Peluang Suatu Kejadian

PELUANG SUATU KEJADIAN 1. Peluang Komplemen Kejadian 2. Peluang Kejadian Majemuk 3. Peluang Kejadian Bersyarat

Ingat Kembali,

Konsep peluang suatu kejadian yang telah kalian pelajari di kelas X,

Misalkan ruang sampel dari suatu percobaan adalah S. Masing-masing anggota dari ruang sampel S mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Jika A adalah suatu kejadian A, denggan A⊆ S, Peluang kejadian A, yaitu P(A) dapat dirumuskan

𝑃(𝐴) =^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

Dengan 𝑛(𝐴) banyak anggota kejadia A dan 𝑛(𝑆) banyak anggota ruang sampel S.

Contoh:

Pada pelemparan sebuah dadu, tentukan : a. peluang muncul mata dadu berangka ganjil

b. peluang muncul mata dadu berangka kurang dari 3 jawab:

Ruang sampel pelemparan sebuah dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sehingga n(S) = 6 Misal A adalah kejadian muncul mata dadu berangka ganjil

maka A = {1, 3, 5}, sehingga n(A) = 3.

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) =3

6=1 2

Misal B adalah kejadian muncul mata dadu berangka kurang dari 3 maka 𝐵 = {1, 2}, sehingga 𝑛(𝐵) = 2.

𝑃(𝐵) =𝑛(𝐵) 𝑛(𝑆) = 2

6=1 3

Dengan cara yang sama kita akan mempelajari peluang suatu kejadian yang diselesaikan dengan kaidah pencacahan (permutasi/kombinasi)

Contoh:

Suatu kota berisi 2 kelereng biru dan 3 kelereng hijau. Diambil secara acak 3 bola sekaligus dari dalam kotak tersebut. Tentukan peluang ketiga kelereng yang terambil terdiri atas

a. 2 biru dan 1 hijau;

b. Ketiganya berwarna hijau Jawab:

• Misal A = kejadian ketiga kelereng yang terambil terdiri atas 2 biru dan 1 hijau.

Banyak cara terambil kelereng 2 dari 2 biru dan 1 dari 3 hijau adalah 𝐶₂². 𝐶₁³ = 2!

2! . (2 − 2)! . 3!

1! . (3 − 1)!= 3 𝑐𝑎𝑟𝑎.

Adapun banyak cara pengambilan 3 kelereng dari seluruh kelreng dalam kotak (2 kelereng biru + 3 kelereng hijau = 5 kelereng) adalah

𝐶₃⁵ = 5!

3! . (5 − 3)! = 10 𝑐𝑎𝑟𝑎

Dengan demikian, peluang ketiga kelereng yang terambil terdiri atas 2 biru dan 1 hijau 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) =𝐶₂² . 𝐶₁³ 𝐶₃⁵ = 3

10

• Misal B = kejadian kelereng yang terambil ketiganya berwarna hijau.

Banyak cara terambil kelereng ketiga-tiganya berwarna hijau adalah 𝐶₃³. 𝐶₀² = 3!

3! . (3 − 3)! . 2!

0! . (2 − 0)!= 1 𝑐𝑎𝑟𝑎.

Adapun banyak cara pengambilan 3 kelereng dari seluruh kelreng dalam kotak (2 kelereng biru + 3 kelereng hijau = 5 kelereng) adalah

𝐶₃⁵ = 5!

3! . (5 − 3)! = 10 𝑐𝑎𝑟𝑎

• Dengan demikian, peluang ketiga kelereng yang terambil semuanya berwarna hijau, ditulis 𝑷(𝑩) =𝒏(𝑩)

𝒏(𝑺) =𝑪_𝟑^𝟑. 𝑪_𝟎^𝟐 𝑪_𝟑^𝟓 = 𝟏

𝟏𝟎

1.

Peluang Komplemen Kejadian

jika 𝑃(𝐴^𝑐) adalah peluang kejadian komplemen A dan P(A) adalah peluang kejadian A, berlaku,

𝑷(𝑨^𝒄) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)

Contoh:

Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Dari dalam kotak itu diambil 2 kelereng sekaligus. Tentukan peluang kedua kelereng yang terambil bukan berwarna putih.

Jawab:

Misal A = kejadian terambil kelereng berwarna putih.

Perhatikan, banyak cara pengambilan 2 kelereng putih dari 3 kelereng putih yang ada adalah

𝐶₂³ = 3!

2! . (3 − 2)!= 3 𝑐𝑎𝑟𝑎

Banyak cara pengambilan 2 kelereng dari seluruh kelreng dalam kotak 5 kelereng merah + 3 kelereng putih = 5 kelereng) adalah

𝐶₂⁸ = 8!

2! . (8 − 2)! = 28 𝑐𝑎𝑟𝑎 Peluang terambil 2 kelreng putih adalah 𝑃(𝐵) =^𝑛(𝐵)

𝑛(𝑆)=^𝐶23

𝐶₂⁸ = ³

28

Olehkarena itu, peluang terambilnya kedua kelereng bukan warna putih adalah 𝑃(𝐴^𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴)

= 1 − 3 28=25

28

2.

