Teori Peluang. Dr. Akhmad Rizali

Teori Peluang

Dr. Akhmad Rizali

Peluang

• Peluang atau probabilitas: ukuran ketidakpastian dari suatu kejadian • Segala sesuatu yang ada di dunia ini

mengandung ketidakpastian, seperti cuaca, 

hasil panen, keadaan ekonomi, harga pupuk, 

nilai tukar rupiah, dsb

• Ruang contohadalah semua kemungkinan hasil suatu percobaan.  

• Beberapa percobaan suatu fenomena, akan menyusun variasi dalam hasil atau

outcomenya.  

• Setiap kemungkinan hasil dari suatu ruang contoh disebut unsur, anggota ruang contoh atau titik contoh. 

Ruang Contoh

• Kejadian (event) adalah sebaran himpunan bagian dari ruang contoh.  

• Kejadian sederhana, bila dapat dinyatakan sebagai sebuah himpunan yang terdiri dari satu titik contoh, sedang kejadian majemuk merupakan gabungan beberapa kejadian sederhana.

• Peristiwa bertemunya kita dengan seorang petani di desa Jatirejo

• Makin tinggi frekuensi, makin besar peluang untuk bertemu dengan satu orang dari kelas itu

• Hubungan antara kejadian dan ruang contohnya dapat digambarkan dengan Diagram Venn

Contoh kejadian

B

C

A

S

Diagram

 

Venn:

 

Kejadian

 

dan

 

ruang

 

Operasi

 

Himpunan

• Gabungan (Union)

AUB = { x I x anggota A atau x angota B}

• Irisan (intersepsi) A∩B = { x I x Є A dan x Є B } • Komplemen AC _{= { x I x bukan anggota A}} B

Operasi

 

himpunan

B

A

A

S _S

A

AUB  A∩B 

• Ruang contoh berisi titik‐titik contoh

• Kita akan dapat memecahkan masalah peluang dengan mencacah banyaknya titik dalam ruang contoh tanpa mendaftar dulu unsur‐unsurnya.  

• Seringkali kita mempunyai ruang contoh yang 

unsurnya adalah semua kemungkinan susunan kelompok benda.  

• Atau mungkin kita bertanya berapa banyak urutan yang mungkin, bila kita mengambil 2 kupon lotre dari 20 kupon.  

• Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda disebut

permutasi

Mencacah titik contoh

Permutasi

 

• Banyaknya permutasi n benda adalah n! (n faktorial)

 Contoh : huruf a, b, c mempunyai (3) (2) (1) = 6 permutasi

 Huruf a, b, c, d mempunyai 4! = 4.3.2.1 = 24

• Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda berbeda adalah

n!

nPr = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Contoh

• Seorang penyuluh pertanian lapangan, ingin menjadwal 3 kali kunjungan ke 3 desa

terpencil.  Dia hanya mempunyai 5 hari kerja untuk itu, senin sampai jumat.  Berapa banyak cara yang mungkin? 

• Jawab : Dari soal tersebut n = 5 (senin, selasa, 

rabu, kamis, jumat) dan r = 3 (kunjungan ke 

desa 1, 2 dan 3),maka 

• 5P3 = 5!/(5‐3)! = 5.4.3 = 60. 

• Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n  ‐ 1)!

• Contoh, berapa kemungkinan 5tanaman 

cemara kipas dapat ditanam melingkar? Jawab 

(5‐1)! = 24 cara.  

Kombinasi

 

• Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui banyaknya cara mengambil r benda dari n benda tanpa memperhatikan urutannya.  

• Pengambilan demikian disebut kombinasi.  

• Kombinasi membuat sekatan dengan 2 sel.  Satu sel berisi r benda yang dipilih dan sel yang lain berisi n ‐

r benda yang tidak terpilih.

• Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang 

berbeda, adalah

n!

 C(n r)   = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ r! (n ‐r)!

Contoh

A family dinner special at a local restaurant 

allows the family to order one entrée for each 

person from a list of 12 entrées. If no 

repetition is allowed, how many different 

ways could a family of 5 order dinner?

•

Peluang suatu kejadian diperoleh dari

frekuensi tiap kelas dibagi dengan total 

frekuensi

•

Peluang merupakan ukuran besarnya

kemungkinan terjadinya suatu kejadian

dan karenanya juga

 

disebut

frekuensi

nisbi (relatif)

 



ingat distribusi

frekuensi

Peluang suatu kejadian

Contoh

 

peluang

• Misal : n buah benda dapat diambil dengan peluang yang sama besar dan a buah benda dapat menimbulkan kejadian A, maka peluang terjadinya A.



