MODUL UKIN

BAHAN AJAR

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI MATEMATIKA WAJIB

KELAS X

Instansi : SMA Negeri Satu Atap Lembongan

Nama Penyusun : I Kadek Adi Saputra Tahun : 2023

PEMERINTAH PROVINSI BALI

DINAS PENDIDIKAN, KEPEMUDAAN DAN OLAHRAGA SMA NEGERI SATU ATAP LEMBONGAN

DAFTAR ISI

PENYUSUN ... 2

DAFTAR ISI ... 3

GLOSARIUM ... 4

PETA KONSEP ... 5

PENDAHULUAN ... 6

A. Identitas Modul ... 6

B. Kompetensi Dasar ... 6

C. Deskripsi Singkat Materi ... 6

D. Petunjuk Penggunaan Modul ... 6

E. Materi Pembelajaran ... 7

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 ... 8

UKURAN SUDUT . ... 8

A. Tujuan Pembelajaran ... 8

B. Uraian Materi ... 8

C. Rangkuman ... 11

D. Latihan Soal ... 12

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 ... 13

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU ... 13

A. Tujuan Pembelajaran ... 13

B. Uraian Materi ... 13

C. Rangkuman ... 16

D. Latihan Soal ... 17

KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 ... 18

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA ... 18

A. Tujuan Pembelajaran ... 18

B. Uraian Materi ... 18

C. Rangkuman ... 21

D. Latihan Soal ... 22

EVALUASI ... 2 3 DAFTAR PUSTAKA...24

GLOSARIUM

Perbandingan

sinus : Perbandingan sisi dihadapan sudut dengan hipotenusa.

Perbandingan

cosinus : Perbandingan sisi disamping sudut dengan hipotenusa.

Perbandingan

tangen : Perbandingan sisi dihadapan sudut dengan sisi disamping sudut.

Perbandingan

cosecan : Perbandingan hipotenusa dengan sisi dihadapan sudut.

Perbandingan

secan : Perbandingan hipotenusa dengan sisi disamping sudut.

Perbandingan

cotangen : Perbandingan sisi disamping sudut dengan sisi dihadapan sudut.

Sudut istimewa : Sudut tertentu yang nilai perbandingan

trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator.

PETA KONSEP

Materi Prasayarat Segitiga

Segitiga Siku-siku Masalah Otentik

Perbandingan Sisi- sisi dalam

Segitiga

tan  cos 

sin  sec  cosec  cot 

Segitiga Siku-siku

PENDAHULUAN

A. Identitas Bahan Ajar

Mata Pelajaran : Matematika Wajib

Kelas : X

Semester : Genap

Judul Bahan Ajar : Perbandingan Trigonometri

B. Kompetensi Dasar

3. 7 Menjelaskan perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku.

4.7 Menyelesaikan masalah perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku.

C. Deskripsi Singkat Materi

Melalui pembelajaran matematika dengan materi Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku. Bahan Ajar ini disusun sebagai satu alternatif sumber belajar siswa untuk memahami materi Trigonometri di kelas X. Melalui Bahan Ajar ini Peserta didik diajak untuk memahami konsep Ukuran Sudut, Perbandingan Trigonometri dan Menyelesaikan Masalah Kontekstual menggunakan Perbandingan Trigonometri.

Bahan Ajar ini terdiri atas 3 bagian proses. Peserta didik bisa mempelajari Bahan Ajar ini dengan tahapan berikut: Kegiatan Pembelajaran 1 akan membahas tentang Ukuran Sudut, Kegiatan Pembelajaran 2 akan membahas tentang Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku dan Kegiatan Pembelajaran 3 tentang Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa.

D. Petunjuk Penggunaan Bahan Ajar

Supaya Peserta didik berhasil mencapai kompetensi dalam mempelajari modul ini maka ikuti petunjuk-petunjuk berikut:

a.Petunjuk Umum:

1) Pelajari daftar isi serta skema bahan ajar dengan cermat, karena daftar isi dan peta kedudukan bahan ajar ini akan menuntun anda dalam mempelajari bahan ajar ini dan kaitannya dengan bahan ajar yang lain.

