INTEGRAL
�
�Hilmi Nur Ardian
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya e-mail: master.ardian@yahoo.co.id
Manuharawati
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya e-mail: manuhara1@yahoo.co.id
Abstrak
E.H Moore dan H.L Smith mendefinisikan integral Riemann dengan menggunakan Moore-Smith limit. Integral Riemann dan integral Riemann dengan Moore-Smith limit memiliki ekuivalensi. Kemudian Ralph Henstock dan Jaroslav Kurzweil memperluas integral Riemann dengan menggunakan partisi tag -fine yang dikenal dengan integral Henstock. Dalam skripsi ini akan dijelaskan integral Henstock dengan Moore-Smith limit yang dikenal Integral 1, sifat-sifat integral 1 seperti: sifat perkalian dengan skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, Teorema Fundamental Kalkulus, dan bagaimana keterkaitan antara integral Henstock dan integral 1.
Kata Kunci: Moore-Smith limit, Integral Riemann dengan Moore-Smith limit, Integral Henstock, Integral 1.
Abstract
E.H Moore and H.L Smith define Riemann integral using Moore-Smith limit. Riemann integral and Riemann integral using Moore-Smith limit are equivalence. Ralph Henstock and Jaroslav Kurzweil generalize the Riemann integral using -fine tag partition and call itthe Henstock integral. This paper willbe explained that the Henstock integral can also be defined by Moore-Smith limit. The resulting integral is the so-called 1 integral. Some properties of 1 integral are as follows: Scalar multiplication, Linearity, Cauchy criteria, Additivity of 1 integral, Fundamental Calculus Theorem, and the relation between Henstock integral and 1 integral.
Keywords:Moore-Smith limit, Riemann integral using Moore-Smith limit, Henstock integral, 1 integral.
1.PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Integral merupakan salah satu dari bagian matematika yang aplikasinya sangat luas. Konsep integral pertama kali dikenalkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz, kemudian definisinya dipertajam oleh Benhard Riemann pada tahun 1850. Selain itu pada tahun 1952 E.H. Moore dan H.L. Smith mendefinisikan integral Riemann dengan Moore-Smith limit.
Selanjutnya Ralph Henstock dan Jaroslav Kurzweil mengembangkan suatu teori pengintegralan yang merupakan generalisasi dari konsep integral Riemann dan mampu menyelesaikan persoalan yang tidak dapat diselesaikan oleh integral Riemann, yakni Integral Henstock.
Garces, Lee dan Zhao memperkenalkan suatu integral Henstock dengan Moore-Smith limit, yakni Integral 1 . Pada skripsi ini akan dikaji sifat-sifat integral 1 seperti: sifat perkalian dengan skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, Teorema Fundamental Kalkulus. Selain itu akan dibahas keterkaitan antara integral 1dan integral Henstock.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah skripsi adalah apakah sifatperkalian dengan skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, dan Teorema Fundamental Kalkulus berlaku pada integral 1 dan bagaimana keterkaitan antara integral 1 dan integral Henstock.
1.3 Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan skripsi adalah mendeskripsikan sifat-sifat dari integral 1 dan keterkaitannya dengan integral Henstock.
1.4 Manfaat Hasil Penulisan
Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini antara lain: 1. Bagi penulis, sebagai tambahan informasi dan
wawasan mengenai definisi dan sifat-sifat integral 1 serta keterkaitannya dengan integral Henstock.
1.5 Batasan Masalah
Pada skripsi ini yang akan dibahas adalah sifat-sifat dari integral 1 dan keterkaitannya dengan integral Henstock. Fungsi yang digunakan adalah fungsi bernilai real pada [ , ].
1.6 Metode Penulisan
Metode yang digunakan di sini adalah metode kajian pustaka. Adapun langkah-langkah dalam penulisan ini adalah :
a. Mengumpulkan informasi yang berhubungan dengan materi terkait serta membaca, memahami dan menelaah beberapa buku dan referensi lain, seperti jurnal ilmiah, hasil penelitian terdahulu, dan lain-lain. b. Menuliskannya ke dalam bentuk paper.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas definisi integral 1 dan sifat-sifatnya beserta keterkaitannya dengan integral Henstock.
