FUNGSI DAN EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA

FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA

A. FUNGSI EKSPONENSIAL

I. Pengertian dan Sifat Fungsi Eksponensial

Review Eksponen: 1) a0 = 1; a≠₀

2) a x a x a x …_{.. x a = a}n

n kali 3) a–n = 1

an 4) am . an = a(m + n) 5) am : an = a(m – n) 6) (am)n = amn

7) !𝑎! _{= a}(m/n)

8) an . bn = (ab)n

Bentuk umum fungsi eksponen: f(x) = b . ax ; a disebut bilangan pokok/basis, a>0,

a≠1, dan b≠0

Sifat–sifat fungsi eksponen: f(x) = y = ax

1) f selalu memotong sumbu y pada (0,1) disebut titik potong pada sumbu y 2) f adalah fungsi kontinue

3) Sumbu x tidak pernah dipotong oleh f, melainkan hanya didekati; sumbu x disebut asimtot mendatar

4) f adalah fungsi satu–satu dan memiliki invers (invers dari fungsi ekponen adalah fungsi logaritma)

5) f merupakan fungsi naik jika a>1 dan f merupakan fungsi turun jika 0<a<1 6) Kurva y = ax dan y = (!

!)

x _{adalah setangkup (simetri terhadap sumbu y)}

II. Fungsi Pertumbuhan

Bentuk fungsi pertumbuhan eksponen: f(x) = b . axà f(x) = b (1+r)x b = jumlah asal (ketika x=0)

a = (1+r) = factor pertumbuhan; a>1

r = laju pertumbuhan per selang waktu T y = jumlah setelah selang waktu t x = !

!

Fungsi pertumbuhan dapat diaplikasikan pada kasus pertumbuhan penduduk dan pertumbuhan bunga majemuk.

Examples

1) Pertumbuhan Penduduk

Soal:

Jumlah penduduk di Sulawesi Utara pada tahun 2010 sekitar 2.300.000 jiwa. Andaikan laju pertumbuhan penduduk sekitar 1,4% per tahun, maka:

a. Tulis persamaan untuk memodelkan jumlah penduduk provinsi Sulut. b. Tentukan perkiraan jumlah penduduk pada tahun 2025.

Penyelesaian:

a. y = b (1+r)x = (2,3) (1+1,4%) = (2,3) (1+0,014) = (2,3) (1,014)t juta jiwa b. x = !

!=

!"  !"#$%

 !  !"#$% = 25

y = (2,3) (1,014)25 juta jiwa

2) Pertumbuhan Bunga Majemuk

       

 

 

 

Anda menabung sejumlah Rp 5.000.000,- di sebuah bank dan memperoleh bunga 4% per tahun. Anggap bunga majemuk bank tetap dan Anda tidak pernah menarik uang. Berapakah tabungan Anda pada:

a. akhir tahun kelima

Fungsi pertumbuhan dapat diaplikasikan pada kasus peluruhan harga jual barang dan peluruhan radioaktif.

1) Peluruhan Harga Jual Barang Example

Soal:

Nilai jual sebuah sepeda motor baru adalah Rp 15.000.000,-. Jika nilai jual sepeda motor mengalami penyusutan 10% per tahun, berapa nilai jual sepeda motor ini pada lima tahun kemudian?

Penyelesaian:

Radioaktif adalah zat yang meluruh menjadi zat lain sambil memancarkan sinar radioaktif, yang jika diarahkan dengan tepat ke lokasi sel kanker akan dapat membunuh sel kanker tsb. Selang waktu yang dikenal untuk meluruhkan setengah bagian menjadi zat lain disebut waktu paruh, symbol T atau T1/2.

Masa Radioaktif: m = m0 . (!

B. FUNGSI LOGARITMA

I. Pengertian dan Sifat Fungsi Logaritma

Review Logaritma:

Bentuk umum logaritma : ax = b ↔ x = a log b 1) a log a = 1

2) log a = 10 log a 3) a log 1 = 0

4) a log b = 1 1

b _{log a}

5) a log b = n log bb1dengan n>0 dan n≠_1>0 n

log a 6) a(!!"#!)   _{= b}

7) a log b + a log c = a log bc 8) a log b – a log c = a log (!

