Integral Lipat Dan Transformasi Koordinat

6. INTEGRA

6. INTEGRAL LIPAL LIPAT DAN T DAN TRANSFORMASI TRANSFORMASI KOORDINAKOORDINATT

6.1. defenisi integral lipat 6.1. defenisi integral lipat

Dala !al!"l"s dan #si!a dasar$ !ita %an&a! engg"na!an integrasi Dala !al!"l"s dan #si!a dasar$ !ita %an&a! engg"na!an integrasi "nt

"nt"! "! enenentent"!a"!an n l"al"as$ s$ '(l'(l"e"e$ $ aassassa$ $ ((en en ineinersirsiaa dan sebagainydan sebagainya.a. Integral dari sebuah fungsi dapat diperluas dengan lebih dari sa

Integral dari sebuah fungsi dapat diperluas dengan lebih dari satu variabel, misalnyatu variabel, misalnya z = f(x,y).

z = f(x,y).

Integral lipat dua dari fungsi

Integral lipat dua dari fungsi f(x,y) dituliskan dengan:f(x,y) dituliskan dengan:

∬

∬

 R  R ❑ ❑ f 

f 

 ( (

 x x , y, y

))

dAdA _{. diana R daera) &ang diintegrasi dala %idang *&.. diana R daera) &ang diintegrasi dala %idang *&.}

 Jika integral  Jika integral

∫

∫

a a b b f 

f 

 ( (

 x x

))

dxdx  dari satu buah variabel f(x) dari satu buah variabel f(x) ≥≥ 0 adalah luasan di baah kuva 0 adalah luasan di baah kuva f(x) dari x = a sampai x = b, maka integral lipat dua sama dengan v!lume dibaah f(x) dari x = a sampai x = b, maka integral lipat dua sama dengan v!lume dibaah permukaan z=f(x,y) dan di atas bidang xy pada daerah integrasi " (gambar #.$). permukaan z=f(x,y) dan di atas bidang xy pada daerah integrasi " (gambar #.$). %tau sepe

%tau seperti integrrti integral satu al satu varivariabel,abel, integral lipat d"a di defenisi!an se%agaiintegral lipat d"a di defenisi!an se%agai liit dari +"la) Rieann

liit dari +"la) Rieann (gambar #.&). Jika daerah " adalah  (gambar #.&). Jika daerah " adalah persegi 'a,b x ',dpersegi 'a,b x ',d maka kita dapat membagi*bagi 'a,b

maka kita dapat membagi*bagi 'a,b men+adi interval*intervmen+adi interval*interval keil dengan se+umlahal keil dengan se+umlah x

x00,x,x$$,-x,-xmm sehingga a = x sehingga a = x00 /  / xx$$ / / xx&&/ / - - / / xxii/ / - - / / xxm*$m*$/ x/ xmm= b= b

G

Gaa%%aarr 66..11 GGaa%%aarr 66..,, engan ara yang sama, kita set se+umlah y

engan ara yang sama, kita set se+umlah y!!, , yy$$,-,y,-,ynn untuk mempartisi ',d untuk mempartisi ',d

sepan+ang sumbu y dengan syarat  = y

sepan+ang sumbu y dengan syarat  = y00 /  / yy$$ / / yy&&/ / - - / / yy + +/ / - - / / yyn*$n*$/ y/ ynn= d= d

 Jumlah "ieman dari sebuah fungsi f(x

 Jumlah "ieman dari sebuah fungsi f(x,y) seluruh patisi 'a,b x'bx,y) seluruh patisi 'a,b x'bx adalah adalah $

∑

i=1 m

∑

 j=1 n f 

(

u_i, v _j

)

∆ x_i∆ y _j

imana (ui,v+) adalah titik*titik pada persegi (xi*$, xi) x (y +*$, y +) dan ∆xi = xi 1 xi*$, dan ∆y + = y + 1 y +*$

2ehingga dapat kita defenisikan integral lipat dua dari fungsi f(x,y) dalam daerah persegi 'a,b x'b, adalah liit dari +"la) rieann dengan nilai maksimum dari

∆xi dan ∆y + mendekati n!l.

