Matematika komputasi maspeb.com

(1)

KOM PUTASI M ATEM ATIKA

M ATHEM ATICA DAN M ATLAB

(2)

DIII TEKNIK INFORM ATIKA | FM IPA UNS

2

KOMPUTASI MATHEMATIKA

# TUJUAN#

KEBUTUHAN APLIKASI :mathematica dan matlab

1.1 MENGENAL MATHEMATICA

mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CAS,Computer Algebra System) yang mengintegrasikan kemampuan komputasi(simbolik,numerik),visualisasi(grafik),bahasa pemrograman dan pengolahan kata (word prosessing) ke dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan.

sistem matematica terdiri atas 2 bagian :

1. front end : berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut notebook. 2. kernel: komputasi matematiknya

dalam bab ini akan dibahas tentang :

1. mengenal lingkungan kerja 2. aturan dasar syntak mathematica 3. kalkulasi numerik

4. komputasi simbolik 5. list dan matrik

data- - komputasi - - informasi[not number]

a. Diharapkan mahasiswa, dapat mengoperasikan,memilih paket program komputasi matematika yang sesuai (mathematica dan matlab) dengan baik

(3)

3  Cara memulai mathematica:

1. double klik ikon front end mathematica dan kernel akan secara otomatis akan bekerja pada background window mathematica.

2. pada lingkungan kerja windows mathematica terlihat bagian notebook yang terpisah

dari baris menu.

3. bagian sel yang dicetak tebal merupakan "input", hasilnya ditampilkan pada sel

"output".

4. nomor input dan output dinyatakan dengan ln[n] dan out[n], dengan n adalah bilangan

bulat positif

5. kedua lambang "in dan out" disembunyikan melalui kernel --> show In/Out Names

6. Mathematica juga menyediakan banyak pallete yang memudahkan dalam penulisan

operasi operasi, yaitu cukup hanya mengklik tombol tombol yang diperlukan. Pallete

tersebut dapat dimunculkan dengan mengklik file--pallete

(4)

(5)

5

1.3.1 aturan dasar syntaks mathematica.

1. nama nama fungsi built in mathematica dimulai dengan huruf besar, tanpa spasi dan tanpa underscore"_". Jika suatu fungsi terdiri dari 2 kata atau lebih, huruf pertama masing masing kata menggunakan huruf kapital. dapat pula didefinisikan fungsi baru yang sebaiknya dimulai dengan huruf kecil untuk membedakan dengan fungsi built in.

contoh fungsi built-in : Log, ParametricPlot

contoh fungsi baru : MySqrt, myStandartDeviation

2. perintah matemathica bersifat sensitif , sineSINEsin

3. tanda kurung siku [...] menyatakan argumen fungsi, (..) menyatakan pengelompokan

operasi.Kurung kurawal {..} menyatakan list, domain, atau iterator.kurung siku ganda [[...]]

menyatakan indeks suatu list.

(6)

6

yang juga memiliki preseden lebih rendah dari pangkat

b. perkalian yang diawali simbol selain angka harus menggunakan notasi : spasi atau *

c. perkalian angka dan simbul dapat menggunakan simbil spasi, * atau tanpa spasi

contoh1:

benar : c u, c*u, 4 u, 4u, 4*u, 4(u) [praktekkan]

(X) salah : cu, u2

1.3.2 memasukkan dan mengevaluasi input

setelah menuliskan perintah atau operasi pada sel, tekan shift dan enter lalu lepas bersama sama. cara yang lebih ringkas adalah dengan tekan enter di bagian numerik. karena

didalam sel notebook, enter hanya berfungsi sebagai pemindah kursor.

Contoh 2:

General :: spell1 : Possible spelling error : new sym

sin 3

(7)

7

cari penyelesaian, untuk x=pi:

a. cos 5x b. tan 2x

c. cos 5x+tan 2x

MENGGAMBAR GRAFIK:

 Plot[Sin[x],{x,0,Pi}]

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

 Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];

1 2 3 4 5 6

-1 -0.5

(8)

8 Untuk beberapa fungsi matematika bisa dituliskan dalam satu

perintah saja, yaitu:

1.3.3 mengacu ke hasil sebelumnya

Mathematica mampu mengingat semua input dan output pada suatu sesi.untuk mengacu ke hasil sebelumnya, dapat digunakan tanda persen (%). tanda persen tunggal mengacu ke output trakhir, tanda %% mengacu ke output kedua terakhir, out[n] : mengacu ke out[ke-n].

Sebagai contoh:

(9)

9

LAKUKAN :

1.3.4 Bekerja di dalam notebook

Mathematica notebook dapat digunakan sebagai lembar kerja untuk memasukkan input komputasi maupun pengolah kata. sebuah notebook memiliki grup grup sel yang berdiri sendiri maupun sebuah hirarki. sebuah grup sel input mislanya, merupakan tempat masukan komputasi dan hasilnya muncul pada grup sel output.

Sebuah dokumen dapat pula diorganisasikan ke dalam title, subtitle, subsubtitle, section,

subsection, sub subsection.

keseluruhan grup dapat dipilih melalui menu : format--> style

contoh 4:

TEKNIK INFORMATIKA FMIPA UNS

(10)

10

1.1.3 BEBERAPA FUNGSI MATEMATIKA

Mathematica memiliki fungsi yang sangat banyak . gambar 1.7 adalah beberapa fungsi di dapal matematika

contoh 6:

I.KOMPUTASI MATEMATIKA

1.1 pendahuluan

mempelajari tentang aturan penulisan

Two important points about functions in Mathematica_.

 Sangatlah penting untuk selalu ingat bahwa dalam mathematica setiap instruksi harus

di dalam bracket atau [ ]

 Parentheses in Mathematica are used only to indicate the grouping of terms, and never

to give function arguments.

Log[8,4]

Log[8.4]

2.12823 2

(11)

The presence of an explicit decimal point tells Mathematica to give an approximate numerical |HITUNG nilai 3029...1. Computing factorials like this can give you very large numbers.

You should be able to calculate up to at least 2000! in a short time (Wowww…)

30!

265252859812191058636308480000000

Nilai ini bisa dituliskan dalam bentuk yang lebih simple/numeric.

30! //N

N[30!]

Beberapa nilai penting dalam matematika:

Contoh penggunaan :

Sin[20 Degree] //N

1.4 PENULISAN EKSPRESI

1.4.1 SIMBUL

a.Simbul dituliskan dengan: guruf, rangkaian huruf-angka, karakter, lambang tertentu b. Semua simbul di awali dengan huruf besar atau diawali dengan $

c. contoh : simbul ( abg,u5ma, ca, Sin, Log, Mod)

bukan simbul (4u)

2.652531032

(12)

Tanpa perintah tertentu pula, matematika akan secara otomatis mengevaluasi ekspresi bilangan bulat, rasional, dan kompleks secara eksak.

Contoh 8:

 (3/4)(1/5)



NUMERIK"N"

evaluasi hasil secara numerik, yang merupakan hampiran dari ekspresi tersebut.

Contoh 9:

1.4.3 STRINGS

Karakter String adalah karakter yang ditampilkan dengan tanda :" "

(13)

13

Kustomisasi text pada notebook:

Colors[%,RGBColor[1,0,0]]

1.4.4 PENGISIAN EKSPRESI

1.4.5 PENGGABUNGAN EKSPRESI (Pembuatan Variabel)

dalam penggabungan ekspresi bisa dituliskan dengan kebawah dalam satu group atau kesamping dengan pemisahan tanda kutip.

Contoh 11:

1. apabila tanda "" tidak ditampilkan dalam tampilan "Praktikum Komputasi Matematika"

Praktikum Komputasi Matematika

2. Apabila "" ditampilkan dalam rangkaian kalimat "\"Praktikum Komputasi Matematika\""

"Praktikum Komputasi Matematika"

3a+b

a



4; b



a

(14)

14

ekspresi dievaluasi bisa juga dnegan menggunakan : "/."

