Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume xx, No. x (tahun), hal xx – xx.
1
PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN
Doni Saputra, Helmi, Shantika Martha INTISARI
Luas bangun datar dan volume bangun ruang adalah bagian dari geometri. Ketika mencari luas bangun datar seperti segitiga, persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, trapesium dan volume bangun ruang seperti limas, balok, kubus dan prisma memiliki rumus masing-masing.
Rumus-rumus yang ada memanfaatkan unsur-unsur seperti, sisi atau diagonal sisi untuk mencari luas bangun datar dan volume bangun ruang. Akan tetapi menjadi masalah apabila nilai dari unsur-unsur tersebut tidak diketahui sehingga diperlukan pendekatan lain seperti memanfaatkan sudut untuk mencari nilai dari sisi yang belum diketahui. Penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan luas bangun datar dan volume bangun ruang dengan konsep determinan. Luas dari bangun datar dan volume dari bangun ruang dapat dicari melalui hubungan aljabar dengan geometri dalam sistem koordinat kartesius.
Selanjutnya menggunakan hubungan dari titik-titik pada koordinat kartesius dapat dibuat rumus untuk mencari luas bangun datar dan volume bangun ruang dengan konsep determinan. Langkah awal untuk membentuk rumus luas bangun datar diawali dengan mencari rumus luas segitiga yang kemudian digunakan untuk mencari luas dari bangun datar segi- . Dari ketiga titik koordinat segitiga dapat ditarik garis yang tegak lurus sumbu
. Hasil proyeksi titik dari ketiga titik koordinat segitiga pada sumbumenghasilkan tiga titik baru. Ketiga titik yang dihasilkan dapat digunakan untuk membentuk tiga trapesium. Ketiga trapesium ini yang digunakan untuk membentuk rumus luas segitiga dengan konsep determinan. Sedangkan pada volume digunakan hasil kali titik, hasil kali silang dan panjang proyeksi untuk membentuk rumus volume bangun ruang dengan konsep determinan.
Kata Kunci: Geometri Analitik, Aplikasi Determinan, Vektor
PENDAHULUAN
Geometri merupakan cabang ilmu matematika yang berasal dari bahasa Yunani yaitu geo yang artinya bumi dan metro yang artinya mengukur. Geometri pertama kali diperkenalkan oleh ilmuan asal Yunani yaitu Thales pada tahun 624-547 SM [1]. Geometri membahas persoalan mengenai ukuran, bentuk, kedudukan dan sifat ruang. Bangun pada geometri yang dapat mendefinisikan ukuran, bentuk dan kedudukan berupa bangun datar. Selain bangun datar, terdapat juga bangun pada geometri yang mendefinisikan ukuran, bentuk, kedudukan dan sifat ruang yaitu bangun ruang. Setiap bangun datar dan bangun ruang memiliki luas dan keliling. Namun hanya bangun ruang yang memiliki volume.
Dalam mencari luas bangun datar dan volume bangun ruang dapat diselesaikan menggunakan rumus yang sesuai untuk mencari luas bangun datar dan volume bangun ruang. Rumus yang digunakan untuk mencari luas bangun datar dan volume bangun ruang menggunakan unsur-unsur seperti sisi atau diagonal sisi yang telah diketahui. Akan tetapi menjadi masalah apabila nilai dari unsur-unsur tersebut tidak diketahui, diperlukan pendekatan lain seperti memanfaatkan sudut untuk mencari nilai dari sisi yang belum diketahui.
Penelitian ini bertujuan menyelesaikan luas bangun datar dan volume bangun ruang dengan konsep
determinan. Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah rumus luas bangun datar yang dicari
berupa poligon dan rumus volume bangun ruang yang dicari adalah limas segitiga beraturan, limas
segiempat beraturan, limas segienam beraturan, prisma segitiga beraturan, prisma segiempat
beraturan/kubus/balok, dan prisma segienam beraturan. Luas dari bangun datar dan volume dari
bangun ruang dapat dicari melalui hubungan aljabar dengan geometri dalam sistem koordinat
kartesius.
Selanjutnya menggunakan hubungan dari titik-titik pada koordinat kartesius dapat dibuat rumus untuk mencari luas bangun datar dan volume bangun ruang dengan konsep determinan.
