ANALISIS VARIANSI (ANOVA)

(1)

ANALISIS VARIANSI

(ANOVA)

(2)

ANOVA

= Analisis Varians (Anava)

= Analisis Ragam

= Sidik Ragam



Diperkenalkan oleh R.A. Fisher (1925)

 disebut uji F



pengembangan dari uji t dua sampel

bebas (independent samples t test)



untuk mengetahui perbedaan nilai

(3)

ANOVA

 Berdasarkan banyak faktor (kriteria) yang

dipergunakan untuk mengelompokkan data, dibedakan :

1. Anova satu arah (oneway Anova)

 data dikelompokkan (dibagi menjadi beberapa kategori) berdasarkan 1 faktor (kriteria)

2. Anova dua arah (twoway Anova)

 data dikelompokkan (dibagi menjadi beberapa kategori) berdasarkan 2 faktor (kriteria)

(4)

SYARAT ANOVA

1. Normalitas

 skala pengukuran interval atau rasio

 berasal dari populasi dengan distribusi normal

 diuji 2, Kolmogorov-Smirnov satu sampel, Lilliefors,

Shapiro-Wilks atau menguji kurtosis dan skewness distribusi data

2. Homogenitas variansi

 uji Bartlett atau Levene

3. Independensi

 galat atau error bersifat bebas (independen) terhadap

sesamanya

 data pengamatan harus bebas satu sama lain

 perlakuan diberikan kepada unit eksperimen secara acak (random)

(5)

Asumsi-asumsi yang mendasari analisis

variansi adalah

:



Populasi-populasi yang diteliti

memiliki distribusi normal.



Populasi-populasi

tersebut

memiliki standar deviasi yang

sama (atau variansi yang sama).



Sampel yang ditarik dari populasi

tersebut bersifat bebas, dan

sampel ditarik secara acak.

(6)

Prosedur analisis variansi adalah





_{Menentukan H}

₀

dan H

₁

.

H₀ : ₁= ₂= ₃= ……= _k

H₁ : paling sedikit dua diantara rata-rata tersebut tidak sama

(7)



Uji statistik (tabel Anova):

1  k 1 2 1  _ k JKA S 2 2 1 S S ) 1 (n k ) 1 ( 2   n k JKG S Sumber Variasi Jumlah Kuadrat

Derajat Bebas Rata-rata Kuadrat F hitungan Perlakuan JKA Galat JKG Total JKT _nk _₁ nk T n T JKA k i i 2 .. 1 2 .         k i n j ij nk T y JKT 1 1 2 .. 2 JKG  JKT  JKA

(8)



Daerah kritis : H

₀

ditolak bila F

hitungan >



Kesimpulan

)) 1 ( , 1 (k k n

f

_

(9)

Analisis Variansi Dua Arah

 Untuk menentukan apakah ada variasi dalam

pengamatan yang diakibatkan oleh perbedaan dalam perlakuan, uji hipotesisnya adalah :

 H₀ : _1. = _2. = … = _k. atau bisa dituliskan H₀: ₁ =

₂ = … = _k

 H₁ : paling sedikit dua diantaranya tidak sama

 Untuk menentukan apakah ada variasi dalam

pengamatan yang diakibatkan oleh perbedaan dalam blok, uji hipotesisnya adalah :

 H₀ : _.1 = _.2 = … = _.b atau bisa dituliskan H₀: ₁ =

₂ = … = _b

(10)



Tabel Anova:

1  k 1 2 1  _ k JKA S 2 2 1 1 S S F  1  b 1 2 2  _ b JKB S 2 2 2 2 S S F  ) 1 )( 1 (k  b ) 1 )( 1 ( 2    b k JKG S 1  bk

Sumber Variasi Jumlah Kuadrat

Derajat Bebas Rata-rata Kuadrat F hitung

Perlakuan JKA Blok JKB Galat JKG Total JKT bk T y JKT k i b j ij 2 1 1 2  ..     bk T b T JKA k i i 2 .. 1 2 .    bk T k T JKB b j j 2 .. 1 2 .    JKB JKA JKT JKG   

(11)



Daerah kritis :

H₀ ditolak pada taraf keberartian  jika F₁ >

H₀ ditolak pada taraf keberartian  jika F₂ >

)] 1 )( 1 ( , 1 [ ; k k b f_ )] 1 )( 1 ( , 1 [ ; b k b f_

(12)

Uji Kesamaan Beberapa Variansi



Analisis variansi satu arah hanya

dapat dilakukan apabila variansi

dari k-populasi adalah sama

(homogen).