P(A)

 

=

 

a/n

 yaitu banyaknya benda yang menimbulkan

kejadianAdibagi banyaknya semua benda

Contoh

 

peluang

• Dalam satu kantong terdapat 2 kelereng

hitam (H), 3 kelereng putih (P) dan 5 kelereng merah (M).   A adalah kejadian terambil

kelereng, H/P/M.

 Peluang terambil kelereng hitam : P(H) = 2/10

 Peluang terambil kelereng putih : P(P) = 3/10

 Peluang terambil kelereng merah : P(M) = 5/10

Rumus

‐

rumus

 

Peluang

• Peluang (A atau B) = P(AUB) = P(A) + P(B), A 

dan B saling asing

• P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B), A dan B tidak saling asing

B

B

A

A

Contoh

P(A) = 1/3 P(B) = 1/2 A∩B = { } Hitunglah berapa P(B∩AC_)? Karena B∩AC_{= B, maka P(B∩A}C_{) = P(B) = 1/2}

Peluang

 

Bersyarat

• Peluang bersyarat terjadi karena adanya informasi tambahan

• Sebagai contoh, kita melihat peluang seorang mahasiswa mendapat nilai A dalam ujian statistika

• Bila diketahui bahwa seseorang yang kita lihat adalah laki‐laki, mungkin peluang untuk

Rumus

 

peluang

 

bersyarat

• Umumnya : P(B/A) ≠P(B) dan P(A/B) ≠ P(A)

• Dalam hal P(B/A) = P(B) dan P(A/B) = P(A), maka A 

dan B disebut independen (saling bebas)

• Dua kejadian A dan B disebut independen, bila

 P(A/B) = P(A) atau

 P(B/A) = P(B) atau

 P(A∩B) = P(A) . P(B)

• Jadi : P(A∩B) = P(A) . P(B) independen P(A∩B) = P(A) . P(A/B) dependen

Contoh

• Hubungan bobot buah mangga dan kandungan vitamin C 

dinyatakan dalam Tabel 5.1, dimana A adalah kandungan vitamin C 

dan B adalah bobot buah mangga.

Mangga terlalu tua Mangga tua Mangga muda Total peluang Vit C tinggi 0,10 0,08 0,02 0,20 Vit C rendah 0,15 0,45 0,20 0,80 Total peluang 0,25 0,53 0,22 1,00

Diketahui bahwa peluang vitamin C tinggi = 0,2

Latihan dan diskusi

1.  Match the proposed probability of A with the correct verbal  description (the latter may used more than once)

No Probability Verbal description 1 0 i. Very like happen

2 -0,3 ii. As much chance of occurring as not 3 0,9 iii. May occur but by no means certain 4 0,5 iv. An incorrect assignment

2. Probability and odds.  The probability of an event is often expressed 

in term of odds.  Specifically, when we say that the odds are kto w

that an event will occur, we mean that probability of the event is 

k/(k+w). For instance, “the odds are 4 to 1 that candidate purple 

corn will win” mean that P(purple corn win) = 4/5 = 0,8.  Express the 

following statement in term of probability :

 The odds are 2 to 1 that there will be fair weather tomorrow

 The odds are 5 to 2 that the city council will delay the funding of new sports  arena

3.  Berapa banyak permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf‐huruf dalam kata cantik? handsome?  Berapa banyak di antara permutasi itu yang dimulai dengan huruf "n"?

4. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang  berbeda ditanam membentuk melingkar?

5. Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jambu dan 2  nangka sepanjang batas kebun apabila kita tidak membedakan antara tanaman‐tanaman yang sejenis.

6. Dari 4 apel manalagi, 5 rome beauty, dan 6 anna, berapa banyak kemungkinan terambil masing‐masing jenis apel? 7.  Suppose the sample space of an experiment has 6 flower 

colour outcomes.  Two events are given as A = {k1,k5,k6} and B  = {k2, k4, k5}.

8. Suppose the sample space of an experiment has 6 flower  colour outcomes.  Two events are given as A = {k1,k5,k6} and  B = {k2, k4, k5}.

 Draw a Venn Diagram and exhibit the events A and B

 Determine the compositions of the following events: Ac_, 

AB, AUB, ABc_and Ac_B

9. Referring to a Venn Diagram verify the following statement:

 The event AUB includes the event AB

 (AB) U (ABc_) = A

 AUAc_= S

10. For two experiment field events A and B, the following probabilities 

are given : P(A : find insect) = 0,5, P(B : temperature 20o_{C) = 0,25 and} 

P(A/B) = 0,8. Use the appropriate law of probability to calculate:  P(Ac₎

 P(AB)  P(AUB)

11. Of the yardlong bean experiment reporting that the leave symptoms 

of mosaic and aphid attack, 25% have mosaic symptom, 50% have 

aphid and 10% have both.

 What is the probability that a plant selected a random has either 

mosaic symptom, aphid attack or both of them?