Draft Modul Matematika Geodesi Draft Modul Matematika Geodesi

(1)

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK

GEODESI

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM

(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-1)

MATEMATIKA GEODESI

Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh:

1. Ir. Parseno, MT.

2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.

3. Dwi Lestari, ST., ME.

4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2013

(2)

LEMBAR PENGESAHAN

LAPORAN PENYUSUNAN MODUL PEMBELAJARAN

BPOPTN – 2013

1 a. Buku I Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan

(RKPM)

b. Matakuliah Matematika Geodesi

c. Program Studi Teknik Geodesi dan Geomatika d. Semester/SKS/Kode III/3 SKS/TKGD2302

e. Prasyarat Sistem Acuan Geodetik

f. Status matakuliah Wajib 2 Dosen Pengampu I

a. Nama lengkap dan gelar Ir. Parseno, MT.

b. Pangkat, Golongan, NIP Penata Tk.I, III.d., 1956 10 08 1983 03 1 001 c. Jabatan Fungsional Lektor

d. Jurusan, Fak, Univ. Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM 3 Dosen Pengampu II

a. Nama lengkap dan gelar Ir. Nurrohmat Widjajanti, M.T., Ph.D. b. Pangkat, Golongan, NIP Pembina, IV.a., 1969 10 21 1994 03 2 003 c. Jabatan Fungsional Lektor Kepala

d. Jurusan, Fak, Univ. Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM 4 Dosen Pengampu III

a. Nama lengkap dan gelar Dwi Lestari, ST.,ME.

b. Pangkat, Golongan, NIP Asisten Ahli, III.a., 1975 08 30 1999 03 2 002 c. Jabatan Fungsional Lektor

d. Jurusan, Fak, Univ. Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM 5 Dosen Pengampu IV

a. Nama lengkap dan gelar Ir. Sri Narni, MT.

b. Pangkat, Golongan, NIP Penata Muda, III.c., 1950 10 09 1977 02 2 001 c. Jabatan Fungsional Lektor

d. Jurusan, Fak, Univ. Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM Disetujui : Yogyakarta, 20 November2013 Ketua Jurusan Teknik Geodesi Koordinator Dosen Pengampu Ketua PS T. Geodesi dan Geomatika

Ir. Djurdjani, MSP., M.Eng., Ph.D. Ir. Parseno, MT.

(3)

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN

PRAKATA DAFTAR ISI

MODUL 1 : Pendahuluan dan Review Aljabar Vektor MODUL 2 : Sistem Koordinat Vektor

MODUL 3 : Aplikasi Vektor dalam Geometri Analitik MODUL 4 : Diferensial Vektor

MODUL 5 : Medan Skalar dan Medan Vektor MODUL 6 : Geometri Diferensial

MODUL 7 : Geometri Diferensial MODUL 8 : Tes Sumatif 1 (UTS) MODUL 9 : Geometri Diferensial MODUL 10 : Geometri Diferensial MODUL 11 : Segitiga Bola

(4)

PRAKATA

Matematika Gedesi adalah matakuliah wajib di semester III pada program studi Teknik Geodesi dan Geomatika, Jurusan Teknik Geodesi Fakultas Tekik UGM. Matakuliah ini diselenggarakan sebagai salah satu pendukung kompetensi yang harus dicapai lulusan program S1 Program Studi Teknik Geodesi dan Geomatika.

Keberhasilan pencapaian kompetensi yang diharapkan pada program studi ini sangat ditentukan oleh proses kegiatan pembelajaran. Dalam rangka menuju ke cita-cita program studi tersebut disusunlah Bahan Ajar untuk matakuliah Matematika Geodesi. Buku ini diharapkan dapat digunakan sebagai acuan oleh pengampu matakuliah Matematika Geodesi dalam menyampaikan perkuliahan maupun oleh mahasiswa yang mengambil matakuliah ini.

Dengan selesainya pembuatan buku bahan ajar Matematika Geodesi ini, penyusun menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ketua P3 UGM atas biaya yang dialokasikan guna penyusunan buku ini. 2. Ketua Jurusan Teknik Geodesi atas kepercayaan yang diberikan untuk

menyusun buku ini.

3. Tim MONEV atas masukan-masukan guna perbaikan dalam penyusunan buku RPKPS an Bahan Ajar.

Selanjutnya harapan penyusun semoga buku ini dapat membantu pengampu matakuliah Matematika Geodesi dalam menyampaiakan materi di kelas dan membantu mahasiswa dalam memahami isi matakuliah Matematika Geodesi.

Yogyakarta, 20 November 2013 Koordinator Dosen Pengampu

Ir Parseno, MT.

(5)

TINJAUAN MATAKULIAH

Matematika Geodesi

III/3 SKS/TKGD2302/Wajib

DESKRIPSI MATAKULIAH

Matakuliah ini menjelaskan dasar-dasar matematika yang digunakan dalam ilmu Geodesi, meliputi aljabar vektor, diferensial vektor, geometri diferensial, medan skalar dan medan vektor, serta ilmu ukur segitiga bola.

KEGUNAAN MATAKULIAH BAGI MAHASISWA

Matakuliah ini berguna bagi mahasiswa terutama dalam mempelajari bentuk bumi terkait dengan medan gayaberat bumi, penentuan konstanta fisik bumi, dan karakteristik dari garis untuing-unting (plumb line) terhadap bidang-bidang equipotensial. Matakuliah lain yang didasari oleh matakuliah ini adalah Proyeksi Peta. Pengetahuan tentang kelengkungan garis, kelengkungan normal pada bidang-bidang irisan sangat mendukung dalam memahami transformasi data ukuran pada bidang lengkung ke bidang datar (bidang peta). Dengan memiliki bekal materi pada matakuliah Matematika Geodesi diharapkan mahasiswa akan lebih mudah dalam mempelajari matakuliah lanjutan yang terkait dengan Matematika Geodesi.

TUJUAN PEMBELAJARAN

(6)

SUSUNAN URUTAN BAHAN AJAR

BAB I : PENDAHULUAN DANRIVIEWALJABAR VEKTOR a. Penggunaan Vektor dan Segitiga Bola

b. Pengertian Vektor, Jenis dan Sifat-sifat Vektor

c. Letak Relatif 2 Vektor (Dependent dan Indepent Linear). d. Letak Relatif 3 Vektor (Asas Koplanaritas).

e. Dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi).

