APLIKASI ALGORITMA KUMAR AND KAUR DENGAN MENGGUNAKAN TRIANGULAR FUZZY NUMBERS DALAM PENCARIAN LINTASAN TERPENDEK DARI MEDAN- PADANG.

APLIKASI ALGORITMA KUMAR AND KAUR DENGAN MENGGUNAKAN TRIANGULAR FUZZY NUMBERS DALAM PENCARIAN LINTASAN

T E R P E N D E K D A R I M E D A N - P A D A N G

Oleh :

Novia Siska Arvioni Nim. 409230032 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang

telah memberikan curahan rahmat, taufiq dan hidayahNya sehingga skripsi

yang berjudul “Aplikasi Algoritma Kumar and Kaur dengan Menggunakan

Triangular Fuzzy Numbers dalam Pencarian Lintasan Terpendek dari

Medan-Padang” ini dapat terselesaikan. Shalawat serta salam semoga tetap

terlimpahkan kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah

membawa kita dari jalan yang gelap menuju jalan yang terang benderang.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan

mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta

doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, pada

kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. Ibnu

Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan,

M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati

Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si

selaku Ketua Program Studi Matematika serta Pembimbing Skripsi yang telah

meluangkan waktu dalam memberikan pengarahan, bimbingan, dan

petunjuk-petunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini sehingga skripsi ini

dapat penulis selesaikan dengan baik, Bapak Drs. H. Banjarnahor, M.Pd., selaku

Pembimbing Akademik, Bapak Mulyono, S.Si, M.Si., Ibuk Dra. Hamidah

Nasution, M.Si., dan Bapak Drs. J. Ambarita, M.Pd., selaku dosen penguji penulis

yang telah memberikan saran dan masukan selama penulisan skripsi ini, Seluruh

dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Negeri Medan, Bapak Agustinus Panjaitan selaku Kepala

Subprogram dan penanggung jawab dalam penelitian penulis di Dinas

v

Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima kasih dan

hormat kepada Ayahanda Muliar yang menjadi motivasi saya sampai saat ini dan

Ibunda Siti Nurani untuk semua kasih sayang, doa, motivasi, dan jerih payah.

Sehingga penulis dapat menyelesaikan studi. Juga terhadap adik-adikku tersayang

Yolanda Multia, Odi Prayoga dan Oktavia Anggraini yang selalu menjadi

Kekuatan, Penyemangat, Penghibur dan Penghilang rasa lelahku. Tidak lupa pula

penulis ucapkan terima kasih kepada nenek tercinta yang telah memberi motivasi,

dan penulis juga ucapkan terima kasih kepada ibuk Janah, Om Aban, Rafli dan

Cella yang telah memberi doa, motivasi, kekuatan, penghibur dan penghilang rasa

lelahku.

Dalam penulisan skipsi ini penulis banyak mendapat dukungan dari

teman-teman. Terima kasih penulis ucapkan pada sahabatku tercinta Juliya Devi, Maria

Rufina, Shinta Martina, Imam Novriandi, Hedro N. Hutabarat, Dwita Febrina

Pinem dan Anim yang selalu setia menemani dan memberikan dukungan

semangat dan doa, teman spesialku Syahrul Ramadhan dan keluarganya yang

selalu memberi motivasi, penyemangat, serta selalu setia menemani dan memberi

dukungan semangat dan doa, teman seperjuanganku : Nurtri Julia, Shinta Martina,

Hedro Hutabarat, Daning Aji Pradana, Anim, Johannes Andika P., dan Saddam

Azhar Pasaribu yang selalu memberikan semangat dan selalu ada disaat suka

maupun duka, teman – temanku seperjuangan Non-Dik’09 yang tidak dapat saya

sebutkan satu persatu yang selama ini selalu memberikan dukungan, semangat,

dan doa. Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan

dan bimbingan yang telah diberikan.

Tulisan ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat diharapkan. Semoga hasil penelitian ini bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.

