BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Modul merupakan struktur aljabar yang diperoleh dari perumuman struk- tur ruang vektor dengan memperumum ruang skalarnya menjadi ring dengan ele- men satuan. Modul atas ring R ditulis sebagai R-modul. Suatu fungsi antara dua R-modul dikatakan sebagai R-homomorfisma modul jika fungsi tersebut memper- tahankan operasi penjumlahan dan perkalian skalarnya. Beberapa R-modul dan R-homomorfisma modul dapat membentuk suatu barisan dan diagram komutatif.

Barisan R-modul dan R-homomorfisma modul yang sering digunakan dalam teori modul adalah barisan eksak. Barisan R-modul dan R-homomorfisma

. . . −−→ A ^f

ⁱ⁻¹

_i−1 − −→ A ^f

ⁱ

_i −−→ A ^f

ⁱ⁺¹

_i+1 −−→ . . . ^f

ⁱ⁺²

dikatakan eksak di A i jika Im(f i ) = Ker(f _i+1 ). Barisan tersebut merupakan baris- an eksak jika barisan tersebut eksak di setiap A _i atau Im(f _i ) = Ker(f _i+1 ) untuk setiap i.

Barisan eksak mempunyai beberapa sifat yang terkait dengan diagram ko- mutatif R-modul dan R-homomorfisma seperti Lemma Lima, isomorfisma antara dua barisan, dan Lemma Snake. Lemma Snake merupakan salah satu lemma a- plikatif dan sering digunakan terkait keeksakan barisan pada diagram komutatif.

Selain itu, terdapat sifat-sifat barisan eksak yang terkait dengan modul yang diban- gun secara berhingga dan modul yang memenuhi kondisi rantai naik (rantai turun).

Keeksakan barisan 0 → A ₁ − → A ^f − → A ^g ₂ merupakan syarat perlu dan syarat cukup keeksakan barisan 0 → Hom R (B, A ₁ ) − −→ Hom ^f

^∗

_R (B, A) − −→ Hom ^g

^∗

_R (B, A ₂ ) atas Z-modul untuk sebarang R-modul B. Barisan eksak 0 → A − −→ B ^f − −→ C → 0 ^g dikatakan sebagai barisan eksak terpisah jika Im(f ) penjumlah langsung dari B.

1

Modul khusus seperti modul proyektif dan modul injektif juga mempunyai keterkai- tan dengan barisan eksak, terutama barisan eksak terpisah. Lemma Schanuel meru- pakan salah satu lemma yang mengaitkan keeksakan barisan dengan modul proyek- tif dan modul injektif.

Dalam struktur R-modul A, terdapat submodul yang merupakan himpunan bagian dari A dan merupakan R-modul dengan operasi perkalian skalar yang sama pada A. Submodul 0 dan A merupakan submodul trivial dalam R-modul A. Jika barisan R-modul dan R-homomorfisma A − −→ B ^f − −→ C merupakan barisan eksak, ^g maka Im(f ) = Ker(g) = {x ∈ B | g(x) = 0} = g ⁻¹ (0). Penggantian submodul 0 dengan sebarang submodul U di C pada Im(f ) = Ker(g) = g ⁻¹ (0) memunculkan definisi tentang barisan quasi-eksak.

Davvaz dan Parnian-Garamaleky (1999) mengkaji konsep barisan quasi- eksak tersebut. Barisan R-modul A − −→ B ^f − −→ C dikatakan quasi-eksak di B ^g jika terdapat submodul U di C sedemikian hingga Im(f ) = g ⁻¹ (U ). Selanjut- nya barisan tersebut dikatakan U -eksak (di B). Davvaz dan Parnian-Garamaleky (1999) juga mengkaji beberapa sifat yang diperoleh dari perumuman lemma atau teorema pada barisan eksak, seperti Lemma Lima Pendek, dua barisan yang iso- morfis, dan teorema barisan eksak R-modul yang memenuhi kondisi rantai naik atau kondisi rantai turun. Lebih lanjut, Anvariyeh dan Davvaz (2002) mengkaji konsep dual barisan U -eksak pada barisan A − −→ B ^f − −→ C yaitu dengan peng- ^g gantian A dengan sebarang submodul V di A pada f (A) = Im(f ) = Ker(g).

Barisan R-modul A − −→ B ^f − −→ C disebut barisan V -koeksak (di B) jika terdap- ^g

at submodul V di A sedemikian hingga f (V ) = Ker(g). Selain itu, Anvariyeh

dan Davvaz (2002) mengkaji konsep barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah, serta

beberapa sifatnya yang terkait dengan modul proyektif, modul injektif, submod-

ul khusus, dan homomorfisma khusus. Dalam hal ini, submodul khusus meliputi

submodul esensial dan submodul kecil, sedangkan homomorfisma khusus meliputi

monomorfisma esensial dan epimorfisma kecil. Kondisi khusus pada submodul dan

homomorfisma dapat menyebabkan barisan quasi-eksak dan dualnya mempunyai

suatu sifat tertentu.