∬

[a , b] x[b , c] ❑ f 

 (

 x , y

)

dA

=

lim max ∆ xi →0 max ∆ yi→0

∑

i=1 m

∑

 j=1 n f 

(

u_i, v _j

)

∆ x_i∆ y _j

Sifat integral lipat

d"a-$.

&.

3. , dimana k adalah k!nstanta

(nt() 1

 hitunglah integral dari

∫

0 1

∫

1 2  xy dydx

2!lusi (kita integralkan terlebih dahulu bagian dalam integral

selan+utnya yang terluar)

∫

0 1

∫

1 2  xy dydx

=

∫

0 1

[

∫

1 2  xy dy

]

dx

=

∫

0 1

[

 x y 2 2

|

₁ 2

]

dx

=

∫

0 1 3 2 x dx

=

3 2  x2 2

|

₀ 1

=

3 4

(nt() , hitunglah integral dari

∫

0 1

∫

 y  y2

(

 x

+

2 _y

)

_dxdy &

2!lusi:

[

∫

 y  y2

(

 x

+

2 _y

)

_dx

]

_dy

=¿

∫

0 1

[

 x2 2

 +

2 yx

|

 _y  y2

]

dy

∫

0 1

∫

 y  y2

(

 x

+

2 _y

)

_dxdy

=

∫

0 1

¿

[

(

 y4 2

+

2 y 3

)

−

(

 y 2 2

+

2 y 2

)

]

dy

=¿

∫

0 1

[

 y4 2

+

2 y 3

−

5 y 2 2

]

dy

=

[

y5 10

+

 y4 2

−

5 _y3 6

]

₀ 1

¿

∫

0 1

¿

¿

1 10

+

1 2

−

5 6

=−

7 30

(nt() /

 hitunglah integral dari

∫

1 2

∫

0  y  x

√ 

(

 y2

+

 x2

)

dxdy

2!lusi:

∫

1 2

∫

0  y  x

√ 

(

 y2

+

 x2

)

dxdy

=

∫

1 2

[

∫

0  y  x

√ 

(

 y2

+

 x2

)

dx

]

dy

4ntuk memudahkan integral bagian dalam, mari kita misalkan:

 z =

 y2

+

 x2

→

 dz = &xdx atau xdx = dz5&

 +ika x = 0 maka z = y

&

 _{dan saat x = y maka z = &y}

&

_{, sehingga:}

∫

1 2

[

∫

0  y  x

√ 

(

 y2

+

 x2

)

dx

]

dy

=

∫

1 2

[

∫

 y2 2 _y2

√ 

 z dz 2

]

dy

=

∫

1 2

[

 z3/2 3

|

 y2 2 _y2

]

dy

[

(

2 _y2

)

3/2

−

(

 _y2

)

3/2

]

_dy

=¿

1 3

∫

₁ 2

[

(

2

√ 

2 _y3

−

 _y3

)

]

_dy

=

2

√ 

2

−

1 3

∫

₁ 2  y3dy

¿

1 3

∫

₁ 2

¿

¿

2

√ 

2

−

1 12

[

 y 4

]

1 2

=

5

(

2

√ 

2

−

1

)

4

(nt() 0  hitunglah integral lipat dua dari

∬

 R

❑

 xydxdy  daerah persegi yang diberi batas "=(x,y)|&≤x≤6, 0≤y≤$

2!lusi:

Integrasi dari f(x,y) dapat +uga dituliskan dalam bentuk perkalian f(x)g(x),sbb: 3

∬

 R ❑  xydxdy

=

∫

2 4  xdx

∫

0 1  ydy

=

[

 x 2 2

]

₂ 4

[

 y2 2

]

₀ 1

=(

8

−

2

)

(

1 2

−

0

)

=

3

(nt() 

7itunglah integral dari

 x

+

 y

∬

 R ❑ dxdy (

¿

)2

  daerah persegi yang diberi

batas "=(x,y)

|

0

≤

x

≤

&, $

≤

y

≤

&

2!lusi:

∬

 R ❑ dxdy

(

 x

+

 y

)

2

=

∫

1 2

∫

0 2 dxdy

(

 x

+

 y

)

2

Integral lipat d"a di se"a daera)

