3 1.1.1
3.2.1
1.3.2
2.1.3
18 2 1 3 3 2 1 1 3 2 Contoh 2.3Diberikan matriks A sebagai berikut :
2 6 1 5 3 2 1 1 1 0 2 4 4 3 2 1 A
Uraikan |A| menurut kolom ke-4 : Jawab :
Dengan menggunakan perluasan pada kolom ke-4 maka :
2 1 1 0 2 4 3 2 1 2 6 1 5 0 2 4 3 2 1 3 6 1 5 2 1 1 3 2 1 1 6 1 5 2 1 1 0 2 4 ) 4 ( 2 6 1 5 3 2 1 1 1 0 2 4 4 3 2 1 | | A
Selanjutnya dapat digunakan aturan Sarrus. (lanjutkan sebagai latihan)
Jika kita menemui suatu matriks berukuran 4 x 4 atau lebih, tentu cara penghitungan dengan teori seperti diatas, tidak jarang kita temui penghitungan yang panjang. Untuk menghindari, kita dapat menggunakan sifat-sifat dari determinan . Teorema 2.1.
Jika k adalah konstanta dan A matriks berukuran n xn, maka : 1. AT=A
2. kA=knA
3. Jika A adalah matriks diagonal maka A=a11 a22 … ann
4. Jika elemen dari suatu baris atau suatu kolom dari matriks A semuanya bernilai nol, maka A=0
5. Jika dua baris atau dua kolom sebanding maka A=0
6. Jika dua baris atau dua kolom matriks A dipertukarkan maka A akan berubah tanda
7. Jika semua elemen dari suatu baris atau suatu kolom dari A merupakan pergandaan dari k maka determinanya dikalikan k
8. Jika A dan B Matriks bujur sangkar berukuran sama maka : AB=AB
Sifat-sifat Determinan
1. Untuk setiap matriks bujursangkar A berlaku det(A) = det(AT) Contoh 2.4.
Diberikan matriks A sebagai berikut : 2 3
1 4 A
Tentukan det(A) dan det(AT) Jawab : 2 3 det( ) ( 2)(4) (3)(1) 8 3 11 1 4 2 1 3 4 2 1 det( ) ( 2)(4) (1)(3) 8 3 11 3 4 T T A A A
2. Jika semua unsur-unsur pada suatu baris (kolom) suatu matriks sama dengan nol maka determinannya sama dengan nol.
Contoh 2.5. Diberikan matriks A : 1 1 0 0 1 0 0 0 0 A
tentukan determinan dari A.
Jawab :
Sesuai dengan sifat 2, 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
(karena kolom ke 3 nilainya 0)
3. Jika A matriks segitiga berukuran n x n (Segitiga Atas, segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, yaitu det(A)= a11. a22….ann
Contoh 2.6. Diberikan matriks A : 2 40 17 0 1 11 0 0 3 A
tentukan determinan dari A.
Jawab : Menurut sifat 3, 2 40 17 0 1 11 (2.1.3) 6 0 0 3
(karena A merupakan matriks segitiga atas)
4. Jika B adalah matriks yang didapat dari matriks Anxn dengan menggandakan semua unsur pada suatu baris (kolom) dengan k maka det(B) = k.det(A).
5. Jika B adalah matriks yang didapat dari matriks Anxm dengan menggandakan semua unsur pada semua baris (kolom) dengan k maka det(B) = kn.det(A).
Contoh 2.7.