2) Untuk mempelajari bahan ajar ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

3) Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4) Kerjakan soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini.

Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapat pengetahuan tambahan.

b.Petunjuk Khusus

1) Dalam kegiatan Pembelajaran Peserta didik akan mempelajari bagaimana memahami konsep dan menyelesaikan masalah Perbandingan Trigonometri

2) Perhatikan gambar-gambar dan uraian dengan seksama agar dapat memahami, menentukan dan menggeneralisasikan Perbandingan Trigonometri serta mampu menerapkan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hal tersebut.

3) Pahamilah contoh-contoh soal yang ada dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Kerjakanlah soal uji kompetensi dengan cermat agar Peserta didik bisa lebih paham dan terampil.

E. Materi Pembelajaran

Bahan Ajar ini terbagi menjadi 3 kegiatan pembelajaran dan didalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.

Pertama : Ukuran Sudut dan Konsep Dasar Sudut

Kedua : Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku Ketiga : Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1

UKURAN SUDUT

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan peserta didik dapat:

1. Memahami satuan ukuran sudut dalam radian dan derajat dengan baik 2. mengkonversi satuan sudut dari derajat ke radian dengan benar

3. mengkonversi satuan sudut dari radian ke derajat dengan benar

B. Uraian Materi

Gambar : Pengukuran tinggi gedung

Sumber : https://images.app.goo.gl/AQcHMTjeBkfogGEy6hbcwX8

Pernahkah peserta didik melihat seorang sedang mengukur jalan yang akan diperbaiki atau mengukur ketinggian sebuah gedung? Tahukah peserta didik bagaimana seorang Nakhoda kapal memperkirakan jarak antara kapal dengan pelabuhan atau pantai atau dengan kapal lain sehingga kapalnya tidak bertabrakan? Bagaimana seorang ahli kelautan mengukur kedalaman Samudra, ketinggian ombak atau seorang Astronom mengukur jarak bintang? Para ahli tersebut bekerja menggunakan perhitungan Trigonometri. Aktivitas pengukuran tersebut hanya sebagian dari penerapan trigonometri dalam kehidupan nyata.

Secara sederhana, menggunakan trigonometri berarti melakukan penghitungan yang berkaitan dengan sudut. Trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan besar sudut.

Trigonometri berasal dari bahasa yunani yaitu trigonon yang berarti tiga sudut dan metron yang berarti mengukur. Jadi dapat dikatakan bahwa trigonometri membahas mengenai sudut-sudut yang berada di dalam segitiga. Dalam bidang fisika, teknik, dan kedokteran, trigonometri mengambil peranan penting dalam pengembang teknologi kedokteran

dan teori-teori fisika dan teknik. Dalam Matematika, trigonometri digunakan untuk menemukan relasi antara sisi dari sudut pada suatu segitiga.

Setelah membaca paparan di atas, Peserta didik bisa mengetahui betapa luasnya penggunaan Trigonometri dalam kehiduapan nyata.

Bagaimana, menarikkan? Mudah-mudahan Peserta didik termotivasi untuk mempelajari lebih dalam Trigonometri, khususnya belajar matematika sebagai tarunya ilmu pengetahuan.

1. Ukuran Sudut dalam Derajat

Sesuatu yang bisa diukur itu memiliki satuan ukuran untuk mengukurnya. Begitu pula dengan sudut. Satuan sudut yang paling sering kita temui dan dipergunakan adalah derajat (dilambangkan dengan “o”).

Peserta didik pasti masih ingat pelajaran waktu SMP bahwa besar sudut dalam satu putaran penuh adalah 360o atau 1o didefinisikan sebagai besar sudut yang dibentuk oleh 1

360 ° kali putaran penuh.