!)

9) a log !

! = – a

log _!! 10) a log bn = n . a log b 11) !!logb! _{= (}!

!) . a _{log b}

12) a log b . b log c = a log c

Bentuk umum fungsi logaritma: f(x) = alog x ; a disebut bilangan pokok/basis, a>0,

a≠1, dan b>0

Sifat–sifat fungsi logaritma: f(x) = y = alog x

1) f selalu memotong sumbu x pada (1,0) disebut titik potong pada sumbu x 2) f adalah fungsi kontinue

3) Sumbu y tidak pernah dipotong oleh f, melainkan hanya didekati; sumbu y disebut asimtot tegak

4) Fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen

5) f merupakan fungsi naik jika a>1 dan f merupakan fungsi turun jika 0<a<1 6) Kurva y = alog x dan y = 1/alog x adalah setangkup (simetri terhadap sumbu x)

II. Aplikasi Logaritma 1) Mengukur pH

pH adalah besaran yang digunakan untuk mengukur kadar keasamaan suatu larutan.

p(t) = –log (t)

t = konsentrasi ion hydrogen [H

+_{] (mol/L)}

Example

Soal : Berapa pH suatu larutan berkonsentrasi ion hydrogen 2,5 x 10–5 mol/L? (Diketahui log 2,5 = 0,4)

Peny. : t = 2,5 x 10–5 mol/L

p(t) = –log (2,5 x 10–5) = –(log 2,5 + log 10–5) = –(0,4 – 5) = 4,6

2) Mengukur Intensitas Bunyi

TI = 10 . log (!

!! )

TI = taraf intensitas bunyi (dB) I = intensitas bunyi (W/m2) I0 = intensitas ambang bunyi (W/m

2₎

Example

Soal : Tentukan taraf intensitas bunyi dengan intensitas sebesar 4000 I0.

(Diketahui log 2 = 0,301) Peny. : I = 4000 I0, maka !

Bidang Cartesius:    

       

                                                                                   x TI = 10 . log (!

!!) = 10 . log 4000 = 10 (log 4 + log 1000) = 10 (log 2

2

+ 3) = 10 (2 log 2 + 3) = 10 ( 2 . 0,301 + 3) = 10 (0,602 + 3) = 36,02 dB

C. GRAFIK FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA

1) Dengan persamaan f(x) atau y yang diberikan, tentukan beberapa nilai x untuk menggambarkan grafik persamaan tsb.

2) Hitung nilai masing-masing y dengan mensubstitusi nilai x dalam persamaan tsb. 3) Tuliskan setiap pasang titik (x,y) yang diperoleh.

4) Gambarkan setiap pasang titik (x,y) pada bidang Cartesius.

5) Hubungkan titik-titik tsb untuk membentuk grafik f(x). y

D. PERSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA

I. Persamaan Eksponen

Examples

1) Menyelesaikan bentuk af(x) = an dengan f(x) = n

Soal : 3(2x – 1) = 81. Tentukan nilai x. Peny. : 3(2x – 1) = 81

3(2x – 1) = 34, maka (2x – 1) = 4

x = !

!

2) Menyelesaikan bentuk af(x) = b (dimana b ≠ _an_{) dengan f(x) =} a _{log b} Soal : 2x = 15. Tentukan nilai x.

Peny. : 2x = 15, maka x = 2log15

3) Menyelesaikan bentuk af(x) = bg(x) (dimana b = an) dengan f(x) = n.g(x)

Soal : 25(x+2) = 5(3x – 4). Tentukan nilai x. Peny. : 25(x+2) = 5(3x – 4)

52(x+2) = 5

(3x – 4)