2 1 3 3 2 1 1 4 5 A , 4 2 6 3 2 1 1 4 5 B dan 4 2 6 6 4 2 2 8 10 C
tentukan determinan dari A, B dan C Jawab :
Karena matriks A berukuran 3 x 3, dapat digunakan aturan sarrus untuk mendapatkan nilai determinannya, dan diperoleh :
2 1 3
det( ) 3 2 1 56
1 4 5
A
(tunjukkan sebagai latihan)
Untuk matriks B, dengan menggunakan sifat 4, karena pada baris I matriks B merupakan (-2) kali dari matriks A maka diperoleh:
det(B) = det(-2A) = -2 det(A)= 2 x 56 = -112
Untuk matriks C, dengan menggunakan sifat 5, karena semua baris matriks C merupakan (-2) kali matriks A maka diperoleh :
det(C) = det(-2A) = (-2)3 x 56 = -448
Secara umum sifat 4 dan 5 dapat diilustrasikan sebagai berikut : Misal diberikan matriks A ukuran 3 x 3 :
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
ka ka ka a a a
a a a k a a a baris I dikalikan dengan k
a a a a a a 11 12 13 11 12 13 3 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 ka ka ka a a a
ka ka ka k a a a semua baris dikalikan dengan k
ka ka ka a a a
6. Jika B adalah matriks yang didapat dari matriks A dengan mempertukarkan dua baris (dua kolom) maka det(B) = -det(A).
Contoh 2.8. Diberikan matriks 2 1 3 3 2 1 1 4 5 A dengan det(A) = 56
Tentukan determinan dari matriks 3 1 2 1 2 3 5 4 1 B Jawab :
Dengan menggunaan sifat 6, Karena pada matriks B diperoleh dengan mempertukarkan kolom I dan III maka det (B)= -56
Secara umum sifat 6 dapat diilustrasikan sebagai berikut : Misal diberikan matriks A ukuran 3 x 3 :
21 22 23 11 12 13 11 12 13 21 22 23 31 32 33 31 32 33
a a a a a a
a a a a a a baris I dan II dipertukarkan
a a a a a a
7. Jika B suatu matriks yang didapat dari matriks A dengan mengalikan suatu baris (kolom) dengan bilangan k kemudian menambahkannya pada suatu baris (kolom) yang lain maka det(B)=det(A).
Contoh 2.9. Diberikan matriks 2 1 3 3 2 1 1 4 5 A dengan det(A) = 56
Tentukan determinan dari matriks
8 3 5 3 2 1 1 4 5 B Jawab :
Kasus diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat 7. Dapat diketahui bahwa matriks B diperoleh dari matriks A, yaitu baris I matriks B diperoleh dengan menambahkan baris I matriks A dengan 2 kali baris II. Sehingga det(B)=det(A)=56
Secara umum sifat 7 dapat diilustrasikan sebagai berikut : Misal diberikan matriks A ukuran 3 x 3 :
11 21 12 22 13 23 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a ka a ka a ka a a a
a a a a a a suatu pergandaan baris II dari A
a a a a a a
ditambahkan pada baris I
8. Jika dua baris (dua kolom) suatu matriks A sebanding maka det(A)=0.
Contoh 2.10.
Misal diberikan matriks A dan B sebagai berikut : 1 2 3 3 7 6 1 2 3 A dan 3 1 2 6 2 4 1 7 3 B
Tentukan determinan A dan B Jawab :
Untuk matriks A, karena baris I dan III sebanding maka det(A) = 0 Untuk matriks B, karena baris II dua kali baris I maka det (B)= 0
Secara umum, misalnya dibe rikan matriks A berukuran 3x3 :
11 12 13 11 12 13 31 32 33
0
a a a
ka ka ka baris I dan II disebanding
a a a
9. Jika A, B dan C matriks berukuran nx n yang berbeda hanya pada salah satu barisnya (kolomnya) misalnya baris ke- i , dan jika baris ke I dari C dapat diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota yang berpadanan pada baris ke I dari A dan B maka :
det(C) = det(A) + det(B)
Contoh 2.11.
Diberikan matriks- matriks sebagai berikut :
1 7 5 1 7 5 1 7 5 2 0 3 ; 2 0 3 ; 2 0 3 1 0 4 1 7 ( 1) 1 4 7 0 1 1 C A B
Tunjukkan bahwa det(C) = det(A) + det(B)
1 7 5 1 7 5 1 7 5
det 2 0 3 det 2 0 3 det 2 0 3
1 0 4 1 7 ( 1) 1 4 7 0 1 1 Jawab :
Tentukan determinan dari tiap-tiap matriks, Tunjukkan contoh 2. 11, memenuhi sifat 9. (lakukan sebagai latihan anda)
10. Jika A dan B matriks- matriks bujursangkar berukuran sama, maka det(AB) = det(A).det(B).
Contoh 2.12.