Coba Peserta didik cermati gambar berikut:

Gambar 1.1

Dari gambar 1.1 didapat besar sudut berikut:

1

360 putaran= 1

360.360 °=1°

1

4 putaran=1

4.360 °=90°

1

2 putaran=1

2.360 °=180 ° 1

12 putaran= 1

12.360 °=30 ° 1

8 putaran=1

8.360 °=45

2. Ukuran Sudut dalam Radian

Sebelum kita memahami hubungan “derajat dengan radian”, mari kita pelajari teori mengenai radian.

Perhatikan gambar di bawah!

Gambar 1.2

Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat QOP yang panjang busurnya sama dengan jari-jari, perhatikan Gambar 8.2.

Jika jari-jari OQ = OP = panjang busur QP = r, maka

besar sudut QOP=panjangbusur QP jari− jari OQ =r

r=1 radian

Hubungan satuan derajat dengan satuan radian adalah bahwa satu putaran penuh sama dengan 2π radian. Untuk lebih jelasnya, dapat kita lihat seperti di bawah ini.

satu putaran=360°=2 π rad 1

2satu putaran=1

2. 360 °=180 °=π rad Makadidapat 1rad =180 °

π ≅57,3 °

3. Mengubah Ukuran Derajat ke Radian

Untuk mengubah x derajat ke radian dapat dilakukan dengan rumus:

x °=x ° . 1

180°π rad

Untuk lebih memahami mengubah derajat ke radian, coba peserta didik pahami contoh-contoh berikut:

Contoh 1 : Ubahlah sudut 90^o ke radian!

Penyelesaian : 90 °=90 ° . 1

180 ° π rad 90 °= 90 °

180° π rad 90 °=1

2π rad

Contoh 2 : 240^o = ... π rad Penyelesaian :

240 °=240 °. 1

180° π rad 240 °=240°

180° π rad 240 °=4

3π rad

4. Mengubah Ukuran Radian ke Derajat

Untuk mengubah x radian ke derajat dapat dilakukan dengan rumus:

x rad =x ° .180 ° π

Untuk lebih memahami masalah mengubah ukuran radian ke derajat, coba Peserta didik pahami contoh-contoh berikut:

Contoh 1 : Ubahlah sudut 2/3 π rad ke derajat!

Penyelesaian : 2

3π rad =2

3 π .180°

π 2

3π rad =2 .60 ° 2

3π rad =120 °

Contoh 2 : 1/3 π rad = … ^o Penyelesaian :

1

3π rad =1

3 π .180°

π

Contoh 3 :

Nyatakan sudut berikut dalam bentuk derajat.

a. π 6 radian b. 7 π 9 radian

c. π

6 radian d. 7

9 radian

Penyelesaian : a. π

6 radian = π

6 x 1 radian = π

6 x 180^°

π = 30^°

b. 7 π

9 radian = 7 π

9 x 1 radian = 7 π

9 x 180^°

π = 140^°

c. 1

6 radian = 1

6 x 1 radian = 1

6 x 180^°

π =

(

³⁰π

)

^°

d. 7

9 radian = 7

9 x 1 radian = 7

9 x 180^°

π = 7 x 180^° 9 π =

(

¹⁴⁰π

)

^°

C. Rangkuman

1. Ada dua ukuran untuk mengukukur sudut, yaitu derajat dan radian.

2. 1°= 1

360 putaran

3. 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran berjarijari r dan membentuk busur sepanjang r juga.

4. Hubungan satuan derajat dengan satuan radian adalah bahwa satu putaran penuh sama dengan 2π radian .

5. 1rad =180 °

π ≅57,3 °

6. Untuk mengubah x derajat ke radian dapat dilakukan dengan rumus:

x °=x ° . 1

180° π rad

7. Untuk mengubah x radian ke derajat dapat dilakukan dengan rumus:

x rad =x ° .180 ° π

D. Latihan Soal

Untuk meningkatkan pemahaman, coba Peserta didik kerjakan Latihan soal berikut!