2.1 INTEGRAL �� Definisi 2.1
Diberikan gauge : , → dan [ , ] adalah himpunan semua partisi tag -fine dari [ , ].
Untuk 1, 2 [ , ] dengan
1= −1, , =1dan 2= −1, , =1 1 ⊒ 2 disebut 1 menghaluskan (finer) 2 jika memenuhi
a. 1 ≽ 2
b. i. Ketika 1 ≠ 2
: −1, , 2 ⊂ : −1, , 1 ii. Ketika 1 = 2
: −1, , 2 = : −1, ,
1 .
Teorema 2.1
Diberikan gauge : , → dan [ , ] adalah himpunan semua partisi tag -fine dari [ , ] maka ( [ , ],⊒) adalah himpunan berarah.
Bukti : Diberikan gauge : , → dan [ , ] adalah himpunan semua partisi tag -fine dari [ , ].
1. Akan dibuktikan memenuhi sifat refleskif.
Diberikan 1 [ , ] dengan
1= −1, , =1 maka 1 ⊒ 1 karena −1, = −1, , = untuk = 1,…, dan : −1, , 1 : −1, , 1 . 2. Diberikan 1, 2, 3 [ , ] dengan
1= −1, , =1, 2= −1, , =1, dan 3= −1, , =1.
Akan dibuktikan jika 1 ⊒ 2 dan 2 ⊒ 3 maka 1 ⊒ 3
a. Pertama akan dibuktikan 1 ≽ 3 1 ⊒ 2 maka 1 ≽ 2
Kasus 1
Ketika −1, ≠ −1, berarti untuk setiap
−1, , 1 terdapat −1, , 2 sehingga −1, ⊂ −1,
Kasus 2
Ketika −1, = −1, memenuhi = . 2 ⊒ 3 maka 2 ≽ 3.
Kasus 1
Ketika −1, ≠ −1, berarti untuk setiap
−1, , 2 terdapat −1, , 3
sehingga −1, ⊂ −1, Kasus 2
Ketika −1, = −1, memenuhi = . Karena −1, ⊂ −1, dan −1, ⊂
−1, maka −1, ⊂ −1, . Ketika
−1, = −1, = −1, memenuhi
= = .
b. Selanjutnya akan dibuktikan
: −1, , 3 : −1, , 1
1 ⊒ 2 dan 2 ⊒ 3 diperoleh
: −1, , 2 : −1, , 1 dan
: −1, , 3 : −1, , 2 sehingga
: −1, , 3 : −1, , 1 3. Diberikan 1, 2 [ , ] dengan
1= −1, , =1 dan
2= −1, , =1
a. Akan dibuktikan jika 1 ⊒ 2 dan 2 ⊒ 1 maka 1= 2
1 ⊒ 2 maka 1 ≽ 2 Kasus 1
Ketika −1, ≠ −1, berarti untuk setiap
−1, , 1 terdapat −1, , 2
sehingga −1, ⊂ −1, Kasus 2
Ketika −1, = −1, memenuhi = . 2 ⊒ 1 maka 2 ≽ 1
Kasus 1
Ketika −1, ≠ −1, berarti untuk setiap
−1, , 2 terdapat −1, , 1 sehingga −1, ⊂ −1,
Kasus 2
Ketika −1, = −1, memenuhi = . Dari beberapa kasus di atas diperoleh −1, ⊆
−1, dan −1, ⊂ −1, sehingga −1, = −1, dan memenuhi = . Jadi : −1, , 2 = : −1, ,
1 .
4. Diberikan 1, 2 [ , ] dengan
1= −1, , =1 dan
Akan dikonstruksi 3= , , =1 max{ , }
dengan
≠ ∅ dan = −1, −1, . Jika terdapat irisan yang sama maka hanya ditulis satu kali. Kasus 1 yaitu ketika , . irisan yang sama maka hanya ditulis satu kali.