1.5 OPERATOR

1.5.1 operator ARITMATIKA

Contoh 12:

ekspresix2x1,

(15)

15

contoh:

5<7&&34

True

(16)

16

1.2.1. Mengenal Matlab

Matlab adalah bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk komputasi teknis. Bahasa ini mengintegrasikan kemampuan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam sebuah lingkungan yang tunggal dan mudah digunakan. Matlab memberikan sistem interaktif yang menggunakan konsep array/matrik sebagai standar variabel elemennya tanpa membutuhkan pen-deklarasi-an array seperti pada bahasa lainnya. Dalam lingkungan pendidikan, Matlab menjadi alat pemrograman standar bidang Matematika.

1.2.2. Bekerja dengan Matlab

Dalam melakukan pekerjaan pemrograman menggunakan bahasa Matlab, anda dapat menggunakan salah satu cara yaitu :

Cara #1 :

Dengan menggunakan window Command Window. Window ini berfungsi sebagai

penerima perintah dari pemakai untuk menjalankan seluruh fungsi-fungsi yang disediakan oleh Matlab.Misalnya : Untuk membuat program, perintah-perintah diketikkan pada prompt Matlab dalam command window seperti yang ditunjukkan pada Gambar (1.1).

(17)

17

Gambar 1.2 Cara Penulisan pada Command W indow

Cara #2 :

Cara selanjutnya adalah dengan menggunakan File M. Kelebihan cara ini dibanding cara sebelumnya adalah kemudahan untuk mengevaluasi perintah secara keseluruhan. Gambar (1.2) menunjukkan contoh pembuatan program dengan menggunakan file M.

(18)

18

Beberapa hal penting yang harus diperhatikan dalam penulisan sintak adalah :

1.1.Penamaan variabel bersifat case sensitive

1.2.Panjang nama variabel tidak dapat melebihi 31 karakter 1.3.Penamaan variabel harus selalu diawali dengan huruf.

1. Variabel

Pada Matlab, tipe data yang dikenal hanya ada dua yaitu Numeric dan String. Ada beberapa cara penulisan variabel pada Matlab yang dapat digunakan sesuai jenis data yang ingin diolah, yaitu :

1. Data Numerik Tunggal :

1.1.1. Cara penulisan

Gambar 1.4. Tampilan penulisan variable data numeric tunggal

2. Data Numerik Berdimensi Banyak (Array/Matrik)

(19)

19

Gambar 1.5. Tampilan penulisan variable data numeric berdimensi

banyak

1.1.2. Cara pengaksesan

Gambar 1.6. Tampilan pengaksesan variable data numeric berdimensi

(20)

20

Gambar 1.7. Tampilan pengaksesan elemen baris tertentu

Task :

1.1.2.1. Bagaimana pengaksesan dengan kolom tertentu?? Let’s try!

1.1.2.2. Bagaimana mengakses untuk baris dan kolom sekaligus?

3. Data String/Teks :

1.1.1. Cara penulisan

(21)

21

Operasi matematika dalam pemrograman Matlab sangat sederhana, sama halnya dengan memakai kalkulator biasa. Berikut adalah tabel operator matematika yang digunakan dalam pemrograman Matlab.

Gambar 1.9. Contoh operasi matematika

(22)

22

Kelebihan lain dari pemrograman Matlab adalah kemampuannya dalam mengolah data bilangan kompleks tanpa membutuhkan deklarasi variabel khusus untuk itu. Berikut adalah cara mendeklarasikan variabel untuk bilangan kompleks.

Gambar 1.11. Contoh operasi bilangan kompleks

4. Fungsi Umum Matematika

Tabel () menunjukkan fungsi-fungsi matematika umum yang sering digunakan.

(23)

23

1. tuliskan Text sesuai tulisan dibawah ini:

KOMPUTASI MATHEMATIKA

Mata Kuliah Komputasi Matematika menggunakan "Software Mathematica versi 5". Dimana dengan software ini saya akan lebih bisa memahami mata kuliah sebelumnya serta mata Kuliah yang berhubungan dengan Mk ini.

Dibuat oleh : Nama mahasiswa dan NIM

2. BUATKAN PLOT(dengan matematica dan matlab) :

a. sin 2x, untuk x dari -π sampai π b. sin x, untuk x dari -π sampai π

3. gunakan operator logika untuk soal berikut, dan selidiki kebenarannya

4. Definisikan fungsi berikut:

a. 451 dan 422

b.105 atau 5.640

(24)

BAB II

KALKULUS

Tujuan

Setelah mengikuti praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat melakukan operasi-operasi hitung yang berkaitan dengan kalkulus dengan menggunakan paket program matematica dan matlab dengan baik, dan dapat mengembangkan untuk operasi hitung yang lebih kompleks.

kompetensi :

2.1Fungsi

2.2฀Grafikfungsi 2.3Limit

2.4฀Kekontinuan 2.5TurunanFungsi 2.6Integral

(25)

2.1 Fungsi

2.1.1 Pendefinisian Fungsi : = (SetDelay)

Lambang " : = " (SetDelay) menyatakan bahwa suku di sebelah kanannya tidak dievalusi saat pendefini-sian, tetapi baru dievaluasi setiap saat suku di sebelah kirinya (fungsi f) dipanggil.

Contoh:

Fungsi f akan menghasilkan pangkat tiga dari argumennya

= ( Set )

Contoh:

Coba fikirkan apa beda penggunaan SetDelay dan Set ? Clear

Seringkali definisi fungsi atau ekspresi mengalami modifikasi. Nilai maupun definisi fungsi atau ekspresi sebelumnya dapat dihapus dari memori dengan menggunakan perintah Clear.

fx_:x3

f2 fa f1

fx_x22x

(26)

Contoh:

Perintah Clear[ f, x ] berikut akan menghapus nilai maupun definisi f dan x yang mungkin sudah pernah didefinisikan sebelumnya.

Clear[f,x] f[x_]:=2x+3 f[a+b]

f[1]

/ ; (Condition)

Simbul " / ; " dapat digunakan untuk menyatakan domain fungsi. Contoh:

Berikut ini pendefinisian suatu fungsi susun beserta grafiknya. f[x_]:=x/;0฀x<1

f[x_]:=1/;1฀x<2 f[x_]:=3-x/;2฀x฀3 Plot[f[x],{x,0,3}]

2.1.2 Fungsi Matematik

Berikut ini diberikan beberapa fungsi matematik yang penting.

Sqrt [ x ] : akar kuadrat ( )

Exp [ x ] : eksponensial ( )

Log [ x ] : Logaritma asli ( x )

(27)

Sin [ x ], Cos[ x ], Tan [ x ] : fungsi-fungsi trigonometri ( argumen dalam radian) Round [ x ] : bilangan bulat terdekat ke x

Max [ x, y, ... ] , Min [ x, y, ... ] : maksimum / minimum dari x, y, ... Floor [ x ] : bilangan bulat terbesar yang ฀ x

Ceiling [ x ] : bilangan bulat terkecil yang ฀ x

2.1.3 Penyelesaian Persamaan

Mathematica menggunakan tanda " ==" (Equal) pada persamaan yang akan dicari penyelesaiannya.

Contoh-contoh: Solve[x^2฀9,x] Solve[Sin[x]฀1,x] NSolve[x^2฀10,x] NSolve[x^2+x-2฀0,x]

Coba fikirkan apa perbedaan penggunaan Solve dan NSolve ?

Solve juga dapat digunakan untuk menentukan solusi persamaan simultan. Perhatikan dua cara berikut:

Solve[{x฀1+2y,y฀3+2x},{x,y}]

pers={x฀1+2y,y฀3+2x};Solve[pers,{x,y}]

(28)

2.2 Grafik Fungsi

2.2.1 Grafik Dua Dimensi 2.2.1.1 Plot

Cara termudah untuk menampilkan grafik fungsi dalam dua dimensi adalah dengan perintah Plot. Perintah berikut akan menghasilkan grafik fungsi f dengan domain ( ,

)

Contoh:

Grafik fungsi f(x) = dengan domain -1฀x฀1.