2(x+2) = 3x – 4 4x + 4 = 3x – 4 x = –8

4) Menyelesaikan ap2x + bpx + c = 0 dengan memisalkan px = q > 0 dan p2x = q2

Soal : 7( ₂)x – 2x = –8. Tentukan nilai x. Note: ( ₂)2 = 2 Peny. : Misal ( ₂)x = p > 0 maka ( ₂)2x = p2, maka 7p – p2 = –8

p2 – 7p – 8 = 0 (p + 1)(p – 8) = 0

p = –1 atau p = 8

tidak memenuhi Dengan demikian, p2 = 82 = 2x

(22)3 = 2x

26 = 2x maka x = 6

II. Persamaan Logaritma Examples

1) Menyelesaikan a log f(x) = b

Soal : 2 log (2x – 5) = 4 Peny. : 2 log (2x – 5) = 2 log 4

(2x – 5) = 4

2) Menyelesaikan g(x) logf(x) = b

Soal : xlog (4x+12) = 2. Tentukan nilai x. Peny. : xlog (4x+12) = 2

x_{log (4x+12) =} x_{log x}2 _{dengan x>0 dan x≠1}

4x + 12 = x2 x2 – 4x – 12 = 0

(x + 2)(x – 6) =0

x = –2 atau x = 6

tidak memenuhi, maka x = 6

3) Menyelesaikan a log f(x) + a log g(x) = b dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0

Soal : 2 log x + 2 log (x – 2) = 3. Tentukan nilai x.

Peny. : 2 log x + 2 log (x – 2) = 3 dengan x>0 dan (x – 2)>0 atau x>2 2 log x + 2 log (x – 2) = 2 log 23

x (x – 2) = 8 x2 – 2x – 8 = 0 (x + 2)(x – 4) =0

x = –2 atau x = 4

tidak memenuhi, maka x = 4

4) Menyelesaikan persamaan logaritma dengan pemisalan

Soal : Tentukan nilai p pada persamaan 3 plog3 – 3logp3 = 8. Peny. : 3 plog3 – 3logp3 = 8

(3) 1 1– (3) (3logp) = 8 3logp

Misal 3logp = n, maka 3(  !

!) – 3n =8

3 – 3n2 = 8n 3n2 + 8n – 3 = 0 (n+3)(3n–1) = 0 n = –3 atau n = !

!

3_{logp = –3 atau} 3_{logp =} ! !

p = 3–3 = !

!" atau p = 3

1/3 ₌ !₃

E. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA

Dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan, tanda selalu tetap kecuali saat kedua ruas dikalikan atau dibagikan dengan bilangan negative.

I. Pertidaksamaan Eksponen

Examples

1) Menyelesaikan pertidaksamaan eksponen dengan a>1 à tanda tetap

Soal : Tentukan nilai x pada pertidaksamaan 4(x – 4)≤ 64. Peny. : 22(x – 4) ≤ 28, maka 2x – 8 ≤ 8

2x ≤ –16 Jadi, x ≤ –8

2) Menyelesaikan pertidaksamaan eksponen dengan 0<a<1 à tanda dibalik

Soal : Tentukan nilai x pada pertidaksamaan (½₎(3x – 2) ≥ (½₎4_.

Peny. : ½(3x – 2) ≥½4_{, maka 3x – 2} ≤ 4 3x ≤ 6 x  ≤ 2

II. Pertidaksamaan Logaritma Examples

1) Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dengan a>1 à tanda tetap

5

log (4x+1) ≤5log 52 4x + 1 ≤ 25

4x ≤ 2 x ≤½

2) Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dengan 0<a<1 à tanda dibalik

Soal : Tentukan nilai x pada (1/2)log !!!

! <

(1/2)_log !"!!

! .

Peny. : (1/2)log !!!

! <

(1/2)_log !"!!

! , maka !!!

! > !"!!

! 2(x – 1) > 2x – 3

2x – 2 > 2x – 3

–2 > –3 adalah pernyataan yang selalu benar. Jadi x = semua bilangan positive

3) Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dengan garis bilangan

1. Soal : Tentukan nilai x pada log x + log (x – 3) > 1. Peny. : log x + log (x – 3) > 1

log x(x – 3) > log 10

x2 – 3x > 10 x2 – 3x – 10 > 0

(x + 2)(x – 5) > 0 à menanyakan bilangan positif

+

-

+

–2 5 Jadi, x < –2 atau x > 5

2. Soal : Tentukan nilai x pada log x + log (x – 3) ≤ 1. Peny. : log x + log (x – 3) ≤ 1

log x(x – 3) ≤ log 10

x2 – 3x ≤ 10 x2 – 3x – 10 ≤ 0

(x + 2)(x – 5) ≤ 0 à menanyakan nol dan bilangan negative

+

-

+

–2 5