DISERTASI
Oleh
HAMIDAH NASUTION 118110008/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2016
DISERTASI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
HAMIDAH NASUTION 118110008/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2016
Judul Disertasi : MODEL MATEMATIKA SIR-ASI EPIDEMIOLOGI DEMAM BERDARAH DENGUE
Nama Mahasiswa : Hamidah Nasution Nomor Pokok : 118110008
Program Studi : Doktor Ilmu Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Promotor
(Prof.Dr.dr.Syahril Pasaribu,DTM&H.,M.Sc(CTM), Sp.A(K)) (Prof. Dr. Tulus, M. Si)
Co-Promotor Co-Promotor
Dekan
(Dr. Kerista Sebayang, MS)
Tanggal lulus: 28 Juni 2016
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang
Anggota : 1. Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H., M.Sc (CTM), Sp.A(K) 2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M. Sc 4. Prof. Dr. Anton Abdullah Kamil
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan da- lam disertasi saya yang berjudul :
MODEL MATEMATIKA SIR - ASI EPIDEMIOLOGI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE
merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembim- bingan para komisi pembimbing, kecuali yang ditunjukkan dengan rujukannya.
Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program se- jenis di perguruan tinggi lain.
Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, 28 Juni 2016 Penulis,
Hamidah Nasution
Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dari genus Togaviridae, sub genus Flavivirus. Virus dengue ini mempunyai empat serotype yaitu DEN-1, DEN-2, DEN-3 and DEN-4. Virus ini menular pa- da tubuh manusia melalui gigitan nyamuk yang berperan sebagai vektor. Vektor utama penyebar virus dengue adalah nyamuk Aedes aegypti dan Aedes albopi- ctus. Penelitian ini hanya membahas vektor jenis nyamuk Aedes aegypti. Tujuan penelitian ini adalah mengkaji dinamika epidemi penyakit DBD dengan model matematika yang mempertimbangkan fase akuatik pada vektor. Model yang di- gunakan disini adalah model SIR untuk pejamu dan ASI untuk vektor. Dengan melakukan analisis pada model SIR - ASI, diperoleh tiga equilibrium atau disebut juga titik kesetimbangan. Dari ketiga titik equilibrium ini diturunkan Bilangan Offspring Dasar (Basic Offspring Number) Q0, Titik Bebas Penyakit (Disease free equilibrium)/ DFE, Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproductive Num- ber) R0 dan titik endemik. Selanjutnya, ketiga titik kesetimbangan tersebut di uji kestabilannya melalui metode next generation matrix. Hasilnya menunjukkan bahwa ketiga titik kesetimbangan tersebut adalah stabil. Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproductive Number) R0 disebut juga sebagai titik ambang batas.
Penelitian ini menunjukkan bahwa pada titik equilibrium DFE maka Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproductive Number) R0 < 1, keadaan ini disebut juga keadaan bebas penyakit. Titik equilibrium E2 adalah titik endemik dengan kondisi R0 > 1. Pada penelitian ini juga mengkaji eksistensi dari Bilangan Offsp- ring Dasar (Q0) pada Bilangan Reproduksi Dasar R0. Hasilnya menunjukkan eksistensi Q0 pada R0 sangat signifikan.
Kata kunci: Dengue, Model Matematika, Basic Offspring Number, Basic Reproductive Ratio, phase akuatik
Dengue hemorraghic fever (DHF) disease is caused by a virus of the genus togaviridae , sub genus flavivirus.virus this virus had four serotype namely DEN- 1 , DEN-2 , DEN-3 and DEN-4 .This virus transmition to human body through the bite function as vector .Principal vector disseminators dengue virus is Aedes aegypti and Aedes albopictus . Research discussed vector mosquito A . aegypti .The purpose of this research is study the dynamics of epidemic dengue fever with a model mathematics that takes into account phase aquatic in vector .The model used here is a model SIR to host and ASI to vector .With an analysis on the model SIR - ASI , there are three fixed point or called also point equilibrium .Of the fixed point is revealed that offspring basic number (Q0) , disease free equilibrium (DFE) , basic reproductive ratio (R0) and point endemic . Furthermoret , third point equilibrium is in test stability through method next generation matrix The results show that equilibrium the third point is stable. Basic reproductive ratio (R0) called also as a point of the threshold. The research indicated that at the point of equilibrium DFE so basic reproductive ratio R0 < 1, the state of is called also the state of disease free equilibrium. A fixed point E2 is a fixed point endemic with the conditions R0 > 1.In the research also study existence of basic that offspring number (Q0) in basic reproductive ratio (R0). the results show existence Q0 in ro is very significant.
Keywords: Dengue, Mathematical Modeling, Basic Offspring Number, Basic Reproductive Ratio, Aquatic phase
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah melim- pahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi ini dengan judul Model Matematika SIR - ASI Epidemiologi Demam Berdarah Dengue (DBD), sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar doktor pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pe- ngetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Dalam menyelesaikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan, baik moril maupun materil dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini juga dengan segala kerendahan hati, penulis sampaikan ucapan terimakasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Runtung Sitepu, SH, M.Hum. selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis un- tuk mengikuti Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah membe- rikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Program Doktor Ilmu Matematika angkatan 2011.
3. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Dok- tor Ilmu Matematika yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Program Doktor Ilmu Matematika angkatan 2011.
4. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku promotor atas ketulusan
disertasi ini.
5. Bapak Prof.Dr.dr.Syahril Pasaribu,DTM&H.,M.Sc(CTM), Sp.A(K) sela- ku co-promotor atas ketulusan hati dan keikhlasan dalam membimbing, mendukung dan mengarahkan penulis pada pembahasan isi dan penulisan hingga disertasi ini selesai.
6. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku co-promotor atas ketulusan hati dalam membimbing penulis hingga disertasi ini selesai.
7. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Komisi Penguji, atas keikhlasan dan kesabaran serta ketulusan hati dalam memberi bimbingan dan dorongan dari awal hingga selesainya disertasi ini.
8. Bapak Prof. Dr. Anton Abdullah Kamil selaku Komisi Penguji, atas kei- khlasan dan kesabaran serta ketulusan hati dalam memberi bimbingan dan motivasi dari awal hingga selesainya disertasi ini.
9. Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Su- matera Utara. Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M. Pd selaku Rektor Universitas Negeri Medan dan Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan izin kepada penulis untuk mengikuti.
10. Seluruh Staf Pengajar Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
tidak dapat disebutkan satu persatu, yang memberi semangat dan do- rongan serta doanya kepada penulis.
12. Sdri. Misiani, S.Si dan Staf Administrasi Departemen Matematika ser- ta Staf Administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Secara khusus penulis menyampaikan dengan rasa hormat dan sayang un- tuk ibunda tercinta Hj. Maslan Lubis yang senantiasa memberikan doa, do- rongan, semangat dan cinta kasih walaupun dalam kondisi yang kurang sehat, Semoga Allah SWT selalu memberi Rakhmat dan LindunganNya. Kepada Ayah mertua H. Rokani,terimakasih yang sebesar-besarnya atas doa dan dukungannya.
Kepada Ayahanda H. Aminuddin Nasution (alm) dan Ibu mertua Hj. Supiah (almh) semoga ditempatkan ditempat yang paling dimuliakanNya. Amiin. Ter- imakasih yang tak terhingga kepada suami tercinta H. Suharman,S.Si, Ananda Imam Maulana dan Azzahra Adelia Putri, atas perhatian, kasih sayang, kesabar- an dan doanya yang selalu memberi semangat kepada penulis dalam penyelesaian disertasi ini. Terimakasih yang sebesar-besarnya juga penulis sampaikan kepa- da keluarga besar tercinta, Abang, kakak serta adik-adik yang selalu memberi semangat, dukungan dan perhatian sehingga disertasi ini selesai.
ngembangan ilmu matematika, dan secara umum bermanfaat bagi pengembang- an imu lain, pembaca dan pihak yang membutuhkan. Semoga disertasi ini mem- beri kebaikan bagi orang banyak.