Grafik 2 fungsi pada domain yang sama. Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-฀,฀}]

2.2.1.2 Opsi dan Gaya Tampilan Opsi Grafik

Tampilan grafik dapat diatur sesuai dengan yang diinginkan, dengan memberikan opsi tertentu. Setiap opsi dituliskan dalam sintaks:

Nama Option ฀ nilai

Jika terdapat lebih dari satu opsi, masing-masing opsi dipisahkan dengan tanda koma.

Plot



f



x



,



x, x

min

, x

max



Contoh:

(29)

Contoh:

Grafik f(x) = dengan domain -1฀x฀1 berikut diberi label, garis grid dengan bingkai, dan juga interval tampilan x ฀ (-2, 2) dan y ฀ (-1, 2). Untuk keempat keperluan tersebut, berturut-turut dinyatakan dengan opsi PlotLabel, GridLines, Frame,dan PlotRange.

Gaya Tampilan Grafik

Opsi grafik yang digunakan untuk mengatur gaya tampilan grafik adalah PlotStyle. Dengan opsi ini, dapat diatur mengenai warna ( RGBColor [ . . . ]), jenis garis ( Dashing[ . . . ]), ketebalan garis (Thickness[ . . . ]), dll.

Contoh:

Grafik sin(x) ditampilkan dengan ketebalan garis 1% dari lebar grafik, sedangkan grafik cos(x) ditampilkan dengan garis terputus-putus dan panjang 2% dari lebar grafik. Kedua grafik tersebut ditampilkan pada domain -3 ฀ x ฀ 3.

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,3,3},PlotStyle฀{Thickness[0.01], Dashing[{0.02}]}];

Ada beberapa cara untuk memberikan efek warna. Perintah RGBColor[ r , g , b] menyatakan warna yang tersusun dari r , g, dan b persen warna merah, hijau, dan biru. Misalnya: RGBColor[1,0,0] adalah warna merah, sedangkan RGBColor[1,0,1] adalah warna

Plotx2,x,1, 1, PlotLabel"Grafik fxx2", GridLinesAutomatic,

(30)

ungu (campuran warna merah dan biru). Parameter r, g , dan b harus bernilai mulai dari 0 hingga 1.

Contoh:

Grafik , - , dan x digambarkan masing-masing dengan warna ungu, merah, dan hijau. Plot[{x^2,x^2,x},{x,3,3},PlotStyle฀{RGBColor[1,0,1],RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0 ]}];

2.2.2 Grafik Tiga Dimensi

Perintah untuk menampilkan grafik permukaan pada ruang berdimensi tiga menggunakan Plot3D. Argumennya berupa fungsi dua variabel beserta masing-masing domainnya.

Contoh:

Berikut ini ditampilkan grafik fungsi z = sin( ) dengan domain -฀ ฀ x ฀ ฀ dan -฀ ฀ y ฀ ฀, dan meberikan label x , y, dan z pada masing-masing sumbunya.

LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 4...(1 POIN)

2.3 Limit

2.3.1 Limit Fungsi

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati nilai tertentu, misal , Mathematica menyediakan perintah dengan sintaks:

(31)

Limit [ f , x ฀ ]

Contoh:

Berikut ini plot fungsi yang diberi warna merah dengan domain -2 ฀ x ฀ 2, kemudian ditentukan nilai limit fungsi tersebut untuk x ฀ 0 dan x ฀ 1

Clear[f,x]

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:

Limit[f[x],x฀0] Limit[f[x],x฀1]

2.3.2 Limit Kiri dan Limit Kanan

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati dari arah bawah (kiri), digunakan sintaks:

Limit [ f , x ฀ , Direction ฀ 1]

Jika x mendekati dari arah atas (kanan), digunakan sintaks: Limit [ f , x ฀ , Direction ฀ -1]

Plotx22x3,_x,2, 2_, PlotStyle_RGBColor_1, 0, 0_

Limitx22x3, x0

Limitx22x3, x1

fx:x22x3

x0

(32)

Contoh:

Fungsi f(x) = 1/x ditentukan nilai limitnya untuk x mendekati = 0 dari kiri maupun kanan.

Limit[1/x,x฀0,Direction฀1] Limit[1/x,x฀0,Direction฀-1]

Jika di cek dengan melihat grafiknya, terlihat sebagai berikut: Plot[1/x,{x,-3,3}]

Terlihat nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan, menurut kuliah teori, apa kesimpulannya ?

Sekarang , jika fungsi f(x) = ditentukan limit kiri/ kanannya untuk x mendekati 1, sebagai berikut:

Terlihat limit kiri = limit kanan , di dalam kuliah teori, diperoleh kesimpulan apa ?

2.4 Kekontinuan

Dalam kehidupan sehari-hari, istilah kontinu digunakan untuk menjelaskan suatu proses yang berjalan tanpa terputus oleh gangguan. Dalam matematika istilah kontinu mempunyai arti yang serupa dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Kekontinuan fungsi di satu titik.

x0

x22x3

Limitx22x3, x1, Direction1

(33)

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan kontinu di a jika f(x) = f(a).

Catatan: Jika fungsi f kontinu di a, maka grafik fungsi f merupakan suatu kurva yang tidak terputus di sekitar a.

Contoh:

Diketahui f(x) = | x+2 | x. Berikut ini diselidiki kekontinuan fungsi f di x = -2. Clear[f]

f[x_]:=Abs[x+2] x f[-2]

Diperoleh f (-2) = 0. Selanjutnya diselidiki nilai limitnya dengan melihat nilai limit kiri dan limit kanannya.

Limit[f[x],x฀-2,Direction฀1] Limit[f[x],x฀-2,Direction฀-1]

Terlihat nilai limit kiri = nilai limit kanan = 0, sehingga disimpulkan f(x) = 0. Dari

hasil-hasil di atas, diperoleh f(x) = f(-2), sehingga menurut definisi di atas, f kontinu di x = -2.

Terlihat pada grafik, fungsi f tersambung di sekitar x = -2. Plot[f[x],{x,-5,3}]

Konsep kekontinuan di satu titik dapatdiperluas menjadi kekontinuan fungsi pada selang.

lim x2

(34)

Definisi: Kekontinuan pada selang.

1. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a, b) jika fungsi f kontinu di setiap titik x ฀ (a, b).

2. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a, b] jika fungsi f kontinu pada (a, b)

dan f(x) = f(a) serta f(x) = f(b).

Contoh: Diketahui fungsi f(x) = . Berikut ini ditentukan nilai-nilai x sehingga fungsi f kontinu.

Daerah definisi fungsi f, yaitu , adalah himpunan semua nilai x sehingga f(x0 bernilai

real, yang dipenuhi jika x + - 1 ฀ 0 .

Dengan menggunakan Mathematica, dipanggil dulu paket program InequalitySolve pada folder Algebra.

<<Algebra`InequalitySolve`

Diperoleh = (0,฀). Selanjutnya dilihat nilai f(a) untuk setiap a ฀ (0,฀).

f[a]

InequalitySolvex 2

x 10, x

Df

Clearf

fx_:x 2

(35)

Kemudian ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x฀a. Limit[f[x],x฀a]

Diperoleh f(x) = = f(a). Jadi f kontinu pada selang (0, ฀). Dari grafik terlihat fungsi f tersambung (kontinu) pada selang (0, ฀).

Plot[f[x],{x,0,10}]

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 5b, 6, 7a dan 7b...( 4 POIN)

2.5 Turunan Fungsi

Untuk menentukan turunan suatu fungsi, Mathematica menyediakan perintah dengan D

Contoh:

Berikut ini ditentukan turunan fungsi f(x) = + 2x - 1 terhadap variabel x

Cara lain menentukan turunan dapat menggunakan tanda '. Untuk cara ini, fungsi f perlu didefinisikan lebih dahulu.