Ada sifat-sifat lain barisan quasi-eksak dan barisan U -terpisah dan V -ko- terpisah yang perlu dikaji atau diselidiki terkait perumuman barisan eksak menjadi barisan quasi-eksak. Sifat-sifat barisan quasi-eksak tersebut seperti sifat barisan R- modul yang dibangun secara berhingga dan keeksakan barisan grup R-homomorfis- ma modul atas Z, sedangkan sifat-sifat barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah seperti sifat yang terkait modul proyektif dan modul injektif. Sifat barisan quasi-eksak dan barisan quasi-eksak terpisah yang terkait submodul khusus dan homomorfisma khusus juga menarik diselidiki lebih lanjut. Eksistensi Lemma Snake dan Lemma Schanuel pada barisan quasi-eksak menarik untuk diselidiki karena Lemma Snake merupakan lemma yang aplikatif terkait keeksakan barisan dan diagram komutatif, sedangkan Lemma Schanuel merupakan lemma dasar dalam mempelajari dimensi proyektif dan dimensi injektif.

Barisan eksak merupakan konsep dasar yang sangat membantu dalam mem- pelajari teori modul. Perumuman barisan eksak menjadi barisan quasi-eksak dan dualnya yaitu barisan U -eksak dan V -koeksak memungkinkan adanya dampak pa- da konsep-konsep yang berkaitan dengan barisan eksak. Perumuman tersebut juga memungkinkan pembuktian dengan diagram komutatif yang baris-barisnya bukan barisan eksak melainkan barisan quasi-eksak. Sebelum mempelajari dampak lanjut dari perumuman tersebut, perlu dibahas lebih dulu sifat-sifat dasar barisan quasi- eksak dan barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah, serta eksistensi lemma-lemma dasar yang terkait dengan barisan eksak pada barisan quasi-eksak dan dualnya. Oleh karena itu, penulis mengambil topik perumuman barisan eksak sebagai topik peneli- tian tesis ini.

1.2. Rumusan Masalah

Pada keseluruhan tesis ini, R merupakan ring dengan elemen satuan dan R- modul A adalah modul kiri atas ring R kecuali jika ada keterangan lain. Masalah yang diselidiki dalam tesis ini antara lain:

1. bagaimana sifat-sifat barisan quasi-eksak yang terkait dengan sifat barisan R-

modul yang dibangun secara berhingga, keeksakan barisan grup R-homomorfisma modul atas Z, dan sifat barisan quasi eksak pada diagram komutatif terkait sub- modul khusus dan homomorfisma khusus?

2. bagaimana sifat barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah yang terkait dengan sifat barisan modul proyektif dan modul injektif, barisan grup R-homomorfisma mo- dul atas Z, dan sifat barisan yang terkait submodul khusus dan homomorfisma khusus?

3. apakah Lemma Snake dan Lemma Schanuel pada barisan quasi-eksak masih berlaku?

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan penyusunan tesis ini antara lain:

1. menyelidiki sifat-sifat barisan quasi-eksak yang terkait dengan sifat barisan R- modul yang dibangun secara berhingga, keeksakan barisan grup R-homomorfisma modul atas Z, dan sifat barisan quasi eksak pada diagram komutatif terkait sub- modul khusus dan homomorfisma khusus,

2. menyelidiki sifat barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah yang terkait dengan sifat barisan modul proyektif dan modul injektif, barisan grup R-homomorfisma mo- dul atas Z, dan sifat barisan yang terkait submodul khusus dan homomorfisma khusus,

3. menyelidiki eksistensi Lemma Snake dan Lemma Schanuel pada barisan quasi- eksak.

1.4. Tinjauan Pustaka

Dalam penelitian ini diperlukan beberapa dasar teori mengenai barisan ek-

sak, grup R-homomorfisma modul, Lemma Snake, Lemma Schanuel, submodul

khusus, dan homomorfisma khusus. Dasar teori mengenai barisan eksak dan sifat- sifatnya serta grup R-homomorfisma modul diambil dari buku karangan Adkins dan Weintraub (1992). Dasar teori Lemma Snake dirujuk dari buku karangan Wisbauer (1991) dan Lang (2002). Selanjutnya buku karangan Lam (1999) digunakan se- bagai dasar teori untuk mengkaji tentang Lemma Schanuel. Dasar teori mengenai submodul khusus, dan homomorfisma khusus diambil dari buku karangan Anderson dan Fuller (1992) dan Wisbauer (1991).