1. Untuk setiap besar sudut di bawah ini, ubahlah ke bentuk satuan derajat dan radian.

a. 1

3 putaran

b. 2

5 putaran

2. Nyatakanlah sudut berikut ke dalam satuan radian.

a. 120^o b. 210^o

3. Nyatakan sudut berikut ke dalam bentuk derajat.

a. 1 3π rad b. 3

4π rad

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan peserta didik dapat:

1. memahami perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dengan baik

2. menghitung perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dengan tepat

3. menyelesaikan masalah menggunakan perbandingan trigonometri dengan benar

B. Uraian Materi

Jika Peserta didik perhatikan lingkungan sekitar kita, banyak benda atau bangunan memiliki sudut atau pojok tertentu. Bentuk-bentuk sudut dari benda di alam terbentuk dengan sendirinya, seperti sudut dahan dengan ranting, lekukan batuan, dan sebagainya. Bentuk sudut ada yang sengaja dirancang seperti penggaris berbentuk segitiga, sudut antara dua ruas jalan yang bersilangan, sudut yang terbentuk antara jarum pendek dan jarum panjang dari sebuah jam dinding, bentuk permukaan buku. Model atap rumah biasanya dibuat dengan sudut atau pojok sesuai kebutuhan. Titik sudut sebuah buku biasanya tegak lurus, sedangkan atap rumah sudutnya lebih kecil.

Ilmu ukur sudut dipelajari secara khusus dalam trigonometri yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut dalam suatu segitiga dan sifat- sifat serta aplikasinya dalam berbagai bidang seperti penaksiran tinggi bangunan atau pohon, jarak mendatar puncak gunung terhadap lembahnya, dan sebagainya.

Pada peradaban kehidupan kita, kajian mengenai trigonometri sudah tercermin dari berbagai ikon kehidupan mereka. Misalnya, para arsitekturnya, sudah menerapkan kesetimbangan bangunan pada rumah adat yang mereka ciptakan, sebagai contoh rumah adat Dayak. Rumah adat tersebut berdiri kokoh sebagai hasil hubungan yang tepat antara besar sudut yang dikaitkan dengan panjang sisi-sisinya.

Pada kegiatan pembelajaran 2, ini kita akan mempelajari konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.

Perhatikan gambar berikut!

Gambar 1.3

Segitiga ACB merupakan segitiga siku-siku dengan titik sudut siku- siku di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a satuan, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b satuan, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c satuan. Pada gambar, diketahui BAC = . Sisi BC = a disebut sisi di depan sudut , sisi AC = b disebut sisi di samping sudut , dan sisi AB = c disebut sisi miring (hipotenusa). Dari ketiga sisi segitiga siku-siku ABC tersebut, dapat didefinisikan perbandingan trigonometri sudut α^° sebagai berikut :

a. sin α °=sisidi depan sudut α sisimiring =a

c b. cos α °=sisi disamping sudut α

sisimiring =b c c. tan α °=sisi di depan sudut α

s i di samping sudut α=a b d. sec α °= sisimiring

sisidi samping sudut α=c b e. cosec α °= sisimiring

sisidi depan sudut α=c a f. cot α °=sisidi sa mping sudut α

sisidi depan sudut α =b a

Berdasarkan definisi di atas, dapat diturunkan rumus-rumus dasar trigonometri berikut ini.

a. cosec α °= 1

sin α d. tan α ° =sin α cos α b. sec α ° = 1

cos α e. cot α °=cos α sin α

Contoh : 1

Pada segitiga siku – siku ABC dengan panjang sisi a = 4 cm, b = 5 cm dan c = 3 cm. Carilah nilai ke enam perbandingan trigonometri untuk sudut α^° .