Kasus 1 yaitu ketika , . sedemikian hingga untuk setiap > 0 terdapat partisi tag
-fine sehingga
Himpunan semua fungsi yang terintegral 1pada [ , ]dinotasikan 1[ , ].
Contoh 2.1
Diberikan fungsi : 0,1 →
= 1, 0 ,
Akan dibuktikan terintegral 1 pada [0,1].
Bukti : Misal = 0,1 = 1, 2,… dan =
, = 1,2,…, dan < sehingga untuk setiap pada [ , ]. Berdasarkan definisi 2.2 diperoleh
i. Terdapat gauge ′( ) sehingga jika diberikan , > 0 terdapat partisi tag ′-fine
2 Berdasarkan Teorema 2.2 maka dapat dilih partisi tag -fine sedemikian hingga ⊒
2.2 SIFAT-SIFAT INTEGRAL ��
Teorema 2.6 gauge ′′( ) sehingga jika diberikan > 0 terdapat partisi tag ′′-fine
2
′′ sedemikian hingga untuk setiap partisi tag -fine ⊒
Teorema 2.7 (Kriteria Cauchy)
Fungsi : , → terintegral 1 pada [ , ] jika dan sedemikian hingga untuk setiap partisi tag -fine , ⊒
berlaku
sedemikian hingga jika diberikan sebarang partisi tag -fine ⊒ , ⊒ maka , > 0, berdasarkan Teorema 2.2 maka terdapat
0 ℕ sehingga 0 terdapat partisi tag -fine sedemikian hingga jika dan adalah partisi tag -fine ⊒ , ⊒ berlaku
Berdasarkan Teorema 2.5 maka terdapat partisi tag -fine dari [ , ] dan [ , ]. Misalkan dan berturut-berturut adalah partisi tag -fine dari [ , ] dan [ , ] dengan ⊂ , ⊂ .
Diberikan 1 ⊂ dan 2 ⊂ adalah partisi tag -fine dari [ , ].
Jika = 1 dan = 2 maka
⊒ , ⊒ sehingga
� 1; − � 2;
= � 1; +� ; +� ; − � 2;
− � ; − � ;
= � 1; +� ; +� ;
− � 2; +� ; +� ;
= � ; − � ; < . ■
Teorema 2.9
Diberikan : , → . Jika ( ) = 0 hampir dimana-mana pada [ , ] maka ( ) terintegral 1 pada [ , ] dan ( 1) = 0.
Bukti :
= 0 hampir dimana-mana pada [ , ] maka berdasarkan definisi 2.16 terdapat ⊆[ , ] dan
= 0,∀ , − .
Misal = , : ≠0 dan untuk setiap
ℕ = { : −1 < } maka
= ℕ dan ∗ = 0,∀ ℕ . Diberikan
, > 0 karena ∗ = 0 berdasarkan definisi 2.15 maka terdapat koleksi terbilang interval-interval
buka { : ℕ} sehingga ⊆ ℕ dan
( )
ℕ < 2 +2. Untuk setiap pilih interval
terbuka { : ℕ} sehingga . Didefinisikan gauge pada ,
=
1, , − 1
2 +2,
Dan pilih partisi -fine dengan < .
Diberikan partisi = {( −1, , )}=1 , dengan
⊒ .
Misal = { : } dan = { : }. Himpunan { −1, , : } adalah koleksi interval-interval non-overlapping dan karena untuk setiap interval −1, panjangnya kurang dari ( ) sehingga ( −1− ) < ℕ2 = ℕ2 . Diperoleh
� ; < ( )( − −1) ℕ
− −1 ℕ
− −1 < ℕ
− −1
ℕ < − −1
ℕ 2
2 +1= ℕ
.