Artikel yang membahas tentang barisan quasi-eksak dan beberapa sifat ten- tang barisan quasi-eksak ditulis oleh Davvaz dan Parnian-Garamaleky (1999). Sifat- sifat lanjutan barisan quasi-eksak yaitu dual barisan quasi-eksak, barisan quasi- eksak terpisah, serta sifat barisan eksak terkait submodul khusus dan homomor- fisma khusus ditulis oleh Anvariyeh dan Davvaz (2002). Pada tahun yang sama, artikel tentang generalisasi Lemma Lambek, Lemma Snake, dan hubungan barisan U -eksak dengan U -kompleks ditulis oleh Davvaz dan Shabani Solt (2002). Artikel yang ditulis Anvariyeh dan Davvaz (2005) mengkaji sifat-sifat lain pada barisan quasi-eksak.

Pada tesis ini dikaji kembali sifat barisan quasi-eksak yang telah dikaji oleh Anvariyeh dan Davvaz (2005), sifat barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah yang telah dikaji oleh Anvariyeh dan Davvaz (2002), dan Lemma Snake pada barisan quasi-eksak yang telah dikaji oleh Davvaz dan Shabani Solt (2002). Selain itu, dibahas hasil-hasil penelitian penulis yaitu sifat barisan quasi-eksak yang mengin- duksi barisan quasi-eksak baru, sifat-sifat dual barisan quasi-eksak, sifat barisan V -ko-terpisah terkait grup R-homomorfisma, sifat barisan U -terpisah dan V -ko- terpisah terkait modul sederhana, dan Lemma Snake pada dual barisan quasi-eksak.

1.5. Metode Penelitian

Konsep mendasar yang dipelajari terlebih dahulu dalam penelitian ini adalah

konsep barisan eksak dan sifat-sifatnya, grup R-homomorfima modul, Lemma Snake,

Lemma Schanuel, submodul khusus, dan homomorfisma khusus. Selanjutnya, kon-

sep yang perlu dipelajari adalah barisan quasi-eksak, barisan U -terpisah dan V - ko-terpisah, serta beberapa sifat-sifatnya. Konsep-konsep tersebut menjadi dasar dalam perumuman sifat-sifat barisan eksak menjadi sifat-sifat barisan quasi-eksak, perumuman Lemma Snake dan Lemma Schanuel untuk barisan quasi-eksak.

Metode atau langkah-langkah yang dipelajari dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. mempelajari sifat-sifat barisan eksak, konsep grup R-homomorfisma modul, sub- modul khusus dan homomorfisma khusus, kemudian sifat-sifat tersebut diperu- mum untuk barisan quasi-eksak,

2. mempelajari sifat-sifat barisan eksak split, kemudian menyelidiki sifat barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah,

3. mempelajari Lemma Snake yang terkait barisan eksak, selanjutnya menyelidiki eksistensi Lemma Snake saat barisan eksak diperumum menjadi barisan quasi- eksak dan syarat yang diperlukan agar terdapat keeksakan barisan yang serupa pada Lemma Snake yang terkait barisan eksak,

4. mempelajari Lemma Schanuel yang terkait barisan eksak, kemudian menyelidiki bentuk Lemma Schanuel saat barisan eksak diperumum menjadi barisan quasi- eksak.

1.6. Sistematika Penulisan

Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar penelitian.

Bab ini memuat penjelasan tentang barisan eksak, homomorfisma modul, Lemma

Snake, Lemma Schanuel, serta submodul khusus dan homomorfisma khusus.

BAB III SIFAT-SIFAT BARISAN QUASI-EKSAK

Pada bab ini berisi tentang hasil kajian maupun hasil penelitian yang telah dilakukan yaitu barisan quasi-eksak, barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah, sifat-sifat baris- an quasi-eksak, sifat-sifat barisan U -terpisah dan V -koterpisah, Lemma Snake dan Lemma Schanuel pada barisan quasi eksak. Sifat-sifat barisan quasi-eksak tersebut terkait dengan sifat barisan R-modul yang dibangun secara berhingga, keeksakan barisan grup R-homomorfisma modul atas Z, dan sifat barisan quasi eksak pada di- agram komutatif terkait submodul khusus dan homomorfisma khusus. Sedangkan sifat barisan U -terpisah dan V -ko-terpisah tersebut terkait dengan sifat barisan yang terkait modul proyektif dan modul injektif, barisan grup R-homomorfisma modul atas Z, dan sifat barisan yang terkait submodul khusus dan homomorfisma khusus.

BAB IV SIMPULAN

Pada bab ini berisi tentang simpulan dari hasil penelitian dan saran untuk pengem-

bangan penelitian selanjutnya.