BAB II : SISTEM KOORDINAT VEKTOR

a. Komponen Vektor dalam Bidang dan Ruang b. Vektor Satuan

c. Operasi Vektor Penjumlahan, Selisih dan Perkalian dengan Skalar

d. Operasi Vektor : Dot Productdan Cross Product e. Operasi Vektor : Perkalian 3 Vektor

BAB III : APLIKASI VEKTOR DALAM GEOMETRI ANALITIK a. Persamaan Garis AB

b. Persamaan Garis melalui A Sejajar Vektor b

c. Persamaan Garis/Bidang melalui A Tegak Lurus Vektor b

d. Persamaan Bidang melalui A // bdan // c

e. Menentukan Jarak Titik ke Garis atau Bidang f. Persamaan Bidang Tertentu oleh 3 Vektor g. Sudut antara Dua Bidang

BAB IV : DIFERENSIAL VEKTOR a. Fungsi Satu Perubah

b. Fungsi Lebih dari Satu Perubah

(7)

a. Pengertian Medan Skalar dan Medan Vektor b. Gradien

c. Divergensi

BAB VI : GEOMETRI DIFERENSIAL a. Kurva dalam Ruang

b. Vektor Singgung

c. Vektor Binormal pada Kurva

BAB VII : GEOMETRI DIFERENSIAL

a. Kelengkungan dan Puntiran pada Kurva b. Sifat-sifat Kurva

BAB VIII : UJIAN TENGAH SEMESTER (Tes Sumatif 1)

BAB IX : GEOMETRI DIFERENSIAL a. Luasan atau Permukaan dan Garis b. Besaran Fundamental Orde I dan Orde II

BAB X : GEOMETRI DIFERENSIAL a. Kelengkungan Utama Gauss b. Sifat-sifat Developable c. Sifat Titik pada Luasan

BAB XI : SEGITIGA BOLA

a. Pengertian dan Terbentuknya Segitiga Bola b. Istilah dalam Segitiga Bola

BAB XII : GEOMETRI SEGITIGA BOLA a. Syarat Hitungan pada Segitiga Bola b. Jenis Segitiga Bola

(8)

BAB XIII : GEOMETRI SEGITIGA BOLA

a. Hitungan pada Segitiga Bola Kutub b. Hitungan pada Segitiga Bola Kwadran

c. Hitungan pada Segitiga Bola Sembarang (Aturan Sinus dan Cosinus)

BAB XIV : APLIKASI SEGITIGA BOLA

a. Pelayaran melalui Lingkaran Besar b. Penentuan Arah Garis antara Dua Tempat

BAB XV : APLIKASI SEGITIGA BOLA

a. Aplikasi Segitiga Bola pada Astronomi b. Bola Langit

c. SK Langit

BAB XVI : UJIAN AKHIR SEMESTER (Tes Sumatif 2)

PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR

Buku Bahan Ajar ini digunakan sebagai pedoman baik bagi dosen pengampu maupun mahasiswa. Materi pembelajaran pada matakuliah ini tersusun dala 16 bab. Setiap bab adalah materi untuk satu kali pertemuan. Dengan buku ini diharapkan mahasiswa dapat mengetahui materi-materi dalam satu pertemuan, sehingga dapat mempersiapkan materi sebelum kuliah.

Agar supaya mahasiswa dapat lebih memahami mengenai materi yang disampaikan setiap kali pertemuan, dalam buku ini dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan ataupun soal latihan hitungan. Penyelesaian soal-soal latihan pada setiap akhir pertemuan digunakan sebagai tolok ukur keberhasilan dalam proses pembelajaran.

(9)

1. Membaca/ mempelajari daftar pustaka yang diwajibkan dan dianjurkan. 2. Mengerjakan latihan/tugas yang diberikan oleh dosen pengasuh, baik

berkelompok maupun mandiri.

(10)

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK

GEODESI

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM

(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-1 )

MATEMATIKA GEODESI

Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh:

1. Ir. Parseno, MT.

2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.

3. Dwi Lestari, ST., ME.

4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2013

(11)

BAB I

PENDAHULUAN DAN REVIEWALJABAR LINIER

I.1. Pendahuluan

Bagian ini dimaksudkan untuk memberi gambaran kepada mahasiswa tentang lingkup pembelajaran matakuliah Matematika Geodesi secara keseluruhan serta keterkaitanya dengan bidang geodesi dan bidang lain khususnya kalkulus. Pada bab I, akan dibahas materi tentang: penggunaan vektor dan segitiga bola dalam bidang geodesi. Selanjutnya akan di-review mengenai pengertian vektor, jenis vektor dan sifat-sifatnya, letak relatif 2 vektor (dependent dan indepent linear), serta dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi).

I.1.1. Deskripsi Singkat

Vektor adalah besaran yang memiliki besar/nilai dan arah. Dalam penerapannya beberapa vektor dapat digabung dengan operasi aljabar. Letak relatif dari 2 buah vektor atau satu vektor terhadap vektor lainya dapat menunjukan hubungan linier yang disebut hubungan gayut (dependen) atau hubungan tak gayut (independen). Sedangkan hubungan linier tiga buah vektor dapat digunakan untuk menjelaskan azas koplanaritas yaitu suatu azas yang menunjukan bahwa ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang atau tidak.

I.1.2. Manfaat

Mahasiswa dapat memahami arti pentingnya medan vektor dan segitiga bola dalam kerangka konsep model bumi teoritik atau model bumi matematis.

(12)

I.1.3. Relevansi

Bab I ini mempunyai maksud memperkenalkan mahasiswa tentang ruang lingkup geodesi secara umum dalam kaitannya dengan disiplin ilmu lainnya, sehingga mahasiswa mendapat gambaran disiplin ilmu yang menjadi dasar ilmu geodesi dan disiplin ilmu penunjangnya. Dari uraian manfaat jelas bahwa pengetahuan letak relatif dari dua atau lebih vektor memiliki hubungan yang kuat, yaitu sebagai jembatan antara pengetahuan matematika dengan ilmu geodesi khususnya bidang fotogrametri.

I.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-1, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan tentang ruang lingkup Matematika Geodesi.