Clear[f,x]

f'[x]

Dengan menggunakan perintah D, sebagai berikut: D[f[x],x]

Cara lain untuk menentukan turunan fungsi, dengan mengklik simbul pada Palletes

(36)

Untuk menentukan turunan tingkat ke-n , digunakan perintah dengan sintaks : D [ f , {x , n}]

Clear[f,x]

D[f[x],x] D[f[x],{x,2}]

2.6 Integral Fungsi

2.6.1 Integral Tak Tentu

Untuk menentukan nilai integral tak tentu suatu fungsi f , Mathematica menyediakan perintah dengan sintaks:

Integrate [ f , x ]

Selain itu, juga dapat mengklik simbul ฀฀฀฀ pada Palletes. Contoh:

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:

Integrate[f[x],x] ฀f[x]฀x

2.6.2 Integral Tertentu

_tt22t

fx_:x32x2x

Integratex22x1, x  x22x1x

(37)

Untuk menentukan nilai integral tertentu suatu fungsi f terhadap variabel x , dengan batas bawah integral adalah xmin dan batas atas integral adalah xmax, digunakan sintaks:

Integrate [ f , {x , xmin , xmax}]

Selain itu juga dapat dengan cara mengklik simbul yang ada pada Palletes.

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 8a, 9a, 9b...(3 POIN)

2.7 Contoh Aplikasi

2.7.1 Contoh Aplikasi Turunan

Keuntungan hasil penjualan komputer suatu pabrik (dalam ribu $) untuk waktu tertentu t (tahun) dapat disajikan sebagai suatu fungsi f dengan f(t) =

. Akan ditentukan waktu kapan hasil penjualan mencapai maksimum atau minimum serta berapa nilai keuntungan tersebut. Kemudian hasilnya di cek dengan menunjukkan grafik fungsinya.

Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut: Didefinisikan fungsi f terlebih dahulu

Clear[f,t]

_

Integrate3x22x,x, 0, 1



0 1

3x22xx

t3_₉_₂__t2_₂₃_₄__t_₁₅_₈

(38)

Selanjutnya ditentukan turunan pertama dari f trn1=D[f[t],t]

Untuk menentukan titik-titik ekstrimnya (titik maksimum/ minimum) dilakukan dengan cara menyelesaikan turunan pertama yang sama dengan nol

NSolve[trn1฀0,t]

Diperoleh titik ekstrim di t = 0.92265 dan t = 2.07735. Selanjutnya untuk menentukan apakah titik-titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum atau minimum, ditentukan lebih dahulu turunan kedua dari fungsi f. Kemudian titik-titik ekstrim tersebut disubstitusikan ke fungsi yang merupakan turunan kedua f. Jika diperoleh nilai yang positif, maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik minimum.

Tetapi jika nilainya negatif, maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum.

trn2=D[f[t],{t,2}] 6t-9/.t฀0.92265

Karena pada t = 0.92265 nilai turunan keduanya adalah -3.4641 (yaitu negatif), maka titik t = 0.92265 adalah titik maksimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai maksimum pada waktu t = 0.92265 (tahun). Hasil keuntungan tersebut adalah nilai fungsi pada titik tersebut, ditentukan sebagai berikut:

f[0.92265]

(39)

Karena pada t = 2.07735 nilai turunan keduanya adalah 3.4641 (yaitu positif), maka titik t = 2.07735 adalah titik minimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai minimum pada waktu t = 2.07735 (tahun). Hasil keuntungannya adalah:

f[2.07735]

Jadi perusahaan mengalami kerugian sebesar 0.3849 ribu $ pada saat t = 2.07735 (tahun)

Selanjutnya di cek dengan melihat grafiknya. Plot[f[t],{t,0,3}]

2.7.2 Contoh Aplikasi Integral

Salah satu aplikasi integral adalah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi dua grafik fungsi. Pada contoh ini akan ditentukan luas daerah yang terletak diantara grafik fungsi y1 = - 2 dan y2 = - +6 pada domain fungsi -2 ฀ x ฀ 3.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

Diplot lebih dahulu grafik fungsi y1= -2 (dengan warna merah) , dan y2 = - +6 (dengan warna biru). Dengan perintah FilledPlot, daerah antara grafik fungsi y1 dan fungsi y2 akan diwarnai dengan warna tertentu.Untuk menggunakan perintah tersebut, perlu dipanggil lebih dahulu paket FilledPlot pada folder Graphics.

x2 _x2

Graphics`FilledPlot`

FilledPlotx22,x26,x,2, 3,

(40)

Selanjutnya ditentukan titik potong kedua grafik tersebut.

Ternyata titik potong kedua grafik pada x = -2 dan x = 2. Untuk menentukan luas daerah antara kedua grafik pada -2 ฀ x ฀ 3 , menggunakan rumus (dari kuliah teori) :

Luas daerah = +

Dengan Mathematica, dilakukan sebagai berikut:

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 dan y2 pada domain -2 ฀ x ฀ 3 adalah 26 (satuan luas).

LATIHAN: Kerjakan Soal latihan 2.8 no. 11 ...(1 POIN)

2.1. Fungsi

2.2. Grafik Fungsi

Pada tingkatan pemodelan matematika, teknik visualisasi data sangat penting untuk dapat mengetahui karakteristik suatu data. Matlab menyediakan teknik visualisasi data hingga tiga dimensi. Berikut diberikan contoh teknik visualisasi data menggunakan Matlab.

Solvex22 x26, x

22x26x22dx 23x22x26dx

(41)

2.2.1. Grafik Fungsi Dua Dimensi

(liat di file modul praktikum matlab 1, hal 19, teknik visualisasi data)

2.2.2. Grafik Tiga Dimensi

2.3. Limit

(liat contoh modul praktikum pemrograman 13)

Matlab memiliki kemampuan untuk menghitung limit dari sebuah fungsi dengan perintah limit. Sebagai contoh,

>> syms x;

>> f=x^3+3*x^2-4*x+10; >> g=2*x^3+10*x^2-4*x+10; >> limit(f/g,inf)

(42)

Latihan : Dapatkan hasil limit dari ungkapan berikut ini : 1.

2. 3.

2.4. Kekontinuan

2.5. Turunan Fungsi (modul 1.doc)

>> syms x;

>> y=x^3+2*x^2+6*x+7;

(43)

Apa keluaran perhitungan differensial tersebut ?

z = 3*x^2+4*x+6 Merupakan turunan dari fungsi y.

Task :

1. Bagaimana turunan kedua dari fungsi y?

Jawab :

z = 6*x+4 merupakan turunan kedua fungsi y.

Latihan :

1. Buatlah program differensial dengan menggunakan Matlab, gunakan dengan inputan.

(44)

Pada Matlab, untuk menentukan integral suatu fungsi dapat menggunakan fungsi inline dan fungsi quad. Fungsi inline digunakan untuk menampung fungsi integralnya, sedangkan fungsi quad digunakan untuk menghitung hasil nilai integralnya.

Misalnya : Menentukan nilai integral dari fungsi …

Step 1 : Pada command window Matlab ketik : 1.1.Menampung fungsi dengan fungsi inline :

1.2. Menghitung nilai dengan fungsi quad :

→ (y,-1,2) artinya y = fungsi integral yang diroses, -1 = batas bawah dari integral, dan 2 = batas atas dari integral.

Step 2 : Dengan menggunakan M-File

(45)

2.8. Contoh Aplikasi

2.8.1. Contoh Aplikasi Turunan dengan Matlab. Latihan :

1. Jika y=x2.cos3x , maka tentukanlah turunan pertamanya. 2. Jika ƒ(x)=6x2₋_4x₊₁

maka tentukanlah nilai dari f’(2). 3.