Medan, Juni 2016 Penulis,
Hamidah Nasution
Hamidah Nasution dilahirkan di Tapanuli Selatan pada tanggal 6 Juli 1967 dari Ayah H. Aminuddin Nasution (alm) dan Ibu Hj. Maslan Lubis sebagai anak ke delapan dari sebelas bersaudara. Pada tahun 1980 lulus dari SDN 12 Padngsidimpuan. Pada tahun 1983 lulus dari SMPN 1 Padangsidimpuan dan pada tahun 1986 lulus dari SMAN 1 Padangsidimpuan.
Pada tahun 1992 lulus sarjana dari Jurusan Matematika Fakultas Matema- tika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan. Kemudian pada tahun 2009 menyelesaikan studi S2 di Program studi Ilmu Matematika Uni- versitas Sumatera Utara Medan dengan memperoleh gelar Magister Sain (M.Si).
Selanjutnya pada tahun 2012, melanjutkan studi Doktor Ilmu Matematika Fa- kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Universitas Sumatera Utara Medan.
Saat ini, Hamidah Nasution bekerja sebagai staf pengajar di Program Stu- di Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP viii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR GAMBAR xiii
DAFTAR SIMBOL xiv
DAFTAR SINGKATAN xv
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 8
1.3 Tujuan Penelitian 9
1.4 Urgensi Penelitian 9
1.5 Metodologi Penelitian 10
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 12
2.1 Penyakit Dengue 12
2.1.1 Demam Dengue (DD) 12
2.1.2 Demam Berdarah Dengue (DBD) 12
2.1.3 Sindroma Syok Dengue (SSD) 13
BAB 3 MODEL MATEMATIKA PENYAKIT DBD 19 3.1 Model SIR (Susceptible - Infected - Recovered) pada Poplasi
Manusia 20
3.2 Model SIR pada Populasi Manusia dan Populasi Nyamuk 22 3.3 Model SEIR (Susceptible - Ekposed - Infected - Recovred) 26 BAB 4 MODEL MATEMATIKA SIR - ASI EPIDEMIOLOGI DBD 30
4.1 Penyebaran Penyakit DBD 30
4.1.1 Penyebaran Virus Dengue pada Manusia 30 4.1.2 Penyebaran Virus Dengue pada Nyamuk Aedes aegypti 31 4.2 Model Matematika SIR -ASI Epidemiologi DBD 33 BAB 5 ANALISIS MODEL MATEMATIKA SIR-ASI EPIDEMIOLOGI
DBD 40
5.1 Penentuan Titik Equilibrium / Kesetimbangan 40 5.1.1 Titik Ekuilibrium E0(Sh, Ih, Rh, Am, Sm, Im) = E0(Nh,
0, 0, 0, 0, 0) 42
5.1.2 Titik Equilibrium Bebas Penyakit (Disease Free Equili- brium) E1.
E1(Sh,Ih,Rh,Am,Sm,Im)=(Nh,0,0,C(ηkqm−ηµkq m−µaµm)
mη ,
C(ηkqm−ηµm−µaµm)
kqmµm , 0) 45
5.1.3 Titik Equilibrium Endemik (E2) 49 5.2 Kestabilan Titik Equilibrium/Titik Kesetimbangan 50
5.2.1 Kestabilan Titik Equilibrium E0 /Titik Eliminasi Po-
pulasi Nyamuk 52
5.2.2 Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit (Disease
Free Equilibrium) E1 53
BAB 6 SIMULASI MODEL SIR-ASI EPIDEMIOLOGI DBD 58
6.1 Nilai Parameter 58
6.2 Simulasi Dinamika Populasi untuk Kondisi R0 < 1 59 6.3 Simulasi Dinamika Populasi untuk Kondisi R0 > 1 60 6.4 Simulasi Bilangan Offspring Dasar (Basic Offspring Number)
pada Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproductive Number) 61 6.5 Simulasi Bilangan Offspring Dasar dengan Laju Kematian
Akuatik 63
6.6 Simulasi Bilangan Reproduksi Dasar dengan Laju Kematian
Akuatik 65
BAB 7 KESIMPULAN 67
7.1 Kesimpulan 67
7.2 Penelitian Lanjutan 68
DAFTAR PUSTAKA 69
Nomor Judul Halaman 2.1 Kajian peneliti tentang model penyebaran penyakit DBD 16
6.1 Nilai-Nilai Parameter 58
Nomor Judul Halaman 1.1 Angka Insiden DBD per 100.000 Penduduk di Indonesia Tahun 2009
(Sumber: Achmadi, 2010) 2
1.2 Nyamuk Aedes aegypti menggigit tubuh manusia 4
1.3 Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti 5
3.1 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR 21
3.2 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR 23
3.3 Skema penyebaran penyakit DBD model SEIR 28
4.1 Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti 32
4.2 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR -ASI 34 6.1 Dinamika populasi manusia dan nyamuk terhadap waktu untuk R0 <
1 (Sumber: Diolah Peneliti) 59
6.2 Dinamika populasi manusia dan nyamuk terhadap waktu untuk R0 >
1 (Sumber: Diolah Peneliti) 60
6.3 Bilangan Reproduksi Dasar (R0) dan Bilangan offspring Dasar (Q0) 62 6.4 Bilangan Reproduksi Dasar (Q0) dan Laju Kematian Akuatik (µ0) 64 6.5 Bilangan Reproduksi Dasar (Q0) dan Laju Oviposisi (cm) 65 6.6 Bilangan Reproduksi Dasar (R0) dan Laju Kematian Nyamuk (µm) 65
Simbol Arti Simbol Nh Total populasi manusia
Sh Jumlah manusia yang berpotensi tertular virus dengue Ih Jumlah manusia yang terinfeksi virus dengue
Rh Jumlah manusia sembuh Am Jumlah nyamuk akuatik
Sm Jumlah nyamuk yang berpotensi tertular virus dengue Im Jumlah nyamuk yang terinveksi virus dengue
Nm Total populasi nyamuk λh Laju kelahiran manusia µm Laju kematian nyamuk µh Laju kematian manusia
ρh Proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh θh Peluang terjadinya kontak antara nyamuk terinfeksi dengan
manusia rentan
b Rata-rata gigitan individu nyamuk pada manusia (per hari) qm Jumlah nyamuk akuatik, per hari
η Tingkat pematangan nyamuk aquatik ke nyamuk dewasa (oviposisi) per hari
C Carrying capacity
k Fraksi nyamuk betina menetas dari semua telur Q0 Bilangan offspring dasar
R0 Bilangan reproduksi dasar
<6+ Ruang nyata positif berdimensi enam E0 Titik equilibrium eliminasi populasi nyamuk E1 Titik equilibrium bebas penyakit
E2 Titik equilibrium endemik λ Nilai eigen
τ Spektral radius K Matriks Jacobi
DD Demam Dengue
DBD Demam Berdarah Dengue SSD Sindroma Syok Dengue AK Angka Kematian Sh Susceptible Human Ih Infected Human Rh Recovered Human Am Aquatic Mosquito Sm Susceptible Mosquito Im Infected Mosquito SI Susceptible Infected
SIS Susceptible Infected Susceptible SIR Susceptible Infected Recovered
SIRS Susceptible Infected Recovered Susceptible SEIR Susceptible Exposed Infected Recovered ASI Aquatic Susceptible Infected
TIE Time Infected Extrinstic DFE Disease Free Equilibrium WHO World Health Organitation
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penyakit dengue merupakan penyakit epidemik dan endemik di beberapa negara, seperti Afrika, Amerika, Mediterania Timur, Asia Tenggara dan Pasifik Barat. Penyakit dengue ini merupakan masalah kesehatan yang penting bagi masyarakat terutama bagi penduduk yang tersebar di daerah wilayah tropis dan subtropis, (Chowell , Diaz dan Miller, 2007).
Hasil publikasi dari Organisasi Kesehatan Sedunia (WHO,2009) menyata- kan bahwa 2.5 milyar penduduk dunia berpotensi terjangkit penyakit dengue dan 75% atau sekitar 1.8 miliar orang berada di daerah Asia dan Fasifik. Diperkirak- an setiap tahun ada 50 juta kasus penyakit dengue. Kebanyakan kasus dengue ini menyerang anak-anak usia dibawah 5 tahun, dan 2, 5% penderita dengue ini ti- dak bisa terselamatkan atau meninggal. Jumlah ini termasuk sangat besar, dan patut untuk dijadikan suatu masalah kesehatan yang harus ditanggapi secara serius.
