Bab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai;

(1)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 1

Bab 5 Turunan Fungsi

___________________________________________________________________________

Definisi

Misalkan D d

dx

 menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi dapat ditulis sebagai;

 

df x

 

df f x Df x

dx dx

   

Atau didefinisikan juga sebagai

 





 

0 lim x f x x f x y f x x   x         

Gambar 1 Pengertian tentang turunan

Ilustrasi

1. Hitunglah turunan dari f x

 

x2

Dari definisi;

 





 





 

2 2 2 2 0 0 2 2 lim lim 2 2 x x f x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x                            

2. Hitunglah turunan dari f x

 

sinx

(2)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 2

 





 









0 0 0 0

sin sin sin cos cos sin sin

lim lim

sin cos 1 sin

lim cos lim

x x x x f x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x                                

Kalau diselesaikan kita peroleh

 

sin

 

cos

f x  x f x  x

Turunan fungsi dasar

 

1 1. 2. sin cos 3. cos sin n n f x x f x nx f x x f x x f x x f x x              

Berlaku untuk setiap n bilangan real.

Theorema

Jika f (x) dan g (x) dua fungsi yang kontinyu dan dapat didefinisikan maka berlaku aturan turunan sebagai berikut;

 

   

 

   

 

   

 

_{ }

 

   

 

_{ }

 

_{   }

 

_{ }

 

2 ) ) ) ) ) ln g x g x a h x f x g x h x f x g x b h x f x g x h x f x g x f x g x f x f x g x f x g x c h x h x g x _{g x} d h x e h x g x e g x h x g x e h x g x h x g x                                        

Contoh : carilah turunan berikut

  

7 5 3 1 ₂    x x x f 4

  

f x tgxtanx

  

f x 



3x2 5



2x4x



2 5

  

f x cotxctg x

  

4 3 10 5 16 3 f x  x6 x5  x2 x 6

  

f x secx

  

f x cosecx 7 

(3)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 3

   



























₂



2 2 2 2 7 7 5 3 7 5 3 7 5 3 1            x x D x x x D Df x x x f (Theorema c)

 



_





_

 











₂



2 2 2 2 2 2 2 2 7 21 10 3 7 10 6 21 3 7 2 5 3 7 3 '                x x x x x x x x x x x x f

   



2



4





2





4







4



2





2 f x  3x 5 2x  x Df  D_3x 5_ 2x  x D 2x x 3x 5 f'

 

x 6x



2x4x

 

 8x31



3x25



(Theorema b) 12x56x2 24x540x33x25 24x512x540x39x2536x540x39x2 5

   

6 5 2 5 4 3 f x 4x 3x 10x 5x16Df 24x 15x 20x5 (Theorema a)

   









x x x D x x D Df x x x f ₂ cos sin cos cos sin cos sin 4    

 

2 2 2 2 2 2

cos cos sin sin cos sin 1

' sec

cos cos cos

x x x x x x

f x x

x x x

 

   

(5)

 

cot cos



cos





sin



₂



sin





cos



sin sin D x x D x x x f x x Df x x     

 

ec x x x x x x f 2 2 2 2 cos sin 1 sin cos sin '     

   

 

2





2 1 cos cos 1 1 sin sin 1 6 sec

cos cos cos cos cos

D x D x x x f x x Df x x x x x        f'

 

x tgxsecx

Turunan Fungsi Bersusun (Komposisi)

Jika h x

 

 f g x



 



maka turunan dari fungsi h x adalah

 



 



h x g x f  g x

(4)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 4

Umumnya bila h x

 

h h h h h



₁



₂



₃



₄

 

x



, maka

dx dh dh dh dh dh dh dh dh dh dx dh 4 4 3 3 2 2 1 1     

Contoh umum :

(1) h x

 

sin



g x

 



h x

 

g x

 

cos



g x

 



D g x



 



cos



g x

 



(2) h x

 

cos



g x

 



h x

 

g x

 



sin



g x

 





 D g x



 



sin



g x

 



(3) h x

 

tan



g x

 



h x

 

g x

 



sec2



g x

 





 D g x



 



sec2



g x

 



(4) h x

 

cot



g x

 



h x

 

g x

 



cosec2



g x

 





 D g x



 



cosec2



g x

 



(5)

 



 



 



 



 





 



 



 



ln D g f x f x g f x h x g f x h x g f x g f x       

Catatan :



log ln 1 log log10 1 _ln x e e x  _ _ 

Contoh Khusus

(1) h x

 

sin



x32x2  x 1



h x

 





3x24x1 cos

 

x32x2 x 1



(2)

 





 





























2 2 2 2 2 2 2 cos sin 3

sin 3 sin sin 3 6 cos 3 sin sin 3

6 cos 3 sin sin 3

h x x h x D x x x x x x x x          (3)

 





 

























2 2 2 2 2 2 tan 3 2 3 2 sec 3 2 6 2 sec 3 2 h x x x h x D x x x x x x x           (4)

 





 









2 ₂ 2 2 2 2 sin 3 _{6 cos 3} ln sin 3 6 cot 3 sin 3 sin 3 D x _x _x h x x h x x x x x      

Soal Latihan (serahkan minggu depan)

Carilah turunan dari fungsi berikut ini:

   

1 h x tg x2 2x1

   

2 h x tg



sin



x22x2



   

sin2 2 1

(5)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 5

   

4 h x cot



sin



cos

 

x22



   

5 h x  Exp



cos



sin



x25x1





   

6 h x sin



x32x1



cos



2x2



   

8 h x sin



x22x1



Exp



cos



sin



x22x1





Turunan fungsi eksponensial

 

