Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES S

(1)

Catatan Kuliah

MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

“Smart and Stochastic”

disusun oleh

Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung

(2)

Tentang MA4181 (Pengantar) Proses Stokastik

A. Jadwal kuliah:

• Selasa; 11-; R.9138

• Kamis; 9-; R.9224

B. Silabus:

• Peubah acak dan distribusi

• Peluang bersyarat dan ekspektasi bersyarat

• Rantai Markov

• Distribusi eksponensial dan proses Poisson

• Topik khusus: Model AR, ARCH, dan INAR

C. Buku teks:

• Sheldon Ross, 2010, Introduction to Probability Models, 10th ed.

• Karlin dan Taylor, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed.

D. Penilaian:

• Ujian 1,2,3:

30 September 2014 (30%) 28 Oktober 2014 (30%) 2 Desember 2014 (30%)

• Kuis (10%)

(3)

Daftar Isi

1 Peluang dan Peubah Acak 1

1.1

Pendahuluan

. . . 1

1.2

Ruang Sampel dan Peluang

. . . 3

1.3

Peubah Acak dan Fungsi Distribusi

. . . 5

1.4

Distribusi Diskrit

. . . 7

1.5

Distribusi Kontinu

. . . 10

(4)

BAB 1

Peluang dan Peubah Acak

Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi (cumulative ddistribution function), distribusi diskrit (bino-mial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, seragam/uniform, ek-sponensial).

Tujuan:

1. Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a)

2. Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d ke f.p

3. Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu

1.1 Pendahuluan

• Apa Proses Stokastik? Proses? Stokastik?

• Proses = runtunan perubahan (peristiwa) dl perkembangan sesuatu, rangkaian tindakan, pembuatan, atau pengolahan yg menghasilkan pro-duk (KBBI, 2008)

• Stokastik = mempunyai unsur peluang atau kebolehjadian (KBBI, 2008)

• Definisi: Proses stokastik {Yt} adalah koleksi peubah acak dengan t

menyatakan indeks waktu

(5)

(Contoh 1_{) Di perusahaan asuransi digunakan sistem Bonus Malus untuk}

menentukan besar premi. Setiap pemegang polis berada dalam suatu keadaan (state) dan premi tahunan merupakan fungsi dari keadaan ini. Keadaan pe-megang polis berubah dari tahun ke tahun dengan memperhatikan banyak klaim yang telah dilakukan. Pemegang polis biasanya akan menurunkan sta-tus keadaan jika dia tidak memiliki klaim pada tahun sebelumnya dan akan menaikkan status keadaan jika memiliki setidaknya satu klaim. Untuk sistem Bonus Malus, misalkansi(k) menyatakan keadaan pemegang polis berikut dari

sebelumnya berada di keadaan i dan telah mengajukan k klaim. Jika banyak klaim yang dibuat adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parame-ter θ, maka keadaan pemegang polis akan membentuk Rantai Markov dengan peluang transisi Pij. Berikut adalah contoh Sistem Bonus Malus dengan 4

keadaan:

Keadaan apabila...

Keadaan 0 klaim 1 klaim 2 klaim 3 klaim

1 1 2 3 4

2 1 3 4 4

3 2 4 4 4

4 3 4 4 4

(Contoh 2_{) Dua orang pasien, A dan B, membutuhkan ginjal. Jika dia}

tidak mendapatkan ginjal baru, maka A akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi exponensial dengan parameter µA. Begitu juga dengan B,

akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi eksponensial dengan parameterµB. Ginjal akan tersedia menurut proses Poisson dengan parameter

λ. Telah ditentukan bahwa ginjal pertama yang datang diberikan ke pasien A (atau ke pasien B jika B masih hidup dan A meninggal saat itu) lalu ke pasien B (jika masih hidup). Berapa peluang B mendapat ginjal baru?

(Contoh 3a_{) Model Autoregressive atau AR orde satu:}

Yt =α Yt−1+εt

dimana εt diasumsikan saling bebas dan berdistribusi identik. Model AR(1)

dapat digunakan untuk memodelkan jumlah produksi, harga aset dsb. Per-hatikan bahwa memprediksi Yn+1 merupakan salah satu bagian penting dari pemodelan stokastik/deret waktu. Prediksi terbaik untuk Yn+1 adalah

E(Yn+1|Yn,α)b

(6)

(Contoh 3b_{) Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic atau ARCH}

dan Model Stochacti Volatility atau SV:

Yt =σt+εt

dimana

σt=α0+α1Y

2

t−1,

atau

lnσt=γ+δ lnσt−1+ηt,

Model ARCH dan/atau SV sangat tepat untuk memodelkan imbal hasil (re-turn) saham.

(Contoh 4_{) Model Integer-Valued Autoregressive atau INAR orde satu:}

Yt =α◦Yt−1+εt,

dimana

α◦Yt−1 =W1+· · ·+WYt₋₁,

dengan Wi ∼ Bin(1, α), dan εt ∼ P OI(λ). Model INAR(1) menggambarkan

bahwa “banyaknya pasien yang berada di IGD pada waktu t merupakan jum-lah dari banyaknya pasien yang bertahan hidup dengan peluang α ditambah banyaknya pasien yang datang pada waktu (t−1, t]”

1.2 Ruang Sampel dan Peluang

Ilustrasi

1. Seorang agen asuransi menawarkan asuransi kesehatan kepada calon nasabah. Nasabah dapat memilih tepat 2 jenis asuransi dari pilihan A, B, C atau tidak memilih sama sekali. Proporsi nasabah memilih jenis asuransi A, B dan C, berturut-turut, adalah 1/4, 1/3 dan 5/12. Hitung peluang seorang nasabah memilih untuk tidak memilih jenis asuransi.

2. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70% pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% menga-suransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% mengasuransikansports car. Hitung peluang bahwa

(7)

seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car.

Ruang sampel dan Kejadian

• Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak.

• Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer.

• Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer.

Peluang

• Peluang kejadian A adalah

P(A) = lim

n→∞

n(A) n

• Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah

P(A) = n(A) n(S)

• Peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0,1] yang memenuhi tiga aksioma berikut:

1. 0 ≤P(A)≤1, untuk setiap A∈ A 2. P(S) = 1

3. Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asingA1, A2, . . .,

P(

(8)

1.3 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi

Ilustrasi

1. Maskapai penerbangan “Serigala Air” mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pe-sawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?

2. MisalkanX peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean λ. Param-eter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa

P(X =n) = (1/2)n+1

Peubah Acak

• Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”

• Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real _R

P.A. Diskrit

Peubah acakX dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai, i= 1,2, . . .} sedemikian hingga

P( ∪

i

{X =ai}

)

=∑

i

P(X =ai) = 1

Catatan:

Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.

FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung

{ai, i= 1,2, . . .}dari bilangan real dan barisan{pi, i= 1,2, . . .}dari bilangan

positif yang bersesuaian sedemikian hingga

∑

i

pi = 1

dan

FX(x) =

∑

ai≤x

pi

(9)

Jika diberikan himpunan terhitung {ai, i = 1,2, . . .} dan bilangan positif

(a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F(x) = 1

(c) limx→−∞ F(x) = 0

(d) F fungsi kontinu kanan Catatan:

• P(a < X ≤b) =F(b)−F(a)

MisalkanXpeubah acak dan fungsi distribusinyaFX dapat diturunkan. Fungsi

peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,

fX(x) =

d

dxFX(x) atau dengan kata lain

FX(x) =

∫ x

−∞

fX(t)dt

Definisi: _Jika _X _{adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya}

ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak

(10)

kontinu. Catatan:

1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F(x) =

2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F(x) =

3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut:

f(x) =

(Ilustrasi B-1_{) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat}

den-gan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah meru-pakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang untuk dapat

(11)

bertahan hidup sampai hari esok sebesar αi, dengan i menyatakan orang

ke-i, i= 1,2, . . .. Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup?

(Ilustrasi B-2_{) Misalkan sebuah mesin dari pesawat akan rusak (saat}

ter-bang) dengan peluang 1-p, saling bebas antara mesin satu dan yang lain. Mis-alkan sebuah pesawat akan melakukan penerbangang sukses jika setidaknya 50% mesin bekerja dengan baik (tidak rusak). Untuk p berapa, sebuah pe-sawat dengan 4 mesin akan lebih disukai (terbang lebih baik) dibandingkan dengan pesawat dengan 2 mesin?

Misalkan X menyatakan banyak mesin baik (tidak rusak). Untuk pesawat bermesin 4:

sedangkan untuk pesawat bermesin 2:

P(X ≥1) = 1−P(X = 0) = 1−(1−p)2

· · · ∗ ∗

Syarat: * lebih besar dari **. Diperoleh p > 2/3.

Distribusi Binomial

Misalkan S={sukses, gagal}adalah ruang sampel yang menotasikan ’sukses’ atau ’gagal’ dari suatu percobaan.

Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan

pX(1) =P(X = 1) =p

pX(0) =P(X = 0) = 1−p

dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana

pX(k) =B(k;n, p) =Cknpk(1−p)n

−k

(Ilustrasi P-1_{) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari}

berdis-tribusi Poisson dengan parameterλ= 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini?

Misalkan X menyatakan banyak kecelakaan.

P(X = 0) = exp(−3)

(12)

(Ilustrasi P-2_{) Misalkan}_X _{peubah acak Poisson dengan parameter}_λ.

Tun-jukkan bahwaP(X =i) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i semakin besar.

Distribusi Poisson

Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang

pX(i) =e−λ

λi

i!

untuk i = 0,1,2, . . . dan λ > 0. X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ.

(Ilustrasi G-1_{) Ini kisah masa lalu Nurul yang sempat diceritakan sesaat}

se-belum Nurul menikah. Katanya “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku”. Pertanyaan yang mungkin adalah...

• Berapa peluang bahwa orang yang dinikahi Nurul tidak memiliki hubun-gan darah?

• Jika Nurul tidak ingin menikah dengan saudara sedarah, berapa peluang bahwa Nurul akhirnya menikahi orang yang bukan saudara sedarah?

(Ilustrasi G-2_{) Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukan}

siapa yang akan membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melan-tunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib membayar makanan yang telah dipesan. JikaX menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan (i) P(X = 3) (ii) P(X >4) Peluang ’sukses’ (ada yang lantunannya berbeda alias ada yang bayar) adalah 3/4. Dengan demikian X ∼Geo(3/4).

P(X = 3) = (1/4)2

(3/4) = 3/64

P(X >4) = 1−P(X ≤4) = 1/256

Distribusi Geometrik

Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang per-tama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang suk-ses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk

(13)

mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Ge-ometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah

p(n) = P(X =n) = (1−p)n−1 p,

untuk n= 1,2, . . . dan p >0.

1.5 Distribusi Kontinu

(silakan belajar sendiri)