Indonesia merupakan wilayah epidemik dan endemik dari penyakit dengue dengan sebaran di seluruh wilayah tanah air. Penyakit dengue merupakan salah satu masalah kesehatan masyarakat yang utama di Indonesia. Jumlah penderita dan luas daerah penyebarannya semakin bertambah seiring dengan meningkatnya mobilitas dan kepadatan penduduk. Di Indonesia penyakit Demam Berdarah de-
ngue (DBD) pertama kali ditemukan di kota Surabaya pada tahun 1968, dimana sebanyak 58 orang terinfeksi dan 24 orang diantaranya meninggal dunia (Angka Kematian (AK) : 41, 3%). Dan sejak saat itu, penyakit ini menyebar luas ke se- luruh Indonesia. Insiden DBD di Indonesia pada tahun 1989 hingga 1995 antara 6 hingga 15 per 100.000 penduduk . Pada tahun 1998 terjadi kejadian luar biasa (wabah) DBD dengan insiden 35 per 100.000 penduduk. Tercatat sudah empat kali terjadi kejadian luar biasa (KLB) di Indonesia, yaitu pada tahun 1988, 2004 dan 2006. Pada tahun 2009 jumlah kasus DBD di Indonesia sebanyak 158,912 per 100.000 penduduk. Pada gambar 1.1 diperlihatkan angka insiden DBD per 100.000 penduduk Indonesia tahun 2009.
Gambar 1.1 Angka Insiden DBD per 100.000 Penduduk di Indonesia Tahun 2009 (Sumber: Achmadi, 2010)
Menurut diagnosa klinis penyakit dengue dapat dikelompokkan kedalam tiga jenis penyakit yaitu : Demam dengue (DD) / Dengue Fever (DF), Demam Berdarah Dengue (DBD)/Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) dan Sindroma Syok Dengue (SSD)/ Dengue Shock Syndrome (DSS)(Aguiar, Ballestores dan Kooi,
2011). Khusus pada penelitian ini yang dibahas adalah Demam Berdarah Dengue (DBD).
Demam dengue (DD), Demam Berdarah Dengue (DBD) dan Sindroma Syok Dengue (SSD) adalah penyakit inveksi yang disebabkan oleh virus dengue.
Virus dengue ini memiliki empat serotipe, yaitu DEN-TYPE I, DEN-TYPE II, DEN TYPE III dan DEN-TYPE IV (Esteva dan Vargas, 2003). Keempat serotipe ini dapat menyebabkan penyakit dengue . Serotipe I sampai dengan serotipe IV ini ditemukan di Indonesia. Seseorang yang terkena infeksi salah satu serotipe akan kebal terhadap serotipe tersebut, tetapi tidak kebal terhadap serotipe lainnya (Esteva dan Vargas,1998).
Virus dengue menyebar pada tubuh manusia melalui gigitan nyamuk yang terinfeksi. Penularan infeksi virus dengue pada manusia terjadi melalui gigitan nyamuk. Nyamuk ini disebut vektor. Vektor nyamuk terdiri dari genus Aedes (Stegomyia) dan Taxorhynchites. Nyamuk jenis Aedes terbagi dua yaitu nyamuk Aedes aegypti dan Aedes albopictus dan kedua nyamuk tersebut dapat menye- barkan virus dengue pada populasi manusia (Otero, Barnak dan Solary, 2010).
Virus dengue tidak akan menyebar pada manusia tanpa adanya gigitan nyamuk.
Jadi nyamuk Aedes aegypti dan Aedes albopictus merupakan vektor utama penye- bar virus dengue pada manusia. Jumlah populasi nyamuk Aedes aegypti akan berpengaruh besar terhadap penularan penyakit DBD pada manusia. Hal ini menunjukkan betapa mudahnya penyakit DBD ini menjadi epidemik di dalam populasi manusia.
Berikut gambar seekor nyamuk Aedes aegypti sedang menggigit tubuh ma- nusia. Bila nyamuk Aedes aegypti tersebut adalah nyamuk terinfeksi virus de- ngue maka manusia akan ikut terinfeksi virus dengue. Sebaliknya jika nyamuk Aedes aegypti yang sehat menggigit manusia yang terinfeksi viru dengue , maka nyamuk Aedes aegypti tersebut akan menjadi nyamuk terinfeksi.
Gambar 1.2 Nyamuk Aedes aegypti menggigit tubuh manusia Sumber : (Alghifari, 2009)
Siklus hidup nyamuk terdiri dari dua fase, yaitu fase akuatik yaitu fase da- lam air (telur, larva dan pupae) dan fase adult yaitu fase nyamuk dewasa yang terdiri dari nyamuk jantan dan nyamuk betina. Penularan virus dengue pada nyamuk terdiri dari dua macam yaitu penularan secara horizontal dan penular- an secara vertikal. Penularan virus dengue secara horizontal terjadi bila nyamuk sehat menggigit manusia terinfeksi virus dengue, virus dengue yang ada pada tu- buh manusia akan masuk dan menulari tubuh nyamuk sehingga nyamuk tersebut akan terinfeksi, sedang penularan virus dengue secara vertikal adalah penularan virus dengue dari nyamuk betina terinfeksi ke generasi berikutnya. Pada peneli- tian ini akan membahas penyebaran virus dengue pada nyamuk secara horizontal dengan mempertimbangkan fase akuatik (telur, larvae dan pupae).
Berikut ini akan diberikan gambar siklus daur hidup nyamuk Aedes aegyp- ti penyebar virus dengue. Gambar berikut memperlihatkan siklus hidup nya- muk mulai dari telur, larva, pupa sampai nyamuk dewasa yang siap menggi- git/menghisap darah manusia.
Gambar 1.3 Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti Sumber : (Ardhie Sofyan, 2014)
Terdapat empat tahapan dalam perkembangan larva yang disebut instar.
Perkembangan dari instar 1 ke instar 4 memerlukan waktu sekitar 5 hari. Setelah mencapai instar ke-4, larva berubah menjadi pupa di mana larva memasuki masa dorman. Pupa bertahan selama 2 hari sebelum akhirnya nyamuk dewasa keluar dari pupa. Perkembangan dari telur hingga nyamuk dewasa membutuhkan waktu 7 hingga 8 hari, namun dapat lebih lama jika kondisi lingkungan tidak mendukung.
Pencegahan epidemi dengue telah dimulai sejak tahun 1962, pencegahan ini difokuskan pada pemberantasan nyamuk pembawa virus dengue. Di Indonesia
upaya penanggulangan epidemi dengue ini masih belum berhasil. Hal ini dise- babkan banyak kendala baik secara teknis maupun non-teknis. Kendala tersebut antara lain keterbatasan dana, keterbatasan infrastruktur, kurangnya data dan informasi.
Untuk menyelesaikan kendala-kendala tersebut, perlu suatu penelitian dan pemikiran yang dapat menggambarkan perilaku penyakit dengue. Perilaku ini menyangkut antara manusia dan nyamuk atau disebut juga antara pejamu (host) dan vektor. Dalam hal ini pejamu adalah manusia dan vektor adalah nyamuk sebagai penyebar penyakit. Salah satu cara untuk membantu memahami dan mengidentifikasikan penyebaran penyakit dengue pada pejamu dan vektor ada- lah dengan pemodelan matematika. Dengan model biasanya digunakan untuk menyederhanakan keadaan sistim yamg rumit. Beberapa tahun terakhir pemo- delan matematika menjadi alat yang menarik bagi pemahaman epidemi penyakit menular (Aguiar, Ballestores dan Kooi, 2011).
Model epidemiologi adalah kerangka kerja formal untuk menyampaikan ide- ide tentang komponen dari interaksi antara pejamu dan vektor. Model matema- tika ini juga dapat digunakan untuk memprediksi, memahami dan mengembang- kan strategi untuk mengontrol penyebaran penyakit menular dengan memban- tu memahami perilaku sistim dengan berbagai kondisi (Aguiar, Ballestores dan Kooi, 2011). Melalui model matematika ini dapat diprediksi pada kondisi mana virus dengue punah atau pada kondisi mana virus dengue akan menjadi endemik.
Dengan mengetahui dan memahami kondisi ini maka penyebaran virus dengue dapat dikontrol atau dikendalikan.