Jadi terintegral 1 pada [ , ] dan ( 1) = 0.■
Teorema 2.10
Jika , 1[ , ] dan jika = ( ) hampir
dimana-mana pada [ , ] maka ( 1) =
( 1) .
Bukti :
Diberikan , 1[ , ] dan = hampir dimana-mana pada [ , ]maka berdasarkan Teorema 2.9 maka
− 1[ , ] dan ( 1) ( − ) = 0 . Berdasarkan Teorema 3.4 maka fungsi = + ( − )
terintegral 1 pada [ , ] dan 1 =
1 + ( 1) − = ( 1) . ■
Teorema 2.11
Diberikan : , → terintegral 1 maka ada dan terdapat gauge ( ) pada [ , ] sehingga untuk setiap
> 0 terdapat partisi tag -fine berlaku
� ′ ; − < untuk setiap partisi tag -fine ′ ⊒ .
Jika = { −1, , }=1 adalah partisi tag -fine sehingga untuk setiap partisi tag -fine ⊒ berlaku
� ; − <
2 maka
− −1 − =0
<
untuk setiap partisi tag -fine = { −1, , }=1⊆ dari [ , ] dengan adalah nilai integral pada selang [ −1, ].
Bukti : Diberikan > 0 dan partisi tag –fine ⊒ . Misal ⊆ dengan = { −1, , }=1 maka
=1 −1, ⊂[ , ] . Pilih interval-interval non-overlapping 1, 1 , 2, 2 ,…, [ , ] sehingga
, − =1( −1, ) = =1[ , ] . Untuk setiap {1,2,…, } berdasarkan Teorema 2.8 maka 1[ , ]. Karena 1[ , ] maka ada dan terdapat gauge ( ) pada [ , ] sehingga untuk setiap > 0 terdapat partisi tag -fine sedemikian hingga untuk setiap ⊒ berlaku � ; −
< 2 .
Pilih gauge ( ) = min{ ( ), }. Pilih partisi tag -fine dari [ , ] sehingga =1 ⊂ . Pilih partisi tag -fine ′ sehingga ′ ⊒ dan ′ ⊒
Misal partisi tag -fine dari [ , ] dengan ⊂
′ . Jika = =1 maka merupakan partisi tag -fine dari [ , ] dan ⊒ sehingga
� ; =� ; + =1 � ; dan =
=1 + =1
diperoleh
− −1 − =0
= � ; − =1
� ;
− −
=1
� ; − + =1 � ; − < 2+2= .■
Definisi 2.3
Diberikan fungsi , : , − . dikatakan fungsi primitif dari pada [ , ] jika ′( ) ada dan ′ =
( ) untuk setiap [ , ]. [9]
Teorema 2.12 (Teorema Fundamental Kalkulus)
Misalkan himpunan countable dalam [ , ] dan fungsi , : , → yang memenuhi:
a. F kontinu pada [ , ]
b. ′ = ( ) untuk semua , −
maka terintegral 1 pada [ , ] dan ( 1) =
− ( ).
Bukti:
Kasus =∅.
Diketahui kontinu pada [ , ] dan ′ = ( ) untuk semua [ , ].. Misalkan [ , ], karena ′ =
( ) ada maka terdapat > 0 sedemikian hingga jika [ , ] memenuhi 0 < − < , maka
− ( )
− − ( ) <2
Jadi − − − <1
2 | − | dimana
− , + [ , ] . Diberikan , [ , ] dengan < yang memenuhi [ , ]⊆ − , +
. Jika − 0 dan − 0 maka
− − − − − −
+ − − −
1
2 − + 1
2 − = 1
2 − .
Jadi, jika [ , ]⊆ − , + maka
− − − 1
2 − . Akan ditunjukkan bahwa terintegral 1 pada [ , ] dan ( 1) = − ( ) . Pilih gauge = −
,∀ , dan pilih partisi tag -fine dengan
<
2 − sehingga untuk setiap partisi -fine = ( −1, , ) ⊒ diperoleh
[ −1, ]⊆ − , + untuk = 1,2,…, .