Penyelesaian :

a. sin θ °=c b=3

5 d. sec θ °=b a=5

4

b. cos θ °=a b=4

5 e. cosec θ °=b c=5

3

c. tan θ °=c a=3

4 f. cot α °=a c=4

3

Contoh : 2

Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang sisi a =

√

5 satuan dan panjang sisi b = 2 satuan. Jika BAC = , tentukanlah nilai keenam perbandingan trigonometri untuk sudut .

Penyelesaian :

Nilai c dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras : c=

√

^a2+b2=

√

⁽

^√

^5)2+(2)2=

^√

⁵⁺⁴⁼

^√

⁹⁼³

Jadi, nilai perbandingan trigonometri sudut  adalah : a. sin α °=

√

⁵

3 =1

3

√

⁵ d. sec α °=3 2 b = 5

c = 3

a = 4

b. cos α °=2

3 e. cosec α °= 3

√

⁵⁼

3 5

√

⁵

c. tan α °=

√

5 2 =1

2

√

⁵ f. cot α °= 2

√

⁵⁼

2 5

√

⁵

Contoh : 3

Seorang ahli Biologi ingin mengetahui lebar sebuah sungai sehingga alat yang dipasang untuk mengetahui polutan dalam air sungai dapat diatur dengan baik. Jarak dari ahli Biologi berdiri pada tempat yang akan dipasang alat di titik A adalah 100 kaki dan sudut pandang pada alat di seberang sungai, yaitu di titik C sebesar 30^o (lihat gambar). Hitunglah lebar sungai tersebut.

Penyelesaian :

Dari soal dapat dibuat diagramnya sebagai berikut:

Jarak dari pengamat pada alat yang dipasang adalah 100 kaki Sudut elevasi 30^o

Yang dicari lebar sungai.

Dimisalkan lebar sungai AC.

tan α °=AC

AB→ AC=AB . tan α AC=100.1

3

√

3=100 3

√

3

Jadi lebar sungai adalah 100

3

√

3 kaki

C. Rangkuman

Definisi Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

a. sin α °=sisidi depan sudut α a

b. cosα °=sisi disamping sudut α sisimiring =b

c c. tan α °= sisidi depan sudut α

sisi disamping sudut α=a b d. sec α °= sisimiring

sisidi samping sudut α=c b e. cosec α °= sisimiring

sisidi depan sudut α=c a

f. cot α °=sisidi samping sudut α sisidi depan sudut α =b

a

D. Latihan Soal

Untuk meningkatkan pemahaman, coba Peserta didik kerjakan latihan soal berikut!

1. Segitiga ABC siku-siku di C. Apabila sin A = 0.5,tentukan:

a. cos A dan tan A b. sec A dan cot A

2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, jika panjang AC adalah 8 cm, dan  A = 30^o. Hitunglah panjang AB dan BC!

3. Seorang anak memandang sebuah pohon dengan sudut 60^o. Apabila jarak anak tersebut 60 meter dari pohon, tentukan tinggi pohon tersebut!

4. Andi melihat sebuah sebuah menara dari jarak 150 meter dengan sudut elevasi 30^o. Jarak mata Andi dengan tanah 150 cm. Tentukan tinggi gedung tersebut!

KEGIATAN PEMBELAJARAN 3

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan peserta didik dapat:

1.memahami perbandingan trigonometri sudut istimewa dengan baik 2.menghitung perbandingan trigonometri sudut istimewa dengan tepat 3.menyelesaikan masalah menggunakan perbandingan trigonometri sudut

istimewa dengan benar

B. Uraian Materi

Sudut istimewa adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut yang dimaksud adalah sudut-sudut yang besarnya 0^o, 30^o, 45^o, 60^o, dan 90^o. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat ditentukan dengan menggunakan konsep lingkaran satuan seperti pada gambar berikut.

Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri, diperoleh hubungan:

sin α °= P P^, OP=y

1=y cosα °=O P^,

OP =x 1=x tan α °=P P^,

O P^,=y

x,dengan syarat x ≠ 0

Jadi, dalam lingkaran satuan ini koordinat titik P(x, y) dapat dinyatakan sebagai

P(cos ^o, sin ^o) Gambar 1.4

Jika titik P( x, y ) mendekati sumbu X dan berhimpit dengan sumbu X,

maka x = r = 1, sudut α◦ = 0⁰ , dan y = 0.

Maka diperoleh : sin 0 °=y

1=0 1=0 cos 0 °=x

1=1 1=1 tan 0 °=x

y=0

1=0 gambar 1.5

2. Nilai Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut 30^o

Perhatikan gambar di samping!

Jika ^o = 30^o, maka OPQ = 60^o, sehingga OPQ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi OP = OQ = PQ = 1, dan PP’ = QP’ = ½ atau ordinat y = ½.

OPP’ siku-siku di P’, dengan

menggunakan teorema Pythagoras diperoleh hubungan:

(OP’)² + (PP’)² = (OP)² (OP’)² = (OP)² – (PP’)² (OP’)² = 1² – ( ½ )² (OP’)² = 1 – ¼ = ¾

OP’ =

√

³⁴⁼¹²

^√

^{3 Gambar 1.6}

OP’ menyatakan absis titik P atau x = 1

2

√

3 Jadi, untuk ^o = 30^o, maka koordinat titik P adalah ( 1

2

√

3 , ½ ) = (cos 30^o, sin 30^o), maka diperoleh:

sin 30^o = ½ cos 30^o = 1

2

√

3 , dan tan 30^o =

1 2 1 2

√

³

= 1

√

^{3 =}

1 3

√

³

3. Nilai Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut 45^o

Perhatikan gambar di samping!

Jika ^o = 45^o, maka OPP’ merupakan segitiga sama kaki dengan panjang sisi OP = PP’ atau x = y. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh hubungan:

(OP’)² + (PP’)² = (OP)² x ² + y ² = 1

x² + y² = 1 2x² = 1 x² = ½

x =

√

¹²⁼¹²

^√

^{2 Gambar 1.7}

Karena x = y, maka y = 1

2

√

2 . Jadi, untuk ^o = 45^o, maka koordinat titik P adalah ( 1

2

√

2 , 1

2

√

2 ) = (cos 45^o, sin 45^o), maka diperoleh:

sin 45^o = 1 2

√

²

cos 45^o = 1 2

√

²

tan 45^o = 1 2

√

²

1 2

√

²

=1

4. Nilai Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut 60^o

Perhatikan gambar di samping!

Jika ^o = 60^o, maka OPQ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi OP = OQ = PQ = 1, dan OP’ = QP’ = ½ sehingga absis x

= ½ . Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh hubungan:

(OP’)² + (PP’)² = (OP)² (PP’)² = (OP)² – (OP’)² (PP’)² = 1 – ( ½ )² (PP’)² = 1 – ¼ = ¾ PP’ =

√

³⁴⁼¹²

^√

³

Gambar 1.8 PP’ menyatakan ordinat titik P atau y = 1

2

√

3 . Jadi, untuk ^o = 60^o, maka koordinat titik P adalah (1/2 , 1

2

√

3 ) = (cos 60^o, sin 60^o), maka diperoleh:

sin 60^o = 1 2

√

³

cos 60^o = ½ , dan tan 60^o =

√

³

5. Nilai Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut 90^o

Perhatikan gambar di samping!