(46)

(47)

2.8 Soal-Soal Latihan Kerjakan soal-soal berikut:

1. Definisikan fungsi f(x) = + 2 - 10 , kemudian tentukan f(5) dan f(-4).

2. Selesaikan persamaan 2 - 4x + 2 = 0, berikan solusi eksak maupun numeriknya.

3. Gambarkan grafik f yang memenuhi f(x) =

4. Gambarkan grafik y1 = 2 + 4 dan grafik y2 = 6 - pada domain 0 ฀ x ฀ 2 , dengan y1 dan y2 masing-masing diberi warna merah dan biru , diberi bingkai dan label "Grafik Fungsi".

5. Tentukan nilai limit dari fungsi f(x) berikut untuk x ฀ 1, kemudian gambarkan fungsinya untuk domain -2 ฀ x ฀ 5 :

a. f(x) = + 2x -1

b. f(x) =

6. Diketahui fungsi f(x) = . Tentukan limit kiri maupun limit kanan fungsi f(x) untuk x ฀ 3. Apa kesimpulan yang saudara peroleh ?

7. Apakah fungsi f berikut kontinu di x = 2 ? Jika tidak, jelaskan alasannya. a. f(x) = 4 - 2x + 12

b. f(x) =

Cek lah dengan menggambar grafik fungsinya.

8. Tentukan turunan pertama maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = 10 + 2 - 5x

(48)

c. h(x) = (2x) d. l(x) = sin ( cos 3x ) 9. Tentukan nilai integral berikut:

a.

b.

c.

d.

10. Diketahui fungsi f(x) = -2 + 3 a. Tentukan titik-titik kritis f(x)

b. Tentukan titik maksimum/ minimumnya (gunakan turunan kedua)

11. Tentukan 2 bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan yang hasil kalinya maksimum. 12. Dono mempunyai 200m kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari ladang berbentuk persegi panjang. Jika diinginkan agar luas maksimum, berapa ukuran panjang dan lebarnya ?

13. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y = dan y = 2x - . Gambarkan bidang datar tersebut.

(49)

data yang lalu, untuk jangka waktu pemakaian sampai dengan 10 tahun, kecepatan penghematan operasi adalah f(x) dolar per tahun bila peralatan tersebut telah dipakai selama x tahun, dengan f(x) = 4000x + 1000.

a. Berapa jumlah penghematan ongkos operasi dalam 5 tahun pertama ?

(50)

(51)

penyelesaian :

berarti menggunakan konsep titik maksimum dan minimum. 1. mendefiniskan fungsi f(x)

2. mennetukan turunan pertama dari f. 3. cari peyelesaian turunan pertama.

4. mengecek apakah t merupakan titik maksimum atau minimum.(jika f'(t)>0--> titik balik minimum dan sebaliknya)

maka dimasukkan untuk nilai : t0.92265,t2.07735 ke dalam trn2, diperoleh :

96 t. t0.92265

3.4641

96 t. t2.07735

3.4641

(52)

0.3849

perusahaan akan mencapai kerugian sebebsar $384,9dan dipresikai akan mencapai kerugian sebesar $384 di tahun ke-2.

2.7 .2 APLIKASI INTEGRAL

diaplikasikan untuk menghitung luas daerah. misal,

tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1x22, y2 x26, domain 2x3 penyelesaian :

1. plot grafik y1 dan y2

2. tentukan titik potong kedua grafik 3.tentukan luas daerah

maka :

(53)

Solvex^22 x^26, x

luasdaerahLuasILuasII 26

atau dengan cara langsung :

Integratex^26x^22,x,2, 2Integratex^22x^26,x, 2, 3 26

(54)

1 2 3 4 5 6

1.0 0.5 0.5

ListLinePlot1, 3, 2, 5, 2, FillingAxis

Plotx2__2,__x2__6,_x,__{2, 3, PlotStyle}__{RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,} Filling12, FrameTrue, FillingStyleOrange

2 1 0 1 2 3

(55)

HEADING PROGRAM

Print"_"

Print"program latihan 03"

Print"mathematica programming"

Print"solusi"

Print""

MAIN PROGRAM

p1_Input"persamaan 1:"; Print"pers1_{", p1}

p2Input"persamaan 2:"; Print"pers2", p2

d_Solvep1, p2,x, y; eNSolvep1, p2,x, y;

hasilcetak PROGRAM

Print"penyelesainnya adalah adalah:", d

(56)

TUJUAN :

KOMPETESNI :

3.1. list 3.2.matriks

3.2 .1 cara penulisan 3.2 .2 ukuran matriks

3.2 .3 matriks matriks khusussatuan, nol, diagonal, segitiga bawahatas

3.2 .4 operasi pada matrikspenjumlahan, kesamaan dua matriks,

perkalian skalar dan matriks, perkalian antar matriks, partisi matriks, t ransose matriks

3.2 .5 sifat operasi matriks 3.2 .6 sifat operasi tanspose mariks 3.3. Determinan

(57)

Ada beberapa bentuk khusus matrik . Untuk bisa menentukan bentuk khusus matrik maka anda harus tahu terlebih dahulu elemen dari matriks, yaitu baris dan kolom. dalam mathematica ada cara penulisan baris dan

kolom sehingga membentuk suatu matriks. Dalam kesempatan on line ini ...

AKAN DIPELAJARI BAGAIMANA MENULISKAN MATRIKS DENGAN MATHEMATICA, yaitu dengan menggunakan syntak :

LIST

Apa sajakegunaan dan bagaimana cara manipulasi matriks dengan LIST berikut akan kita pelajari lebih lanjut.

LIST

Vectors dan matrices in Mathematica are secara sederhana dapat dituliskan dengan daftar anggota himpunan:

a,b,c vector a,b,c

a,b,c,d matrix a b_{c d}

 LIST dalam MATRIKS

ada beberapa perintah yang bisa digunakan yaitu : List, Part, Take

Part — elements and

submatri-ces: mi, j; resettable with

mi, jx

Take — take rows, columns and

submatrices

Drop — drop rows, columns and

submatrices

Diagonal — get the list of elements on the diagonal

(58)

Join — join rows or columns of several matrices

Getting Pieces of Lists

Firstlist the first element in list

Lastlist the last element Partlist,n or listn the nth_element

Partlist,n or listn the nth_{element from the end}

Partlist,m;;n elements m through n

Partlist,n1,n2,… or listn1,n2,…

the list of elements at positions n1,n2,…

Takelist,n the first n elements in list

Takelist,n the last n elements Takelist,m,n elements m through n (inclusive)

Restlist list with its first element dropped Droplist,n list with its first n elements dropped

Mostlist list with its last element dropped Droplist,n list with its last n elements dropped Droplist,m,n list with elements m through n dropped

coba sekarang praktekkan :

Aa, b, c

a, b, c

B4, N, 9

4,N, 3

List2 B, a, a, b

(59)

Aa, b, c

a, b, c

A1

PartA, 1

sedangkan untuk menentukan elemen ke i dan j bisa menggunakan A[[{i,i}]] dan Part[A,{i,j}]:

A2, 3

b, c

PartA, 2, 3

b, c

A1

c

1.Bagaimana untuk menentukan elemen ke 1 dan 3 dari himpunan A ?? ? 2. Apa bedanya A[[1]] dan A[[-1]]???

3. sebutkan cara lain untuk menentukan elemen ke-1 dari himpunan A



LAKUKAN JUGA UNTUK PERINTAH DIBAWAH INI :

DropA, 1

{b, c}

DropA, 2

{c}

DropA, 1

(60)

c

TakeA, 2

TakeA, 1

TakeA, 3

{a, b, c}

APA KESIMPULAN ANDA??JELASKAN

 MENENTUKAN BANYAKNYA ELEMEN :

Range — form a list from a range of numbers or other objects 1, 2, 3, ...

Table — make a table of any dimension of values of an expression

Array — make an array of any dimension by applying a function to successive indices ConstantArray — form of a constant array of any dimension

SparseArray, Normal — create a list from a sparse arraypositionvalue specification

Functions for vectors.

contoh :

 RANGE

a.untuk menentukan banyaknya elemen pada A, digunakan perintah Lenght[A]

LengthA

(61)

Range4, 6

{4, 5, 6}

Range1, 11, 3

{1, 4, 7, 10}

jelaskan mengenai Range di atas.apa yang dapat anda simpulkan?