 Jika daerah "$ dibatasi dengan x = a, x = b, y = p(x) dan y = 8(x) dengan a / b dan p(x) / 8(x) untuk semua x∈'a,b dapat ditulisskan sebagai berikut:

f 

 (

 x , y

)

dxdy

=¿

∫

 x=a b

∫

 y= p( x)  y=q( x) f 

 (

 x , y

)

dydx

∬

 R ❑

¿

6 "umus:

∫

dx

(

ax

+

b

)

2

=

−

1 a

(

ax

+

b

)

∫

_axdx

₊

_b

=

1 a ln

(

ax

+

b

)

an daerah "& dibatasi dengan gra9k fungsi x = u(y), x = v(y), y = , y = d dibaah k!ndisi baha  / d dan u(y) / v(y) untuk semua y∈',d dapat dituliskan sebagai berikut f 

 (

 x , y

)

dxdy

=¿

∫

 y=c d

∫

 x=u( y)  x=v( y) f 

 (

 x , y

)

dxdy

∬

 R ❑

¿

(nt() 6 7itunglah integral dari

∬

 R

❑

(

 x

−

 y

)

dxdy _{. aerah integrasi " dibatasi !leh}

x = 0, x = $, y = x dan y = & * x&

2!lusi

Ga%ar 1 er"pa!an %ent"! dari R 2 34*$&5 * 1$ * & , 7 *,_{. Dapat}

dit"lis!an

s%%-∫

 x 2_− x2

(

 x

−

 y

)

dxdy

=¿

∫

0 1

[

∫

 y= x  y=2_− x2

(

 x

−

 y

)

dy

]

dx

∬

 R ❑

(

 x

−

 y

)

dxdy

=

∫

0 1

¿

¿

∫

0 1  xy

−

 y 2 2

|

 _y= x 2− _x2 dx

=

∫

0 1

[

{

 x

(

2

−

 _x2

)

−

(

2

−

 x 2

)

2 2

}

−

{

 x 2

−

 x 2 2

}

]

dx  

¿

∫

0 1

[

−

 x4 2

−

 x 3

+

3 x 2 2

+

2 x

−

2

]

dx

=

[

−

 x5 10

−

 x4 4

+

 x3 2

+

 x 2

+

2 _x

]

|

0 1

=−

17 20

(nt() 8 7itunglah integral dari

∬

 R

❑

(

 x

+

 y

)

dxdy _{. aerah integrasi " dibatasi !leh x}

= 0, y = 0, dan x ; y = &

2!lusi: kita dapat merepresentasikan daerah " dengan " = (x,y)|0 ≤ x ≤ &, 0 ≤ y ≤ & 1 x (perhatikan gambar berikut)

(nt() 9. 7itunglah integral dari

∬

 R

 xdxdy _{. aerah integral " dibatasi !leh y =}

x3_{, x ; y = & dan x = 0}

2!lusi: perhatikan gambar #.3:

 .

Apli!asi Integral Lipat D"a Pada Fisi!a 4M(en Massa Dan M(en Statis Dari Se%"a) Lapisan 4Laina5

#

∫

0 2− _x

(

 x

+

 y

)

dxdy

=¿

∫

0 2

[

∫

0 2− _x

(

 x

+

 y

)

dy

]

dx

∬

 R ❑

(

 x

+

 y

)

dxdy

=

∫

0 2

¿

¿

∫

0 2  xy

+

 y 2 2

|

 _y=0 2₋ x dx

=

∫

0 2

[

{

 x

(

2

−

 _x

)+

(

2

−

 x

)

2 2

}

]

dx

¿

∫

0 2

[

2

−

 x 2 2

]

dx

=

[

2 x

−

 x3 6

]

|

₀ 2

=

8 3

aerah kurva yang dibatasi !leh y = x3_dan

garis x ; y = & berp!t!ngan di ($,$). 2ehingga dapat kita tuliskan integrasinya men+adi:

∬

 R ❑  xdxdy  ₌

∫

 x3 2_− x  xdxdy

=¿

∫

0 1

[

∫

 x3 2_− x  xdy

]

dx

∫

0 1

¿

2

−

 _x <ambar #.3

isalkan kita memiliki lamina yang menempati daerah " pada bidang xy dan terbuat dari bahan n!n*h!m!gen yang memiliki rapat massa pada titik (x,y) dalam daerah " adalah ρ (x,y). assa t!tal lamina diekspresikan dengan integral berikut