Akibatnya diperoleh
− − �( ; )
− −1 − − −1 =1
− −1 − − −1 =1
1
2 − −1 < − =1
.
Untuk ≠ ∅.
Misal = { 1, 2,…} . Asumsikan = 0,∀ {1,2,…}.
Diberikan , > 0 dan , − . Karena terdeferensial di , − maka terdapat > 0 sehingga jika , , − yang memenuhi −
+ maka
− − − 1
2 − .
Berdasarkan kekontinuan fungsi di maka terdapat ( ) sedemikian hingga − ( )
2 +2 untuk
setiap [ , ] yang memenuhi
− ( ).
Pilih gauge = 1 2 +2,
1, , − dan pilih partisi -fine dengan 2 = . Diberikan = ( −1, , ) ⊒ adalah partisi tag -fine dengan
⊒ . Jika maka seperti pada kasus =∅. Jika adalah tag dari [ −1, ] maka
− −1 − − −1
− + − −1 + − −1
2 +2+2 +2+ 0 =2 +1. ■
2.3 KETERKAITAN INTEGRAL��DAN INTEGRAL HENSTOCK
Teorema 2.13
Jika 1[ , ] maka ∗[ , ] dan 1 =
∗ .
Bukti : Misal = 1 . Karena : , → terintegral 1 pada [ , ] maka terdapat gauge ( ) pada , ∋ jika diberikan , > 0 terdapat partisi tag -fine ,diberikan sebarang partisi tag -fine ⊒ berlaku
� ; − <
Pilih gauge� = min , ( ) , [ , ] maka
Diberikan sebarang partisi tag � -fine maka merupakan partisi tag -fine. Asumsikan untuk setiap partisi tag � -fine ⊒ sehingga berlaku
� ; − <
Terbukti bahwa terintegral Henstock pada , . ■
3. PENUTUP Simpulan
1. Jika suatu fungsi terintegral Riemann pada [ , ] maka fungsi tersebut juga terintegral 1 pada [ , ] dan nilai integralnya sama tapi tidak berlaku sebaliknya.
2. Sifat-sifat yang berlaku pada integral 1 adalah sifat perkalian skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, dan Teorema Fundamental Kalkulus. 3. Jika suatu fungsi terintegral 1 pada [ , ] maka
fungsi tersebut juga terintegral Henstock pada [ , ] dan nilai integralnya sama.
Saran
Dalam skripsi ini dibahas tentang sifat-sifat integral 1 dan keterkaitannya dengan integral Henstock. Pada Teorema 3.13, jika suatu fungsi terintegral 1 pada [ , ] maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock pada [ , ] dan nilai integralnya sama, tetapi dalam skripsi ini belum dibahas apakah jika suatu fungsi terintegral 1 pada [ , ] maka terintegral Henstock pada [ , ]. Oleh karena itu, penulis memberikan saran kepada pembaca yang tertarik pada permasalahan ini untuk mempelajari lebih lanjut tentang keterkaitan integral 1 dan integral Henstock.
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R. G. dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction To real Analysis. Third Edition. United State of America: John Wiley and Sons Inc.
Manuharawati. 2013. Analisis Real 1. Sidoarjo: Zifatama Publisher.
Beardon, Alan. 1997. A Limit Approach to Real Analysis. New York: Springer.
Regina, S. B. dan Iusem A. Set-Valued Mappings and Enlargements of Monotone Operators. New York: Springer.
J. L. Garces, P. Y. Lee and D. Zhao. 1999. “Moore–
Smith limits and the Henstock integral”. Real
Analysis Exchange. Vol. 24(1): pp 447-456.
Gupta. (1986). Lebesgue Measure and Integration. New Delhi: Willey Eastern Limited.
Lebl, Jiˇrí. Basic Analysis. California: University of Pittsburgh
Royden, H. L. dan P. M. Fitzpatrick. 2010. Real Analysis. China: Pearson Education Inc.