Medan, Desember 2013 Penulis,

Aplikasi Algoritma Kumar and Kaur dengan Menggunakan

Triangular Fuzzy Numbers dalam Pencarian Lintasan

Terpendek dari Medan – Padang

Novia Siska Arvioni (409230032)

ABSTRAK

Algoritma Kumar and Kaur adalah algoritma pencarian lintasan terpendek dengan menggunakan operasi triangular fuzzy numbers dan menggunakan perbandingan pada triangular fuzzy numbers. Algoritma Kumar and Kaur memperoleh lintasan terpendek dengan mencari semua lintasan terpendek pada setiap node atau kota yang saling terhubung, kemudian menggunakan perbandingan pada triangular fuzzy numbers jika terdapat lebih dari satu lintasan fuzzy dan akan diperoleh lintasan paling minimum. Setelah diperoleh lintasan terpendek fuzzy maka dilakukan defuzzifikasi untuk penarikan kesimpulan.

4.5. Solusi Akhir 54

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan 55

5.2. Saran 55

ix

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1.1. Tabel node atau kota yang akan dilalui dalam pencarian

lintasan terpendek 30

Tabel 4.1.2. Tabel jarak lintasan antar node 31

Tabel 4.2. Tabel fuzzifikasi data jarak antar node yang telah

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.2. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur

“bilangan real yang dekat dengan 2” 10

Gambar 2.3. Interval �= [�₁,�₃] 11

Gambar 2.5.1.1. Triangualar Fuzzy Numbers �̃ = ⟨�,�,�⟩ 15

Gambar 2.5.1.2. � = 0,5 potongan dari Tringular Fuzzy Numbers

�̃ = (−5,−1,1) 16

Gambar 2.6. �̃ ⊕ �� dan �̃ ⊖ �� pada Tringular Fuzzy Numbers 19

Gambar 4. Peta konsep tahapan pencarian lintasan terpendek dengan

menggunakan Algoritma Kumar and Kaur 27

Gambar 4.1. Gambar jaringan Medan menuju Padang 29

Gambar 4.3. Gambar jaringan lintasan Medan menuju Padang dengan

1

BAB I

Pendahuluan

1.1.

Latar Belakang

Masalah lintasan terpendek pada pencarian sebuah lintasan dengan jarak

yang paling minimum. Untuk mencari lintasan terpendek dari sebuah node

sumber ke node lain adalah suatu hal mendasar dalam teori grap. Di dalam

masalah lintasan terpendek biasa, diasumsikan parameternya adalah jarak, waktu

dan lainnya antara node yang berbeda (Kumar, 2011). Pencarian lintasan

terpendek menjadi hal yang sangat diperlukan. Dalam kehidupan sehari-hari,

pencarian jalur terpendek banyak digunakan oleh para pengendara kendaraan,

para pengendara mencari lintasan terpendek antara satu tempat ke tempat lain.

Maka dibutuhkan algoritma yang dapat memecahkan masalah lintasan terpendek

yang dapat ditempuh para pengendara agar dapat sampai ke tempat tujuan dengan

cepat. Pencarian lintasan terpendek ini sangat dibutuhkan karena dapat

menghemat waktu dan biaya yang dibutuhkan untuk sampai ke tempat tujuan.

Zadeh (1960) mengatakan bahwa sistem analisis matematika tradisional

yang dikenal sampai saat ini bersifat terlalu eksak, sehingga tidak dapat berfungsi

dalam banyak masalah dunia nyata yang sangat komplek. Terobosan baru yang

diperkenalkan oleh Zadeh adalah memperluas konsep himpunan klasik (himpunan

tegas) menjadi himpunan kabur. Dalam himpunan tegas, fungsi karakteristik dari

himpunan A, bernilai 0 atau 1. Sedangkan dalam himpunan kabur fungsi

karakteristik menggunakan konsep fungsi keanggotaan (membership function),

yang nilainya berada dalan selang tertutup [0,1]. Konsep tentang himpunan kabur

ini, berkembang meluas dalam konsep bilangan kabur. Aplikasinya dalam bentuk

besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang tidak tepat, misalnya “sekitar 4

km”, “mendekati 10 m”. Dalam keadaan nyata selalu ada ketidakpastian tentang

parameter di dalam masalah lintasan terpendek. Untuk menyelesaikan masalah

seperti itu, maka parameter pada masalah lintasan terpendek ditunjukkan dengan

Banyak algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah

lintasan terpendek, beberapa diantaranya yaitu algoritma exhaustive search,

algoritma brute-force,algoritma Djikstra, algoritma Greedy, algoritma Branch and

Bound, algoritma Ford Moore Bellman, agoritma genetik, dan algoritma kumar

and kaur.