2. Menjelaskan pengertian dan jenis vektor.

3. Menjelaskan letak vektor dan dalil-dalil yang berlaku.

I.2. Penyajian

I.2.1. Penggunaan Vektor dan Segitiga Bola

Dalam bidang geodesi vektor banyak digunakan untk menguraikan kondisi atau fenomena alam misalnya fenomena yang terkait dengan hukum fisika sperti gravitasi bumi, gaya-gaya yang bekerja di permukaan bumi yang berpengaruh pada gaya gravitasi bumi. Gaya pembangkit pasang-surut bumi atau pasang-surut laut.

Segitiga bola digunakan untuk menjelaskan kedudukan bumi secara relatif terhadap planet lain dalam sistem tata surya atau sistem koordinat langit. Segitiga bola juga digunakan untuk menjelaskan hubungan antara tempat yang satu dan tempat yang lain di permukaan bumi dalam sistem toposentris maupun dalam sistem geosentris.

I.2.2. Pengertian Vektor dan Skalar

(13)

suatu besaran saja/tidak mempunyai arah misalnya masa, panjang, waktu, suhu, tinggi dll. Untuk memperjelas perbedaan skalar dan vektor bisa diperhatikan Tabel 1. berikut.

Tabel 1. Perbedaan vektor dan skalar

skalar vektor

- Besaran tanpa arah

- Contoh: luas, panjang, tinggi, suhu, dll

- Penulisan simbol: huruf kecil atau besar tanpa strip di bawah, misal: a, b, D, M

- Operasi pada skalar mengikuti aturan pada aljabar dasar

- Besaran yang mempunyai arah - Contoh: gaya, kecepatan,

percepatan, pergeseran/translasi, dll - Penulisan simbol: huruf kecil atau

besar dengan strip di bawah, misal a, P, DF atau cara tulis lain dengan tanda panah di atas atau di bawah huruf

- Ada aturan tentang aljabar vektor Lambang vektor:

Besar vektor a = magnitude a = | a |

Vektor PQ bisa ditulis PQ, PQ,

PQ

,

PQ

I.2.3. Jenis-jenis Vektor

Beberapa jenis vektor yaitu:

 Vektor bebas: boleh dipindah asal sejajar dan sama besar Contoh:

 Vektor meluncur: boleh digeser sepanjang garis kerja

 Vektor terikat tetap: titik pangkal tetap, atau biasa disebut dengan vektor letak Vektor PQ = PQ

P = pangkal Q = ujung

Besar vektor PQ = magnitude = |PQ|

P

Q

(14)

 Vektor nol = 0: vektor yang besarnya nol (arah tak tentu)

 Vektor satuan (unit vector): vektor yang panjangnya/besarnya/magnitudenya = 1 satuan

 Vektor lawan : adalah vektor yang sama besarnya, arah berlawanan

|a| = |-a|

Dua buah vektor a dan b dikatakan sama apabila: - Sama panjang

- Sejajar - Sama arahnya

a = b a

≠

b a

≠

b

I.2.4. Operasi Vektor (Secara Grafis)

Operasi yang dimaksud disini adalah operasi-operasi aljabar seperti pada bilangan skalar, yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian.

a. Penjumlahan

a

- a

a

b

a

b

a

b

a +b

a

b

a +b

a

b

(15)

Sehingga pada penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif : a + b = b + a

Sifat asosiatif juga berlaku pada penjumlahan vektor :

(a + b) + c = a + (b + c)

b. Pengurangan

a + b = c c - a = b

dapat ditafsirkan sebagai

c + (- a) = b

c. Perkalian dengan skalar

Jika

m

adalah suatu skalar dan

a

adalah suatu vektor, maka:

m a = b

, dengan

a // b

dan

|b| = |m| |a|

a

b

c

a + b

b + c

(a + b) + c

a + (b + c)

a

b

c

d

e

f

0 f = ??

a

b

c

d

a + b + c + d = 0

c

a

b

c

- a

(16)

untuk m > 0 , arah

b

sama arah dengan

a

untuk m < 0 , arah

b

berlawanan arah dengan

a

Contoh:

I.2.5. Sifat-sifat Vektor

Beberapa sifat vektor dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. a + (- a) = 0

2. 1 a = a 3. 0 a = 0 4. m 0 = 0 5. a + 0 = a

6. m (a + b) = ma + mb 7. (m + n) a = ma + na 8. Kombinasi linear

r merupakan kombinasi linear a dan b

s = m a + n b + p c + t d

s merupakan kombinasi linear dari a, b, c, dan d

I.2.6. Letak Relatif 2 Vektor (Dependent dan Indepent Linear)

Di dalam suatu bidang dua buah vektor apat dikatakan sebagai linearly dependentatau linearly independent.

a

b

c

d

b = ½ a

c = ¾ a

d = - ¼ a

a

b

p = m a

q = n b

(17)

berbeda hanya dari perkalian konstan m (kolinear)

2. Independent linear

a

tidak sejajar

b

, dengan kata lain

a

dan

b

saling independen linear (non kolinear).

Jika

a

dan

b

dua vektor bukan nol yang tidak saling sejajar, vektor c dalam bidang (R2) diperoleh dengan memilih m dan n yang tepat.

c = m a + n b

I.2.7. Letak Relatif 3 Vektor (Asas Koplanaritas)

a

b

a

b

a

b

a

m a

b

n b

c

b

a

c

α

β

a

b

c

α

(18)

saling dependent linear.

(nonkoplanar)

a

b

c

d

ha

(19)

Dalam bidang (R2) sembarang vektor

c

selalu dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari dua vektor yang tidak saling sejajar (independent linear).

Dalil 3 :

Dalam ruang (R3), sembarang vektor

d

selalu dapat ditulis sebagai kombinasi linier 3 vektor yang nonkoplanar(independent linear).

Dalil 4 :

Dalam bidang, 3 vektor atau lebih selalu dependent linear. Dalil 5 :

Dalam ruang, 4 vektor atau lebih selalu dependent linear.

I.3. Penutup

I.3.1. Rangkuman

Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami penggunaan vektor dan segitiga bola terutama terkait dengan disiplin geodesi. Dasar dasar operasi vektor, sifat-sifat dalam operasi vektor dan azas kolinieritas serta azas koplanaritas menjadi inti pembahasan. Sedangkan yang terkait dengan segitiga bola akan dibahas lebih detil mulai pada pertemuan ke-12 sampai pertemuan ke-15.