Jika ^o = 90^o, maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu Y positif

cos 90^o = 0 dan tan 90^o = 1

0=

Rangkuman Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Besar sudut ^o

0^o 30^o 45^o 60^o 90^o

sin ^o 0 1

2

1

2

√

^{2 1}

2

√

³ 1

cos ^o 1 1

2

√

3 1

2

√

2 1

2 0

tan ^o 0 1

3

√

³ 1

√

^{3 ~}

sec ^o 1 2

3

√

³

√

^{2 2 ~}

cosec ^o ~ 2

√

² ₃²

√

³ 1

cot ^o ~

√

^{3 1 1}₃

√

³ 0

Contoh : 1 Hitunglah :

a. tan 30^o + sin 45^o b. cos 0^o + sec 45^o

c. (sin 30⁰ + cos 60⁰) . tan 30⁰ Penyelesaian :

a. tan 30^o + sin 45^o = 1

3

√

3 + 1 2

√

²

b. cos 0^o + sec 45^o = 1 +

√

²

c. (sin 30⁰ + cos 60⁰) . tan 30⁰ = ( ½ + ½ ). 1

3

√

3 = 1 3

√

³

Contoh 2 :

Diketahui Δ ABC siku-siku di B, sudut A = 30⁰ dan BC = 12 cm. Hitung panjang AB dan AC!

Penyelesaian : sin 30⁰ =

BC

AC tan 30⁰ =

BC AB

1 2 =

12

AC 1

√³ =

12

AB AC = 12 x 2 AB = 12 x √³

AC = 24 cm AB = 12 √³ _cm

Jadi panjang AB dan AC adalah 24 cm dan 12 √³ _cm

C. Rangkuman

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Besar sudut ^o

0^o 30^o 45^o 60^o 90^o

sin ^o 0 1

2

1

2

√

2 1

2

√

3 1

cos ^o 1 1

2

√

^{3 1}₂

√

^{2 1}₂ 0

tan ^o 0 1

3

√

³ 1

√

3 ~

sec ^o 1 2

3

√

³

√

^{2 2 ~}

cosec ^o ~ 2

√

² ₃²

√

³ 1

cot ^o ~

√

^{3 1 1}₃

√

3 0

D. Latihan Soal

Untuk meningkatkan pemahaman, coba Peserta didik kerjakan latihan soal berikut!

1. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, jika panjang AC adalah 8 cm, dan  A = 30^o. Hitunglah panjang AB dan BC!

2. Seorang anak memandang sebuah pohon dengan sudut 60⁰. Apabila jarak anak tersebut 60 meter dari pohon, tentukan tinggi pohon tersebut!

3. Andi melihat sebuah sebuah menara dari jarak 150 meter dengan sudut elevasi 30⁰. Jarak mata Andi dengan tanah 150 cm. Tentukan tinggi gedung tersebut!

EVALUASI

1. Nyatakalah ukuran sudut berikut ke dalam ukuran radian a. 240⁰

b. 330⁰

2. Nyatakalah ukuran sudut berikut ke dalam ukuran derajat a. 2/3 � rad

b. 7/6 � rad

3. Hitunglah nilai � dan y pada gambar berikut ini.

4. Seorang pilot pesawat melihat puncak gunung dari ketinggian 1200 m. Apabila sudut depresi (sudut lihat pilot terhadap arah mendatar)sebesar30⁰,maka:

a. Gambarkan sketsa puncak gunung, posisi pesawat dan ketinggian dari tanah!

10 y

60

o

30

o

x

b. Tentukan jarak pesawat ke puncak gunung!

5. Sebuah tangga disandarkan pada suatu pohon kelapa yang batangnya lurus dan mempunyai buah siap panen. Sudut yang dibentuk oleh tangga itu dengan tanah (horizontal) adalah 60. Jarak kaki tangga ke batang pohon kelapa hingga dapat meraih buah adalah 5 m, hitunglah jarak lintasan yang ditempuh seseorang untuk dapat mengambil buah pohon kelapa tersebut!

DAFTAR PUSTAKA

Kemdikbud. 2014. Matematika Kelas XI. Jakarta : Puskurbuk.

Kemdikbud. 2019. Paket Unit Pembelajaran Matematika Trigonometri. Jakarta.

Dirjen Guru.

Entis Sutisna. 2020. Modul Pembelajaran SMA. Tanggerang