Algoritma exhaustive search mencari lintasan terpendek dengan

mengenumerasikan semua rangkaian keputusan yang mungkin dari lintasan yang

ada dan memilih rangkaian keputusan yang terbaik. Algoritma ini akan

memberikan solusi yang paling optimal untuk semua kasus graf dengan bobot

yang tidak negatif. Tetapi, untuk jumlah simpul yang banyak algoritma ini tidak

mangkus karena membutuhkan waktu yang sangat lama. Agoritma brute-force

selalu menghasilkan solusi yang optimal. Akan tetapi, algoritma ini hanya cocok

untuk simpul yang sedikit, karena waktu komputasinya yang besar. Algoritma

Djikstra sama halnya dengan algoritma brute-force selalu menghasilkan solusi

optimal. Yang membedakannya adalah bahwa algoritma ini waktu komputasinya

lebih kecil (Fajar, dkk., 2005).

Algoritma Greedy membentuk solusi langkah per langkah. Pada setiap

langkah tersebut akan dipilih keputusan yang paling optimal, keputusan tersebut

tidak perlu memperhatikan keputusan selanjutnya yang akan diambil, dan

keputusan tersebut tidak dapat diubah pada langkah-langkah

selanjutnya.Algoritma Branch and Bound, dalam pencarian solusi dalam

algoritma ini setiap simpul diberi suatu atribut cost. Cost digunakan untuk

mengenali simpul berikutnya yang akan dibangkitkan. Jadi dalam pembangkitan

simpul selanjutnya tidak dibangkitkan berdasarkan urutan pembangkitan, tetapi

simpul dengan nilai cost terkecil yang akan diekspansi untuk menghasilkan solusi

akhir (Lamaida, dkk., 2006).

Algoritma Ford Moore Bellman digunakan untuk mencari rute terpendek

pada jaringan jalan. Dasar dari algoritma ini adalah lintasan terpendek dari satu

titik ke titik yang lain yang lintasannya memuat garis berarah (Budi, dan

Sumarsih, 2003). Algoritma genetik adalah algoritma pencarian yang meniru

3

tahan dari suatu struktur data yang paling sehat (fittest). Algoritma genetika

mengkombinasikan antara deretan struktur dengan pertukaran informasi acak ke

bentuk algoritma pencarian. Algoritma genetika dimulai dengan pembentukan

populasi awal berupa kromosom yang akan menjadi parent. Parent ini tidak

langsung diproses secara genetika melainkan dilakukan manipulasi dan evoluasi

terhadap parent terlebih dahulu dan selanjutnya akan diseleksi. Proses seleksi ini

akan menentukan kromosom mana yang akan mengalami operasi genetika.

Setelah siklus ini selesai akan terbentuk sebuah keturunan baru dan akan menjadi

parent untuk generasi berikutnya (Susilo, 2006).

Algoritma kumar and kaur adalah algoritma pencarian lintasan terpendek

dengan menggunakan operasi triangular fuzzy numbers dan menggunakan

perbandingan pada triangular fuzzy numbers. Algoritma ini adalah aplikasi

dengan metode perbandingan kemudian memperoleh lintasan terpendek dan jarak

terpendek, hasilnya sama dengan menggunakan algoritma lain tetapi algoritma ini

lebih mudah dimengerti dan pengambil keputusan baru dapat dengan mudah

mengaplikasikan algoritma ini (Kaur, 2012).

