174677402 Soal Dan Pembahasan Kombinasi Dan Permutasi Peluang

(1)

(2)

Kelompok 2/ X-PPB :

• •

D

a

f

a

F

a

r

i

s

M

u

h

a

m

a

d

(

0

7

7 )

)

• •

D

e

v

i

t

a

T

i

t

a

n

i

a

N

i

n

d

y

(

0

8

8 )

)

• •

D

i

a

j

e

n

g

N

a

s

h

u

k

h

a

(

0

9

9 )

)

• •

D

i

n

i I

n

t

a

n A

f

r

i

d

a

(

1

0

0 )

)

• •

H

a

f

a

r

a

F

i

r

d

a

u

s

i

(

1

1 )

)

• •

H

a

n

a

n

Q

o

n

i

t

a

h

(

1

2

2 )

)

(3)

Sistem persamaan linear tiga variabel

(SPL

TV) sama seper

ti sistem persamaan

linear dua variabel (SPLDV), hanya saja

sistem ini memiliki tiga variabel yang

berbeda.

(4)

•

Sistem persamaan line

ar tiga variabel (SPL

TV)

diny

atakan

dengan :























3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

d

z

cc

y

b

x

a

d

z

cc

y

b

x

a

d

z

cc

y

b

x

a

Dengan Dengan_,,_,,,,  __ , ,,, , , _,,_,, ,,   _,,_,, ∈ ∈ 

(5)

Sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLtiga variabel (SPLTV) dapatTV) dapat

diselesaikan melalui

diselesaikan melalui berbagai metodeberbagai metode, yaitu :, yaitu :

1.

1. Metode Eliminasi dengan PenyamaanMetode Eliminasi dengan Penyamaan

2.

2. Metode SubstitusiMetode Substitusi

3.

3. Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

4.

4. Metode DeterminasiMetode Determinasi

5.

5. Metode Invers Matriks (akan Metode Invers Matriks (akan dijelaskan pada BABdijelaskan pada BAB

Matriks)

(6)

Langkah-langkahnya: Langkah-langkahnya:

•

• Nyatakan x , y , z dalam dua variabel yang lainnyNyatakan x , y , z dalam dua variabel yang lainny •

• Samakan persamaan yang didapatpada langkah 1 Samakan persamaan yang didapatpada langkah 1 dengandengan

pasangan yang berbeda, sehingga kita memperoleh SPLDV

•

• Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah2 denganSelesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah2 dengan

salah satu

salah satu metode ymetode yang telah ang telah diberikan (eliminasi)diberikan (eliminasi)

•

• Nilai nilai dua variabel yang didapat pada langkah 3Nilai nilai dua variabel yang didapat pada langkah 3

disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan,

disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan, sehinggasehingga

didapat nilai variabel yang ketiga

•

(7)

“

“SubstitusiSubstitusi””

artinya mengganti

Langkah-langkahnya:

•

Nyatakan salah satu variabel yang memuat

variabel y

ang lain

dari salah

satu persamaan.

•

Substitusikan hasil dari langkah 1

ke

persamaan yang lain.

•

(8)

Metode campuran

adalah peny

elesaian sistem

persamaan yang menggabungkan metode

eliminasi dan substitusi. Metode ini adalah

metode yang paling efektif dalam

men

yelesaikan sistem persamaan line

ar 3

variabel.

(9)

Sistem persamaan : Sistem persamaan :

diubah menjadi bentuk

diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagaisusunan bilangan sebagai

berikut dan diberi

berikut dan diberi notasi : D, Dnotasi : D, D_x_x, D, D_y_y, dan D, dan D_z._z.























r

iizz

h

hy

y

g

gx

x

q

ffzz

ey

dx

p

cz

by

ax

(10)

D =

D = DD_x_x == DD_y_y ==

D

D_z_z ==

Langkah

Langkah selanjutnyselanjutnya a adalahadalah mendeterminanmendeterminan semuasemua

bentuk susunan bilangan diatas

ii h h g g f f ee d d cc b b a a ii h h r r f f ee q q cc b b p p ii r r g g f f q q d d cc p p a a r r h h g g q q ee d d p p b b a a

(11)

•

(12)

Setelah di determinan,

Setelah di determinan, carilah x, y dan z dengancarilah x, y dan z dengan

cara :

(13)

•

• Tentukan nilai yang memenuhi persamaanTentukan nilai yang memenuhi persamaan

Selesaikan dengan berbagai cara diatas. Apakah

semua hasilnya akan sama? Ayo kita buktikan!