Jika diberikan matriks- matriks sebagai berikut :
3 1 1 3 2 17
; ;
2 1 5 8 3 14
A B AB
Maka akan diperoleh :
det(A)=1, det(B) = -23 dan det(AB) = -23 (penghitungan sebagai latihan)
Dari contoh-contoh diatas, sifat-sifat determinan sangat membantu dalam menentukan determinan suatu matriks, akan tetapi jika anda menemui matriks dalam ukuran yang besar dan perhitungan denga n menggunakan definisi determinan menjadi lebih rumit, dimana penggunaan sifat-sifat determinan yang ada tidak dapat secara langsung digunakan. Dari kasus ini, muncul suatu gagasan yaitu dengan metode mereduksi matriks yang diberikan menjadi bentuk matriks yang lebih sederhana, misalnya dibentuk matriks segitiga atas.
c. Metode Reduksi
Sesuai dengan gagasan yang telah diungkapkan diatas, metode reduksi dilakukan dengan cara mereduksi matriks asal menjadi bentuk yang lebih sederhana. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berik ut :
Hitung determinan dari 0 1 5 3 6 9 2 6 1 A Jawab :
Matriks A diatas dapat direduksi menjadi bentuk matriks segitiga Atas :
0 1 5 3 6 9 det( ) 3 6 9 0 1 5 ( 1 2) 2 6 1 2 6 1 1 2 3 3 0 1 5 ( 3 1 ) 2 6 1 1 2 3 3 0 1 5 ( 2 1 3) 0 10 5 1 2 3 3 0 1 5 ( 10 3 3) 0 0 55 1 2 3 ( 3)( 55) 0 1 5 ( 55 3 0 0 55 A B ditukar dengan B
semua faktor umum dari B dikeluarkan
B B
B B
semua faktor umum dari B dikeluark
) ( 3)( 55)(1) 165 a
Dengan metode reduksi, perhitungan nilai determinan akan lebih sederhana.
Contoh 2.14 Hitung determinan : 1 5 1 2 1 1 1 1 2 1 0 3 0 1 1 2 | | A Jawab :
Perhatikan matriks A diatas, jika kita menambahkan baris ke-3 pada baris ke-4 didapat :
0 4 0 3 1 1 1 1 2 1 0 3 1 0 0 3 | | A
Dengan mengembangkan kolom ke-2 diperoleh :
12 22 33 42 | | 0 0 1 0 3 0 1 3 1 2 3 4 0 A A A A A
Dengan menambahkan 2 kali baris ke-1 pada baris ke-2 diperoleh : 3 0 1 3 1 0 3 4 0 A 9 4 3 1 3 ) 1 ( ) 0 0 1 ( ) 1 ( 13 23 33 A A A A
Dari beberapa cara atau metode menentukan determinan dari suatu matriks yang telah dijelaskan diatas, tetap akan anda temui penyelesaian yang rumit, jika menentukan determinan suatu matriks yang berukuran besar ( berukuran 4 x 4 atau lebih) yang tidak mempunyai bentuk khusus.
Contoh 2.15 :
Diberikan matriks A sebagai berikut :
2 1 3 7 5 3 8 7 9 8 3 4 1 6 2 4 0 2 2 3 7 9 1 5 4 A
Tentukan determinan dari matriks A. Jawab :
Jika determinan matriks A diatas dicari dengan menggunakan perluasan kofaktor, tentu akan sangat panjang dan rumit. Untuk menentukan determinan dari suatu matriks, dapat dilakukan dengan bantuan paket program. Dalam modul ini, akan
digunakan bantuan program Matlab, dengan langkah- langkahnya adalah sebagai berikut :
Setelah anda membuka program Matlab, pada MATLAB Command Window, masukkan nilai- nilai dari matriks A.