Pemodelan matematika epidemiologi dapat membantu memahami dan meng- identifikasi hubungan penyebaran penyakit DBD dengan berbagai parameter epidemiologi. Model matematika epidemiologi untuk DBD diantaranya ada- lah model Susceptible-Infected-Recovered disebut juga model SIR. dan model Susceptible-Exposed-Infected-Recoverd disebut juga (SEIR).
Penelitian ini merupakan penelitian dalam ruang lingkup matematika epi- demiologi, yaitu salah satu bagian matematika terapan yang membahas berbagai aspek dalam penyebaran penyakit menular. Di dalam matematika epidemiolo- gi, penurunan model matematika suatu penyakit cukup bervariasi, bisa melalui model stokastik, model deterministik, model diskrit maupun model kontinu. Se- cara khusus penelitian ini mengkaji perilaku penyebaran penyakit DBD dengan memperhatikan fase akuatik pada nyamuk Aedes aegypti. Model yang digunakan adalah model SIR (susceptible, infected, recovered) pada pejamu dan model ASI (aquatic, susceptible, infected) pada vektor.
Secara khusus penelitian ini akan mengkaji bilangan offspring dasar (basic offspring number) yang merepresentasikan jumlah nyamuk pradewasa yang lahir untuk tiap ekor nyamuk dewasa selama satu periode produktivitas.. Pengkajian tersebut dilakukan dengan memperhatikan kompartemen nyamuk akuatik (Am) dan kompartemen nyamuk rentan (susceptible) pada vektor.
Selanjutnya model yang telah dikembangkan dilakukan analisis matemati- ka, dalam hal ini ada tiga titik ekuilibrium atau titik kesetimbangan yang diana- lisis. Titik equilibrium pertama adalah titik eliminasi populasi nyamuk dengan
asumsi populasi nyamuk tidak ada tetapi populasi manusia ada. Dari kondisi pertama ini akan diturunkan bilangan offspring dasar ( basic offspring number).
Titik equilibrium kedua adalah populasi nyamuk dan populasi manusia ada te- tapi penyakit DBD tidak ada. Titik equilibrium kedua disebut juga titik bebas penyakit (disease free equilibrium /DFE). Dan titik ekuilibrium ketiga adalah populasi manusia, populasi nyamuk ada dan virus dengue atau penyakit DBD ada. Pada kondisi ketiga ini akan dikaji titik endemik. Dengan menggunakan metode next generation matrix, ditentukan kestabilan dari ketiga titik equilibri- um, untuk menguji apakah model dari sistim epidemiologi yang dibangun stabil atau tidak. Selanjutnya dengan pemilihan parameter yang sesuai dilakukan si- mulasi numerik. Simulasi dilakukan dengan pemrograman berbasis fungsional menggunakan Software Maple dan Matlab.
1.2 Perumusan Masalah
Pengendalian epidemi dengue menjadi prioritas utama WHO dan Kemen- terian Kesehatan Republik Indonesia, karena DBD merupakan penyakit yang sangat ditakuti dan dapat meresahkan banyak orang. Penyakit ini sangat mu- dah terjangkit atau mewabah. Penyebaran penyakit DBD ini sangat bergan- tung kepada jumlah populasi nyamuk sebagai vektor penyebar penyakit. Salah satu cara untuk mengendalikan epidemi ini adalah membantu memahami dan mengidentifikasi hubungan penyebaran penyakit DBD dengan berbagai parame- ter epidemiologi. Dalam hal ini perlu suatu pemodelan matematika yang meng- gambarkan keterhubungan antara variable-variabel dalam epidemiologi tersebut.
Dengan menganalisis model tersebut akan diketahui pada kondisi bagaimana pe- nyakit DBD tersebut akan menjadi endemi atau tidak. Berdasarkan hal tersebut maka perumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana mekanisme dan dinamika epidemi penyakit DBD dengan model matematika yang mempertim- bangkan fase akuatik pada vektor dan bagaimana dinamika dari populasi model yang dikembangkan terhadap epidemiologi Demam Berdarah Dengue.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian adalah untuk menggambarkan model matematika epide- miologi dengue dengan fase akuatik dan untuk melihat dinamika populasi pada model terhadap epidemiologi Demam Berdarah Dengue.
1.4 Urgensi Penelitian
Penyakit DBD adalah penyakit endemik yang melanda hampir semua wi- layah di Indonesia. Baru-baru ini World Health Organitation (WHO,2009) me- nyatakan bahwa DBD merupakan penyakit tropis yang paling cepat menyebar dan dikatakan sebagai ancaman pandemik baru. Bahkan pada tahun 2012 DBD tercatat sebagai penyakit akibat virus yang penyebarannya paling cepat dan ber- potensi epidemik diseluruh dunia. Tidak terkecuali Negara Indonesia yang terle- tak di daerah tropis, beberapa tahun terakhir kasus penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) sering muncul di musim hujan dan pancaroba, khususnya bulan Januari di awal tahun. Wabah DBD ini selalu terjadi setiap tahun di Indone- sia. Jadi perlu suatu pemikiran untuk menanggulangi atau mencegah terjadinya
wabah DBD. Penelitian ini menjadi penting karena mengingat pemberantasan penyakit menular merupakan program prioritas dalam pembangunan nasional.
Melalui pengkajian karakteristik dan dinamika dari parameter-parameter penya- kit DBD ini, penelitian ini akan memberi landasan ilmiah yang diperlukan untuk menentukan kebijakan tentang seberapa besar usaha pemerintah untuk membe- rantas penyakit DBD secara optimal.
1.5 Metodologi Penelitian
Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah :
1. Mengumpulkan literatur berupa buku, makalah jurnal atau rujukan-rujukan dari hasil penelitian sebelumnya yang berhubungan dengan kajian perma- salahan dalam penelitian ini.
2. Mengembangkan model matematika SIR pada pejamu dan ASI pada vek- tor dengan memperhatikan fase akuatik pada vektor pada epidemiologi penyakit DBD. Pemodelan ini terdiri dari dua langkah, yaitu :
(a) Langkah pertama membuat gambar kompartemen berupa diagram dari system penyebaran penyakit DBD antara pejamu dan vektor.
Diagram ini lebih menggambarkan proses dari penularan penyakit.
(b) Langkah kedua menuliskan persamaan matematika untuk menggam- barkan proses penyebaran penyakit.
(c) Menentukan titik ekuilibrium atau titik kesetimbangan yang diperoleh pada saat terjadi ”zero growth rate” untuk setiap sub populasi.
3. Menganalisis model yang sudah dibentuk. Analisis model ini menggunakan kaidah pelinieran, untuk mendapatkan :
(a) Bilangan Offspring Dasar (Basic Offspring Number) (b) Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproductive Number)
4. Melakukan analisis kestabilan pada setiap titik ekuilibrium..
5. Menentukan nilai-nilai yang tepat untuk parameter-parameter yang digu- nakan pada simulasi model matematika SIR - ASI.
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Penyakit Dengue
Penyakit dengue merupakan demam akut yang disebabkan oleh virus de- ngue yang termasuk kelompok genus Flaviviridae yang mempunyai empat jenis serotipe, yaitu : DEN-I, DEN-II, DEN-III dan DEN-IV. Keempat jenis virus dapat menimbulkan penyakit dengue. Penyakit dengue ini dapat dikelompokkan ke dalam tiga bentuk penyakit yaitu: Demam Dengue (DD), Demam Berdarah Dengue (DBD) dan Sindroma Syok Dengue (SSD). Penyakit dengue ini akan menular pada manusia melalui gigitan nyamuk yang disebut sebagai vektor . Nyamuk penyebar penyakit ini adalah nyamuk dari kelas Aedes yaitu nyamuk Aedes aegypti dan Aedes albopictus (Bosio, Thomas, Grimstad dan Ray, 1992).
2.1.1 Demam Dengue (DD)
Penyakit demam dengue (DD) merupakan penyakit demam akut selama 2- 7 hari yang ditandai dengan dua atau lebih manifestasi klinis, diantaranya nyeri kepala, nyeri retro-orbital, mialgia/artralgia, ruam kulit, manifestasi perdarahan dan leukopenia.