Langkah awal untuk membentuk rumus luas bangun datar diawali dengan mencari rumus luas segitiga yang kemudian digunakan untuk mencari luas dari bangun datar segi- . Ketika mencari rumus luas segitiga, dari ketiga titik koordinat segitiga dapat ditarik garis yang tegak lurus sumbu . Hasil proyeksi titik dari ketiga titik koordinat segitiga pada sumbu menghasilkan tiga titik baru. Ketiga titik yang dihasilkan dapat digunakan untuk membentuk tiga trapesium. Ketiga trapesium ini yang digunakan untuk membentuk rumus luas segitiga dengan konsep determinan. Kemudian rumus segitiga yang telah terbentuk digunakan untuk mencari bangun datar segi- . Sedangkan pada volume digunakan hasil kali titik, hasil kali silang dan panjang proyeksi untuk membentuk rumus volume bangun ruang dengan konsep determinan. Oleh sebab itu, penelitian ini membahas penyelesaian luas bangun datar dan volume bangun ruang menggunakan pendekatan dengan konsep determinan.
DETERMINAN
Misalkan adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi determinan (determinant function) dinotasikan dengan det dan det( ) didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda dari . Angka det( ) disebut determinan dari [2].
Misalkan
*
+, maka determinan dari matriks sebagai berikut:
( ) *
+
(1) Misalkan
[
], maka determinan dari matriks sebagai berikut:
( )
(2) Dengan mengatur kembali suku-suku dan memfaktorkan Persamaan (2) dapat ditulis kembali sebagai berikut
( )
(
)
(
)
(
) (3) Pernyataan dalam kurung pada Persamaan (3) masing-masing merupakan determinan:
*
+
*
+
*
+
Definisi 1 [2] Jika adalah suatu matriks bujursangkar, maka minor dari entri
dinyatakan sebagai
dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari . Bilangan ( )
dinyatakan sebagai
dan disebut sebagai kofaktor dari entri
.
Berdasarkan Definisi 1 maka Persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk minor dan kofaktor sebagai : ( )
(
)
(4) Persamaan (4) menunjukkan bahwa determinan dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada baris pertama dari dengan kofaktor-kofaktornya yang bersesuaian dan menjumlahkan hasil kali yang diperoleh. Metode perhitungan ( ) ini disebut ekspansi kofaktor (cofactor expansion) sepanjang baris pertama dari .
VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah [3]. Vektor dapat dinyatakan secara geometrik sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi dua atau ruang berdimensi tiga. Arah anak panah menunjukkan arah vektor, sementara panjang anak panah menggambarkan besarannya. Sebuah vektor dimulai dari titik awal (initial point) dan diakhiri oleh
titik akhir (terminal point).
𝐮 𝐯 sin 𝜃 𝐯
𝐯
𝜃
𝐮
Secara analitis, sebuah vektor pada bidang dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terurut, misalnya ( ), yang digambarkan koordinat dua sumbu yang saling tegak lurus seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1a sedangkan vektor dalam ruang ( ) dapat digambarkan dengan menggunakan koordinat tiga sumbu yang saling tegak lurus, yang mengikuti aturan tangan kanan dan secara analitis dinyatakan sebagai tiga bilangan terurut, ( ) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1b vektor yang titik awalnya di titik asal ( ) untuk vektor pada bidang dan ( ) untuk vektor dalam ruang disebut vektor posisi.
Gambar 1. Vektor pada Bidang dan Ruang
Teorema 1 [2] Jika dan adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 jika , maka
( )
( )
Definisi 2 [2] Jika ( ) dan ( ) adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka hasil kali silang (cross product) adalah vektor yang didefinisikan sebagai
( )
atau dalam notasi determinan
( * + * + * +)
Bentuk determinan dari hasil kali silang dapat diwakili dengan notasi dalam bentuk determinan . [ ] * + * + * +
Teorema 2 [2] Jika u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka sama dengan luas dari paralelogram yang dibatasi oleh u dan v.
Jajar genjang yang dibatasi oleh vektor u dan v di tunjukkan pada Gambar 2 sebagai berikut
(0,0)
𝐮 (𝑢 𝑢 )
𝑢 𝑢
y
x
z
( )
𝐮 (𝑢 𝑢 𝑢 )
𝑢
𝑢 𝑢
x
y
(a) (b)
Gambar 2. Jajar Genjang yang Dibatasi Vektor u dan v
BANGUN DATAR
Bangun datar seperti segitiga, jajar genjang, layang-layang, persegi, persegi panjang, belah ketupat dan trapesium memiliki rumus masing-masing untuk mencari luas dari bangun datar tersebut. Ternyata determinan dari suatu matriks dapat diaplikasikan untuk mencari luas dari bangun datar dengan menggunakan titik-titik koordinat yang ada. Selanjutnya mencari luas dari segitiga menggunakan konsep determinan.
Diberikan dengan titik-titik ( ), ( ), dan ( ) dengan syarat dan Seperti pada Gambar 3 berikut ini.