 =

∬

 R

 ρ

(

 x , y

)

dA

!men stati lamina sumbu x diberikan dengan rumus: x =

∬

 R

 yρ

(

 x , y

)

dA

!men stati lamina sumbu y diberikan dengan rumus: y =

∬

 R

❑

 xρ

(

 x , y

)

dA

>!rmula ?!!rdinat pusat massa lamina yang menempati daerah " dalam bidang xy dengan fungsi rapat massa ρ(x,y):

´

 x

=

 M  y  M 

=

1  M 

∬

 _R ❑  xρ

(

 x , y

)

dA

=

∬

 R ❑  xρ

(

 x , y

)

dA

∬

 R ❑  ρ

(

 x , y

)

dA

´

 y

=

 M  x  M 

=

1  M 

∬

 _R ❑  yρ

(

 x , y

)

dA

=

∬

 R ❑  yρ

(

 x , y

)

dA

∬

 R ❑  ρ

(

 x , y

)

dA

?etika rapat massa lamina adalah ρ(x,y)=$ untuk semua (x,y) dalam daerah ", pusat massa hanya didefenisika pada daerah ruang yang di sebut entr!id dari " M(en inersia laina

!men inersia lamina terhadap sumbu x didefenisikan dengan:

 I  _x

=

∬

 R

 y2 ρ

(

 x , y

)

dA

!men inersia lamina terhadap sumbu y didefenisikan dengan:

 I  _y

=

∬

 R

 x2 ρ

(

 x , y

)

dA

!men inersia p!lar didefenisikan dengan:

 I 0

=

∬

 R

(

 x2

+

 y2

)

 ρ

(

 x , y

)

dA

uatan pada pelat ( plate)

isalkan muatan listrik terdistribusi pada seluruh daerah yang mempunyai luas " dalam bidang xy dan rapat massa σ(x,y), maka t!tal muatan A pada plate didefenisikan dengan:

Q

=

∬

 R

σ 

 (

 x , y

)

dA

Rata7rata f"ngsi adalah nilai rata*rata fungsi, misalkan funsinya adalah f(x,y) diseluruh daerah " dalam bidang xy, maka nilai rata*rata µ dari fungsi f(x,y) dalam " didefenisikan dengan:  μ

=

1 S

∬

 _R ❑ f 

 (

 x , y

)

dA dimana S

=

∬

 R

dA  _{adalah luas daerah integral 2}

!nt!h $. Bentukan entr!id dari lamina +ika dip!t!ng dengan parab!la y& _{= x dan y}

= x&_.

C

Damina mempunyai bentuk seperti gambar 6 disamping kiri ini. Jika lamina adalah h!m!geny dan kita anggap baha ρ(x,y) = $.

assa dari lamina:

m =

∬

 R  ρ

(

 x , y

)

dA ₌

∬

 R dA ₌ 1 _y=√  _x

!men inersia terhadap sumbu x dan y x =

∬

 R ❑  ydA =

∫

0 1

[

∫

 x2 √  x  ydy

]

dx

_¿

∫

0 1

[

 y2 2

|

 _x2 √  x

]

dx  = 1 2

∫

₀ 1

(

 x

−

 x4

)

dx

=

1 2

(

 x2 2

 −

 x5 5

)

₀ 1

=

1 2

(

1 2

−

1 5

)

₀ 1

=

3 20 y =

∬

 R ❑  xdA ₌

∫

0 1

[

∫

 x2 √  x dy

]

 xdx

¿

∫

0 1

[

(

 y

)

|

 _x2 √  x

]

 xdx  = 1 2

∫

₀ 1

(

√ 

 x

−

 x2

)

 xdx

=

(

2 x 5_/2 5

−

 x4 4

)

₀ 1

=

2 5

−

1 4

=

3 20

 Jadi, k!!rdinat pusat massa adalah:

´

 x

=

 M  y  M 

=

3 20 1 3

=

9 20  ,  y

´

=

 M  _x  M 

=

3 20 1 3

=

9 20

(nt() :. 7itunglah m!men inersia dari segitiga yang dibatasi !leh garis x;y = $, x=0, y = 0 seperti gambar & dan mempunyai rapat massa ρ(x,y) = xy

 I  _x

=

1 4

∫

0 1

(

1

−

4 _x

+

6 _x2

−

4 _x3

+

 _x4

)

 _xdx

=

1 4

∫

0 1

(

 x

−

4 _x2

+

6 _x3

−

 _x4

+

 _x5

)

_dx

¿

 1 4

(

 x2 2

 −

4 _x3 3

+

6 _x4 4

−

4 _x5 5

+

 x6 6

)

₀ 1

=

1 4

(

1 2

−

4 3

+

6 4

−

4 5

+

1 6

)

=

49 120

!men inersia pada bidang y:

 I  _y

=

∬

 R ❑  x2 ρ

(

 x , y

)

dA

=

∫

0 1

∫

0 1_− x  x2 xydy dx

_¿

∫

0 1

[

∫

0 1− _x  ydy

]

 x3dx

=

∫

0 1

[

y2 2

|

₀ 1_− x

]

 x3dx E

!men inersia terhadap smbu x adalah

 I  _x

=

∬

 R ❑  y2 ρ

(

 x , y

)

dA

=

∫

0 1

[

∫

0 1− x  y2 xydy

]

dx

¿

∫

0 1

[

∫

0 1_− x  y2 xydy

]

dx

=

∫

0 1

[

∫

0 1_− x  y3dy

]

 xdx

¿

∫

0 1  y4 4

|

₀ 1− _x  xdx

=

1 4

∫

0 1

(

1

−

 _x

)

4 _xdx

¿

1 2

∫

0 1

(

1

−

 _x

)

2 _x3_dx

=

1 2

∫

0 1

(

1

−

2 _x

+

 _x2

)

 _x3_dx

=

1 4

∫

0 1

(

 x3

−

2 _x4

+

 _x5

)

_dx

+

1 2

[

 x4 4

 −

2 _x5 5

+

 x6 6

]

₀ 1

¿

1 2

(

1 4

−

2 5

+

1 6

)

=

1 120

F!nt!h $$. uatan listrik terdistribusi diseluruh disk x& _{; y}&  _{= $ supaya rapat}

muatannya men+adi σ(x,y) = $ ; x& _;y& _(?l5m&_{) hitunglah muatan t!tal dari disket.}

2!lusi

alam k!!rdinat p!lar, daerah yang termasuk dalam disket didefenisikan dengan (r,θ)| 0 ≤ x ≤ $, 0 ≤ θ ≤ &π. uatan t!talnya adalah

θ

+¿

r2sin2_θ 1

+

_r2cos2

¿

¿

∫

0 1

(

rdr

¿

]

¿

¿

σ 

 (

 x , y

)

dxdy

=

∫

0 2_ 

¿

Q

=

∬

 R ❑

¿

∫

0 2_  dθ

∫

0 1

(

1

+

_r2

)

_rdr

=

2_ 

∫

0 1

(

r

+

r3

)

dr

=

2_ 

[

r 2 2

 +

r4 4

]

₀ 1

=

2_ 

(

1 2

+

1 4

)

=

3_  2

(

 !"

)

INTERGRAL LIPAT /

Integral lipat 3 dapat didefenisi dengan integrasil daerah k!tak persegi 'a,b x ',d x 'p,8 seperti gambar

-∭

#  ❑ f 

 (

 x , y , z

)

dxdydz

=

∫

a b dx

∫

c d dy

∫

 p q f 

(

 x , y , z

)

dz

(nt() 1. 7itunglah integral dari:

∫

0 2

∫

0  z

∫

0  y  xyz dxdydz 2!lusi: $0

∫

0  x

∫

0  y  xyz dxdydz

=¿

∫

0 2 dz

∫

0  z dy

∫

0  y  xyz dx

=

∫

0 2 dz

∫

0  z

[

 x2 2 yz

]

 _x=0  x= y dy  I 

=

∫

0 2

¿

¿

1 2

∫

0 2 dz

∫

0  z  y3 zdy

=

1 2

∫

0 2

[

 y4 z 4

 ]

