1.1. Integral Tak Tentu - II-4 Macam Integral

1. Integral (1)

(Macam Integral, Pendekatan Numerik)

Sudaryatno Sudirham

Dalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah satu bagian utama kalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahas bagian utama kedua, yaitu kalkulus integral.

Dalam pengertian sehari-hari, kata “integral” mengandung arti “keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkan keseluruhan”atau “memberikan total”; dalam matematika berarti “menemukan fungsi yang turunannya diketahui”.

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

) (x f dx dy

= (1.1)

Persamaan seperti (1.1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y) disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh:

0 3

6

6 5 2

2 2 2

2 2

= +

+

+ + =

y x dx dy xy dx

y d

x x dx dy

Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan diferensial seperti contoh yang pertama.

1.1. Integral Tak Tentu

Suatu fungsi y=F(x) dikatakan sebagai solusi dari persamaan diferensial (1.1) jika dalam rentang a< x < b ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi

) ( ) (

x f dx

x dF

= (1.2)

Perhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (1.2) maka F(x)+K dengan K adalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (1.2) sebab

[

( )

]

( ) ( ) ₀

+ =

+ =

+

dx x dF dx dK dx

x dF dx

K x F d

(1.3)

Jadi secara umum dapat kita tuliskan

K x F dx x

f = +

∫

( ) ( ) (1.4)

yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K.

Persamaan (1.2) dapat pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitu

dx x f x dF( )= ( )

yang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan

∫

∫

dF(x)= f(x)dx (1.5) Jika kita bandingkan (1.5) dan (1.4), kita dapat menyimpulkan bahwa

K x F x

dF = +

2/13 Sudaryatno Sudirham,

Integral (1)

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari.

Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini

1) Cari solusi persamaan diferensial 5x4 dx dy

=

Kita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensial

dx x dy=5 4

Menurut relasi (9.4) dan (9.5) di Bab-9,

dx x x d( 5)=5 4

Oleh karena itu

K x x d dx x

y=

∫

5 4 =

∫

( 5)= 5+

2). Carilah solusi persamaan x y

dx dy ₂

=

Kita tuliskan dalam bentuk diferensial dy=x2 ydx dan kita kelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kiri mengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanya mengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagi kedua ruas dengan √y.

dx x dy y−1/2 = 2

Ruas kiri memberikan diferensial d

( )

2y1/2 =y−1/2dy dan ruas kanan memberikan diferensial

dx x x

d 3 2

3 1

=      

, sehingga

( )



    

= 3

2 / 1

3 1

2y d x

d

Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh

2 3 1 2 / 1

3 1

2y +K = x +K atau

K x K K x

y1/2= 3+ ₂ − ₁= 3+ 3 1 3

1 2

Dua contoh telah kita lihat. Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta sembarang K.

K y dy= +

∫

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

∫

∫

ady=a dy

1 jika , 1

1

− ≠ +

+ = +

∫

K n

n y dy y

n n

Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Kita akan mencoba memahami melalui pengamatan kurva. Jika kita gambarkan kurva

2

10x

y= kita akan mendapatkan kurva bernilai tunggal seperti Gb.1.1.a. Akan tetapi jika kita

melakukan integrasi

∫

x dx 3 10 3

tidak hanya satu kurva yang dapat memenuhi syarat akan tetapi banyak

kurva seperti pada Gb.1.1.b; kita akan mendapatkan satu kurva jika K dapat ditentukan.

a) b)

Gb.1.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi.

Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengan kecepatan sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai v=at=3t, dengan v adalah kecepatan, a adalah percepatan yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisi awal benda adalah s₀ =3pada waktu t = 0, tentukanlah posisi benda pada t = 4.

Kita ingat pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecepatan adalah laju perubahan jarak,

dt ds

v= ; sedangkan percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

dt dv

a= . Karena kecepatan sebagai

fungsi t diketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasi

dt ds

v= yang memberikan ds=vdt

sehingga integrasinya memberikan

∫

= + = +

= atdt t K t K

s 2

2

5 , 1 2

3

Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu s₀ =3 pada t = 0.

K

+ =0

3 yang memberikan K =3

Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi s=1,5t2+3 sehingga pada t = 4 posisi benda adalah s₄ =27

Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva )

(x f

y= , sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan

2 =

y seperti terlihat pada Gb.1.2.

50 100

-5 -3 -1 1 3 x 5 y = 10x2

50 100

-5 -3 -1 1 3 5 K1

K2

K3

y

yi= 10x

2

+Ki

y

4/13 Sudaryatno Sudirham,

Integral (1)

Gb.1.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2.