Bila syarat tersebut tidak

dipenuhi, maka uji analisis

(13)

Uji Bartlett



H

₀

:



₁2

=



₂2

=



₃2

= …. =



_k2 

H

₁

: tidak semua variansi sama



Uji statistik :



Daerah kritis : H

₀

ditolak jika b >



2 ,k-1 

Kesimpulan

Hitungan :

h q b  2,3026 k N S n S k i i i p _   1 2 2 ) 1 (       k i i i p n S S k N q 1 2 2 log ) 1 ( log ) (               n N k k h k i i 1 1 1 ) 1 ( 3 1 1 1

(14)

uji Cochran

 Pemakaiannya terbatas hanya untuk

sampel yang ukurannya sama.

 Statistik uji yang digunakan adalah :

 Daerah kritis adalah H₀ ditolak jika G >

g__,n,k dimana nilai g__,n,k diperoleh dari tabel nilai kritis untuk uji Cochran.



  _k i i S terbesar Si G 1 2 2

(15)

15

Analisis Variansi

 Misalkan kita mempunyai k populasi.

 Dari masing-masing populasi diambil

sampel berukuran n.

 Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas

dan berdistribusi normal dengan rata-rata ₁, ₂, …. dan _k dan variansi 2_.

 Hipotesa :

H₀: ₁ = ₂ = … = _k

(16)

16

Analisis Variansi

Populasi Total 1 2 … i … k x₁₁ x₂₁ … x_i1 … X_k1 x₁₂ x₂₂ … x_i2 … X_k2 : : : : : : x_1n x_2n … x_in … x_kn Total T₁_ T₂_ … T_i_ … T_k_ T_

T_i_ adalah total semua pengamatan dari populasi ke-i

(17)

17

Rumus Hitung Jumlah Kuadrat

JKP

JKT

JKG

nk

T

n

T

JKP

nk

T

x

JKT

2 k 1 i 2 i k 1 i n 1 j 2 2 ij













       





Jumlah Kuadrat Total =

Jumlah Kuadrat Perlakuan =

(18)

18

Tabel Anova dan Daerah Penolakan

Sumber Variasi Derajat bebas Jumlah kuadrat Kuadrat Rata-rata Statistik F Perlakuan k – 1 JKP KRP = JKP/(k – 1 ) F = KRP/KRG Galat k(n-1) JKG KRG = JKG/(k(n-1)) Total nk – 1 JKT H₀ ditolak jika F > F(; k – 1; k(n – 1))

(19)

19

Contoh 1

Sebagai manager produksi, anda ingin melihat mesin pengisi akan

dilihat rata-rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti di samping. Pada tingkat signifikansi 0.05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?

Mesin1 Mesin2 Mesin3

25.40 23.40 20.00 26.31 21.80 22.20 24.10 23.50 19.75 23.74 22.75 20.60 25.10 21.60 20.40

(20)

20

Penyelesaian

 Hipotesa :

H₀:



₁ =



₂ =



₃

H₁: Ada rata-rata yang tidak sama

 Tingkat signifikasi



= 0.05

 Karena df₁= derajat bebas perlakuan = 2

dan df₂ = derajat bebas galat = 12, maka

f(0.05;2;12) = 3.89.

Jadi daerah pelokannya:

(21)

21

Data

Populasi

Total

1

2

3

25.40

23.40

20.00

26.31

21.80

22.20

24.10

23.50

19.75

23.74

22.75

20.60

25.10

21.60

20.40 Total

124.65 113.05 102.95 340.65

(22)

22

Jumlah Kuadrat Total

2172

.

58

3

5

65 .

340

40 .

20

60 .

20

75 .

19

20 .

22

00 .

20

60 .

21

75 .

22

50 .

23

80 .

21

40 .

23

10 .

25

74 .

23

10 .

24

31 .

26

40 .

25 nk

T

x

JKT

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k 1 i n 1 j 2 2 ij

















   

(23)

23

Jumlah Kuadrat Perlakuan dan

Jumlah Kuadrat Galat

0532

.

11 1640

.

47 2172

.

58 JKG

1640

.

47

3

5

65 .

340

5

95 .

102

05 .

113

65 .

124 nk

T

n

T

JKP

2 2 2 2 2 k 1 i 2 i





















  

(24)

24

Tabel Anova dan Kesimpulan

Sumber Variasi Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Rata-rata Statistik F Perlakuan 3-1=2 47.1640 23.5820 F = 25.60 Galat 15-3=12 11.0532 0.9211 Total 15-1=14 58.2172

Karena F

_hitung

= 25.60 > 3.89 maka H

₀

ditolak.

Jadi ada rata-rata yang tidak sama.