» A=[2 1 3 7 5;3 8 7 9 8; 3 4 1 6 2; 4 0 2 2 3;7 9 1 5 4] A = 2 1 3 7 5 3 8 7 9 8 3 4 1 6 2 4 0 2 2 3 7 9 1 5 4
Inilah matriks A berukuran 5 x 5.
Untuk menentukan determinan dari matriks A, ketik det (A) : » det(A)
ans = 1767
Hasil inilah determinan dari matriks A berukuran 5 x 5. Jadi det(A)=1767
Tentunya untuk matriks berukuran kecilpun akan lebih cep at jika dihitung dengan bantuan paket program.
Contoh 2.16.
Coba anda perhatikan lagi contoh 2.4 diatas. Tentukan detrminan dari A dan AT dengan menggunakan bantuan paket program Matlab.
Jawab :
Analog dengan penyelesaian soal 2.15, pertama kali anda masukkan nilai matriks A: » A=[-2 3;1 4] A = -2 3 1 4 » det(A) ans = -11
Untuk menentukan determinan dari AT, lakukan hal berikut : » A'
ans = -2 1 3 4
hasil di atas merupakan matriks AT » det(A')
ans = -11
Diperoleh det(AT)=-11.
Jika anda perhatikan nilainya sama dengan perhitungan diatas.
Dari sifat-sifat dasar fungsi determinan, dapat dikembangkan untuk mengetahui hubungan antara suatu matriks bujursangkar dan determinannya, salah satunya adalah uji determinan untuk mengetahui ada tidaknya invers suatu matriks. Invers suatu matriks merupakan bagian penting dala m mempelajari matriks dan statistik.
2.2. Invers Matriks
Pada sub bab 2.1 telah kita pelajari determinan dari suatu matriks bujur sangkar. Suatu matriks Bujur sangkar A, jika A≠0, maka matriks A disebut matriks non singular, jika A=0, matriks A disebut matriks singular. Selanjutnya nilai determinan akan kita gunakan untuk menentukan inb=nvers dari suatu matriks.
Definisi 2.2 : (Invers Suatu Matriks)
Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian hingga memenuhi :
AB
BA
I
dimana I adalah matriks identitas, maka A disebut dapat dibalik (invertibel). Untuk selanjutnya invers dari matriks A dinyatakan dengan simbol A-1
Teorema 2.2.
Teorema 2.3 : (Invers matriks berukuran 2 x 2) Matriks A a b c d
Matriks A mempunyai invers jika ab – bc 0, dimana inversnya dapat ditentukan dengan rumus : 1 1 d b d b ad bc ad bc A ad bc c a c a ad bc ad bc Bukti :
Bukti untuk teorema ini, tunjukkan bahwa berlaku AA1I2 dan A A1 I2 (lanjutkan sebagai latihan anda)
Teorema 2.4: (Sifat-sifat invers suatu matriks)
Jika A dan B matriks nonsingular (determinan tidak sama dengan 0) berukuran nx n maka : a) A-1 tunggal b)
(
AB
)
1
B
1A
1 c) (A1)T (AT)1 d)(
A
1)
1
A
e) A A1 1f) Jika A =diag(a11,a22,…,ann), maka A-1 = diag
1 1 22 1 11
,
,...,
nna
a
a
g) Jika A=AT maka A-1=(A-1)T
Bukti :
a) Anggap A tidak tunggal, sehingga ada invers lainnya dari matriks A, misalnya 1 A*sehingga berlaku A*A=AA*=I.
Atau 1
A AA*=A I = 1 A (karena A* invers dari A) 1 Dan 1
A AA*=IA* =A* (karena A inver dari A) 1 Sehingga berakibat A*= 1
A , berari invers dari A tunggal (terbukti) b) Telah diketahui bahwa (AB)(B1A1) ABB1A1 I .