 TABEL

 PEMAKAIAN TABLE:

untuk beberapa elemen list ada kalanya membentuk suatu pola angka tertentu. maka untuk model khusus tersebut bisa menggunakan perintah Table:

Table1005,3

Tablek1,k, 3

Tablek1,k, 2, 5

(62)

OPERASI PERHITUNGAN MATRIKS :



LIST sebagai himpunan, dilakukan operasi himpunan(gabungan, irisan, komplemen) :

contoh :

1, 2, 3  3, 4, 5

{1, 2, 3, 4, 5}

Union1, 2, 3, 3, 4, 5

{1, 2, 3, 4, 5}

1, 2, 3  3, 4, 5

{3}

Intersection1, 2, 3, 3, 4, 5

{3}

Complementa, b, c, d, a, b

{c, d}

ComplementA, a, b

{c}

(63)

keterangan dan contoh :

untuk menentukan posisi suatu elemen d dalam liat digunakan "position{list,elemen}

Position[{a, b, c, a, b}, a]

{{1}, {4}}

menghitung banyaknyaa.

Count[{a, b, c, a, b}, a]

2

 PENYISIPAN ELEMEN:

Selain itu dalam list juga dapat dilakukan penyisispan elemen, penambahan elemen bagian belakang maupun depan :

Position— find positions where elements that matchapattern occur

Extract— extract elements that appear atalist of positions

ReplacePart— make replacements for collections of elements

ArrayRules— getalist of positions and values for nonzero elements

(64)

Insertlist,element,i insert at position i counting from the end of list

Rifflelist,element interleave element between the entries of list

Deletelist,i delete the element at position i in list

ReplacePartlist,inew replace the element at position i in list with new

ReplacePartlist,i, jnew replace listi, j with new

contoh :

untuk menambahkan elemen baru dalam matriks:

A

kemudian untuk menggantikan suatu elemen ke dalam matriks dengan elemen baru dengan menggunakan ReplacePart[list,elemen baru,posisi]

B = {1, 2, 3, 5, 6}

apa perbedaan replacepart dan Insert ?? ?

 MENULISKAN KOMBINASI ELEMEN KEANGGOTAAN :

(65)

This gives all possible ways of picking two elements out of the list.

Tuplesa, b, 2

This gives all possible ways of picking one element from each list.

Tuplesa, b,1, 2, 3

Subsetsa, b, c

 MENGURUTKAN ELEMEN :

untuk mengurutkan dan mengatur kembali posisi elemen suatu list, digunakan perintah sort, reserve, rotate:

Sortexpr sort the elements of a list or other expression into a standard order Sortexpr,pred sort using the function pred to determine whether pairs are in order

Orderingexpr give the ordering of elements when sorted Orderingexpr,n give the ordering of the first n elements when sorted Orderingexpr,n,pred use the function pred to determine whether pairs are in order

OrderedQexpr give True if the elements of expr are in standard order, and False otherwise Orderexpr₁,expr₂ give 1 if expr₁ comes before expr₂ in standard order, and 1 if it comes after

contoh :

misalkan didefinisikan list 3 sbb:

list35, 10, 0, 12, 20, 3

dengan reverse maka penulisan akan dibalik ururutannya:

(66)

list3

RotateLeftlist3

RotateLeftlist3, 3

RotateLeftlist3, 4

RotateRightlist3

RotateRightlist3, 3

 PENGGABUNGAN ELEMEN :

untuk menghilangkan tanda kurung dalam suatu output dengan menggunakan perintah Flattern:

 SILAHKAN ANDA COBA

Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}]

Joina, b, c,x, y,u, v, w

listTableij1,i, 4,j, i

Flattenlist, 1

sedangkan unutuk menghilangkan tanda kurung satu atau dua pasang ...dst menggunakan perintah berikut:

Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}, 1]

Flattena,b, 2

Flattena,b

Flattena,b, 1

APA KESIMPULAN ANDA ?

(67)

a. dengan menggunakan LISTperintah aij, i1, 2 dan j1, 2, 3

matriksAa1, 1, a1, 2, a1, 3,a2, 1, a2, 2, a2, 3

a1, 1, a1, 2, a1, 3,a2, 1, a2, 2, a2, 3

matriksAMatrixForm

a_a_1, 1_{2, 1}_ a_a__{2, 2}1, 2_ _aa__{2, 3}1, 3_{ }

Sebagai illustrasi, untuk matrik B ukuran 2 x3 :

matriksB1, 3, 5,0, 2, 1

1, 3, 5,0, 2, 1

matriksBMatrixForm

1 3 5_{0 2 1}

untuk mencari matriks B baris ke i, dan elemen ke i dan j

matriksB1

matriksB1, 2

matriksB1,1, 2 MatrixForm

matriksB1, 2,1, 2 MatrixForm

(68)

matriksCArrayc,5, 6 MatrixForm



c.perintah

table

matriksDTabledi, j,i, 5,j, 6 MatrixForm

   

menggunakan fasilitas palletes atau kalau tidak ada dengan menggunakan :

input Cretae_TableMatrixPallet ... atau bisa langsung dengan : ctrlSiftC

matriks F  

1. tuliskan matriks berikut dengan caracara di atas :

A

2. buatkan matriks berikut :

(69)

Go

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

3. a. tuliskan matriks baris ke1 dari matriks A b. tuliskan elemen ke 2 dan ke 3 dari matriks B c. tuliskan elemen baris ke 2 kolom ke 3 matriks C d. tuliskan matriks baris 2 dan 3 matriks F e. tuliskan matriks baris 3 dan 5 dari matriks G

3.2 MATRIKS

 3.2.1 cara penulisan matriks(dengan LIST)

 a. dengan menggunakan perintah aij, i1, 2 dan j1, 2, 3

matriksAa1,1,a1,2,a1,3,a2,1,a2,2,a2,3

matriksAMatrixForm

misal untuk matrik B ukuran 2 x3 :

matriksB1, 3, 5,0, 2, 1; matriksBMatrixForm

matriksBMatrixForm

matriksB1, 3, 5,0, 2, 1 MatrixForm_{penulisa ini tidak sarankan}

untuk mencari matriks B baris ke i, dan elemen ke i dan j

(70)

tentukan elemen matriks B baris ke dua kolom 3



b.menggunakan

perintah

array

misalkan matriks Ccij

matriksCArrayc,5, 6 MatrixForm

c1, 1 c1, 2 c1, 3 c1, 4 c1, 5 c1, 6

c2, 1 c2, 2 c2, 3 c2, 4 c2, 5 c2, 6

c3, 1 c3, 2 c3, 3 c3, 4 c3, 5 c3, 6

c4, 1 c4, 2 c4, 3 c4, 4 c4, 5 c4, 6

c5, 1 c5, 2 c5, 3 c5, 4 c5, 5 c5, 6



c.perintah

table

matriksDTabledi, j,i, 5,j, 6 MatrixForm

d1, 1 d1, 2 d1, 3 d1, 4 d1, 5 d1, 6

d2, 1 d2, 2 d2, 3 d2, 4 d2, 5 d2, 6

d3, 1 d3, 2 d3, 3 d3, 4 d3, 5 d3, 6

d4, 1 d4, 2 d4, 3 d4, 4 d4, 5 d4, 6

d5, 1 d5, 2 d5, 3 d5, 4 d5, 5 d5, 6



d.palletes

dengan menggunakan template yang ada di Palletes :

   

menggunakan fasilitas palletes atau kalau tidak ada dengan

(71)

matriks F    

matriksG

        

Null



3.2.2 Ukuran

/ordo

matriks:

dengan menggunakan perintah dimension

matriksH1, 2, 3,3, 4, 5

matriksHMatrixForm

matriksH1, 2, 3,3, 4, 5; matriksHMatrixForm

(72)