2.1.2 Demam Berdarah Dengue (DBD)
Demam berdarah dengue (DBD) merupakan penyakit dengue dengan de- mam akut antara 2-7 hari. Penyakit DBD ini mempunyai empat fitur klinis
utama yaitu demam tinggi, hemorraghic phenomena, hepatomegaly dan kebocor- an plasma. Perbedaan utama dari DD dan DBD adalah pada DBD ditemukan kebocoran plasma.
2.1.3 Sindroma Syok Dengue (SSD)
Sindroma Syok Dengue (SSD) ini adalah penyakit dengue yang merupakan kelanjutan dari DBD. Semua kriteria yang ada pada DBD dimiliki oleh pende- rita SSD. Sehingga bisa dikatakan bahwa penderita SSD ini adalah penderita DBD yang syok dengan kebocoran plasma yang berlebihan sehingga berpotensi mengalami kondisi yang fatal.
2.2 Kajian Demam Berdarah Dengue
Penyakit DBD merupakan suatu penyakit menular pada tubuh manusia yang disebarkan oleh nyamuk Aedes aegypti. Penyebaran penyakit DBD ini se- cara mendalam bisa difahami dengan menggunakan pemodelan matematika yang dikenal sebagai model epidemik yang disebut juga model epidemiologi. Model epidemi ini pertama kali dikenalkan oleh Ross pada tahun 1911. Model epidemi ini digunakan untuk mengkaji penularan penyakit malaria dalam populasi ma- nusia. Selanjutnya model ini dikembangkan oleh Kermark - McKendrick (1927) yang dikenal sebagai model SIR (Susceptible-Infected-Recovered).
Model Kermack - McKendrick (1927), dikenal sebagai awal perkembang- an dari model epidemiologi. Dalam hal ini model yang diberikan masih berupa model sederhana yang hanya mengkaji penyebaran pada populasi manusia. Se- lanjutnya Model Kermack - McKendrick membagi populasi manusia kedalam
tiga sub populasi yakni sub populasi Susceptible, Infected dan Recovered yang dikenal sebagi model SIR. Model epidemik SIR yang diusung oleh Kermack - McKendrick untuk setiap sub populasi dirumuskan sebagai berikut :
S0 = −βSI I0 = βSI − αI
R0 = αI
Model matematika SIR ini telah banyak digunakan peneliti-peneliti lainnya (Esteva dan Vargas, 2000; Pongsumpun dan Tang,2003; Derouich dan Boutayeb, 2006; Ellner dan Guckenheimer, 2006). Kemudian model epidemi ini terus dikem- bagkan sesuai dengan kebutuhan oleh peneliti . Pada tahun 1999 Ang mengkaji model SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered). Dalam hal ini Ang hanya mengkaji penyebaran penyakit DBD pada populasi manusia saja.
Selanjutnya Pongsumpun (2006), meneliti penularan Demam Berdarah De- ngue dengan mempertimbangkan masa inkubasi ekstrinsik (TIE) dan tanpa in- kubasi ekstrinstik. Ada empat serotype virus dengue yang diutarakan yaitu DEN-1,DEN-2,DEN-3 dan DEN-4. Dalam kajian model ini digunakan model matematik untuk mempelajari perilaku penularan penyakit dengue. Dalam hal ini Pongsumpun membagi populasi manusia (Nh) menjadi tiga sub populasi, ya- itu sub populasi manusia rentan (Sh), sub populasi manusia terinfeksi (Ih) dan manusia sembuh (Rh). Kemudian membagi populasi nyamuk (Nm) menjadi dua sub populasi yaitu nyamuk rentan (Sm) dan nyamuk terinfeksi (Im). Hasilnya menunjukkan bahwa perilaku dinamik pada perubahan endemik dengan adanya
pengaruh musim sangat menguatkan adanya masa inkubasi.
Beberapa penelitian tentang model matematika untuk mengkaji penyebar- an penyakit dengue antara lain telah dilakukan oleh Esteva dan Vargas (1998) yaitu memodelkan penyebaran penyakit DBD dengan model kompartmental de- terministik yang menghasilkan stabilitas global dari equilibrium endemik. Model Esteva-Vargas ini mengasumsikan bahwa populasi manusia pada suatu daerah adalah konstan, sebesar (Nh). Asumsi ini berarti bahwa laju kematian sama dengan laju kelahiran yaitu λh = µh. Selanjutnya Esteva-Vargas mengemukak- an bahwa untuk waktu yang cukup lama (t → ∞) jumlah Aedes aegypti akan mendekati suatu nilai konstan yaitu µA
v. Selanjutnya dalam penelitian ini pe- ngembangan model yang dilakukan adalah pengembangan model Esteva-Vargas (1998).
Derouich dan Boutayeb (2006) membuat model pada kasus dua epidemik dengan dua virus yang berbeda. Dinamika penyakit dikaji dengan melibatkan populasi manusia dan populasi nyamuk. Model ini juga sudah mulai mengkaji penggunaan vaksinasi terhadap setiap serotipe.
Favier (2006) memperhitungkan delay dan inkubasi intrinsic-ekstrinsik, Pi- nho (2010) merekonstruksi model pejamu-vektor dengan menambahkan kompar- temen usia nyamuk, dan menambahkan kompartemen exposed pada manusia dan nyamuk.
Berikut ini diberikan beberapa kajian peneliti tentang model penyebaran penyakit Demam Berdarah Dengue.
Tabel 2.1 Kajian peneliti tentang model penyebaran penyakit DBD
Tahun Penulis Populasi Model Kesimpulan
1999 Ang, and Singapura Model determi- Model yang disajikan
Li nistik komparte- sebagai model dasar
men pada penu- pada pengawalan vec- laran DBD tor DBD
2001; Pongsumpun Cuba; Model determi- Penularan sekunder 2003 & Tang Thailand nistik komparte- menjelaskan kejadian
men dengan DBD khusus pada struktur usia struktur usia
2001; Massad Brazil Model determi- R0 pada DBD menun-
2003 nistik komparte- jukkan potensi penu-
men dengan ye- llow fever
laran yellow fever
2003; Esteva Thailand Model determi- Untuk parameter be- 2005 & Vargas nistik komparte- sar boleh berdampi-
men dua sero- ngan type
2005 Seng Malaysia Model Geosta- Menunjukkan kemam- tistik untuk puan sistim penga- analisis epidemi- wasan GIS yang ologi DBD dikaitkan dengan
epidemiologi dengan pendekatan geostatis- tical
2006 Favier Brazil Model determi- Menyarankan Ro nistik kompar- yang diabaikan.
temen dengan Kapasitas vector penentuan sta- kualitas dapat
tistik dari memungkinkan wabah penghentian demam kuning
pertumbuhan eksponen
Tahun Penulis Populasi Model Kesimpulan
2006 Pongsumpun Thailand Model determi- Dinamika perilaku nistik kompar- yang kompleks dari temen dengan populasi terjadi ketika dan tanpa inku- variasi musim dari basi eksentrik nyamuk (TIE) (TIE)
2007 Yusof Tidak Model DBD Jika tidak ada
ada tanpa immune/ immune setelah sehat, Kekebalan model dikurangi men-
jadi persamaan dua dimensi
2008 Rizam Tidak Model determi- Menganalisis dua ada nistik dalam model untuk mempe-
dinamika penye- roleh dinamika kuali- baran penyakit tatif penularan
penyakit demam berdarah dengue 2011 Kongnuy Thailand Model transmisi Penyakit Dengue et al dengan diagnose dibagi dalam tiga
klinis bagian yaitu
DF, DHF dan DSS 2012 Jason Tidak Sistim persama- Model diuji
ada an pembeda dengan membanding- digunakan kan nilai yang
sebagai model ditentukan dinamik virus
berdasarkan model wabah dengue
Tahun Penulis Populasi Model Kesimpulan 2015 Jafaruddin Tidak Model kompar- Skenario diuji
et al ada temen deter- dan dibandingkan ministik dengan hasilnya menun- menaksir R0 jukkan bahwa scenario dengan dua sce- kedua hasilnya
nario yaitu lebih realistis
”take off rate dan take off priod
MODEL MATEMATIKA PENYAKIT DBD
Model matematika epidemiologi dapat digunakan untuk memprediksi, me- mahami dan mengembangkan strategi untuk mengontrol penyebaran penyakit menular dengan membantu memahami perilaku sistim dengan berbagai kondi- si (Aguiar, Ballestores, 2011). Dalam matematika epidemiologi , penurunan model matematika suatu penyakit sangat bervariasi, bisa melalui model stokas- tik, model deterministik, model diskrit maupun model kontiniu. Pembentukan model matematika epidemiologi khususnya model matematika deterministik di- bentuk dalam bentuk persamaan differensial dengan asumsi setiap fungsi dalam kompartemen merupakan fungsi yang kontinu dan proses epidemik yang terjadi merupakan bentuk deterministik.
