Kelompok 3: Ismail marzuki (5113001) Siti nurrosyidah (5113003) Adhellia rizqi damayanti (5113007) The Pigeonhole Principle (lanjutan...)
Teorema 3.1 (Prinsip Sangkar Burung Merpati)
Jika k+1 obyek atau lebih ditempatkan pada k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua obyek atau lebih.
Bukti:
Misalkan tidak terdapat satu kotak pun yang memuat lebih dari satu obyek. Maka ini menunjukkan bahwa banyaknya obyek secara keseluruhan tentulah paling banyak adalah k. Namun ini adalah sebuah kontradiksi, karena ini berarti paling sedikit hanyalah ada k+1 obyek.
Contoh 1:
Dari 27 orang mahasiswa, berapa paling sedikit orang yang namanya diawali dengan huruf yang sama?
Jawaban: misalkan, 27 orang mahasiswa adalah burng merpatinya.
Dan mereka menempati 26 alfabet yang merupakan sarangnya, maka terdapat paling sedikit 2 orang yang namanya diawali dengan huruf yang sama.
Contoh 2:
Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru didalam sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak (tanpa melihat dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna sama terambil?
Jawaban: misalkan k = 3 (jumlah warna bola) dianggap sebagai sarang burung.
Jika orang mengambil paling sedikit n+1= 4 bola(dianggap sebagai merpati), maka dapat kita pastikan terdapat sepasang boal yang berwaarna sama ikut terambil.
Jika hanya diambil 3 buah bola, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain.
Jadi, 4 buah bola adalah jumlah minimum yang harus diambil dalam kotak untuk menjamin terambil warna bola yang sama.
Contoh 3:
Misalkan sebuah turnamen basket, diikuti oleh n buah tim, yang dalam hal ini setiap tim bertanding dengan setiap tim lainnya, dan setiap tim menang palin sedikit satu kali. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada 2 tim yang mempunyai jumlah kemengan yang sama? Jawaban:
Jumlah kemenangan setiap tim paling sedikit 1 kali, dan paling bannyak n-1 kali. Angka n-1 berkoresponden dengan n-1 buah sarang merpati untuk menampung n ekor merpati (tim basket). Jadi paling sedikit ada 2 tim basket yang mempunyai jumlah kemenangan yang sama.
3.2 Prinsip Sangkar Burung Merpati yang Diperumum
Prinsip sangkar burung merpati menyatakan bahwa terdapat paling sedikit 2 obyek dalam kotak yang sama jika terdapat obyek yang lebih banyak dari kotaknya.
Misalnya, di antara 31 angka desimal, pasti terdapat paling sedikit 4 angka yang sama. Ini karena jika ke 31 angka tadi didistribusikan pada 10 kotak, satu kotak tentu akan memiliki lebih dari 3 obyek. Secara umum situasi ini kita rumuskan sebagai berikut.
Generalisasi Prinsip Sarang Merpati
Teorema 3.2 (Prinsip Sangkar Burung Merpati yang Diperumum)
Jika N obyek ditempatkan pada k kotak, maka terdapat paling sedikit 1 kotak yang memuat minimal ⌈N/k⌉ obyek.
Kelompok 3: Ismail marzuki (5113001) Siti nurrosyidah (5113003) Adhellia rizqi damayanti (5113007) Misalkan bahwa tak ada kotak yang memuat lebih dari ⌈ N
k−1⌉ obyek. Maka keseluruhan obyek paling banyak adalah k. k
(
⌈ Nk +1
)
telah digunakan. Namun ini merupakan sebuah kontradiksi, karena total banyaknya obyek adalah N. Beberapa masalah yang sering muncul biasanya adalah tentang menentukan banyaknya obyek minimum sedemikian hingga paling sedikit r obyek dari obyek-obyek ini harus terdapat dalam satu dari k kotak jika obyekobyek ini didistribusikan di antara kotak-kotak itu. Jika kita memiliki N obyek, prinsip sangkar burung merpati yang diperumum menyatakan bahwa paling sedikit terdapat r obyek dalam 1 kotak asalkan⌈ N
k ⌉≥ r . Bilangan bulat N terkecil dengan N
k > r - 1, yaitu N = k (r-1) + 1, merupakan bilangan bulat terkecil yang memenuhi ketidaksamaan ⌈N
k ⌉≥ r .