Jika luas dari p sampai x adalah Apx, dan kita bisa mencari fungsi pertambahan luas ∆Apx yaitu

pertambahan luas jika x bertambah menjadi x+∆x, maka kita dapat menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulai dari x = p sampai x = q untuk memperoleh Apq yaitu luas dari p sampai q. Pertambahan

luas yang dimaksud tentulah

x A_px= ∆

∆ 2 atau 2 f(x)

x A_px

= = ∆ ∆

(1.7)

Jika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dapatkan limit

2 ) ( lim

0 ∆ = = =

∆

→

∆ dx f x

dA x

A_{px px}

x (1.8)

Dari (1.8) kita peroleh

K x dx dA

A_px=

∫

_px=

∫

2 =2 + (1.9)

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p. Jika kondisi ini kita terapkan pada (1.9) kita

akan memperoleh nilai K yaitu

K p+

=2

0 atau K=−2p (1.10)

sehingga

p x

A_px =2 −2 (1.11)

Kita mendapatkan luas Apx (yang dihitung mulai dari x = p) merupakan fungsi x. Jika perhitungan

diteruskan sampai x = q kita peroleh

) ( 2 2

2q p q p

A_pq = − = − (1.12)

Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetri yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang kali lebar yang dalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2.

Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsi tetapan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan syarat bahwa ia kontinyu dalam rentang p≤x≤q seperti digambarkan pada Gb.1.3.

Gb.1.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam a ≤x ≤b p x x+∆x q

y

x y = f(x)

0

∆Apx

f(x) f(x+∆x)

Apx

p x x+∆x q

y

x y = f(x) =2

0 2

∆Apx

Dalam kasus ini, ∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakah dalam menghitungnya kita

memilih ∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x. Namun kita akan mempunyai nilai

x x x f x x f x x f

A_px = ∆ ≤ ∆ ≤ +∆ ∆

∆ ( ) ( ₀) ( ) (1.13)

dengan x0adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆x kita buat mendekati nol kita

akan mempunyai

x x x f x x f x x f

A_px = ∆ = ∆ = +∆ ∆

∆ ( ) ( ₀) ( ) (1.14)

Dengan demikian kita akan mendapatkan limit

) ( lim

0

x f dx dA

x

A_{px px}

x ∆ = =

∆ →

∆ (1.15)

Dari sini kita peroleh

K x F dx x f dA

A_px =

∫

_px =

∫

( ) = ( )+ (1.16)

Dengan memasukkan kondisi awal Apx = 0 untuk x = p dan kemudian memasukkan nilai x = q kita

akan memperoleh

]

q p pq F q F p F x

A = ( )− ( )= ( ) (1.17)

1.2. Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang diarsir pada Gb.1.4.a.

Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan kita akan menghitung luas

setiap segmen dan kemudian menjumlahkannya untuk memperoleh Apq. Jika penjumlahan luas

segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada Gb.1.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqb (jumlah luas segmen bawah).

Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada Gb.1.4.c, kita akan memperoleh luas yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas).

Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan terjadinya error. Antara Apqb dan Apqa

ada selisih seperti terlihat pada Gb.1.4.d. Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen

ke-k, yaitu antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku

) (

) ( )

(x f x₀ f x x

f _k ≤ _k ≤ _k +∆ (1.18)

(a) (b)

(c) (d)

Gb.1.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva. p x2 xk xk+1 xn

y

x y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn

y

x y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn

y

x y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn

y

x y = f(x)

6/13 Sudaryatno Sudirham,

Integral (1)

Jika pertidaksamaan (1.18) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil dan bernilai positif, maka

k k

k k k

k x f x x f x x x

x

f( )∆ ≤ ( ₀ )∆ ≤ ( +∆ )∆ (1.19)

Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (1.19) kita jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita buat), kita akan memperoleh

k n

k k n

k

k k n

k

k

k x f x x f x x x

x

f ∆ ≤

∑

∆ ≤

∑

+∆ ∆

∑

= =

= 1 1

0 1

) (

) ( )

( (1.20)

Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling kanan adalah jumlah luas segmen

atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah

bahwa

pqa n pqb A A

A ≤ ≤ 1.21)

Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita cari. Error yang terjadi sangat

tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n kita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆xk menuju nol,

maka luas bidang yang kita cari adalah

pqa x

n x pqb x

pq A A A

A

k k

k 0 0 0

lim lim

lim

→ ∆ → ∆ →

∆ = =

= (1.22)

Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu, dituliskan

∫

= q

p pq f xdx

A ( ) (1.23)

Integral tertentu (1.23) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)

]

( ) ( )

) ( )

(x dx F x F q F p f

A q q_p

p

pq=

∫

= = − (1.24)

Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah, penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:

a. integrasi untuk memperoleh F(x)=

∫

f(x)dx;

b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);

c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);

d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) −F(p).

Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang bernilai positif dalam rentang p≤x≤q, namun pembahasan itu berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang p≤x≤q sempat bernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang disebut dengan Apxdalam

pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan berlaku umum, yaitu

Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y= f(x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang

merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akan menghitung luas antara y=x3−12x

Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas

75

Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan

75 yang di bawah sumbu-x

5

Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai Apx, formulasi

( )

)

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x.

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.1.6. kita dapatkan

4

Gb.1.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva y₁= f₁(x) dan

8/13 Sudaryatno Sudirham,

Integral (1)

Gb.1.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva.

Rentang p≤x≤q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya diperlihatkan pada Gb.1.7. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x), dimana ∆x=(q− p)/n.

Luas segmen dapat didekati dengan

{f x f x} x

Asegmen= 1( )− 2( )∆ (1.25)

yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh

{

}

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit

{

}

Kita lihat beberapa contoh.

1). Jika y₁=4 dan y₂=−2 berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = −2 sampai x2 = q =

Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y₁−y₂=6 dan panjang x₂−x₁=5.

2). Jika y₁=x2 dan y₂=4 berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.

2

Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak minimum yang berada pada

posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya,

berada di di bawah y2 = 4.

Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan melakukan kesalahan:

3). Jika y₁=−x2+2 dan y₂=−x berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y1 adalah fungsi kuadrat

dengan titik puncak maksimum yang memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis

lurus melalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka bagian kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari

luasnya berada di atas y2.

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.

2

Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus pada penghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam praktik kita tidak selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis, yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat pula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh dalam kelistrikan.

1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka

dt dw

p= yang memberikan w=

∫

pdt

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari wktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah

[kWh] Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

dt dq

i= sehingga q=

∫

idt

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

10/13 Sudaryatno Sudirham,

Integral (1)

Pendekatan Numerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:

1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar, ∆x.

2. Integral dalam rentang p≤x ≤q dari f(x) dihitung sebagai

∑

∫

= →

∆ ∆

= n

k

k k x

q

p

x x f dx

x f

1 0

) ( lim )

(

dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang besarnya akan sama dengan nilai

terendah dan tertinggi dalam segmen ∆xk jika ∆x menuju nol.

Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih

rendah ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.

Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi oleh kurva y=x3−12x

dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luas ini telah dihitung dan menghasilkan A_pq=67,5. Kali

ini perhitungan

∫

− −

= 3

3 3

) 12 (x xdx

A_pq akan kita lakukan dengan pendekatan numerik dengan bantuan

komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x = 0,15 maka rentang −−−−3≤≤≤≤x≤≤≤≤3 akan terbagi dalam 40 segmen. Perhitungan menghasilkan

4 , 67 39875 , 67 ) 12 (

40

1

3_{− = ≈}

=

∑

=

k

k k

pq x x

A

Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.

Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3≤x≤3 akan terbagi dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan

5 , 67 48875 , 67 ) 12 (

120

1

3_{− = ≈}

=

∑

=

k

k k

pq x x

A

Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.

Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%, maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.

Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas setiap segmen menjadi

(

f(x _min) f(x )

)

x/2

A_segmen = _k + _kmaks ×∆ (1.27)

1.3. Volume Sebagai Suatu Integral

Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai suatu integral. Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.

Balok. Kita ambil contoh sebuah balok seperti tergambar pada Gb.1.8. Balok ini dibatasi oleh dua bidang datar paralel di p dan q. Balok ini diiris tipis-tipis dengan tebal irisan ∆x sehingga volume balok, V, merupakan jumlah dari volume semua irisan.

Gb.1.8. Balok

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalah

x x x A V x x

A( )∆ ≤∆ ≤ ( +∆ )∆

Volume balok V adalah

∑

∆

=

q

p

x x A V ( )

dengan A(x) adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x). Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti A(x) maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu

∑

∆

≈

q

p

x x A V ( )

Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka

∫

∑

∆ =

=

→ ∆

q

p q

p o x

dx x A x x A

V lim ( ) ( ) (1.28)

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x. Satu kerucut dapat dibayangkan sebagai segitiga yang berputar sekitar salah satu sisinya. Sigitiga ini akan menyapu satu volume kerucut seperti terlihat pada Gb.1.9. Segitiga OPQ, dengan OQ berimpit dengan sumbu-x, berputar mengelilingi sumbu-x.