I.3.2. Tes Formatif

1. Tentukan 3 buah vektor a, b, c sembarang dan tidak saling sejajar. Lakukan operasi berikut secara grafis:

a. a + b + 2c b. 2a – b + c c. ½ a + b – c

2. Jika a dan b adalah sisi-sisi jajaran genjang (parallelogram), tentukan vektor-vektor yang membentuk dua sisi lainnya dan diagonalnya.

(20)

4. Buktikan bahwa pada perkalian vektor dengan skalar berlaku hukum distributif.

5. Tanto bersepeda ke arah Utara sejauh 3 km, kemudian berbelok ke arah Tenggara sejauh 5 km. Gambarkan arah pergerakan Tanto dan berapa resultan pergerakannya?

6. Tunjukan vektor-vektor yang independent dan dependent linear pada contoh bangun bidang dan ruang berikut ini:

a.

b.

c.

d.

I.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor

0 1 2

Lingkup matematika geodesi

Tidak mampu menjelaskan

penentuan dimensi bumi

Tidak mampu menjelaskan Peran data gayaberat

di bidang geodesi

(21)

I.3.4. Tindak Lanjut

Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2.

I.3.5. Sumber Pustaka

Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta.

Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York.

(22)

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK

GEODESI

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM

(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-2 )

MATEMATIKA GEODESI

Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh:

1. Ir. Parseno, MT.

2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.

3. Dwi Lestari, ST., ME.

4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2013

(23)

BAB II

SISTEM KOORDINAT VEKTOR

II.1. Pendahuluan

II.1.1. Deskripsi Singkat

Sistem koordinat pada dasarnya digunakan untuk mengetahui posisi (lokasi) suatu titik dibandingkan dengan posisi (lokasi) titik lainya. Pada umumnya elemen-elemen penentu posisi menggunakan angka-angka koordinat yang diletakan pada sistem sumbu-sumb koordinat. Pengertian sistem koordinat vektor tidak jauh berbeda dengan sistem-sistem koordinat lainnya, hanya saja pemahaman elemen-elemen koordinat menjadi menjadi komponen-komponen vektor posisi dari suatu titik.

II.1.2. Manfaat

Pengetahuan tentang sistem koordinat vektor sangat bermanfaat dalam mempelajari penentuan posisi di permukaan bumi menggunakan space teknologi.

II.1.3. Relevansi

Di bidang geodesi teknologi penentuan posisi di permukaan bumi menjadi bagian penting dalam mempelajari bentuk, ukuran serta dinamika bumi. Analisis yang terkait dengan perubahan atau pergeseran posisi sering disajikan dalam vektor posisi.

II.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-2, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan komponen vektor dalam ruang.

2. Menghitung vektor satuan.

(24)

II.2. Penyajian

II.2.1. Komponen Vektor dalam Bidang dan Ruang

a. Vektor letak

Suatu titik dalam ruang dapat ditentukan letaknya dengan vektor letaknya (position vector).

Bila O (titik pangkal) sudah ditentukan, maka letak suatu titik P dapat ditentukan dengan vektor OP = p yang berpangkal di O dan berujung di P, maka vektor letak ini harus berjenis vektor terikat.

b. Sistem koordinat R2

Dalam bidang ditentukan titik pangkal O dan sepasang vektor basis yang independentlinear: u1dan u2.

Titik B ditandai oleh vektor letak

b

O

P

o

u

1

u

2

B

(25)

Sistem ini juga disebut koordinat tegak dan vektor basisnya biasa diberi nama:

i

(pada arah sumbu x) dan

j

(pada arah sumbu y).

Secara umum, vektor letak suatu titik P juga akan diberi koordinat, sama dengan koordinat P.

Dalam gambar di atas, B ditandai oleh

b

= 2

u

1+ 3

u

2lalu ditulis b = (2,3)

II.2.2. Vektor Satuan

Dalam R2: Dalam R3:

a

u

3

u

2

u

1

O

j

i

X

Y

i

j

k

X

(26)

i, j, k = vektor basis/satuan

| i | = | j | = | k | = 1, saling tegak lurus, orientasi tangan kanan Dalam R2: vektor posisi suatu titik P (p1, p2)

ditulis p = p1i + p2j

| p | = p₁2 p₂2

Dalam R3: vektor posisi suatu titik A (a1, a2, a3)

ditulis

a

= a1

i

+ a2

j

+ a3

k

| a | =

2 3 2 2 2

1 a a

a  

Vektor satuan

a =

μ

a

= a / | a |

3

- b

3

) k

= (a

Perkalian dengan skalar:

AB = b - a a = (a1, a2, a3)

b = (b1, b2, b3)

sehingga b – a = (b1– a1, b2– a2, b3– a3)

|AB| = jarak = |b – a| = (b₁a₁)2(b₂a₂)2(b₃a₃)2

II.2.3. Operasi Vektor: Dot Productdan Cross Product

O

B

A

b

(27)

Pada materi sebelumnya telah dibahas perkalian vektor dengan suatu skalar. Pada pokok bahasan ini akan dibahas perkalian vektor dengan vektor. Hasil kali dua buah vektor dibedakan menjadi hasil kali titik (dot product) dan hasil kali silang (cross product).

Hasil kali titik (dotatau scalar product)

Hasil kali titik dua buah vektor a dan b didefinisikan sebagai: 

cos b a b a 

dimana θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor a dan b.