Dari jurnal yang disusun oleh Agam Syauqi Lamaida, Dewangga Respati,

dan Taufik Ramadhani dari Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi

Bandung tentang Perbandingan Algoritma Greedy dan Algoritma Branch and

Bound dalam Pencarian Lintasan Terpendek, dalam penelitian Algoritma Greedy

dan Algoritma Branch and Bound masalah yang diteliti adalah perbandingan

pencarian lintasan terpendek. Dari penelitian itu diperoleh kesimpulan bahwa

algoritma Branch and Bound memiliki kemampuan yang lebih baik dibandingkan

algoritma Greedy dalam hal waktu yang dibutuhkan, pengolahan memori dan

yang terutama adalah masalah efektifitas (Lamaida, 2006).

Dalam jurnal yang diteliti oleh Indra Fajar, Gustian Siregar dan Dede

Tarwidi dari Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung tentang

Algoritma Mencari Lintasan Terpendek. Masalah yang diteliti dalam jurnal ini

adalah pencarian lintasan terpendek dengan menggunakan algoritma Brute-force,

algoritma Exhausitive search, dan algoritma Djikstra dan program dinamis

penggunaan program dinamis ini disesuaikan dengan keadaan. Dari penelitian ini

diperoleh kesimpulan program dinamis selalu menghasilkan solusi yang optimal.

Jika pada algoritma Djikstra hanya mencari lintasan terpendek dari satu simpul ke

simpul lain, maka pada program dinamis semua pasangan lintasan terpendek yang

dicari (Fajar, 2005).

Dalam jurnal yang diteliti oleh Eko Budi P. Dan Sunarsih dari Jurusan

Matematika Fakultas MIPA Universitas Diponegoro tentang Masalah Rute

Terpendek pada Jaringan Jalan Menggunakan Lampu Lalu Lintas. Masalah yang

diteliti adalah mencari lintasan terpendek dari Ngesrep ke Simpang Lima dengan

menggunakan algoritma Ford Moore Belman yang telah dimodifikasi maksudnya

untuk mengganti bobot lintasan dari jarak menjadi waktu perjalanan karena

mereka menggunakan lampu lalu lintas untuk menentukan rute yang

menghubungkan titik asal dan titik tujuan. Dari penelitian diperoleh kesimpulan

diperoleh waktu perjalanan minimum yang dibutuhkan untuk bepergian dari rute

perjalanan Ngersep ke Simpang Lima adalah 10 menit 59 detik (Budi dan

Sunarsih, 2003).

Dalam thesis yang disusun oleh Rajveer Kaur dibawah bimbingan DR.

Amit Kumar dari School of Mathematics and Computer Applications Thapar

University tentang A Study on Fuzzy Shortest Path Problems. Masalah yang

diteliti dalam thesis adalah pencarian lintasan terpendek dengan menggunakan

algoritma Kumar and Kaur, pencarian lintasan terpendek dalam thesis ini

dilakukan dengan menggunakan interval dan triangular fuzzy numbers, dan

kemudian dilakukan dengan trapezoidal fuzzy numbers. Diperoleh kesimpulan

sebagai berikut yaitu aplikasi algoritma Kumar and Kaur dengan metode

perbandingan kemudian dapat menghasilkan lintasan terpendek dan jarak

terpendek dengan menggunakan interval dan triangular fuzzy numbers yang sama

dengan yang dihasilkan dengan menggunakan algoritma yang telah ada, algoritma

Kumar and Kaur dengan metode perbandingan kemudian dapat menghasilkan

lintasan terpendek dan jarak terpendek dengan menggunakan trapezoidal fuzzy

numbers yang sama dengan yang dihasilkan dengan menggunakan algoritma yang

5

merupakan solusi optimal untuk para pengambil keputusan untuk mencari lintasan

terpendek (Kaur, 2012).

Seiring dengan perkembangan teknologi yang makin pesat dalam aplikasi

dari algoritma pencarian lintasan terpendek, maka sangat penting untuk memilih

algoritma yang tepat agar diperoleh hasil yang optimum. Masing-masing

algoritma memiliki kelebihan dan kekurangan tergantung masalah yang di hadapi.