Menurut definisi : (AB)(AB)1 I, sehingga berlaku
1 1 1 ) )( ( ) (AB B A AB AB
Jika persamaan diatas dikalikan dengan 1
)
(AB maka persamaan menjadi : 1 1 1 ) (AB B A (terbukti) c) Karena IT I maka 1 1 ) ( A A A A I T T
Jika kita kalikan dengan (AT)1 maka diperoleh
1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T A A A A A A terbukti d) KarenaI I1 maka I AA1)1 (
Jika kita gunakan teorema bagian (b) diperoleh I
A A1)1 1 (
Jika persamaan di atas kita kalikan dengan A diperoleh :
) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 terbukti A A IA A A A
e) Telah diketahui bahwa I A1A I A1A 1
Menurut sifat determinan A1A A1 A Maka diperoleh 1 1 (terbukti)
A A Teorema 2.5 :
Jika A dan B matriks yang dapat dibalik (invertibel) dari ukuran yang sama maka AB juga dapat dibalik.
Untuk menunjukkan teorema tersebut harus ditunjukkan bahwa berlaku I AB A B A B AB) ( ) ( 1 1 1 1
Manurut teorema 2.2 bagian b) 1 1 1
) (AB B A Tetapi I AA AIA A B B A A B AB1( 1 1) ( 1 1) 1 1 1 (karena A dan B invertibel)
Dengan cara yang sama diperoleh :
I B B IB B B A A B AB A B1 1)( ) 1( 1 ) 1 1 (
Dari kedua persamaan di atas diperoleh I AB A B A B AB) ( ) ( 1 1 1 1 (terbukti)
Untuk menentukan invers suatu matriks, eratb kaitannya dengan determinan. Salah satu perhitungan nilai determinan yang telah dipelajari adalah dengan perluasan kofaktor, nilai- nilai kofaktor ini sangat penting artinya dalam penentuan invers suatu matriks.
Definisi 2.3 : (Adjoint suatu matriks)
Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor dari aij maka matriks :
11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn
A
A
A
A
A
A
A
A
A
disebut matriks kofaktor dari A. Dan transpose dari matriks kofaktor disebut adjoint A dan dinotasikan adj(A).
T 11 12 1 21 22 2 1 2 adj(A)= n n n n nn A A A A A A A A A Contoh 2.17
3 2 1 1 6 3 2 4 0
tentukan matriks kofaktor dari A dan adjoint A. Jawab :
Dengan menggunakan rumus pada sub bab sebelumnya : Aij = (-1)i+jMij.
Kofaktor dari A adalah :
A11 = 12; A12 =6; A13 = -16 A21 = 4 ; A22 =2; A23 = 16 A31 = 12 A32 =-10; A33 = 16 Sehinggan matriks kofaktornya adalah :
12 6 16 4 2 16 12 10 16
dan adjoint(A) adalah :
12 6 16 12 4 12 adj(A) 4 2 16 6 2 10 12 10 16 16 16 16 T
Definisi 2.4 : ( Invers suatu matriks)
Jika A 0 maka invers dari A didefinisikan :
A
A
adj
A
1
(
)
Sehingga apabila 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nna
a
a
a
a
a
A
a
a
a
maka11 12 1 1 1 11 12 11 21 21 22 2 2 2 21 22 12 22 1 2 1 1 2 1 2 T T n n n n n n n n nn n n nn n n nn A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
dimana Aij merupakan kofaktor dari A.