Secara geometrik, hasil kali titik adalah panjang vektor a dikalikan panjang dari proyeksi vektor b di a atau panjang proyeksi a di b dikalikan panjang vektor b.

a . b = |a| |b| cos θ = |OA| |OB| cos θ = |OA| |OBo|

= panjang a kali panjang proyeksi b pada a

a . b = |OB| |OA| cos θ = |OB| |OAo|

= |b| |a| cosθ = b . a

b

O

a

A

B Ao

θ

b

a

O

B

A Bo

(28)

Sifat –sifat yang berlaku pada hasil kali titik:

(29)

f. (a + b) . c

g. Sudut yang terbentuk oleh a dan b h. Vektor satuan pada arah a

i. Komponen vektor b pada a

Latihan ini dikerjakan/didiskusikan di kelas. II.2.3. Operasi Vektor: Perkalian 3 Vektor

Hasil kali silang dua buah vektor a dan b ditulis sebagai: c

b a 

Hasil kali silang berupa vektor (vektor c ) yang tegak lurus terhadap vektor a dan vektor b (orientasi tangan kanan). Magnitude dari vektor c dapat ditulis dengan persamaan berikut:

|c| = |a| |b| sinθ

Dengan kata lain vektor c tegak lurus pada bidang yang tertentu oleh a dan b seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Arti geometris:

a b

θ

c = a x b

c = a x b a b

θ

O A

C B

Bo a

b

θ

|a x b| = |a| |b| sin θ = |OA| |OB| sinθ = |OA||BBo|

= luas OACB

(30)

Akibatnya luas ΔOAB = ½ |a x b|

Luas segitiga yang tertentu oleh dua vektor Secara umum dapat ditulis :

Luas ΔPQR = ½ |PQ x PR| = ½ |PQ| |PR| sinθ

Sifat-sifat hasil kali silang:

a. Jika a // b maka a x b = 0, khususnya a x a = 0 b. a x b = - b x a

c. a x (b + c) = a x b + a x c (a + b) x c = a x c + b x c d. m ( a x b) = (ma) x b = a x (mb)

e. a x b = 0 , maka a = 0, atau b = 0, atau a // b

f. i x j = |i| |j| sin 90ºk = 1.1k = k, j x k = i, k x i =j g. i x i = j x j = k x k = 0

jika a = a1i +a2j + a3k

b = b1i +b2j + b3k

a x b = silahkan dijabarkan berdasar sifat-sifat di atas

Perkalian tiga buah vektor dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah perkalian pada dua vektor, namun perlu diperhatikan beberapa hal berikut:

a. a . b . c = tidak berarti

b. (a x b) . c = tidak berarti c. (a . b) c = m c = hasil berupa vektor d. a ( b . c) = a m = hasil berupa vektor e. (a x b) . c = a x b . c = hasil berupa skalar

f. a . (b x c) = a . b x c = hasil berupa skalar

g. (a x b) x c = hasil berupa vektor h. a x (b x c) = hasil berupa vektor

P Q

R

θ

hasil kali triple skalar

(31)

Hasil kali triple skalar

a x b . c

OCo= proyeksi c ke L

= tinggi c di atas bidang OADB a x b . c = luas OADB x tinggi C

adalah volume parallel epipedumyang tertentu oleh a, b, c Jika a = a1 i + a2j + a3k

---. (perkalian dot)

= ₃ dengan |L| = luas OADB a x b . c = L . c

(32)

II.3. Penutup

II.3.1. Rangkuman

Vektor satuan digunakan sebagai skala dalam menentukan posisi dalam sistem koordinat vektor. Apabila suatu vektor akan dinyatakan terhadap vektor lainya, maka diperlukan vektor satuan untuk menyatakannya. Terkait dengan sifat-sifat orthogonalism pada sumbu-sumbu kordinat maka diperlukan pengetahuan tentang hasil perkalian operasi vektor. Di dalam operasi vektor diagonal ada dua perkalian yang berbeda yaitu operasi perkalian titik (dot) dan operasi perkalian silang (cross). Beberapa karakteristik khusus operasi perkalian vektor terkait pada sistem koordinat perlu dipahami.

II.3.2. Tes Formatif

1. Tentukan titik D supaya ABCD menyusun sebuah jajaran genjang, dimana A(4,4,1); B(2,1,5); C(6,8,0)

2. Diketahui p = 3i – 2j + k ; q = 2i – 4j – 3k ; r = -i + 2j + 2k a. Tentukan magnitude dari p ; p + q - r ; 2p – 3q + r b. Tentukan vektor satuan p, q dan r

3. Jika r1 = 2i – j + k ; r2= i + 3j – 2k ; r3= -2i + j – 3k dan r4= 3i + 2j + 5k.

Tentukan skalar h, m, n, sehingga r4= hr1+ mr2+ nr3.

Tunjukan bahwa dot product dapat digunakan untuk merumuskan aturan cosines pada segitiga.

4. Jika c tegak lurus a dan b, buktikan bahwa c juga tegak lurus terhadap: a. a + b

b. 2a – b c. b – a

5. Tentukan sudut antara a = 3i + 2j – 2k dan b = 2i – 3j + k

(33)

a. a x b; b x c; (a x b) x c

b. Luas segitiga tertentu oleh a, b, dan c

9. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus bidang yang tertentu oleh: a = 2i – 3 j + k dan b = i + 3j + 2k

Tunjukan bahwa cross productdapat digunakan untuk merumuskan aturan sinus pada segitiga.

II.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

0 1 2

Menjelaskan komponen vektor dalam ruang 2 dan 3

Dapat menjelaskan sebagian

Dapat menjelaskan secara runtut Menghitung vektor

satuan

Tidak dapat melakukan hitungan

Dapat melakukan hitingan tetapi hasilnya salah

Dapat melakukan hitingan dan hasilnya benar Penerapan operasi

vektor

Tidak dapat menerapkan

Dapat menerapkan sebagian

Dapat menerapkan seluruh operasi vektor

II.3.4. Tindak Lanjut

Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait dan melakukan latihan mengerjakan soal lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2.

II.3.5. Sumber Pustaka

(34)

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK

GEODESI

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM

(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-3 )

MATEMATIKA GEODESI

Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh:

1. Ir. Parseno, MT.

2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.

3. Dwi Lestari, ST., ME.

4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2013

(35)

BAB III

APLIKASI VEKTOR DALAM GEOMETRI ANALITIK

III.1. Pendahuluan

Di dalam geometri analitik antara lain dipelajari tentang persamaan suatu garis atau bidang jika diketahui beberapa syarat. Aplikasi vektor dalam geometri analitik dimaksudkan agar mahasiswa dapat menerapkan operasi vektor untuk mencari atau menyelesaikan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan persamaan garis dan bidang.