Gb.1.9. Rotasi Segitiga OPQ mengelilingi sumbu-x

Formula (1.28) dapat kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.

[ ]

_∫

∫

∫

= π = π

= hA xdx h r x dx h m x dx V

0 2 2 0

2

0 ( ) ( ) (1.29)

dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula (1.29) akan memberikan volume kerucut

3 3

PQ/OQ) ( 3

2 3 2 3

2 kerucut

h r h h

m

V =π =π =π (1.30)

dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h. y

x

∆x

x

O Q

12/13 Sudaryatno Sudirham,

Integral (1)

Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akan memiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucut terporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garis OP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk y=mx berubah menjadi y=mx+b dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y.

Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x) kontinyu pada a≤x≤b, rotasi bidang antara kurva fungsi ini dengan sumbu-x antara a≤x≤b sekeliling sumbu-x akan membangun suatu volume benda yang dapat dihitung menggunakan relasi (1.10).

Gb.1.10. Rotasi bidang mengelilingi sumbu-x

Dalam menghitung integral (1.28) penyesuaian harus dilakukan pada A(x) dan batas-batas integrasi.

( )

_{( )}2

(

_{( )}

)

2

)

(x r x f x

A =π =π

sehingga =

∫

bπ

(

)

a f x dx

V ( )2 (1.31)

Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada (1.31) merupakan gabungan fungsi linier, kita akan mendapatkan situasi seperti pada Gb.1.11.

Gb.1.11. Fungsi f(x) merupakan gabungan fungsi linier.

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.1.11. terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (1.29) menunjukkan bahwa dalam menghitung volume, f(x) dikuadratkan. Oleh karena itu jika ada bagian fungsi yang bernilai negatif, dalam penghitungan volume bagian ini akan menjadi positif.

1.4. Panjang Kurva Pada Bidang Datar

Jika kurva y= f(x) kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar ∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah

2

2 _y

x PQ

l= = ∆ +∆

∆

Salah satu segmen diperlihatkan pada Gb.1.12.

Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak antara P dan Q di mana turunan fungsi y′(P′), yang merupakan garis singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian

) (P

y′ ′ ini, ∆l dapat dinyatakan sebagai

(

)

[

y x

]

(

y

)

x

x

l= ∆ + ′ ′ ∆ = + ′ ′ ∆

∆ 2 _(P) 2 _{1 (P)}2

y

x

∆x

x

0 a b

2000

y

x

∆x

x

Gb.1.12. Salah satu segmen pada kurva y= f(x).

Setiap segmen memiliki y′(P′) masing-masing yaitu y′_k, dan ∆l masing-masing yaitu ∆lk . Jika n

dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x = a ke x = b adalah

( )

y x

( )

y x l

l

n

k

k x

n

k

k n

n

k k n

ab=

∑

∆ =

∑

+ ′ ∆ =

∑

+ ′ ∆

= → ∆ =

∞ → =

∞ →

1

2 0

1

2 1

1 lim 1

lim lim

atau dx

dx dy

l b

a

ab

∫



     + =

2

1 (1.32)

Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisi sumbu koordinat. Oleh karena

itu (1.32) dapat ditulis juga sebagai dy

dy dx

l b

a ab

∫

′

′ _     + =

2

1 dengan a′dan b′ adalah batas-batas peubah

bebas.

1.5. Nilai Rata-Rata Suatu Fungsi

Untuk fungsi y= f(x) yang kontinyu dalam rentang p≤x≤q nilai rata-rata fungsi ini didefinisikan sebagai

∫

−

= q

p x

rr f xdx

p q

y ) 1 ( )

( (1.33)

(Penulisan (yrr)x untuk menyatakan nilai rata-rata fungsi x)

Definisi (1.33) dapat kita tuliskan

∫

= −

⋅ q

p x

rr q p f xdx

y ) ( ) ( )

( (1.34)

Ruas kanan (1.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi y= f(x) dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (1.34) dapat ditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (q− p) dan lebar (yrr)x. Namun kita perlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan (1.34) sebagai luas bidang

antara kurva fungsi y= f(x) dengan sumbu-x bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positif pada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai rata-rata (1.33) kontibusi tersebut adalah negatif.

Sebagai contoh, kita ambil fungsi y=x3−12x. Luas bidang antara y=x3−12x dengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif, A_pq =67,5 (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kita menghitung nilai rata-rata fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnya adalah (yrr)x = 0 karena bagian

kurva yang berada di atas dan di bawah sumbu-x akan saling meniadakan.

P ∆y

∆x

x y

Q y = f(x)

∆l