Terdapat beberapa model matematika epidemiologi yang sering digunakan untuk memperlihatkan perilaku dinamik dari sistem dalam penyebaran penyakit.
Model-model tersebut memiliki konsep yang sama yaitu dengan konsep pembagi- an kelas (compartmental epidemiology) yang menggambarkan proses penyebaran penyakit dari masing-masing kelas.
Model matematika epidemiologi penyakit DBD ini mengaitkan dua popu- lasi yaitu populasi manusia (Nh) dan populai nyamuk (Nm). Dalam populasi manusia dibagi kedalam beberapa subpopulasi, dimana masing-masing subpo- pulasi mewakili tahapan-tahapan yang berbeda. Pada model epidemiologi DBD,
model yang paling sederhana adalah model SIR, dimana populasi manusia dibagi kedalam tiga sub populasi yaitu sub populasi manusia rentan (Sh), sub populasi manusia terinfeksi (Ih) dan sub populasi manusia sembuh (Rh). Manusia yang rentan (Sh) adalah manusia yang bukan imun yang tidak terkena infeksi tetapi golongan ini dapat tertular penyakit. Manusia terinfeksi (Ih) adalah manusia yang terkena virus DBD dan dapat menularkan penyakit kepada individu lain melalui gigitan nyamuk Aedes aegypti. Manusia sembuh (Rh) adalah manusia yang sembuh dari penyakit DBD. Kemudian populasi nyamuk terdiri dari dua subpopulasi yaitu nyamuk rentan (Sm) dan nyamuk terinfeksi (Im). Nyamuk rentan (Sm) adalah nyamuk yang peka terhadap penyakit dengue. Nyamuk ter- infeksi (Im) adalah nyamuk yang dapat menularkan penyakit kepada individu lain. Berikut ini akan dibahas beberapa model matematika epidemiologi penya- kit Demam Berdarah Dengue (DBD).
3.1 Model SIR (Susceptible - Infected - Recovered) pada Poplasi Manusia
Model SIR (Suspectible - Infected - Recovered) pertama kali diperkenalk- an oleh W.O.Kermack dan Mc.Kendrick (1927) dan menjadi peranan penting dan memberikan kontribusi yang sangat besar terhadap pemodelan matematika epidemiologi. Kemudian model diperbaiki oleh Herbeth W.Hethcote (1989). Di dalam model ini hanya mempertimbangkan populasi manusia, populasi nyamuk masih diabaikan. Populasi manusia dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu Su- sceptible (S), Infected (I), dan Recovered (R) dengan total populasi adalah S + I + R = N. Proses penyebaran penyakit pada populasi manusia digambarkan
sebagai berikut :
Gambar 3.1 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR (Sumber: Herbeth W.Hethcote ,1989)
Dalam hal ini : S + I + R = N; dimana:
S : Manusia rentan (Susceptible) I : Manusia terinfeksi (Infected) R : Manusia sembuh (Recovered) N : Total populasi manusia λ : Laju kelahiran manusia
θ : Proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi γ : Proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh µ : Laju kematian alami
Pada gambar diatas menunjukkan bahwa setiap panah mewakili laju aliran dari setiap individu memasuki dan meninggalkan kompartemen / kelas per sa- tuan waktu. Laju pertumbuhan individu rentan (S) bertambah dengan adanya kelahiran (λ) dan akan menurun secara alami dengan adanya kematian (µ) dan
infeksi rentan dan dapat ditulis dengan : ds
dt = λN − θS − µS (3.1)
Laju pertumbuhan manusia terinfeksi (I) meningkat dengan peristiwa in- feksi rentan dan berkurang dengan adanya kematian alami (µ), kematian karena infeksi DBD (α) dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh (γ) ditulis :
dI
dt = θS − (µ + α + γ)I (3.2)
Laju pertumbuhan manusia sembuh (R) meningkat dari individu sembuh dari infeksi dan menurun dengan adanya kematian alami (µ) ditulis :
dR
dt = γI − µR (3.3)
Sehingga : dSdt = λN − θS − µS
dI
dt = θS − (µ + α + γ)I
dR
dt = γI − µR
Model matematika epidemiologi SIR ini terus berkembang dan berubah sesuai dengan keperluan peneliti (Esteva dan Vargas 2000, Ellner, 2006).
3.2 Model SIR pada Populasi Manusia dan Populasi Nyamuk
Model SIR pada uraian berikut mengacu pada kajian Esteva-Vargas (1998).
Model pejamu-vektor dari Esteva -Vargas dimodifikasi dengan tidak mengurangi keumuman model tersebut. Pada model tersebut diasumsikan bahwa tidak ada sumber makanan lain untuk nyamuk selain darah manusia dan laju rekruitmen
konstan. Pada model SIR ini populasi nyamuk sebagai vektor sudah mulai di- pertimbangkan. Model SIR ini juga dihubungkan dengan faktor dinamik. Selan- jutnya dalam penelitian Esteva-Vargas membagi populasi manusia (Nh) kedalam tiga sub populasi yaitu manusia rentan (susceptible) Sh, manusia terinfeksi (infe- cted) Ih, dan manusia sembuh (recovered) Rh . Kemudian populasi nyamuk Nm terdiri dari dua sub populasi yaitu nyamuk rentan (susceptible) Sm dan nyamuk terinfeksi (infected) Im.
Secara skematis, pola penyebaran penyakit DBD dengan model SIR dapat digambarkan dalam diagram kompartemen berikut :
Gambar 3.2 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR (Sumber: Esteva-Vargas ,1998)
Dengan :
Nh : total populasi manusia Nm : total populasi nyamuk Sh : manusia rentan
Ah : laju rekruitmen pada manusia Ih : manusia terinfeksi
Rh : manusia sembuh Sm : nyamuk rentan
Am : laju rekruitmen pada nyamuk Im : nyamuk terinfeksi
µh : laju kematian manusia µm : laju kematian nyamuk
γh : proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh
θm : peluang terjadinya kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi θh : peluang terjadinya kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan b : rata-rata gigitan individu nyamuk pada manusia (per hari)
Dari gambar 3.2 dapat dilihat bagaimana interaksi manusia dan nyamuk pada proses penyebaran penyakit DBD. Laju pertumbuhan manusia rentan ber- tambah dengan adanya laju rekruitmen (Ah) dan akan menurun dengan adanya kematian alami (µh) dan perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi (Ih).
Proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeki dipengaruhi oleh per- bandingan antara banyak kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rent- an (θhIm) dikali dengan manusia rentan (Ah) dibandingkan dengan total populasi manusia (Nh). Dan dapat ditulis :
dSh
dt = Ah− bθh
NhShIm− µhSh (3.4)
Laju pertumbuhan manusia terinfeksi meningkat dengan peristiwa infeksi rentan dan berkurang dengan adanya kematian alami (µh),kematian karena in- feksi DBD (α) dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh (γh) ditulis :
dIh dt = θh
NhShIm− (µh+ α + γh)Ih (3.5)
Laju pertumbuhan manusia sembuh meningkat dengan adanya perpindah- an individu infeksi ke sembuh dan berkurng dengan adanya kematian alami, ditulis :
dRh
dt = γhIh− µhRh (3.6)
Pada populasi nyamuk laju pertumbuhan nyamuk rentan (Sm) bertambah dengan adanya kelahiran (λm) dan akan menurun dengan adanya kematian alami (µm) hal ini dapat ditulis dengan :
dSm
dt = λmNm− θm Nh
SmIh− µmSm (3.7)
Laju pertumbuhan nyamuk terinfeksi meningkat dengan adanya infeksi dari nyamuk rentan dan akan berkurang dengan adanya kematian , dan dapat ditulis dengan :
dIm dt = θh
NhSmIh− µmIm (3.8)
Berdasarkan uraian diatas, model SIR untuk pejamu dan vector dapat di- nyatakan sebagai berikut :
dSh
dt = λhNh−Nθh
hShIm− µhSh
dIh
dt = Nθh
hShIm− (µh+ α + γh)Ih
dRh
dt = γhIh− µhRh
dSm
dt = λmNm− θNm
hSmIh− µmSm dIm
dt = Nθh
hSmIh− µmIm
Dengan kondisi : Sh+ Ih+ Rh = Nh dan Sm+ Im = Nm
3.3 Model SEIR (Susceptible - Ekposed - Infected - Recovred)
Salah satu model matematika epidemiologi pada penyakit DBD adalah mo- del SEIR (Susceptible - Ekposed - Infected - Recovred). Perbedaan dengan model SIR adalah pada model SEIR diberi tambahan periode laten, periode ini dikenal dengan periode masa inkubasi dari virus. Pada dasarnya setiap individu yang kena virus dengue belum bisa dikatakan langsung menularkan virus, tetapi virus terlebih dahulu mengalami masa inkubasi. Melalui masa inkubasi inilah individu bisa dikatakan terinfeksi atau tidak. Jika individu terinfeksi berarti individu ter- sebut dapat menularkan virus (Pongsumpun, 2006). Periode laten disebut juga periode terpapar dan dilambangkan dengan huruf E (Ekposed).
Pada model SEIR ini, populasi manusia dibagi menjadi empat subpopulasi, yaitu manusia rentan (susceptible) Sh, manusia terpapar (exposed) Eh, manusia terinfeksi (infected) Ih, dan manusia sembuh (recovered) Rh sedangkan populasi nyamuk Nm dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu nyamuk rentan (susceptible) Sm, nyamuk terpapar (exposed) Em, dan nyamuk terinfeksi (infected) Im.
Siklus penularan virus dengue dari nyamuk ke manusia dimulai dari gigit- an nyamuk Aedes aegypti yang terinfeksi pada manusia rentan. Dimana virus dengue berada di kelenjar ludah nyamuk. Melalui gigitan nyamuk pada manu- sia rentan akan menularkan virus yang berada dalam kelenjar ludah nyamuk ke individu. Kemudian virus ini akan beredar di darah (viremia) yang berlangsung selama sekitar 4-7 hari (Halstead,1998). Masa ini dikenal dengan masa inkubasi intrinstik sebelum menimbulkan penyakit. Pada periode inkubasi ini, manu- sia rentan yang telah digigit nyamuk terinfeksi dinyatakan telah terbuka untuk diinfeksi virus dengue. Manusia rentan yang sudah digigit nyamuk terinfeksi selanjutnya masuk ke dalam kelompok subpopulasi manusia terpapar (Eh).
Penularan virus dengue dari manusia ke nyamuk hanya dapat terjadi jika nyamuk rentan menggigit manusia terinfeksi yang sedang mengalami viremia, yaitu suatu kondisi medis dimana virus dengue berada di dalam darah manusia.
Kondisi ini berlangsung selama 2 hari sebelum demam sampai 5 hari setelah de- mam. Selanjutnya, virus memerlukan 8-10 hari yang menunjukkan masa inkubasi ekstrinsik sebelum menimbulkan penyakit. Selama masa inkubasi ini, nyamuk rentan dianggap telah terbuka untuk diinfeksi oleh virus. Nyamuk-nyamuk ter- sebut selanjutnya dikelompokkan ke dalam suatu subpopulasi nyamuk terpapar.
Secara skematis, pola penyebaran penyakit DBD dapat digambarkan da- lam diagram kompartemen berikut :
Gambar 3.3 Skema penyebaran penyakit DBD model SEIR (Sumber : Guihua dan Zhen, 2005)
Pada model SEIR ini diasumsikan kondisi :
Sh+ Eh+ Ih+ Rh = Nh dan Sm+ Em+ Im = Nm
Serta
Sh : manusia rentan Eh : manusia terpapar Ih : manusia terinfeksi Rh : manusia sembuh Sm : nyamuk rentan Em : nyamuk terpapar Im : nyamuk terinfeksi Nh : total populasi manusia Nm : total populasi nyamuk λh : laju kelahiran manusia
µm : laju kematian nyamuk
µh : laju kematian manusia secara alami α : laju kematian manusia karena DBD
ρh : proporsi perpindahan manusia terpapar ke manusia terinfeksi ρm : proporsi perpindahan nyamuk terpapar ke nyamuk terinfeksi γh : proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh
θm : peluang terjadinya kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi θh : peluang terjadinya kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan b : rata-rata gigitan individu nyamuk pada manusia (per hari)
Proses perpindahan dari setiap sub populasi ke sub populasi lainnya dapat ditulis dalam bentuk model matematika berikut :
Populasi Manusia (Nh) : dSh
dt = λhNh− bθh
NhShIm− µhSh (3.9) dEh
dt = bθh Nh
ShIm− ρhEh− µhEh (3.10) dIh
dt = ρhEh − (γh+ α + µh)Ih (3.11) dRh
dt = γhIh− µhRh (3.12)
Populasi Nyamuk (Nm) : dSm
dt = λmNm− bθm
Nh SmIh− µmSm (3.13) dEm
dt = bθm
NhSmIh− ρmEm− µmEm (3.14) dIm
dt = ρmEm− µmIm (3.15)
MODEL MATEMATIKA SIR - ASI EPIDEMIOLOGI DBD
4.1 Penyebaran Penyakit DBD
Penyakit DBD disebabkan oleh virus dengue yang termasuk dalam virus genus flaviviridae. Virus ini terbagi ke dalam empat jenis serotipe virus, yaitu DEN 1, DEN 2, DEN 3 dan DEN 4. Seseorang yang terkena salah satu virus akan kebal terhadap virus tersebut, tetapi tidak dengan virus yang lain. Arti- nya tidak mungkin seseorang individu terserang dua kali oleh virus yang sama.
Penyebaran virus dengue ini pada manusia terjadi akibat gigitan nyamuk yang dikenal sebagai vektor yang sudah terinfeksi atau nyamuk yang didalam air li- urnya sudah mengandung virus dengue. Nyamuk yang paling dominan dalam penyebar virus dengue adalah nyamuk betina Aedes aegypti. Selain nyamuk Ae- des aegypti, nyamuk Aedes albopictus juga dapat menularkan virus dengue. Jadi nyamuk ini merupakan vektor utama penyebar penyakit dengue . Tanpa vektor ini tidak ada penyebaran penyakit DBD pada manusia.
4.1.1 Penyebaran Virus Dengue pada Manusia
Setiap manusia (individu) yang sehat akan berpotensi tertular oleh virus dengue. Penularan terjadi apabila individu tersebut digigit oleh nyamuk Ae- des aegypti yang sudah terinfeksi. Akibat gigitan ini manusia yang sehat akan menjadi sakit, karena didalam darah manusia sudah mengandung virus dengue.
Virus ini akan mengalami masa inkubasi dalam tubuh manusia, (Pongsumpun,
2006).
4.1.2 Penyebaran Virus Dengue pada Nyamuk Aedes aegypti
Proses penyebaran virus dengue pada vektor nyamuk dapat dibagi dalam dua mekanisme. Mekanisme pertama adalah terjadi antara pejamu (manusia) dan vektor (nyamuk). Mekanisme ini dikenal dengan transmisi horizontal. Proses transmisi ini terjadi jika nyamuk rentan menggigit dan menghisap darah manusia terinfeksi yang mengandung virus dengue. Kemudian didalam tubuh nyamuk virus dengue mengalami masa inkubasi, biasanya masa inkubasi ini hanya untuk pematangan virus (Pongsumpun,2006). Dalam masa inkubasi ini nyamuk sudah bisa dikatakan terbuka untuk infeksi dan siap menularkan virus dengue. Karena nyamuk yang terinfeksi tidak pernah mengalami kesembuhan.