3.2.3 MATRIKS MATRIKS KHUSUS

a. matriks satuan(matriks identitas)

ada beberapa cara penulisan matriks :

1. langsung dituliskan (untuk matriks ukuran kecil)

misalkan akan disajikan matriks A yang elemen-elemennya dinyatakan dengan aij untuk i=1,2 dan

j=1,2,3. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menuliskan suatu elemennya(sebagai list dari list), seba-gai list dari list)

matriksAa1, 1, a1, 2, a1, 3,a2, 1, a2, 2, a2, 3

ternyata hasilnya tidak seperti penulisan matriks yang sudah dipelajari, sehingga untuk tampilan seperti itu dengan menggunakan perintah //matrikForm

2. dengan menggunakan perintah : IdentityMatrix

contoh :

matriksAMatrixForm

(73)

0 0 1

matrIIdentityMatrix4; matrIMatrixForm

TableIfi_{j, 1, 0},i, 4,j, 4 MatrixForm

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

b. Matriks Nol

cara penulisan :

langsung dengan ketikkan : ConstantArraynatau Table0,m,n

ConstantArray0,2, 2 MatrixForm

0 0 0 0

Table0,2,3 MatrixForm

0 0 0

(74)

cara penulisan :

menggunakan : DiagonalMatrix

MatrixFormDiagonalMatrixa, b, c

a 0 0 0 b 0 0 0 c

4. Matriks Segitiga Bawah dan Atas

matriks segitiga bawahMatrixFormTableIfij, 2, 0, i, 4, j, 4

matriks segitiga atasMatrixFormTableIfij, 2, 0, i, 4, j, 4

 3.2 .4 OPERASI PADA MATRIKS

A. penjumlahan/pengurangan matriks

BAGAIMANA ATURAN dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan ?? ???

berikut syarat 2 matriks atau lebih bisa dilakukan operasi penjumlahan: 1. masing masing matriks berordo sama

2. hasil operasi matriks akan menghasilkan matriks dengan ordo yang sama

contoh :

(75)

4 2 7 0

matriksB4, 3, 5, 1,2, 2, 0,1,3, 2,4, 5; matriksBMatrixForm

4 3 5 1 2 2 0 1 3 2 4 5

matriksC1, 1,2, 2; matriksCMatrixForm

1 1_{2 2}

DimensionsmatriksA

DimensionsmatriksB

DimensionsmatriksC

matriksDmatriksAmatriksB; matriksDMatrixForm

2 4 5 4 1 2 2 3 7 0 3 5

DimensionsmatriksD

matriksAmatriksCMatrixForm

Thread::tdlen : Objects of unequal length in 2, 1, 0, 3,1, 0, 2, 4,4,2, 7, 01, 1,2, 2 cannot be combined.

(76)

ClearmatriksE

matriksE33, 2^0,63, 2^1

1, 1,2, 2

matDmatriksEmatriksC

matDMatrixForm

 pengecekan kesamaan matriks bisa juga dilakukan dengan:

matriksEmatriksC

True

c. PERKALIAN SKALAR DAN MATRIKS(silahkan dipraktikkan sendiri)

misalkan matriks A, B, C dan skalar k = 2, -1, 1/3.

ClearmatriksA, matriksB, matriksC

matriksA2, 3, 4,1, 3, 1

matriksB0, 2, 7,1, 35

matriksC9,6, 3,3, 0, 12

matriks2A2matriksA

matriksminB 1matriksB

(77)

D. PERKALIAN ANTAR MATRIKS (silahkan dipraktikkan sendiri)

operasi perkalian antar matriks menggunakan "." atau " dot"

syarat :

1. kolom matriks pertama = jumlah kolom matriks ke - 2, dst 2. misal : A (m, n) dan B (n, k), maka AxB = C (m, k)

3. tidak berlaku komutatif

contoh :

ClearmatriksA, matriksB, matriksC

matriksA1, 2, 4,2, 6, 0;

matriksB4, 1, 4, 3,0,1, 3, 1,2, 7, 5, 2;

matriksC1, 2,3, 4,5, 6,7, 8;

sebelum melakukan operasi matriks :

DimensionsmatriksA

DimensionsmatriksB

DimensionsmatriksC

perkalian matriks, bisakah ?

matriksA.matriksBMatrixForm

matriksA.matriksCMatrixForm

(78)

5. PARTISI MATRIKS

sebuah matriks bisa dipartisi menjadi matriks yg kecil kecilsub matriks.

contoh menuliskan matriks dalam suatu sub matriks :

ClearmatriksA

A4, 1, 4, 3,0,1, 3, 1,2, 7, 5, 2; AMatrixForm

MatrixFormA

A11A1, 2,1, 2, 3; A11MatrixForm

A12A1, 2,4; A112MatrixForm

A21A3,1, 2, 3; A21MatrixForm

A22A3,4; A22MatrixForm

maka matriks A terdiri atas :

A A11 A12

A21 A22

(79)

A1JoinA11, A12, 2

A2JoinA21, A22, 2

AJoinA1, A2 MatrixForm

F. TRANSPOSE MATRIKS(silahkan di coba sendiri)

A1, 2, 3,4, 3, 5

TransposeA

AMatrixForm

MatrixForm

 _{3.2.5 Sifat-sifat Operasi Hitung Matriks(silahkan anda praktikkan sendiri)}

Misalkan A,B dan C adalah sembarang matriks, k1, k2 adalah sembarang skalar. Beberapa sifat operasi hitung matriks, diantaranya adalah :

1. A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan)

2. (A+B)+C = A+(B+C) (sifat asosiatif penjumlahan) 3. (A.B).C = A.(B.C) (sifat asosiatif perkalian)

4. A( B + C) = A.B + A.C (sifat distributif kiri terhadap penjumlahan) 5. k1(B + C) = k1.B + k1.C

6. (k1 + k2) C = k1 C + k2 C 7. k1( k2 C ) = (k1.k2) C

(80)

matriks tersebut sedemikian sehingga dapat dilakukan operasi hitung diantaranya.

Selanjutnya dilakukan operasi-operasi matriks seperti di bawah. Apa yang terjadi ???

ClearmatA, matB, matC matAmatBMatrixForm

3 8 4 9

matBmatAMatrixForm

(81)

k1matBk1matC MatrixForm

Ternyata hasil dari operasi hitung matriks tersebut memenuhi sifat-sifat di atas. Untuk sifat-sifat yang lain, dapat dicoba sendiri.

 3.2.6 Sifat-sifat Operasi Transpose Matriks(silahkan anda praktikkan sendiri)

Jika A, B adalah matriks-matriks sembarang, dan k adalah skalar sembarang, beberapa sifat

Saudara dapat melakukan pengecekan sifat-sifat tersebut dengan membuat sembarang matriks A, B dan sembarang skalar k, dengan memperhatikan ukuran matriks supaya matriks-matriks tersebut dapat dioperasikan.

 Contoh

Diketahui matriks-matriks A = 1 2 3 4 , B =

5 6

(82)

TransposematAmatB MatrixForm

6 10 8 12

TransposematATransposematB MatrixForm

6 10 8 12

TransposekmatA MatrixForm

4 12 8 16

kTransposematA MatrixForm

4 12 8 16

TransposematA.matB MatrixForm

19 43 22 50

TransposematB.TransposematA MatrixForm

19 43 22 50

3.3 Determinan

Berikut ini dibicarakan penentuan determinan suatu matriks dengan menggunakan ekspansi kofak-tor.

Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det(A) atau |A|.

Untuk matriks ukuran 1 x 1, misal X = ( x ), didefinisikan | A | = x. Menggunakan perintah di

(83)

Ax

MatrixFormA

DetA

Untuk matriks ukuran 2 x 2, misal B a11 a12

a21 a22 , didapat B a11.a22a12.a21

dengan Mij = minor elemen aij = determinan sub matriks A setelah baris i dan kolom j dihapus. Cij = kofaktor elemen aij = 1ij_{. Mij}

Cara penentuan determinan seperti matriks A di atas disebut ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1.