Gambar 3. Segitiga dengan Syarat dan
Untuk mencari luas seperti pada Gambar 3 dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
i. Dari ketiga titik yang diketahui yaitu titik ( ), ( ), dan ( ) dapat ditarik garis yang tegak lurus sumbu yaitu , , dan . Sehingga hasil proyeksi titik ( ), ( ), dan ( ) pada sumbu yaitu: ( ), ( ), dan ( ).
ii. Selanjutnya luas dapat dicari dengan memanfaatkan bangun-bangun trapesium yang terbentuk dari titik-titik ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), dan ( ). Dari titik-titik tersebut dapat dibentuk 3 trapesium yaitu:
Trapesium 1 dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), ( ).
Trapesium 2 dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), ( ).
Trapesium 3 dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), ( ).
iii. Dengan memanfaatkan rumus luas trapesium yaitu: (sisi 1 + sisi 2)(tinggi), dimana sisi n sisi adalah sisi-sisi yang sejajar sehingga didapat :
luas trapesium 1 ( )( ) luas trapesium 2 ( )( ) luas trapesium 3 ( )( )
Luas dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
Luas = luas trapesium 1 + luas trapesium 2 - luas trapesium 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( * + * + * +)
𝐴(𝑥 𝑦)
𝐶(𝑥 𝑦)
𝐵(𝑥 𝑦)
𝐵 (𝑥 ) 𝐶 (𝑥 )
𝐴 (𝑥 )
𝑥 𝑦
[ ] [ ] (5)
Berdasarkan Gambar 3 dapat dilihat bahwa rumus luas segitiga menggunakan determinan akan bernilai positif apabila titik ( ) berada di atas garis dan rumus luas segitiga menggunakan determinan akan bernilai negatif apabila ( ) berada di bawah garis . Karena luas tidak mungkin bernilai negatif maka rumus umum luas segitiga adalah :
| ( )| (6)
dimana [ ], dengan ( ), ( ), dan ( ) adalah titik-titik koordinat dari segitiga.
Jadi dengan memanfaatkan konsep determinan luas dari bangun datar segi- , baik yang beraturan maupun tidak dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut
Luas segi- =
2
1
2 det
n
1
i
A
i(7)
dimana [ ], dengan ( x
1, y
1i)
i
, (
2,
2)
i
i
y
x ,
( 3 , 3 )i
i
y
x adalah titik-titik koordinat dari segitiga ke-
BANGUN RUANG
Ternyata determinan dari suatu matriks dapat digunakan untuk mencari volume dari limas, kubus, balok, prisma dengan menggunakan titik-titik koordinat yang ada. Pertama-tama akan ditunjukkan volume dari limas segitiga menggunakan konsep determinan.
Diberikan limas dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), dan ( ) . Gambar limas seperti pada Gambar 4
Gambar 4. Limas Segitiga
Untuk mencari volume limas seperti pada Gambar 4 digunakan langkah-langkah sebagai berikut:
i. Dari keempat titik koordinat yang diketahui yaitu ( ), ( ), ( ), dan ( ) dapat dibuat menjadi tiga vektor yang tidak terletak pada bidang yang sama sebagai berikut
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
ii. Pada Gambar 4 dapat dilihat bidang alas berupa segitiga dan terbentuk dari dua buah vektor dan . Dengan memanfaatkan Teorema 2 didapatlah luas segitiga sebagai berikut
|( )|
dengan , , , , , dan
iii. Selanjutnya mencari tinggi dari limas yang tegak lurus dengan bidang alas, tinggi limas dapat dicari dengan menggunakan rumus panjang proyeksi sebagai berikut
| ( )|
iv. Kemudian mencari volume limas dengan rumus volume limas ( s s)( in i) sehingga | ( )|
| ( )|
| ( )| [
] [ ]
Karena volume tidak mungkin bernilai negatif maka volume limas adalah
| ( )| (8)
dimana [ ], dengan ( ), ( ), ( ), dan ( ) adalah titik-titik yang membentuk vektor dan .
Langkah yang sama dapat digunakan untuk mencari volume dari limas segiempat beraturan, dan segienam beraturan, yang membedakan hanyalah bentuk dari luas alas limas. Sedangkan pada prisma juga dapat menggunakan langkah yang sama dimana pada langkah keempat rumus volume yang digunakan bukanlah (luas alas)(tinggi) melainkan (luas alas)(tinggi).