III.1.1. Deskripsi Singkat

Pada pokok bahasan ini akan dipelajari beberapa persamaan garis dan bidang yang dapat ditentukan oleh vektor-vektor tertentu seperti misalnya persamaan garis melalui satu atau beberapa titik, persamaan garis atau bidang melalui satu atau beberapa titik dan sejajar vektor lain, persamaan garis atau bidang melalui satu titik dan tegak lurus vektor lain, dan persamaan bidang yang tertentu oleh tiga buah vektor, serta jarak titik ke garis atau bidang.

III.1.2. Manfaat

Dengan mempelajari aplikasi vektor dalam geometri analitik mahasiswa mendapat wawasan bahwa ada benang merah antara matakuliah matematika dengan konsep-konsep penentuan posisi serta konsep geometri analitik yang diterapkan pada peralatan survei dan pemetaan.

III.1.3. Relevansi

. Terkait bidang geodesi, persoalan membuat garis tegak lurus terhadap bidang, garis tegak lurus garis dan garis sejajar garis adalah hal terpenting terutama pada konsep peralatan alat-alat ukur survei pemetaan.

III.1.4. Learning Outcomes

(36)

1. Menerapkan aplikasi hitungan vektor pada geometri analitik untuk mencari persamaan garis.

2. Menerapkan aplikasi hitungan vektor pada geometri analitik untuk mencari persamaan bidang.

III.2. Penyajian

III.2.1. Persamaan Garis AB

Bila diketahui:

OR = r = (x, y, z) = xi + yj + zk = vektor letak titik R, bergerak (R3) = (x,y) = xi + yj = vektor letak titik R, bergerak (R2)

OA = a = (a1, a2, a3) = a1i + a2j + a3k = vektor letak titik A, tetap (R3)

= (a1, a2) = a1i + a2j k = vektor letak titik A, tetap (R2)

maka dapat ditentukan:

Apabila λdijalankan, r = (1 –λ) a + λb memberikan persamaan garis g (AB).

Penjabaran ke persamaan skalarnya: r – a = λ(b – a)

dalam R3menjadi:

(x – a1, y – a2, z – a3) = λ(b1– a1, b2– a2, b3– a3)

= (λ(b1– a1), λ(b2– a2), λ(b3– a3))

g

O

a r b

A

B R

1

λ _{Misalkan AR =}_λ_AB

r = OR = OA + AR = a + λAB

(37)

x – a1= λ(b1– a1)

y – a2 = λ(b2– a2)

z – a3= λ(b3– a3)

Eliminasi λmenghasilkan:

3

(biasanya ditulis

A

III.2.2. Persamaan Garis melalui A Sejajar Vektor b

Pada gambar ditunjukkan bahwa adan b

adalah dua buah vektor terikat pada titik O sehingga berlaku:

Dalam R3:

b disebut vektor arah Dalam R2:

persamaan skalar dengan parameter λ

O

Untuk λberubah, maka persamaan menyatakan persamaan garis g, melalui A, sejajar b

(38)

III.2.3. Persamaan Garis/Bidang melalui A Tegak Lurus Vektor b

Pada gambar di atas, dalam R2 , garis g melalui A, tegak lurus vektor b dan dalam R3 bidang melalui A tegak lurus vektor b

Bentuk persamaannya adalah: (r–a) . b= 0

Bentuk persamaan skalarnya adalah:

b1(x – a1) + b2 (y – a2) + b3(z – a3) = 0

III.2.4. Persamaan Bidang melalui A // bdan // c

Bentuk skalar persamaannya adalah: [r – a, b, c] = 0, atau

0 3 2

1

3 2

1

3 2

1

  



c c

c

b b

b

a z a y a x

Sedangkan bentuk khusus persamaan di atas adalah: O

α

β b

t c

A R Pada bidang β : t = λb + μc

Titik R pada bidang α, sehingga: OR = OA + AR

r = a + t maka: r = a + λb + μc

O

A R

b a r

α

b

O

A

R b

(39)

r = λb + μc

yaitu persamaan bidang melalui O, // b dan c (ingat jika tiga buah vektor a, b, c dependent linear, maka ada bidang yang sejajar ketiganya, atau parallel epipedum collaps).

III.2.5. Menentukan Jarak Titik ke Garis atau Bidang

Bila disusun vektor satuan arah b, μ= b b

maka persamaan menjadi:

r . μ= p(Persamaan Hess (Normal))

merupakan persamaan garis dalam R2 atau bidang dalam R3 yang tegak lurus μ, dan berjarak pdari O.

Jarak titik-garis

Titik A dengan vektor a, garis g dengan persamaan Hessr . μ= p atau r . μ– p = 0 maka jarak (A, g) = |a . μ– p|

Jarak titik-bidang

Titik A dengan vektor a, bidang αdengan persamaan Hess r . μ– p = 0 maka jarak (A, α) = |a . μ– p|

III.2.6. Jarak Garis ke Garis

Berikut adalah uraian untuk menentukan jarak antara dua garis yaitu garis g ke garis h. Jika dipilih titik A dan B pada garis g dan titik C dan D pada garis h, maka berlaku:

AB x CD = vektor yang tegak lurus garis g dan h Vektor satuan yang tegak lurus garis g dan garis h adalah:

CD x AB





r . b = k, merupakan persamaan garis (R2) atau bidang (R3) yang tegak lurus b, berjarak

b k

dari O. r

(40)

Jika diambil sembarang titik pada garis g, misalnya titik A dan titik C sembarang titik pada garis h maka jarak garis g ke garis h dapat dihitung dengan persamaan berikut:

Jarak (g, h) = _lGH_l= _lAC_._l

III.2.7. Sudut antara Dua Garis dan Sudut antara Dua Bidang

a. Sudut antara dua garis g dan h

Sudut (g, h) = , dapat dihitung dengan persamaan berikut:

CD AB

x CD AB Cos 

Perhatikan pada gambar di atas:

Pilih A, B pada garis g dan C, D pada h.

b. Sudut antara dua bidang dan 

Perhatikan pada gambar disamping: Pilih vektor normal n pada bidang . Pilih vektor normal m pada bidang .

g h

A B

C D H G

µ

g h

C B

D A

n m

 

(41)

Sudut antara bidang dan bidang  = sudut (n, m) = , dapat dihitung dengan persamaan berikut:

Cos = n.m /lnll ml

c. Sudut antara garis g dan bidang 

Tentukan normal pada bidang , yaitu vektor b,

Sudut antara garis g dan bidang , dapat dihitung dengan persamaan berikut: Sudut (g,) = /2 – sudut (g, b)

= 90 – sudut (g, b)

III.2.Persamaan Bidang Tertentu oleh 3 Vektor

X

Y Z

P P1

P2

P3

P1, P2, P3, tidak terletak

pada satu garislurus.