Secara teoritis dapat dibuktikan bahwa determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris/ kolom yang ada.

 Contoh

Berikut ini akan ditentukan determinan matriks A = 3₂ 1_{4 3}0

5 4 ₂ menggunakan ekspansi kofaktor

(84)

MatrixFormA

Menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1, diperoleh | A | = -1. Sekarang dicoba menggunakan perintah di Mathematica

DetA

Selanjutnya saudara dapat mencoba untuk menentukan determinan matriks A tersebut menggu-nakan ekspansi kofaktor sepanjang baris/ kolom yang lain. Untuk matriks dengan ukuran 4 x 4 atau yang lebih besar lagi, ide untuk menentukan determinannya sama dengan ide untuk menentukan determinan matriks ukuran 3 x 3 di atas. Silahkan saudara untuk mencobanya !!!

3.4 Invers Matriks

Diketahui matriks A berukuran n x n. Matriks kofaktor dari A adalah matriks yang elemen-elemennya berupa Cij ( i = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ..., n ). Transpose matriks kofaktor dari A tersebut disebut adjoint matriks A, dengan notasi adj (A).

Invers matriks A mempunyai notasi A1_{. Didefinisikan}_A1₌ 1

A . adj(A).

Dengan Mathematica, untuk menentukan invers suatu matriks, cukup ketik Inverse kemudian dalam kurung siku isikan matriks yang akan dicari inversnya.

 Contoh

Akan ditentukan invers dari matriks A = 3 21 6 31 2 4 0

.

(85)

Minor elemen-elemen A adalah M[i,j] dengan i = 1, 2, 3 dan j =1, 2, 3.

Selanjutnya dibuat matriks kofaktor dari A sebagai berikut

matkofTableIfEvenQij, Mi, j,Mi, j,i, 3,j, 3;

MatrixFormmatkof

Kemudian ditentukan adj (A) yang merupakan transpose matriks kofaktor dari A

adjATransposematkof;

MatrixFormadjA

Akhirnya invers matriks A dihitung dengan rumus A1₌ 1

A . adj(A)

invA1DetAadjAMatrixForm

Menggunakan Mathematica, invers matriks A tersebut dicari sebagai berikut

InverseA MatrixForm

(86)

d. determinan matriks C dengan ekspansi sepanjang baris/ kolom sembarang e. adj (A) , adj (B) dan adj (C)

f. A1_,_B1_dan_C1_.

2. Diketahui matriks A = a b cd e f

g h i dan misal | A | = -7

Tentukan :

a. | 3A | c. | 2 A1_|

b. | A1_| _{d. | ( 2}_A_1_|

3. Diketahui matriks-matriks A = 1 2 3 4 , B =

5 6

7 8 dan skalar k = 3. Tentukan : a. A1 _t

b. A Bt

c. Bt _t

d. k At

(87)

Setelah mengikuti praktikum Sistem Persamaan Linear, diharapkan mahasiswa dapat: 1. menentukan penyelesaian SistemPersamaan Linear dengan operasi baris elementer 2. menentukan invers suatu matriks menggunakan operasi baris elementer

3. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan invers matriks koefisien dan matriks konstanta ruas kanan

4. menentukan penyelesaian beberapa sistem persamaan linear dengan matriks koefisien sama. 5. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Cramer

4.1 Persamaan Linear

4.2 Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sistem Persamaan Linear (SPL) atau Sistem Linear adalah himpunan berhingga persamaan linear.

Penyelesaian SPL dalam variabel x1, x2, . . . , xn adalah barisan n bilangan s1 , s2, . . . , sn yang

memenuhi SPL (memenuhi semua persamaan linear yang membentuk SPL).

 Contoh 4.2

1. SPL : x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0

(88)

8x1 + x2 + 4x3 = -1

mempunyai penyelesaian x1 = - 1/7 - 3/7 x3 , x2 = 1/7 - 4/7 x3 , yaitu ada tak hingga banyak penyelesaian tergantung pemberian nilai untuk x3.

3. SPL : x + y = 4 2x + 2y = 6

tak mempunyai penyelesaian, sebab jika persamaan yang bawah dikalikan dengan 1/2, diperoleh persamaan yang kontradiksi dengan persamaan yang atas.

Secara umum, SPL dapat : 1. mempunyai penyelesaian tunggal (contoh 1)

2. mempunyai tak hingga banyak penyelesaian (contoh 2)

Matriks diperbesar (augmented matrix) dari SPL tersebut adalah matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-koefisien aij dan bi, i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n .

 4.2.1 Operasi Baris Elementer (OBE)

Untuk menyelesaikan SPL (menentukan penyelesaian SPL), dilakukan dengan mengganti sistem dengan sistem lain yang mempunyai penyelesaian sama tetapi lebih mudah diselesaikan. Sistem yang baru ini diperoleh dengan melakukan sederetan langkah (3 tipe operasi) yang dikenakan pada per-samaan-persamaannya.

(89)

Berikut ini dijelaskan penyelesaian SPL menggunakan operasi baris elementer sehingga diperoleh matriks berbentuk eselon baris tereduksi. Metode penyelesaian ini disebut metode eliminasi Gauss-Jordan.

, dilakukan sederetan langkah OBE

sebagai berikut:

Dengan Mathematica, digunakan perintah sebagai berikut:

A3 3A1A3; AMatrixForm

(90)

4. tambahkan (-3) x baris 2 ke baris 3, diperoleh matriks yang ekuivalen, yaitu A =

A3 3A2A3; AMatrixForm

5. kalikan baris 3 dengan konstanta -2, diperoleh matriks ekuivalen, yaitu A =

1 1 2 9 0 1 7₂ 17₂ 0 0 1 3

A3 2A3; AMatrixForm

6. tambahkan (-1) x baris 2 ke baris ke 1, diperoleh matriks ekuivalen, yaitu A =

1 0 11₂ 35₂ 0 1 7

2 172

0 0 1 3

A1 1A2A1; AMatrixForm

7. tambahkan (-11₂) x baris 3 ke baris 1 dan juga tambahkan (7₂) x baris 3 ke baris 2, diperoleh matriks ekuivalen,

yaitu A = 1 0 0 10 1 0 2

0 0 1 3 . Dengan Mathematica, digunakan perintah sebagai berikut:

A1 11

2A3A1; A2 7

2A3A2; AMatrixForm

Dari matriks bentuk terakhir, diperoleh penyelesaian: x = 1 , y = 2 dan z = 3 (merupakan penyelesa-ian tunggal).

Bentuk matriks A yang terakhir diperoleh, disebut bentuk eselon baris tereduksi (reduced

row-echelon).

Sederetan OBE yang dilakukan untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi, disebut eliminasi Gauss-Jordan.

Dengan Mathematica, untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi suatu matriks, dapat digu-nakan perintah RowReduce, kemudian dalam kurung siku isikan matriks yang akan ditentukan bentuk eselon baris tereduksinya.

(91)

0 1 0 2 0 0 1 3

Ada beberapa fungsi built-in dalam Mathematica yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL, diantaranya adalah:

1. Menggunakan perintah Solve, kemudian di dalam kurung siku isikan perkalian matriks koefisien ruas kiri SPL dengan matriks kolom variabelnya, lalu diikuti tanda = = dan matriks koefisien ruas kanan SPL, selanjutnya diikuti variabel-variabel yang akan ditentukan nilainya dalam kurung kurawal. Dari Contoh 2.2 no.1:

2. Menggunakan perintah LinearSolve, kemudian di dalam kurung siku isikan matriks koefisien ruas kiri SPL, diikuti tanda koma dan matriks koefisien ruas kanan SPL.

Dari Contoh 2.2 no.1:

Pertanyaan selanjutnya, apa perbedaan hasil dari kedua perintah tersebut ? Sekarang diperhatikan penggunaan kedua perintah tersebut untuk Contoh 2.2 no.2

Solve

Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…