Mekanisme kedua adalah transmisi transovarial (vertikal) yaitu transmi- si dari nyamuk betina yang terinfeksi ke generasi/turunan berikutnya. Dalam hal ini di dalam tubuh nyamuk Aedes aegypti, virus dengue dapat tumbuh dan berkembang biak tanpa menimbulkan kematian pada nyamuk. Dan apabila nya- muk betina terinfeksi tersebut bertelur ada kemungkinan beberapa telurnya akan langsung mengandung virus dengue dan sisanya bersih dari virus dengue (Freir et al,1987; Shroyer,1990; Bosio et al,1992; Joshi et al, 2002, Guo et al, 2007) . Selanjutnya apabila telur-telur ini menetas menjadi larva kemudian menjadi pu- pa dan akhirnya menjadi adult (nyamuk dewasa) maka tidak semua adult yang terlahir bersih dari virus dengue. Nyamuk dewasa yang terinfeksi dengan cara demikian disebut penyebaran virus secara transovarial.
Pembahasan pada penelitian ini adalah penyebaran virus secara horizon- tal atau mengesampingkan penyebaran secara transovarial. Akan tetapi dalam penelitian ini memperhatikan vektor nyamuk pada fase akuatik. Karena fase akuatik sangat berpengaruh menentukan jumlah populasi nyamuk dewasa yaitu nyamuk yang siap untuk menularkan virus dengue pada manusia.
Gambar di bawah ini menjelaskan siklus hidup nyamuk, mulai dari telur menetas menjadi larva kemudian menjadi pupa dan akhirnya menjadi nyamuk dewasa (adult). Selama masa metamorfosis nyamuk dari telur menjadi larva kemudian menjadi pupa, keadaan ini terjadi dalam air sehingga disebut fase akuatik. Berikut ini diberikan gambar siklus hidup nyamuk Aedes aegypti.
Gambar 4.1 Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti (Sumber : Alghifari, 2009)
Garis putus-putus hitam menunjukkan batas nyamuk berada dalam air yang disebut fase akuatik (A), fase akuatik ini yang akan menjadi perhatian dalam penelitian ini.
4.2 Model Matematika SIR -ASI Epidemiologi DBD
Sebelum menjelaskan model matematika SIR (susceptible, infected dan re- covered) pada pejamu (populasi manusia) dan ASI (aquatic, susceptible dan in- fected) pada vektor (nyamuk) epidemiologi DBD dengan memperhatikan fase akuatik pada nyamuk Aedes aegypti, terlebih dahulu dikemukakan asumsi-asumsi yang digunakan dalam model ini. Asumsi-asumsi tersebut adalah :
1. Jumlah total populasi manusia dan total populasi nyamuk adalah konstan.
2. Populasi manusia dan populasi nyamuk adalah populasi tertutup.
3. Model yang dikembangkan dalam penelitian ini hanya meninjau satu sero- tipe virus dari empat serotipe virus dengue yang ada.
4. Model yang dikembangkan pada populasi manusia pada kondisi awal semua individu yang terlahir adalah manusia sehat yang tidak immun atau semua kelahiran masuk ke dalam manusia rentan (susceptible).
5. Vektor perantara penyakit hanya nyamuk Aedes aegypti, tidak ada vektor perantara lainnya.
6. Penelitian ini hanya membahas infeksi pertama dan tidak membahas ma- salah infeksi kedua, ketiga maupun keempat dalam epidemiologi penyakit dengue.
Dari asumsi-asumsi di atas diturunkan model epidemiologi DBD dengan memperhatikan fase akuatik pada nyamuk Aedes aegypti sebagai berikut :
Misalkan Nh adalah jumlah total populasi manusia yang terbagi kedalam tiga sub populasi yaitu subpopulsi manusia rentan (Susceptible) Sh, subpopulasi manusia terinfeksi (Infected) Ih dan subpopulasi manusia sembuh (Recovered) Rh. Sedangakan populasi nyamuk Nm, dibagi kedalam tiga sub populasi yaitu : subpopulasi fase akuatik (Am), subpopulasi nyamuk rentan (Sm) dan subpo- pulasi nyamuk terinfeksi (Im). Secara skematis pola penyebaran penyakit DBD antara pejamu (manusia) dan vektor (nyamuk) dapat digambarkan dalam dia- gram kompartemen berikut :
Gambar 4.2 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR -ASI (Sumber : Diolah peneliti)
dimana:
Sh : manusia rentan Ih : manusia terinfeksi Rh : manusia sembuh Am : nyamuk Akuatik Sm : nyamuk rentan
Im : nyamuk terinfeksi Nh : total populasi manusia Nm : total populasi nyamuk λh : laju kelahiran manusia µm : laju kematian nyamuk µh : laju kematian manusia
ρh : proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh
θh : peluang terjadinya kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan.
θv : peluang terjadinya kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinveksi b : rata-rata gigitan individu nyamuk pada manusia (per hari)
qm : jumlah nyamuk akuatik, per hari.
C : Carrying capacity (konstan).
η : tingkat pematangan nyamuk aquatik ke nyamuk dewasa per hari k : fraksi nyamuk betina menetas dari semua telur
Dari gambar 3.2 diatas memperlihatkan bagaimana penyebaran virus DBD antara pejamu dan vektor. Pada populasi manusia semua kelahiran (λh) masuk kedalam susceptible (Sh). Sub populasi manusia rentan (susceptible) akan ber- pindah ke sub populasi terinfeksi (Ih). Pada sub populasi terinfeksi ini individu bisa dinyatakan dapat menularkan virus dengue. Kedua sub populasi akan meng- alami adanya kematian (µh). Kemudian individu akan mengalami penyembuhan dan akhirnya sub populasi terinfeksi akan berpindah ke sub populasi sembuh (Rh).
Pada populasi nyamuk semua nyamuk fase akuatik (Am) masuk kepada nyamuk rentan (Sm), nyamuk rentan ini akan berpindah ke sub populasi ter- inveksi (Im) jika menggigit manusia terinfeksi (Ih). Dalam hal ini nyamuk ti- dak dimasukkan dalam kelompok terpapar, karena setiap nyamuk yang sudah menggigit manusia akan terbuka menjadi terinfeksi dan tidak akan mengalami kesembuhan, akan tetapi akan menjadi nyamuk terinfeksi yang siap menyebark- an virus dengue pada manusia. Nyamuk terinfeksi tidak akan pernah mengalami kesembuhan.
Untuk membuat model pada epidemiologi DBD dengan memperhatikan fase akuatik pada nyamuk Aedes aegypti dengan melihat interaksi antara pejamu (host) dan nyamuk (vektor) dari diagram kompartemen di atas dapat diartikan sebagai berikut :
Laju pertumbuhan manusia rentan (Sh) meningkat dengan adanya jumlah kelahiran populasi manusia sebesar λhNh berkurang dengan adanya kematian alami (µh) dan proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi. Da- lam hal ini λh = µh. Proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rent- an (θh). Nilai peluang ini diperoleh dari perkalian antara peluang transmisi virus dari nyamuk terinfeksi ke manusia rentan dengan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi (b). Hal ini dapat ditulis dengan :
dSh
dt = µhNh −bθhIhSh
Nh − µhSh (4.1)
Laju pertumbuhan manusia terinfeksi (Ih) meningkat dengan adanya pro- porsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi, berkurang dengan ada- nya faktor kematian (µh) dan proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia sembuh, ditulis:
dIh
dt = bθhIhSh
Nh − ρhIh − µhIh (4.2)
Laju pertumbuhan manusia sembuh (Rh) meningkat dengan adanya pro- porsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh dan berkurang dengan adanya faktor kematian, ditulis
dRh
dt = ρhIh− µhRh (4.3)
Laju pertumbuhan nyamuk dalam fase akuatik (Am) dipengaruhi oleh ting- kat rata-rata oviposisi, proporsi terlahir nyamuk betina,proporsi perpindahan nyamuk oviposisi ke nyamuk rentan dan kematian alami dari nyamuk fase aku- atik, ditulis :
dAm
dt = kqm(1 −Am
C )(Sm+ Im) − ηAm− µaAm (4.4)
Laju pertumbuhan nyamuk rentan (Sm) dipengaruhi oleh jumlah perpin- dahan nyamuk akuatik, faktor kematian dan proporsi perpindahan nyamuk rent- an ke nyamuk terinfeksi, ditulis :
dSm
dt = ηAm− bθmIhSm
Nh − µmSm (4.5)