 _y=0  y= z dz

=

1 8

∫

0 2  z5dz

=

1 48

[

 z 6

]|

0 2

=

64 48

=

4 3

(nt() 11 hitunglah integral dari

∭

# 

❑

(

1

−

 _x

)

_{dxdydz dimana daerah integral 4}

seperti gambar -. yang dibatasi !leh bidang 3x ; &y ; z = #

2!lusi : kita tuliskan kembali persamaan bidang 3x ; &y ; z = #  Jika kita bagi # men+adi  x₂

+

 y₃

+

 z₁

=

1

Gatas*batas integrasi dari z = 0 hingga z = # 1 3x 1 &y, Hariabel y dari y = 0 hingga y = 3

−

3

2 x  (gambar 6), dan variabel x dari 0 hingga &.

2ehingga ekspresi dari integralnya men+adi:

∭

#  ❑

(

1

−

 _x

)

_dxdydz

=

∫

0 2 dx

∫

0 3₋3 2 x dy

∫

0 6₋3 _x−2 _y

(

1

−

 _x

)

_dz

=

∫

0 2 dx

∫

0 3₋3 2 x

[

 z

−

 zx

]

 _z=0  z=6−3 x−2 y dy =

_∫

0 2 dx

∫

0 3₋3 2 x

[

(

6

−

3 _x

−

2 _y

)−(

6

−

3 _x

−

2 _y

)

 _x

]

_dy

¿

∫

0 2 dx

∫

0 3−3 2 x

[

6

−

3 _x

−

2 _y

−

6 _x

+

3 _x2

+

2 _xy

]

_dy

=

∫

0 2 dx

∫

0 3−3 2 x

[

6

−

9 _x

−

2 _y

+

3 _x2

+

2 _xy

]

_dy $$

¿

∫

0 2

[

6 _y

−

9 _xy

−

 _y2

+

3 _x2 _y

+

 _{x y}2

]

 _y=0

 y=3₋3 2 x dx

¿

∫

0 2

[

6

(

3

−

3 2 x

)

−

9 x

(

3

−

3 2 x

)

−

(

3

−

3 2 x

)

2

+

3 _x2

(

3

−

3 2 x

)

+

 x

(

3

−

3 2 x

)

2

]

dx

¿

∫

0 2

[

18

−

9 _x

−

27 _x

+

27 2 x 2

−

9

+

9 _x

−

9 4 x 2

+

9 _x2

−

9 2 x 2

−

9 2 x 3

+

9 _x

−

9 _x2

+

9 4 x 3

]

dx

¿

∫

0 2

[

9

−

18 _x

+

45 4  x 2

−

9 4 x 3

]

dx =

[

9 _x

−

9 _x2

+

45 12 x 3

−

9 16 x 4

]

0 2 = $C 1 3# ; 30 1 E = 3 6., PER;<A=AN >ARIA<EL DAN ?AO<IAN

a. Per"%a)an >aria%el Dan ?a@(%ian pada integral lipat d"a

 Bu+uan met!de ini adalah untuk memeahkan masalah integral lipat men+adi lebih sederhana dan lebih mudah. >!rmula perubahan variabel diberikan dengan rumus:

∬

 R f 

 (

 x , y

)

dxdy  ₌

∬

 R ❑ f 

 [

 x

(

u , v

)

, y

(

u , v

)

]

|

$

(

 x , y

)

$

(

u , v

)

|

dudv % 

|

$

(

 x , y

)

$

(

u , v

)

|

=

d&' 

|

$ x $ u $ x $ v $ y $ u $ y $ v

|

(0  _{disebut dengan +a!bian dari transf!rmasi (x,y) → (u,v).}

alam kasus ini, kita memilih transf!rmasi k!!rdinat yang memiliki invers, yaitu +ika kita ingin mentransf!rmasi dari (u,v) → (x,y)

% 

|

$

(

u , v

)

$

(

 x , y

)

|

=

d&' 

|

$u $ x $ u $ y $ v $ x $ v $ y

|

(0

 Baat azas +ika

(

$

(

 x , y

)

$

(

u , v

)

)

=

(

 $

(

u , v

)

$

(

 x , y

)

)

−1

alam integral lipat dua, untuk menggunakan perubahan variabel dapat dilakukan dengan tiga langkah:

$. enentukan sistem k!!rdinat baru (u,v) pada daerah integrasi "

&. 7itung Ja!bian dari transf!rmasi (x,y) →  (u,v) sehingga diper!leh k!!rdinat dengan variabel baru

dxdy =

|

$

(

 x , y

)

$

(

u , v

)

|

dudv

3. <antikan x dan y dalam integrand dengan mensubtitusi x = x(u,v) dan y =

y(u,v) dan sebaliknya.