Dalam penelitian ini penulis ingin mengaplikasikan algoritma Kumar and

Kaur dalam pencarian lintasan terpendek. Dengan menggunakan Tringular Fuzzy

Numbers dalam menyelesaikan masalah lintasan terpendeknya. Algoritma ini

lebih mudah dimengerti dan diterapkan untuk seorang pengambil keputusan baru

dalam masalah pencarian lintasan terpendek fuzzy. Algoritma ini juga sangat

mudah untuk membandingkan lebih dari dua bilangan fuzzy (interval fuzzy)

bersamaan. Jika algoritma ini diaplikasikan dengan metode perbandingan yang

ada lalu memperoleh lintasan terpendek dan jarak terpendek yang sama dengan

yang dihasilkan oleh algoritma yang ada tetapi algoritma yang sudah ada sedikit

membingungkan untuk dimengerti dan di aplikasikan untuk mencari solusi

optimal dari masalah lintasan terpendek untuk seorang pengambil keputusan baru,

sedangkan algoritma Kumar and Kaur sangat mudah untuk dimengerti dan

mengaplikannya untuk masalah yang sama. Di dalam penelitian ini penulis akan

mencari lintasan terpendek dari suatu tempat ke tempat lain.

1.2.

Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka rumusan masalah dari

penelitian ini adalah bagaimana aplikasi algoritma Kumar and Kaur dengan

menggunakan Tringular Fuzzy Numbers pada sebuah lintasan untuk menemukan

lintasan terpendeknya.

1.3.

Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah algoritma Kumar and Kaur

1.4.

Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui aplikasi

algoritma Kumar and Kaur dengan menggunakan Tringular Fuzzy Numbers pada

sebuah lintasan untuk menemukan lintasan terpendeknya.

1.5.

Asumsi

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam penelitian ini adalah :

1. Seluruh data yang diperoleh dari Dinas Perhubungan Tingkat I Provinsi

Sumatera Utara dianggap benar.

2. Jalan yang kondisinya rusak parah atau tidak dapat dilalui tidak diikut

sertakan dalam penghitungan.

1.6.

Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah :

1. Bagi penulis khususnya dan mahasiswa matematika umumnya adalah

dapat mengetahui jelas aplikasi dari algoritma Kumar and Kaur dengan

menggunakan Tringular Fuzzy Numbers dalam pencarian lintasan

terpendek.

2. Bagi dinas perhubungan adalah dapat digunakan sebagai alat informasi

bagi dinas perhubungan untuk mengetahui jalur terpendek serta sebagai

kontribusi keilmuan bagi dinas perhubungan.

3. Bagi masyarakat umum adalah dapat mengetahui alternatif lintasan

terpendek yang dapat dilalui untuk sampai ke tempat tujuan dengan

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat

disimpulkan: dengan menggunakan algoritma Kumar and Kaur ini diperoleh

lintasan terpendek dari Medan menuju Padang. Terdapat 22 kota yang dilalui

termasuk Medan dan Padang yaitu : Medan – Kabanjahe – Merek – Seribu

Dolok – Tiga Runggu – Perapat –Porsea– Balige – Siborong-borong –

Tarutung – Sipirok – Aek Gondang – Padang Sidempuan – Jembatan Merah

– Kota Nopan – Panti – Lubuk Sikaping – Bukittinggi – Padang Panjang –

Sicincin – Lubuk Alung – Padang. Panjang lintasan terpendek dari Medan

menuju Padang yang diperoleh setelah proses defuzzifikasi adalah 787,33

km.

5.2. Saran

1. Proses pencarian lintasan terpendek dalam kebutuhan sehari-hari

sangat dibutuhkan untuk menghemat biaya dan waktu maka

algoritma Kumar and Kaur ini dapat digunakan dalam pencarian

lintasan atau jarak terpendek, selain mudah dipahami juga prosesnya

tidak membutuhkan waktu yang lama.

2. Bagi pihak Dinas Perhubungan Tingkat I Propinsi Sumatera Utara

algoritama Kumar and Kaur ini dapat digunakan sebagai kontribusi

keilmuan dan dapat digunakan sebagai alat informasi bagi Dinas

Perhubungan dalam pencarian lintasan terpendek.

3. Penulis sarankan untuk melakukan penelitian selanjutnya pencarian

lintasan terpendek menggunakan algoritma kumar and kaur dengan