_{ }

 

_{   }

, ' ' ' g x g x h x  e maka h x g x e g x h x

Contoh :

   

x x

 





x x e x x x h e x

h 3 2sin ' 3 2 2cos 3 2sin

1      

   

2 21 2 h x ex  x

 



2



12 2 2 1 2 1 2 1 2 ' x  _ x x   x_ex  x  h



2



12 2 2 1 1 2        _ _  x x e x x x

   

_sin 2 _cos₂ 2 3 h x e x  xx

h'

 

x 



2xcosx2 



22x





sin



2xx2





esinx2cos2xx2

h'

 

x 



2xcosx22



1x



sin



2xx2





Exp



sinx2 cos



2xx2



Turunan Fungsi Siklometri Bentuk Khusus

Perhatikan bila y f(x)maka

dy dx dx dy x f'( )  1 Jadi bila dy dx

dapat dicari maka f' x( ) dapat diturunkan

dy dx dx dy x f'( )  1

(6)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 6

Ilustrasi

1. f(x)arccosx, f'(x)?

Misal f(x) arccosx x cosy dx siny dy

    

 dengan mengingat sin2 ycos2 y1

2 2 1 1 1 1 '( ) sin _{1 cos} ₁ f x dx _y _y _x dy          2. f(x) , f'(x)? Misal y y dy dx y xsin  cos  2 2 1 1 sin 1 1 cos 1 1 ) ( ' x y y dy dx x f       3. f(x) , f'(x)? Misal y x  y dy dx 2 sec  2 2 2 2 2 2 1 1 ) 1 ( 1 cos sec 1 1 ) ( ' x x y y dy dx x f        4. f(x) , f'(x)? Misal y x  ec y dy dx 2 cos   2 2 2 _{2 2} 2 1 1 1 1 '( ) sin cos _{( 1} ₎ 1 f x y dx _{ec y} _x _x dy           

Turunan fungsi siklometri dalam bentuk umum

Bentuk umum Perhatikan bila y f g x(

 

)maka dy f



g x

 



g x

 

dx   

Jadi bila

dy dx

dapat dicari maka f' x( ) dapat diturunkan

dy dx dx dy x f'( )  1

(7)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 7

Ilustrasi 1

 

cos ( ) arc g x , ( )? f x  f x ,

Misal f(x)arccosg

 

x g x

 

cos f

 

x dengan mengingat sin2 f x

 

cos2 f x

 

1

 

2 2 2 2 sin 1 cos 1 1 1 dg dg dx dg dx f x f x g x df df dx dx df dg g x df _dx dx _{g x} _{g x}                  Kesimpulan

 

2 arccos 1 g x f x g x f x g x       

Ilustrasi 2

 

arcsin , ( ) g x ( )? f x  f x

Misal f( )x arcsing

 

x g x

 

sin f

 

x

 

2 2 2 2 cos 1 sin 1 1 1 dg dg dx dg dx f x f x g x df df dx dx df dg g x df _dx dx _{g x} _{g x}             Kesimpulan

 

2 arcsin 1 g x f x g x f x g x      

Ilustrasi 3

 

arctan , ( ) g x ( )? f x  f x

Misal f( )x arctang

 

x g x

 

tan f

 

x

 

2 2 2 2 2 sec 1 tan 1 1 1 dg dg dx dg dx f x f x g x df df dx dx df dg g x df _dx dx g x g x            

(8)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 8 Kesimpulan

 

2 arctan 1 g x f x g x f x g x      

Ilustrasi 4

 

arc cot , ( ) g x ( )? f x  f x

Misal f( )x arc cotg

 

x g x

 

cot f

 

x

 



 





 



 

2 2 2 2 2 cosec 1 cot 1 1 1 dg dg dx dg dx f x f x g x df df dx dx df dg g x df _dx dx g x g x                  Kesimpulan

 

2 arc cot 1 g x f x g x f x g x        Soal Latihan

Tentukanlah turunan dari fungsi berikut (serahkan minggu depan)

(1). h(x)  Arc Sin 2x

(2). h(x)  Arc Cos 3x

(3). h(x)  Cos x2



Arc Cos x  Arc Sin x



(4). h(x)  Arc Sin 4x Cos 2x Arc Cos 2x

(5). h(x)  1-x2 Arc Sin x Sin



x22x1



ArcCos3x

(6). h(x)  ln tg (x22x1) (7). h(x)  Cos



ex22x3



(8).          2 1 2 ₂_x _x x e Sin h(x) (9). ex22x 3 Arc Cos x (10). x Arc Cos ) x Sin (x 3 3 2 ln 2 

(9)

Matematika Dasar Suryadi Siregar

FMIPA-ITB Page 5- 9

Turunan fungsi “berpangkat”

Misal fungsi kontinyu : h(x)  fm(x)h'(x)mfm1(x)f'(x),mR

Notasi lain : ' 1 1 ( ) df df m ( ) m ( )df h x m f x mf x dx dx dx      Contoh umum : h(x)g3(x)h'(x)3g2(x)g'(x) Contoh khusus :









4 2 ' 3 2 2 3 2 2

( ) cos ( 2 1) ( ) 4 cos ( 2 1) (2 2)( sin( 2 1)) 4 cos ( 2 1) (2 2) sin 2 1 h x x x h x x x x x x x x x x x         _   _{ }     _       Contoh lain ' 4

Cari h x bila h x( ), ( )tan (x x1)

Penyelesaian _{( )} _{4 tan (}3 ₁₎₍₁ 1 12_{) sec (}2 ₁₎

2