Contoh 2.18
Diberikan matriks A sebagai berikut : 1 2 1 3 A , 3 2 2 2 B Tentukan : a. A-1 , B-1
b. Dan tunjukkan bahwa untuk matriks di atas, berlaku (AB)-1 = B-1A-1 Jawab :
a. Dengan menerapkan rumus, sesuai teorema 2.2. diperoleh : Det (A)= 3-2 =1, det (B) = 6- 4 = 2
sehingga 1 3 2 1 1 A dan 1 1 2 2 2 2 3 B
b. Dengan matriks A dan B diatas didapatkan 1 2 3 2 7 6
1 3 2 2 9 8
AB
Sehingga diperoleh det (AB) = (7.8) – (6.9)= 56 – 54 = 2
1 1 8 6 ( ) 2 9 7 AB
Dari hasil (a), diperoleh 1 1 1 2 2 3 2 1 2 6
2 2 3 1 1 2 9 7
B A
Dengan jaminan dari teorema 2.3 (b), diperoleh (AB)-1 = B-1A-1
Contoh 2.19
3 22 1 1 6 3 2 4 0 A
tentukan invers dari A dan determinan dari A-1 Jawab :
Sesuai dengan definisi 2.3 diatas, anda tentukan, kofaktor-kofaktor matriks A. dengan menggunakan definisi pada determinan diperoleh hasil sebagai berikut :
11 12 13 6 3 1 3 1 6 12; 6; 16 4 0 2 0 2 4 A A A 21 22 23 2 1 3 1 3 2 4; 2; 16 4 0 2 0 2 4 A A A 31 32 33 3 1 3 1 3 2 12; 10; 16 6 3 1 3 1 6 A A A Adjoin A = adj(A)= 12 4 12 6 2 10 16 16 16
Dengan menggunakan definisi dari determinan diperoleh : Det(A) = 64 (tunjukkan sebagai latihan anda)
Maka 1 12 4 12 64 64 64 12 4 12 ( ) 1 6 2 10 6 2 10 det( ) 64 64 64 64 16 16 16 16 16 16 64 64 64 adj A A A
Untuk matriks yang berukuran kecil, misalnya 2x2 atau 3x3, menentukan invers dari suatu matriks, masih mudah dilakukan. Akan tetapi jika matriks berukuran besar, misal 5 x 5 atau lebih, tentu menentukan inversnya bukanlah hal yang mudah. Perhatikan contoh berikut :
Contoh 2.20 :
2 1 3 7 5 3 8 7 9 8 3 4 1 6 2 4 0 2 2 3 7 9 1 5 4 A
Matriks A diatas berukuran 5 x 5, jika anda cari invers matriks A dengan menggunakan definisi 2.3, tentunya akan sangat panjang. Untuk itu kita dapat menggunakan bantuan paket program komputer, dalam modul ini, akan digunakan bantuan paket program Matlab.
Dimana langkah- langkahnya adalah sebagai berikut :
Setelah anda membuka program Matlab, pada MATLAB Command Window, masukkan nilai- nilai dari matriks A.
» A=[2 1 3 7 5;3 8 7 9 8; 3 4 1 6 2;4 0 2 2 3;7 9 1 5 4] A = 2 1 3 7 5 3 8 7 9 8 3 4 1 6 2 4 0 2 2 3 7 9 1 5 4
Hasil diatas adalah matriks A berukuran 5 x 5.
Untuk menentukan invers dari matriks A, ketik inv (A) : » inv(A) ans = -0.1647 -0.0294 0.1675 0.2813 -0.0300 -0.0713 0.0594 -0.0306 -0.1256 0.0798 -0.4975 0.2479 0.3582 0.3616 -0.3243 0.0374 -0.0311 0.2541 -0.0294 -0.0894 0.5263 -0.1053 -0.6316 -0.2632 0.3158 Hasil inilah invers dari matriks A berukuran 5 x 5.
Tentunya untuk matriks berukuran kecilpun akan lebih cepat jika dihitung dengan bantuan paket program.
Coba anda perhatikan lagi contoh 2.16 diatas. Tentukan invers dari A dan AT dengan menggunakan bantuan paket program Matlab.
Jawab :
Analog dengan penyelesaian soal 2.19, pertama kali anda masukkan nilai matriks A: » A=[-2 3;1 4] A = -2 3 1 4 » inv(A) ans = -0.3636 0.2727 0.0909 0.1818
Untuk menentukan determinan dari AT, lakukan hal berikut : » A'
ans = -2 1 3 4
hasil diatas merupakan matriks AT » inv(A')
ans =
-0.3636 0.0909 0.2727 0.1818
Jika anda perhatikan contoh ini, maka berlaku (A-1)T = (AT)-1 (coba anda selidiki)
Referensi
Anton, H., 1987, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Son, New York
Basilevsky, A., 1983, Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences, Elsevier Sciences Publ. Co. Inc.
Cullen, CG., 1988, Linear Algebra With Application, Schott, Foresman and Company.