Mungkinkah ada nilai N yang lebih kecil? Tentu tidak, karena jika kita memiliki k(r-1) obyek, kita menempatkan r-1 di antaranya pada tiap-tiap kotak dari k kotak yang tersedia dan tak ada 1 kotak pun yang ditempati oleh paling sedikit r obyek.
Note: Teorema ini meyatakan bahwa jika k buah kotak akan di isi dengan N = k.r+1objek yang dalam hal ini r adalah biangan bulat positif maka paling sedikit terdapat 1 kotak yang berisi minimal r+1 objek.
Contoh 1:
Di antara 50 orang mahasiswa, berapa paling sedikit mahasiswa yang lahir pada bulan yang sama?
Jawab: diperoleh N = 50 orang mahasiswa (sebagai merpati).
Banyaknya bulan dalam 1 tahun adalah 12 bulan disimbolkan k (sebagai sarang merpati). Maka, terdapat paling sedikit ⌈Nk ⌉=⌈5012⌉ = 5 orang yang lahir dibulan yang sama. Penyelesaian: ⌈50/12⌉ mendapatkan 4 orang yang lahir diibulan yang sama dalam 1 tahun, dan tersisa 2 orang yang belum menempati bulan lahirnya. Jika 2 orang tersebut ditempatkan pada 12 bulan yang sudah ditempati 4 orang maka paling sedikit dalam 1 tahun 5 orang mahasiswa lahir dibulan yang sama.
Contoh 2:
Misalkan sebuah laci berisi 1 lusin kaos kaki coklat dan 1 lusin kaos kaki hitam yang didistribusikan secara acak. Pada saat listrik padam, berapa kaos kaki yang harus diambil untuk memastikan bahwa diantaranya terdapat sepasang kaos kaki yang sewarna?
Jawaban:
Terdapat dua tipe warna kaos kaki, kita misalkan k, danjika terpilih paling sedikit 3 pasang kaos kaki, haruslah terdapat paling sedikit 2 kaos kaki coklat atau 2 kaos kaki warna hitam.
Jadi, berdasarkan teorema diatas kita memperoleh:
⌈ N Berapa paling sedikit jumlah bola yang harus diambil dari dalam kotak sehingga 3 pasang bola yang setiap pasangnya berwarna sama terambil?
Kelompok 3: Ismail marzuki (5113001) Siti nurrosyidah (5113003) Adhellia rizqi damayanti (5113007) Misalkan 3 pasang bola yang berwarna sama = 6 bola yang berwarna berbeda, k = 3 (jumlah warna). Dan, N adalah paling sedikit bola yang terambil, maka seharusnya
⌈ N k ⌉=⌈
N
3 ⌉=6bola, mengandung setiap pasang bolaberwarna sama .
Nilai N = 3.5+1 = 16. Jika kita hanya mengambil bola 15 bola, maka mungkin saja hanya terambil 2 macam bola yang berwarna sama.
Kelompok 3: Ismail marzuki (5113001) Siti nurrosyidah (5113003) Adhellia rizqi damayanti (5113007) Contoh 4:
biarkan S ⊂ Z+, di mana |S| =37. maka S mengandung dua unsur yang memiliki sisa yang sama pada pembagian dengan 36.
Disini merpati adalah 37 bilangan bulat positif dalam S. kita tahu dari algoritma pembagian (teorema 4.5) bahwa ketika setiap bilangan bulat positif n dibagi dengan 36, ada sebuah hasil bagi q dan sisanya r, di mana
n = 36 q + r, 0≤ r <36
36 adalah nilai yang mungkin dari r yang merupakan sarang merpati, dan hasilnya sekarang merupakan prinsip dari sarang merpati.
Contoh 5:
Di antara 110 mahasiswa yang mengontrak mata kuliah persamaan diferensial, berapa orangkah di antaranya yang lahir pada bulan yang sama? Penyelesaian:
⌈110/12⌉ = 9 Di antara 110 mahasiswa terdapat paling sedikit mahasiswa yang lahir pada bulan yang sama.
Contoh 6 :
Berapakah banyaknya mahasiswa paling sedikit yang harus menghadiri perkuliahan matematika kombinatorik agar terdapat paling sedikit 6 mahasiswa yang memiliki nilai huruf yang sama (dari nilai-nilai A, B, C, D, dan E) di akhir perkuliahan?
Penyelesaian:
