Kalkulus1 Fungsi Dan Grafik Fungsi

2.1 Fungsi

Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.

Contoh: 1. a. b.

Definisi:

Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

y = f(x)

x

f 2

2

5

y



x



y



x

2



9

A B

Notasi: f : A → _B

Daerah hasil Daerah asal

Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x

dan y memenuhi:

Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205)

Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.

2

{( , ) / 2

5}

f



x y

x



x 0 1 -1 2 -2 … 10

y

y = f(x)

W_f

y

Catatan:

1. Himpunan A, B є 

2. Fungsi: y = f(x) ,

x peubah bebas

y peubah tak bebas, bergantung pada x

3. Daerah asal fungsi: D_f = A = {x | fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: W_f = {y є B | y = f(x), x є D

f} 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є D

f , y = f(x)) }

x

D_f

x

Soal:

Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1 b. y = x2 _{- 1}

Ada beberapa penyajian fungsi yaitu

a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata. b. Secara numerik : dengan tabel

c. Secara visual : dengan grafik

Contoh:

1. Secara verbal

Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.

Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.

2. Secara numerik

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)

0 < w ≤_{1 1.000} 1<w ≤_{2 1.250} 2 < w ≤_{3 1.500} 3 < w ≤_{4 1.750} 3 < w ≤_{4 1.750} 4 < w ≤_{5 2.000}

3. Secara visual

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.

0 1 2 3 4 5

1.000 1.500 2.000

w B

4. Secara aljabar

Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. _{1.000, jika 0 1}

2.2 Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi linear

Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta

a = kemiringan garis

b = perpotongan garis dengan sumbu-y

Grafik:

Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 _{+ bx + c,}

D = b2_{- 4ac}

x y

c

a< 0,D> 0

a< 0,D= 0 a< 0,D< 0

y = P(x)

y

c y= P(x)

y

c y= P(x)

x _x

x y

c

a> 0,D > 0 a> 0, D= 0 a> 0, D< 0

y= P(x)

y

c y= P(x)

y

c

y= P(x)

x x

Soal : Soal :

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 _{+ 2x - 1 b. y = -2x}2 _{+ 2x - 4}

3. Fungsi pangkat

Bentuk umum: y = f(x) = xn _{, n є}  Daerah asal: D_f = 

Grafik:

y

y = x y y= x2

0 x 0 x

y

y = x3

4. Fungsi akar

Bentuk Umum:

Daerah asal dan daerah hasil:

D_f = [0,∞_{), W}

f = [0, ∞), jika n genap

D_f = , W_f = , jika n ganjil

Grafik:

( )

n

,

2,3, 4,...

y



f x



x

n



y

0 x

y

0 x

2

y  x _{y } 3 _x

Soal :

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut

a. b.

y



x



1

2

2 2

y  x  x

a. b.

y



x



1

y  x 2x2

1 y

x 

1

,

0

y

x

x





y

0 x

5. Fungsi kebalikan

Bentuk umum:

6. Fungsi rasional

Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom Daerah asal: D_f =  - { x | Q(x) = 0}

Contoh:

Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut

a. b.

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:

penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan

penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Contoh:

a. b.

Catatan:

Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar

.

8. Fungsi trigonometri

8.1 Fungsi sinus

Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: D_f = , W_f = [-1,1] Grafik:

0 -π

-1 1

x y

y = sin x

8.2 Fungsi cosinus

Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: D_f = , W_f = [-1,1] Grafik:

-2π π 2π

f  f

Grafik:

0 -1

1

y

y= cos x

x

-2π

-π π

2π

8.3 Fungsi tangen

Bentuk umum:

Daerah asal : D_f =  - {π_{/2 + n}π _{| n є} _}

Daerah hasil: W_f = 

sin

( ) tan , dalam radian cos

x

y f x x x

x

Grafik:

0

--1 1

x y

y = tan x

8.4 Fungsi trigonometri lainnya

Bentuk umum:

-π π _2π

-2π

Bentuk umum:

1

( ) sec

, dalam radian

cos

1

( ) cosec

, dalam radian

sin

1

(

a.

b.

c.

) cot

, dalam radian

tan

y

f x

x

x

x

y

f x

x

x

x

y

f x

x

x

x



















8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri

a. -1≤_{sin x} ≤_{1 b. -}1 ≤_{cos x} ≤₁

x y

0 ₁ 1

y = ax_{, a > 1}

x y

0 ₁ 1

y = ax_{, 0 < a < 1}

10. Fungsi logaritma

Bentuk umum : y = f(x) = log_ax, a > 0



9

. Fungsi eksponensial

Bentuk umum: y = f(x) = ax_{, a > 0}

Daerah asal dan daerah hasil: D_f =  , W_f = (0, ) Grafik:



Bentuk umum : y = f(x) = log_ax, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: D_f = (0, ) , W_f = 

Grafik: y

0 1 1

y = log_ax

x

Contoh:

Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.

11. Fungsi transenden

Definisi:

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.

4

12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong

(

piecewise function

)

Definisi:

Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.

0 1

3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

f

(

x

) =



x



13. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi: [Fungsi genap]

Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.

x

Definisi: [Fungsi ganjil]

Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.

Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.

x y

f(x)

-x

x

y = f(x)

-f(x)

Soal:

Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya.

a. f(x) = 1 - x4 _{b. f(x) = x + sin x}

c. f(x) = x2 _{+ cos x d. f(x) = 2x - x}2

c. f(x) = x2 _{+ cos x d. f(x) = 2x - x}2

14. Fungsi naik dan fungsi turun

Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika

f(x₁) < f(x₂) untuk setiap x₁ < x₂ di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika

f(x₁) > f(x₂) untuk setiap x₁ < x₂ di I.

x₁ y

f(x₁)

x

y = f(x)

x₂ f(x₂)

x₁ y

f(x₂)

x

y = f(x)

Soal:

Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I.

a. f(x) = x2 _{I = [0, )}

b. f(x) = sin x I = [ , 2]

15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama

Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:

1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian

dan pembagian 3. Komposisi fungsi

Transformasi fungsi

a. Pergeseran (translasi)

 

14

a. Pergeseran (translasi)

Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:

1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas

y = f(x)

c y

x c

c c

y = f(x-c)

y = f(x+c)

y = f(x) - c

b. Peregangan (dilatasi)

Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:

1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c.

2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c.

3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c.

4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c.

2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan

4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

dengan faktor c.

0 π 2π

-1 1

y

y= cosx

2

-2

y= 2 cosx

y = ½ cosx

x ₀

π 2π

-1 1

y

y= cosx

2

-2

x

y = cos ½x

c.

Pencerminan

Untuk memperoleh grafik:

1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x

2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y

y

x y = f(x)

y = -f(x)

x y = f(x)

y = f(-x)

y

x -x

x

f(x) f(x)

-f(x)

Contoh:

Contoh:

Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan

sifat transformasi fungsi.

1.

f

(

x

)= |

x-

1|

2.

f(x

) =

x

2

₊₂

_x

₊₁

OPERASI FUNGSI ALJABAR

Definisi: [Aljabar fungsi]

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D_fdan

D_g. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) D_f+g = D_f D_g. 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) D_f-g = D_f D_g. 3. (fg)(x) = f(x) g(x) D_fg = D_f D_g.

4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) D_f/g = {D_f D_g.} – _{{x | g(x)= 0}}

Contoh:

Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika

2

( ) ( ) ( ) 1

1.

2. ( ) 1

f x x g x x

f x x g x x

 

   

Komposisi fungsi

Definisi: [Komposisi fungsi]

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D_fdan

D_g. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut: (f o g)(x) = f(g(x))

Soal :

Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika

2

1.

2.

( ) ( ) 1

( ) ( ) 1

f x x g x x

f x g x x

x

 

  

D_f

g W_g f Wf

D_g

x

g(a)

f(g(x)) a

g(x)