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang suatu kejadian dengan dua atau lebih kejadian yang terjadi.

a. Kejadian saling lepas dan tidak saling lepas (aturan penjumlahan)

“ATAU”

Dua kejadian dikatakan saling lepas apabila kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan/ tidak sekaligus terjadi/pilihan. Sebagai contoh, bila kita melempar sebuah dadu, kita tidak mungkin memperoleh bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus.

Rumus umumnya adalah

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) Contoh:

Dalam sebuah kotak terdapat 8 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Tentukan peluang terambil kelereng merah atau biru pada pengambilan sebuah kelereng dari kotak itu.

Jawab:

Misalkan M adalah kejadian terambil kelereng merah dan B adalah kejadian terambil kelereng biru.

Karena terdapat 8 kelereng merah dan 3 kelereng biru maka 𝑛(𝑀) = 8, 𝑛(𝐵) = 3, 𝑑𝑎𝑛 𝑛(𝑆) = 11. karena kelereng yang diambil hanya 1, tidak mungkin dalam sekali pengambilan mendapatkan kelereng merah dan biru sekaligus. Artinya, 𝑃(𝑀 ∩ 𝐵) = 0.

𝑃(𝑀 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝑀 ∩ 𝐵) = ⁸

11+ ³

11− ⁰

11=¹¹

11= 1

Jadi peluang terambil kelereng merah atau biru pada pengambilan sebuah kelereng adalah 1.

b. Kejadian saling bebas (aturan perkalian) “DAN”

Dua kejadian dikatakan saling bebas apabila peluang kejadian pertama tidak dipengaruhi oleh kejadian kedua, dan sebaliknya peluang kejadian kedua juga tidak dipengaruhi oleh kejadian pertama sehingga dapat terjadi secara “Bersama- sama”

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵).

Sebagai contoh, bila kita melempar dua buah dadu, maka kejadian munculnya bilangan 1 pada dadu pertama (peluangnya 1/6) dan kejadian munculnya bilangan 6 pada dadu kedua (peluangnya juga 1/6) merupakan dua kejadian saling bebas.

Peluang terjadinya dua kejadian tersebut sekaligus adalah 1/36.

3.

Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian disebut kejadian bersyarat apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.

Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi dapat ditentukan dengan rumus berikut.

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) Contoh:

1. Sebuah kubus bernomor dilambungkan ke atas sebanyak satu kali. Tentukan peluang nomor genap dengan syarat muncul kejadian nomor yang merupakan factor dari 6 terlebih dahulu.

Jawab:

Ruang sampel, 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} sehingga 𝑛(𝑆) = 6.

Misal A = kejadian muncul nomor yang merupakan factor dari 6 = {1,2,3,6} sehingga 𝑛(𝐴) = 4.

Dieproleh 𝑃(𝐴) =^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)=⁴

6

Misal B = kejaddian muncul nomor genap = {2,4,6}.

Dengan demikian, 𝐴 ∩ 𝐵 = {2,6} sehingga 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 2. Diperoleh 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =²

6. peluang nomor genap dengan syarat muncul kejadian nomor yang merupakan factor dari 6 terlebih dahulu adalah

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) =

2 6 4 6

=2 4= 1

2

2. Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih, dan setiap bola diberi tanda X atau tanda Y. Berikut komposisi bola-bola yang ada dalam kotak :

Dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X.

Jawab:

Kejadian ini bisa kita pandang sebagai peluang kejadian munculnya bola hitam (kejadian B) dengan syarat bola bertanda X (kejadian X) lebih dahulu.

Terdapat 8 bola bertanda X dari total 11 bola, sehingga peluangnya 𝑃(𝑋) = ⁸

11. Dari 8 bola bertanda X terdapat 5 warna hitam, artinya 𝑛(𝐵 ∩ 𝑋) = 5 sehingga peluangnya 𝑃(𝐵 ∩ 𝑋) = ⁵

11

Peluang warna hitam (B) dengan syarat bertanda 𝑋 ∶ 𝑃(𝐵|𝑋) 𝑃(𝐵|𝑋) =𝑃(𝐵 ∩ 𝑋)

𝑃(𝑋) = 5 11

8 11

= 5 8

Latihan Soal

1. Dua buah dadu dilambungkan bersamaan. Tentukan peluang munculnya mata dadu:

a. berjumlah 10 b. sama

c. berjumlah 13

2. Ada sepuluh ekor kuda berlomba dalam sebuah pacuan. Tiap-tiap kuda diberi nomor 1, nomor 2 sampai dengan nomor 10. Tentukan peluang kuda bernomor 3, 4 dan 7 berturut-turut keluar sebagai juara 1, juara 2 dan juara 3.

3. Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola. 5 berwarna biru, 4 kuning dan 3 putih. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak, tentukan peluang yang terambil :

a. ketiganya biru

b.ketiganya beda warna c. 2 biru dan 1 putih

4. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu.

5. Dua dau dilambungkan secara bersamaan. Tentukan peluang muncul jumlah mata dadu lebih dari 9 dengan syarat dadu pertama muncul mata dadu 5

6. Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih, dan setiap bola diberi tanda X atau tanda Y. Berikut komposisi bola-bola yang ada dalam kotak :

Dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang dari kejadian terambil bola putih bertanda Y.