Jika:

r1= x1i + y1j + z1k

r2= x2i + y2j + z2k

r3= x3i + y3j + z3k

Merupakan vektor posisi titik P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), dan P3(x3,

y3, z3), serta P1,P2,P3tidak terletak satu garis lurus.

A B

b



(42)

Jika: r = x i + y j + z k merupakan vektor posisi sembarang titik di P (x, y, z) pada bidang maka:

P1P2= r2– r1 ,

P1P3= r3– r1, berada dalam satu bidang.

P1P = r – r1

Sehinga:

P1P . P1P2x P1P3= 0

atau

(r – r1) . (r2– r1) x (r3– r1)

atau

III.3. Penutup

III.3.1. Rangkuman

Vektor dapat diterapkan untuk menentukan persamaan garis, bidang, jarak antara dua garis, jarak titik ke garis dan sudut antara dua garis pada geometri analitik.

III.3.2. Tes Formatif

5. Tentukan titik D supaya ABCD menyusun sebuah jajaran genjang, dimana A(4,4,1); B(2,1,5); C(6,8,0)

6. Diketahui p = 3i – 2j + k ; q = 2i – 4j – 3k ; r = -i + 2j + 2k c. Tentukan magnitude dari p ; p + q - r ; 2p – 3q + r d. Tentukan vektor satuan p, q dan r

7. Jika r1 = 2i – j + k ; r2= i + 3j – 2k ; r3= -2i + j – 3k dan r4= 3i + 2j + 5k.

Tentukan skalar h, m, n, sehingga r4= hr1+ mr2+ nr3

8. Jika u = 2i+ j+ 2kadalah vektor letak titik A dan v = 3i-j+ 4kadalah vektor letak titik B, tentukan

(43)

a. Persamaan garis yang melalui A dan sejajar vektor B

b. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB c. Apabila w = 2i+j+ kadalah vektor letak C, tentukan persamaan

bidang yang melalui C sejajar B dan sejajar A

d. Jarak titik X(1,-2,1) terhadap bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB

III.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

0 1 2

Menerapkan hitungan vektor untuk mencari persamaan garis

Tidak mampu menerapkan

Dapat menerapkan dengan benar Menerapkan hitungan

vektor untuk mencari persamaan bidang

Dapat menerapkan dengan benar

III.3.4. Tindak lanjut

III.3.5. Sumber Pustaka:

Davis, H.F., 1961, Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon, Inc., Boston.

Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., NewYork, USA.

(44)

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK

GEODESI

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM

(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-4 )

MATEMATIKA GEODESI

Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh:

1. Ir. Parseno, MT.

2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.

3. Dwi Lestari, ST., ME.

4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2013

(45)

BAB IV

DIFERENSIAL VEKTOR

IV.1. Pendahuluan

Pada bab IV akan didiskusikan mengenai penerapan kaidah-kaidah diferensial pada vektor. Hal ini dimaksudkan untuk memberi pemahaman dan kecakapan dalam mengurai persoalan vektor dengan diferensial.

IV.1.1. Deskripsi Singkat

Pada bagian ini akan dibahas tentang fungsi dengan beberapa perubah bebas, difernsial vektor dan sifat-sifat dari derivatif vektor.

IV.1.2. Manfaat

Mahasiswa akan dapat menjelaskan dan menerapkan kaidah-kaidah diferensial dalam menyelesaikan persoalan-persoalan vektor fungsi dengan beberapa perubah bebas.

IV.1.3. Relevansi

Dalam mengurai persoalan geodesi sering dijumpai persoalan-persoalan yang harus diselesaikan dengan menggunakan vektor fungsi. Oleh karena itu, materi ini memberi wawasan tentang penerapan kaidah diferensial dalam vektor fungsi menjadi sangat bermanfaat.

IV.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-4, mahasiswa akan dapat: 1. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi satu perubah. 2. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi dua perubah. 3. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi dengan beberapa

(46)

IV.2. Penyajian

IV.2.1. Fungsi dengan Perubah Bebas

Diketahui pada persamaan skalar: y = f(x), mempunyai arti:

f : x ( x merupakan perubah bebas) menghasilkan y (tak bebas). Contoh : y = f(x) = sin x 1 perubah bebas

z = f(x, y) = cos (x+y) 2 perubah bebas

Vektor v berubah sebagai fungsi suatu perubah t, dapat ditulis V = v(t).

Jika V = (v1, v2, v3) maka V = v(t) berarti masing-masing komponen merupakan

fungsi dari t, dan ditulis: V = ( v1(t), v2(t), v3(t))

Contoh: v = (cos t, sin t, sin 2t)

Jika V(t) merupakan suatu vektor yang bergantung pada variable skalar tunggal t, maka:

Derivatif v ke t , ditulis dv/dt, didefinisikan sebagai:

t

Hasil pendiferensialan berupa vektor dan dapat didiferensialkan lagi ke t:

3

Jika v merupakan vektor letak titik, ditulis r: R3: r = (x, y, z)

v(t)

(47)

R2: r = (x, y) dan r = r(u), maka:

R3: r = (x(u), y(u), z(u))

R2: r = (x(u), y(u))

r = r(u) menyatakan suatu kurva (R2maupun R3).

r’ = dr/du = vektor singgung pada kurva γdi titik P.

Jika perubahnya adalah panjang busur kurva itu sendiri, sehingga r = r(s), maka : r’(s) = dr/ds = t = vektor singgung satuan, atau

t = r’/|r’| → |t| = 1

Contoh dalam Fisika:

Jika perubah t : waktu, r = r(t) merupakan persamaan gerak titik, r’(t) = v(t) : adalah vektor kecepatan,

r’’(t) = v’(t) = a(t) : adalah vektor percepatan titik. Vektor kecepatan akan menyinggung kurva lintasan.