(25)

25

Rumus Hitung Jumlah Kuadrat

Untuk ukuran sampel yang berbeda

JKP

JKT

JKG

N

T

n

T

JKP

N

T

x

JKT

2 k 1 i _i 2 i k 1 i n 1 j 2 2 ij i













       





Jumlah Kuadrat Total =

Jumlah Kuadrat Perlakuan =

Jumlah Kuadrat Galat =





k 1 i i

n

N

dengan

(26)

26

Tabel Anova

Untuk ukuran sampel yang berbeda

Sumber Variasi Derajat bebas Jumlah kuadrat Kuadrat Rata-rata Statistik F Perlakuan k – 1 JKP KRP = JKP/(k – 1 ) F = KRP/KRG Galat N – k JKG KRG = JKG/(N - k) Total N – 1 JKT

(27)

27

Contoh 2

 Dalam Sebuah percobaan biologi 4

konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Data

pertumbuhan berikut, dalam

sentimeter, dicatat dari tanaman yang hidup.

 Apakah ada beda pertumbuhan

rata-rata yang nyata yang disebabkan oleh keempat

konsentrasi bahan kimia tersebut.

 Gunakan signifikasi 0,05. Konsentrasi 1 2 3 4 8.2 7.7 6.9 6.8 8.7 8.4 5.8 7.3 9.4 8.6 7.2 6.3 9.2 8.1 6.8 6.9 8.0 7.4 7.1 6.1

(28)

28

Penyelesaian

 Hipotesa :

H₀:



₁ =



₂ =



₃=



₄

H₁: Ada rata-rata yang tidak sama

 Tingkat signifikasi



= 0.05

 Karena df₁= derajat bebas perlakuan = 3

dan df₂ = derajat bebas galat = 16, maka

f(0.05;3;16) = 3.24.

Jadi daerah pelokannya:

(29)

29

Data

Populasi

Total

1

2

3

4

8.2 7.7 6.9 6.8 8.7 8.4 5.8 7.3 9.4 8.6 7.2 6.3 9.2 8.1 6.8 6.9 8.0 7.4 7.1 6.1

Total

35.5

40.8

40.2

34.4

150.9

(30)

30

Jumlah Kuadrat Total

350 .

19

20

9 .

150

1 .

7

9 .

6

3 .

6

3 .

7

8 .

6

1 .

6

4 .

7

8 .

6

2 .

7

8 .

5

9 .

6

0 .

8

1 .

8

6 .

8

4 .

8

7 .

7

2 .

9

4 .

9

7 .

8

2 .

8 N

T

x

JKT

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k 1 i n 1 j 2 2 ij i















   

(31)

31

Jumlah Kuadrat Perlakuan dan

Jumlah Kuadrat Galat

888 .

3

462 .

15

350 .

19 JKG

462 .

15

20

9 .

150

5

4 .

34

6

2 .

40

5

8 .

40

4

5 .

35 N

T

n

T

JKP

2 2 2 2 2 2 k 1 i _i 2 i

















  



(32)

32

Tabel Anova dan Kesimpulan

Sumber Variasi Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Rata-rata Statistik F Perlakuan 4-1=3 15.462 5.154 F = 21.213 Galat 20-4=16 3.888 0.243 Total 20-1=19 19.350

Karena F

_hitung

= 21.213 > 3.24 maka H

₀

ditolak.

Jadi ada rata-rata yang tidak sama.

(33)

33

Latihan 1

Kapasitas Mitsubishi (A) Toyota (B) Honda (C) 44 42 46 43 45 47 48 44 45 45 45 44 46 44 43

Seorang kontraktor di bidang jenis jasa pengangkutan ingin

mengetahui apakah terdapat perbedaan yang signifikan pada kapasitas daya angkut 3 merk truk, yaitu Mitsubishi, Toyota dan Honda. Untuk itu kontraktor ini mengambil sampel masing-masing 5 truk pada tiap-tiap merek menghasilkan data seperti disamping.

Jika ketiga populasi data tersebut berdistribusi normal dan variansi ketiganya sama, uji dengan

signifikasi 5% apakah terdapat perbedaan pada kwalitas daya angkut ketiga merek truk tersebut

(34)

34

Latihan 2

Seorang guru SMU mengadakan penelitian tentang keunggulan metode mengajar dengan

beberapa metode pengajaran. Bila data yang didapat seperti pada tabel disamping, ujilah dengan signifikasi 5% apakah keempat metode mengajar tersebut memiliki hasil yang

sama? (asumsikan keempat data berdistribusi Normal dan

variasnisnya sama) Metode A B C D 70 68 76 67 76 75 87 66 77 74 78 78 78 67 77 57 67 57 68 89