CONTOH SOAL
Berikut diberikan beberapa contoh soal penyelesaian luas bangun datar dan volume bangun ruang menggunakan konsep determinan:
Contoh 1
Carilah luas segitiga dengan titik-titik sebagai berikut:
a. ( ), ( ) dan ( ) b. ( ), ( ) dan ( ) Penyelesaian :
a. Diketahui , , dan , , Sehingga diperoleh [
], menggunakan rumus pada Persamaan (6) didapatlah:
( ) * + * + * +
| ( )| | ( )| | |
Sehingga didapat luas segitiga dengan titik ( ), ( ), dan ( ) adalah satuan.
b. Diketahui , , dan Sehingga diperoleh [
], menggunakan rumus pada Persamaan (6) didapatlah:
( ) * + * + * +
| ( )| | ( )| | |
Sehingga didapat luas segitiga dengan titik ( ) ( ), dan ( ) adalah satuan.
Contoh 2
Tentukan luas persegi dengan titik-titik sebagai berikut : a. ( ), ( ), ( ) dan ( )
b. ( ), ( ), ( ) dan ( ) Penyelesaian:
a. Menentukan ( ), ( ), ( ). Misalkan , , dan , ,
Sehingga diperoleh [
] dengan menggunakan rumus pada Persamaan (7) didapatlah:
( ) * + * + * +
| ( )| | |
Sehingga diperoleh luas persegi dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), dan ( ) adalah 16 satuan.
b. Menentukan ( ) ( ) ( ). Misalkan dan
Sehingga diperoleh [
], menggunakan rumus pada Persamaan (7) didapatlah ( ) *
+ *
+ *
+
| ( )| | |
Sehingga diperoleh luas persegi dengan titik-titik ( ), ( ), ( ) dan ( ) adalah 12.8538 satuan.
Contoh 3
Tentukan luas trapesium dengan titik-titik ( ), ( ), ( ) dan ( ) Penyelesaian :
Luas dapat dicari dengan menggunakan gambar trapesium yang terbentuk dari titik-titik ( ), ( ), ( ), dan ( ) sehingga didapatlah gambar trapesium seperti pada Gambar 5
Gambar 5. Segitiga Satu dan Dua dari Trapesium dengan Titik-titik ( ) ( ) ( ) dan ( )
𝑥 𝐴( )
𝐵( ) 𝐶( )
Segitiga 2
𝐷( ) Segitiga 1 𝑦
Sehingga didapatlah [
] dan [
]
dengan menggunakan rumus pada Persamaan (7) didapatlah:
( ) *
+ *
+ * + ( ) *
+ *
+ *
+
| ( )| | ( )| | ( )| | ( )|
Sehingga luas trapesium dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), dan ( ) adalah 20 satuan.
Contoh 4
Carilah volume dari limas segiempat dengan titik-titik sebagai berikut
A(3.51, 1.04, 0), B(1.26, -0.21, 0), C(0.01, 2.04, 2.57), D(2.26, 3.29, 2.57), dan E(3.27 , -1.18, 4.4).
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah membentuk tiga vektor yang tidak terletak pada bidang yang sama, yaitu ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . Seperti yang disajikan pada Gambar 6
Gambar 6. Limas Segiempat yang Terbentuk dari Titik-titik dan
Sehingga didapatlah titik-titik yang membentuk vektor , , dan dengan menggunakan rumus pada Persamaan (8) didapat:
[
]
( ) [
] [
]
[
] [
]
Volume limas | ( )|
Contoh 5
Carilah volume dari kubus dengan titik-titik sebagai berikut
A(2.41, 1.35, 0), B(1, 3, 1.2), C(0.23, 1.22, 2.74), D(1.63 , -0.43, 1.54), E(4.29, 1.85, 1.53), F(2.89, 3.5, 2.73), G(2.12, 1.71, 4.27), H(3.52, 0.07, 3.06), dan I(2.41, 1.35, 0)
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah membentuk tiga vektor yang tidak terletak pada bidang yang sama, yaitu ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . Seperti yang disajikan pada Gambar 7
Gambar 7 Kubus yang Terbentuk dari Titik-titik dan
Sehingga didapatlah titik-titik yang membentuk vektor , dan dengan menggunakan rumus pada Persamaan (8) didapat:
[
]
( ) [
] [
]
[
] [
]
Volume prisma |( )|
PENUTUP
Dalam penyelesaian luas bangun datar dan volume bangun ruang dengan konsep determinan dapat menggunakan rumus-rumus sebagai berikut:
1 Luas segitiga pada dapat dicari menggunakan konsep determinan dengan memanfaatkan titik- titik koordinat yang ada, sehingga diperoleh rumus luas segitiga yaitu
| ( )|
dimana [ ], dengan ( ), ( ), dan ( ) adalah titik-titik koordinat dari
segitiga.
2 Luas bangun datar segi- dapat dicari dengan membagi bangun datar segi- menjadi -2 segitiga sehingga didapat rumus luas bangun datar segi- adalah
∑ | ( )|