(nt() 1,: hitunglah integral berikut

∬

 R

❑

(

 y

−

 x

)

dxdy  _{dimana daerah " dibatasi !leh}

y = x ; $, y = x*3, y = *  x

3  ; &, y = *  x

3  ; 6

2!lusi: ari kita tuliskan u = y 1 x, v = y ;  x

3

2ehingga kita per!leh y = x ; $ → y 1 x = $ atau u = $ y = x 1 3 → y 1 x = *3 atau u = *3

y = *  x₃  ; & → y ;  x₃  = & atau v = & y = *  x

3  ; 6 → y ;

 x

3  = 6 atau v = 6

gambar berikut adalah transf!rmasi dari (x,y) ke (u,v)

hitunglah +a!bian dari transf!rmasi:

% 

|

$

(

u , v

)

$

(

 x , y

)

|

=

d&' 

|

$u $ x $ u $ y $ v $ x $ v $ y

|

=

d&' 

|

$

(

 y

−

 x

)

$ x $

(

 y

−

 x

)

$ y $

(

 y

+

 x 3

)

$ x $

(

 y

+

 x 3

)

$ y

|

=

|

−

1 1 1 3 1

|

=−

4 3

aka nilai abs!lud dari +a!bian adalah

|

$

(

 x , y

)

$

(

u , v

)

|

=

|

(

 $

(

u , v

)

$

(

 x , y

)

)

−1

|

=

|

1

−

4 3

|

=

3 4 2ehingga dxdy =

|

$

(

 x , y

)

$

(

u , v

)

|

dudv  =  dudv

2elan+utnya menghitung integral dari variabel baru lebih sederhana:

u )3 4 dudv

=

3 4

∫

−3 1 udu

∫

2 4 dv

=¿

 3 4 u2 2

|

₋₃ 1 v

|

2 4

=−

6

∬

 R ❑

(

 y

−

 x

)

dxdy

=

∬

S ❑

¿

(nt() 1/ hitunglah integral berikut I =

∫∫

 R

❑

(

a

+

√ 

 x2

+

 y2

)

dxdy   _{dimana " adalah}

daerah yang dibatasi !leh lingkaran x& _{; y}& _{= a}&

enyelesaian:

alam k!!rdinat kartesian, integral ini dapat dituliskan men+adi I =

∫

−a a dx

∫

−√ a2− x2 √ a2− x2

(

a

+

√ 

 x2

+

 y2

)

dy

Kamun dalam k!!rdinat p!lar x = ρ!sφ dan y = ρsinφ

I =

∬

 R *  ❑ f 

 [

 x

(

u , v

)

, y

(

u , v

)

]

|

$

(

 x , y

)

$

(

u , v

)

|

dudv

=

∬

 _{R *}  ❑

(

a

+

 ρ

)

|

$

(

 x , y

)

$

(

 ρ ,ϕ

)

|

dρdϕ

imana "L adalah daerah persegi dalam bidang ρφ dimana ρ = 0, ρ = a, φ = 0 dan φ

= &π. ari kita menghitung Ja!bian.