(14)

(15)

  ==  −  +  −  +    ……… … ))   = =  −−  ++ … …… …))   = = −− −−  … … ……..… … )) •

• Dari persamaan 1) dan 2)Dari persamaan 1) dan 2)

kita peroleh kita peroleh  −  +   −  +    = =  −−  ++    −− ++   = =  −− ++     = = −−  ++  −−    =  =  ++    ==  ++    … … …  ) … … …  ) •

• Dari persamaan 2) dan 3)Dari persamaan 2) dan 3)

kita peroleh kita peroleh   −− ++   = = −− −−  − − = − = − −−    =  =  ++    ==   +   +    … … …  ) … … …  ) • • ∴ ∴   = = ((,, ,, ) () (,, −−,, ))

(16)

(17)

  ==  −  +  −  +    ……… … ))   = =  −−  ++  … … ……))   = = −− −− …………..… … )) 2 2  –  + –  +   = = 55   = = −−22  + +   + + 55 … 4… 4)) •

• Substitusikan persamaan 4) keSubstitusikan persamaan 4) ke

persamaan 3) persamaan 3)  +  + 33 +  +   = 0= 0  +  + 33 +  + −−22 +  +   + + 5 5 = 0= 0  = 4  + 5 … 5 )  = 4  + 5 … 5 ) •

persamaan 2) persamaan 2)  −  − 22 +  + 33  = 9= 9  −  − 22 + 3 − + 3 −22  +  + +  + 5 5 = = 99 −5 +  = −6………6) −5 +  = −6………6) •

persamaaan 6) persamaaan 6) −5 +  = −6 −5 +  = −6 − −5 45 4 + 5  + 5 +  +  = = −−66 −20 +  = −6 + 25 −20 +  = −6 + 25 − −1199   = = 1199  = −   = −  • • SubstitusikanSubstitusikan  = −1 = −1 keke persamaan 5 persamaan 5   = = 44  + + 55   = 4 = 4 −−1 1 + 5+ 5   = =  • • SubstitusikanSubstitusikan  =  = 11 , ,  =  = −−11 ke persamaan 3 ke persamaan 3   + + 33  + +   = = 00 1 + 3 1 + 3 −−1 1 +  +  = = 00   = =  ∴ ∴   = = ((,, ,, ) ) ((,, −−,, ))

(18)

(19)

•

• Eliminasi persamaan 1 dan 3, eliminir zEliminasi persamaan 1 dan 3, eliminir z

2 2  −−   ++  = 5 = 5   ++ 33  ++  =  = 00   − 4− 4  = = 55 --- 4)4) •

• Eliminasi persamaan 1 dan 2, eliminir zEliminasi persamaan 1 dan 2, eliminir z

2 2  − −   + +   = = 55 |x3||x3|   −− 2 2 + + 33 = 9 = 9 |x1||x1| 6 6 − − 33  ++ 33 = 1 = 155   −− 22  ++ 33  = = 99- -5 5  −−   = = 66 --- 5)5) •

• Eliminasi persamaan 4 dan 5, eliminir yEliminasi persamaan 4 dan 5, eliminir y

  −− 44 = 5 = 5 |x1||x1| 5 5  − −   = = 66|x4||x4|   −− 44 = 5 = 5 2 20 0 −− 4 = 24 = 244 - -− −1199  = = −−1199   == −19−19 −19 −19   = =  •

• SubstitusiSubstitusi   = = 11 pada persamaan 5pada persamaan 5

5 5  − −   = = 66 5 5..((11)) − −   = = 66 5 5 − −   = = 66 − −   = = 6 −6 − 55 − −   = = 11  = −  = − •

• SubstitusiSubstitusi   = = 11 dandan  = −1 = −1 padapada

persamaan 3 persamaan 3   + 3+ 3  +  +  = = 00 1 1 ++ 33. . −−1 1 ++   = = 00 1 1 −− 3 3 + +   = = 00 − −2 2 ++   = = 00   = =  ∴ ∴   = = ((,, ,, ) ) ((,, −−,, ))

(20)

(21)

= = −−44+ + −−3 3 ++ 33 − − −−2 2 −− 1188 − − −−11 = = −−4 −4 − 33 ++ 3 +3 + 22 − 1− 188 + 1+ 1 = −19 = −19 = − 1 0 + 0 + 2 7 − 0 − 4 5 − − 9 = − 1 0 + 0 + 2 7 − 0 − 4 5 − − 9 = = −−1100 ++ 00 ++ 2277−− 00 −− 4455 ++ 99 = −19 = −19 = = 1188 ++ 1155 ++ 00 − 9− 9 − 0− 0 − 5− 5 = = 1919 = = 00 + + −−9 9 ++ 1155 − − −−110 0 −− 5544 −− 00 = = 00 −− 99 ++ 1155 ++ 1100 −− 5544 −− 00 = −38 = −38 ∴ ∴   = = ((,, ,, ) ) ((,, −−,, ))

(22)

(23)

(24)

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran) :

• • Diketahui :Diketahui : • • Ditanya :Ditanya : • • Dijawab :Dijawab :

(25)

•

• Eliminasi persamaan 1 dan 3,Eliminasi persamaan 1 dan 3,

eliminir c eliminir c

•

eliminir c eliminir c

•

eliminir a eliminir a

•

• Substitusi b=5 padaSubstitusi b=5 pada

persamaan 4 persamaan 4

•

• Substitusi a=3 dan b=5 padaSubstitusi a=3 dan b=5 pada

(26)

