KAPITA MATEMATIKA SMA
LIMIT
OLEH
KELOMPOK 10
ROSDIANA (09320010) ULLY BELLATRIX W. (09320030) DESI RATNASARI (09320032)
JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
A.Limit Fungsi Aljabar
1.Pengertian Limit Fungsi Aljabar
Untuk memahami pengertian limit fungsi perhatikan contoh berikut : Contoh :
Diketahui fungsi y = f (x) = x + 1
Fungsi ini terdefinisi untuk semua x bilangan real, jika x mendekati 2, berapa nilai f (x)?
Penyelesaian :
Dengan menghitung nilai-nilai f(x) untuk nilai-nilai x yang dekat dengan 2, baik dari kiri maupun dari kanan perhitungan ini disajikan dalam tabel.
X 1,8 1,9 1,99 1,999 →2← 2,001 2,01 2,2
Y = x + 1 2,8 2,9 2,99 2,999 …..?. 3,001 3,01 3,2
Dari tabel di atas maka nilai y = f(x) = x + 1 mendekati 3, jika x mendekati 2 dari kiri maupun dari kanan.
Dengan menggunakan lambang matematika ditulis :
lim
x→2f(x) = limx→2(x+1) = 3
Dibaca : limit dari (x + 1) jika x mendekati 2 adalah 3.
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar
a. Limit Fungsi f (x) untuk x → a
Definisi :
lim
x→ af (x)=L jika dan hanya jika, untuk tiap bilangan positif didapat bilangan ϵ
positif δ, demikian sehingga jika x memenuhi 0<[x-a]<δ maka [f (x) – L] < ϵ
1. f (a) = L, maka lim
x→ a f(x)=L
2. f (a) = 0L , maka limx→ af(x)=0
3. f (a) = L
0 , maka limx→ af(x)= atau tidak punya limit.
4. f (a) = 00
maka sederhanakanlah atau ubahlah bentuk dari f (x0 sampai akhirnya dapat ditemukan harga f(a).
Contoh :
1. lim
x→2
(3x+2)
Langsung bisa disubstikan = lim
x→2
(3x+2) = 3 (2) + 2 = 8
2. lim
x→3
x2−x−6 x−3
Karena jika langsung disubstitusikan hasilnya 0
0 maka
lim
x→3
x2−x−6 x−3 =
(x−3)(x+2) (x−3)
¿ lim
x→3
¿
=
(x+2) 1 ¿ lim
x →3
¿
= 3 + 2 = 5
b. Limit Fungsi f(x) untuk x → ~
Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = 1x , yang menjadikan pertanyaan adalah
X 1 2 3 4 … 10 … 100 … 10.000 … 100.000 … ~
Dari table di atas tampak bahwa, kalau nilai x makin besar, maka nilai f(x0 makin kecil, dengan demikian, untuk x mendekati ~ maka nilai f(x) mendekati 0, ditulis :
f(x)=¿ lim
x →
¿ limx → 1x=¿ 0
Bentuk limit fungsi aljabar dengan x mendekati tak hingga (x → ~) yang sering dijumpai adalah :
lim
x →
f (x)
g(x)=¿ atau limx → f(x)−g(x)
Ada cara penyelesaian :
1. Membagi dengan pangkat tertinggi Contoh :
Hitunglah tiap limit berikut :
a. lim
(sering dikatakan tidak punya limit)
c. lim
Dari hasil di atas dapat disimpulkan bahwa dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan x pangkat tertinggi, hasilnya jika pangkat dari :
1. f(x) = g(x) maka hasilnya = konstanta (tertentu) 2. f(x) < g(x) maka hasilnya = ~
3. f(x) > g(x) maka hasilnya = 0
1.
B.Limit Fungsi Trigonometri
Jika flim(¿x)
x → ¿
dan f(x) merupakan trigonometri . maka limx → f(x) itu dinamakan limit fungsi
trigonometri . Dalam beberapa hal , perhitungan limit fungssi trigonometri hampir sama dengan perhitungan limit fungsi aljabar seperti contoh berikut :
lim
x→ o
sinx sin 2x
Penyelesaian :
lim
Oleh karena dengan subtitusi langsung diperoleh 00 (bentuk taktentu) , maka harus dikerjakan
lim
x→0
sinx
sin 2x = limx→0
sinx 2sinx cosx
= lim
x→0
1 2cosx
= 1
2. cos 0 = 1 2.1 =
1 2
Jadi lim
x→0
sinx 2sinx =
1 2
Rumus – rumus Limit Fungsi Trigonometri
a. lim
x→0
sinx
x = limx→0
x
sinx = 1 b. lim
x→0
tgx
x = limx→0
x tgx = 1
Bukti rumus 1
Pada gambar dibawah ini titik o adalah pusat lingkaran dengan jari- jari 1satuan dan besar < AOP= x radian ,kalau nilai xmendekati titik P akan mendekati titik A (1,0)
Dalam hal demikian kita dapatkan : lim
x→0cosx =1
lim
x→0sinx = 0 p
Luas sektor OBC ≤ luas ∆ OBP≤ sektor OAP
Dengan demikian kita peroleh hubungan 1
selanjutnya kalau x mendekati 0, didapat 1≤ sinx
x ≤ 1 atau 1≤ x sinx ≤1
Dari pertidaksamaan yang terakhir ini menunjukkanbahwa :
lim
Jadi terbukti :
lim
Bukti rumus II
(i) lim
( penyebut dan pembilang dibagi dengan cosxsinx )
(ii) lim
Jadi terbukti bahwa : lim
C.Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah Ke Konsep
Turunan
Contoh : Tentukan lim
5. lim
x→1
x2n−x 1−x
❑
=
Referensi
1. Departeman Pendidkan Nasional. 2004. Kurikulum Berbasis Kompetensi,Mata Pelajaran Matematika SMA/MA. Jakarta: Pusat Kurikululm.