% 

|

$

(

 x , y

)

$

(

 ρ ,ϕ

)

|

=

d&' 

|

$ x $ ρ $ y $ ρ $ x $ϕ $ y $ϕ

|

=

d&' 

|

cosϕ sinϕ

−

 ρsin_{ϕ ρ}cos_ϕ

|

=

 ρ

(

cos

2

ϕ

+

sin2_ϕ

)=

 _ρ

2ehingga dxdy =

|

$

(

 x , y

)

$

(

u , v

)

|

dρdϕ  = ρ dρdφ

2ehingga integral dalam bentuk p!lar yang diberikan men+adi:

dϕ

∫

0 a

(

a

+

 ρ

)

 ρdρ

=¿

2_ 

[

 a ρ 2 2

+

 ρ3 3

]

₀ a

=

5 a 3 3

∬

 R ❑

(

a

+

 ρ

)

 ρdρdϕ

=

∫

0 2_ 

¿

%. Per"%a)an 'aria%el "nt"! intergral lipat tiga diberikan integral lipat tiga

∭

 R

❑

f 

 (

 x , y , z

)

dxdydz

%kan ditransf!rmasi men+adi k!!rdinat baru yaitu u,v, dalam daerah 4: M= φ (u,v,), y = Ψ(u,v,), z = χ(u,v,)

aka transf!rmasi +a!biannya adalah

aka rumus perubahan variabel untuk integral lipat tiga adalah

isini | I(u,v,)| merupakan nilai abs!lud dari +a!bian

(nt() 1/.  Bentukan v!lume daerah 4 yang didefenisikan !leh pertidaksamaan berikut

0 ≤ z ≤ &, 0 ≤ y ; z ≤ , 0 ≤ x ; y ; z ≤ $0 2!lusi

Gentuk dari bangunan ini adalah parallelepiped. i sini kita akan mengubah variabel dari k!!rdinat parallelepiped ke dalam k!tak persegi. 2ekarang mari kita tetapkan baha:

u = x ; y ; z, v = y ; z  = z

daerah integrasi 4L dalam variabel baru, yakni u, v,  yang didefenisikan !leh pertidaksamaan berikut

0 ≤ u ≤ $0, 0 ≤ v ≤  0 ≤  ≤ &, H!lume benda adalah

+ 

=

∭

#  ❑ dxdydz

=

∭

# *  ❑

|

 I 

(

u , v , 

)

|

dudvd

enghitung +a!bian dari trans!rmasi:

% 

|

$

(

u , v , 

)

$

(

 x , y , z

)

|

=

d&' 

|

$ u $ x $ u $ y $ u $ z $ v $ x $ v $ y $ v $ z $  $ x $  $ y $  $ y

|

=

|

1 1 1 0 1 1 0 0 1

|

=

1 maka

|

 I 

(

u , v , 

)

|

=

|

$

(

 x , y , z

)

$

(

u , v , 

)

|

=

|

(

$

(

u , v , 

)

$

(

 x , y , z

)

)

−1

|

=

1

sehingga v!lume dari benda adalah:

+ 

=

∭

# *  ❑

|

 I 

(

u , v , 

)

|

dudvd

=

∫

0 10 du

∫

0 5 dv

∫

0 2 d

=

10.5 .2

=

100

(nt() 10. Bentukan v!lume dari parallelepiped yang didefenisikan !leh pertidaksamaan berikut:

0 ≤ &x * 3y ; z ≤  $ ≤ x ; &y ≤ 6, *3 ≤ x * z ≤ #, 2!lusi:

?ita tuliskan variabel baru sbb: u = &x * 3y ; z, v = x ; &y dan  = x 1 z $#

enghitung +a!bian dan invers +a!bian dari transf!rmasi % 

|

$

(

u , v , 

)

$

(

 x , y , z

)

|

=

d&' 

|

$ u $ x $ u $ y $ u $ z $ v $ x $ v $ y $ v $ z $  $ x $  $ y $  $ y

|

=

|

2

−

3 1 1 2 0 1 0

−

1

|

=−

9 maka

|

 I 

(

u , v , 

)

|

=

|

$

(

 x , y , z

)

$

(

u , v , 

)

|

=

|

(

$

(

u , v , 

)

$

(

 x , y , z

)

)

−1

|

=

|

1

−

9

|

=

1 9

sehingga v!lume dari benda dapat kita hitung dengan mudah sbb:

+ 

=

∭

# *  ❑

|

 I 

(

u , v , 

)

|

dxdydz

=

∭

# *  ❑ 1 9 dxdydz

=

1 9

∫

0 5 du

∫

1 4 dv

∫

−3 6 d

=

1 9.5.3.9

=

15 $@