• • Diketahui :Diketahui : • • Ditanya :Ditanya : • • Dijawab :Dijawab :

(27)

•

eliminir z eliminir z

•

eliminir y eliminir y

•

• Substitusi x = ½ ke dalamSubstitusi x = ½ ke dalam

•

• SubSubsitsitusi usi x x = = ½ ½ dan dan y y = = -- 5/25/2

ke dalam persamaan 2 ke dalam persamaan 2

(28)

(29)

(30)

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran)

Misal :

Misal : Kakek (K), Ayah (A), Cucu (C)Kakek (K), Ayah (A), Cucu (C)

•

• Diketahui :Diketahui :

•

• Ditanya :Ditanya : Berapa umur masing-masing sekarang?Berapa umur masing-masing sekarang? K? A? C?

K? A? C?

•

• Dijawab :Dijawab :

1.

1. 5 tahun y5 tahun yang lalu umur seoraang lalu umur seorang kakng kakek 15 kali umurek 15 kali umur

cucunya. 7 tahun yang akan datang umur seorang ayah cucunya. 7 tahun yang akan datang umur seorang ayah dan anakny

dan anaknya menjadi 57 a menjadi 57 tahun. selisih tahun. selisih umur umur kakek dankakek dan ayahnya adalah 15 tahun. Berapa umur masing-masing ayahnya adalah 15 tahun. Berapa umur masing-masing sekarang?

(31)

•

• Pengolahan persamaanPengolahan persamaan

matematika matematika

•

• Elimisasi persamaan 2 dan 3,Elimisasi persamaan 2 dan 3,

eliminir A eliminir A

•

eliminir K eliminir K

•

• Substitusi C = 8 Substitusi C = 8 ke dalamke dalam

•

• Substitusi K = 50 Substitusi K = 50 ke dalamke dalam

(32)

2.

2. PPak Pak Panjaitan memiliki 2 Hektar anjaitan memiliki 2 Hektar sawsawah yah yangang ditanami padi dan

ditanami padi dan sudah saatnysudah saatnya diberi pupuk.a diberi pupuk. TTerdapat 3 erdapat 3 jenis pupuk (Urjenis pupuk (Urea, SS, TPS) yang harusea, SS, TPS) yang harus digunakan agar hasil panen padi

digunakan agar hasil panen padi lebih maksimal.lebih maksimal. Harga per karung setiap jenis pupuk adalah

Harga per karung setiap jenis pupuk adalah Rp75.000; Rp120.000;

Rp75.000; Rp120.000; Rp150.000. BanyRp150.000. Banyak pupukak pupuk yang dibutuhkan Pak Panjaitan sebanyak 40 karung. yang dibutuhkan Pak Panjaitan sebanyak 40 karung. Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000. Berapa untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan?

(33)

Misal :

Misal : Urea (x), SS (y), TPS (z)Urea (x), SS (y), TPS (z)

•

• Diketahui :Diketahui :

•

• Ditanya :Ditanya : Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harusBerapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus

dibeli

dibeli PPak Panjaitan?ak Panjaitan?

x? y? z? x? y? z?

•

(34)

•

• Substitusi x = 2y ke dalamSubstitusi x = 2y ke dalam

persamaan 1 persamaan 1   ++   ++   = = 4400 2 2  ++   ++  = 4 = 400 3 3  +  +  = = 4400 --- 4)4) •

• Substitusi x = 2y ke dalamSubstitusi x = 2y ke dalam

persamaan 3 persamaan 3 75 75 + + 12120 +0 +15150 = 0 = 4.4.020200 75 75.. (2(2)) ++ 120 120 ++ 11550 = 40 = 4.0.02020 50 50 + + 12120 +0 +15150 = 0 = 4.4.020200 2 277  ++ 1155  = = 440022 --- 5)5) •

eliminir z eliminir z 3 3  ++   = = 440 0 xx1155 2 277  ++ 1155  = = 44002 2 xx11 45 45 + + 1515 =  = 606000 27 27 + + 1515 =  = 404022 - -1 188  = = 119988   = =  •

• Substitusi y = 11 padaSubstitusi y = 11 pada

persamaan 2 persamaan 2  = 2  = 2 = = 22. . 1111  =   =  •

• Substitusi y = 11 dan x = 22Substitusi y = 11 dan x = 22

pada persamaan 1 pada persamaan 1   ++   ++   = = 4400 2 222 ++ 1111 ++   = = 4400 3 33 3 +  +  = = 4400  =  = 4400 −− 3333   = =  

 Jadi, Jadi, banyak banyak pupukpupuk

yang harus dibeli Pak

Panjaitan dengan uang

yang tersedia adalah 22

sak Urea, 11

sak Urea, 11 sak SS,sak SS,

dan 7 sak TSP.

(35)

PERTANYAAN?

(36)