Sifat-sifat derivatif vektor:

Jika u, v, w merupakan vektor fungsi dan φadalah skalar fungsi dengan perubah skalar t:

1. a0

dt d

; a vektor tetap

(48)

5. u

Hati-hati dengan urutan operasinya!

Pada vektor letak v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k

IV.2.2. Fungsi Lebih dari Satu Perubah

Jika v = (v1, v2, v3), sedang v1, v2, v3merupakan fungsi dua perubah s, t, maka v

adalah fungsi s,t.

v = v(s, t) = (v1(s, t), v2(s, t), v3(s, t))

Derivatif parsial v ke s dan t adalah:

(49)

 kedudukan titiknya berupa luasan dalam ruang.

Jika a = a (x, y, z) → dz

Jika a memiliki derivatif parsial orde dua atau lebih,

x

Contoh latihan:

1. a = (2x2y – x4) i + (exy– ysinx) j + (x2cosy) k

Kaidah-kaidah diferensial yang dipelajari dalam matakuliah kalkulus berlaku juga dalam menyelesaikan problem diferensiasi dalam vektor fungsi.

IV.3.2. Tes Formatif

1. v = (2, t2, 1/t) tentukan dv/dt !

2. r = sin t i + cos t j + t k = (sin t, cos t, t) v Carilah: dr/dt , d2r/dt2, | dr/dt| , | d2r/dt2|

3. Persamaan gerak suatu titik sepanjang kurva dalam bentuk parameter:

x = e-t, y = 2 cos 3t ; z = 2 sin 3t

(50)

4. Sebuah titik bergerak sepanjang kurva x = 2t2, y = t2– 4t , z = 3t – 5

Carilah komponen kecepatan dan percepatannya pada saat t = 1 dalam arah i – 3j + 2k

5. Persamaan gerak titik diberikan dengan r = (x, y, z) = (2 cos t, sin t, 4)

Carilah vektor normal pada kurva pada saat t = π/4 6. Jika a = 5t2i + t j – t3k dan b = sin t i – cos t j, carilah:

a. d/dt(a.b) b. d/dt (a x b) c. d/dt (a.a)

7. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik φ= π/3 pada kurva r = (x, y) = (φcosφ, sin2φ).

IV.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

0 1 2

Diferensial vektor fungsi satu perubah

Tidak dapat melakukan Diferensial vektor

fungsi dua perubah

Tidak dapat melakukan Diferensial vektor

fungsi beberapa perubah

Tidak dapat melakukan

IV.3.4. Tindak Lanjut

(51)

IV.3.5. Sumber Pustaka

Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., NewYork, USA.

(52)

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK

GEODESI

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM

(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-5 )

MATEMATIKA GEODESI

Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh:

1. Ir. Parseno, MT.

2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.

3. Dwi Lestari, ST., ME.

4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2013

(53)

MODUL V

MEDAN VEKTOR DAN MEDAN SKALAR

V.1. Pendahuluan

Bagian ini dimaksudkan untuk memberi gambaran kepada mahasiswa tentang salah satu aplikasi diferensial vektor untuk menentukan medan vektor dan medan skalar.

V.1.1. Deskripsi Singkat

Pada bab V, akan dibahas materi tentang pengertian medan vektor dan medan skalar, gradien, derivatif berarah, divergensi, dan curl (rotor) serta penggunaan beberapa operator gabungan dan sifat-sifat dari operator operator tersebut.

V.1.2. Manfaat

Mahasiswa dapat memahami aplikasi diferensial vektor pada medan vektor dan medan skalar, dapat menjelaskan rumus-rumus yang digunakan dan sifat-sifat dari beberapa operator yang dijelaskan. Selanjutnya dapat melakukan hitungan vektor normal suatu luasan, sudut yang terbentuk antara dua luasan, derivatif berarah suatu luasan, menentukan persamaan garis singgung luasan, persamaan bidang normal dan hitungan menggunakan operator gabungan.

V.1.3. Relevansi

Bab V ini mempunyai maksud menjelaskan kepada mahasiswa tentang aplikasi diferensial vektor pada medan vektor dan medan skalar dan dapat menerapkannya pada matakuliah-matakuliah selanjutnya yang relevan, yaitu Proyeksi Peta, Geodesi Fisis dan Analisis Deformasi.

V.1.4. Learning Outcome

(54)

3. Menggunakan rumus gradien untuk hitungan vektor normal dan derivatif berarah suatu luasan.

4. Melakukan hitungan dengan divergensi dan curl.

5. Menjelaskan penggunaan operator gabungan dan sifat-sifatnya. 6. Menyelesaikan hitungan menggunakan operator gabungan.

V.2. Penyajian

V.2.1. Medan Vektor dan Medan Skalar

Jika suatu vektor v merupakan fungsi 3 perubah yang juga berupa koordinat titik dalam ruang:

v = v (x,y,z)

= (v1(x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z))

Berarti v merupakan fungsi r (vektor letak titik). Satu titik dalam ruang dikaitkan dengan satu v, dan ditulis:

v = v (r)

Ruang seperti ini dinamai medan vektor. Contoh medan vektor antara lain medan magnet, medan gaya potensial, medan kecepatan arus.

Sebaliknya ada pula skalar φyang menjadi fungsi dari r: φ= φ(r) = φ(x,y,z)

Pada setiap titik ruang terkait satu skalar φ, ruangnya disebut medan skalar.

Contoh medan skalar antara lain medan suhu, medan tekanan (barometer), medan potensial.

Jika dalam ruang diketahui medan suhu φ = φ (x,y,z), maka φ = konstan memberikan luasan yang diberi nama bidang isothermis, jika φ adalah tekanan dan konstan maka luasan yang terbentuk disebut bidang isobaris, sedangkan apabila φ adalah potensial dan konstan, maka bidangnya disebut bidang ekuipotensial.

V.2.2. Gradien

(55)



dx dy dz



dianggap sebagai vektor pendiferensial, sebelum ada yang dikenai  maka belum bernilai.

φberarti  dikalikan dengan φ(perkalian vektor dengan skalar) dan  dikenakan terhadap φ.

Sebaliknya, _



 , , masih merupakan operator, sebab

dikalikan φtetapi tidak dikenakan terhadap φ. Diambil suatu bidang/luasan dengan φ= konstan.

Secara umum bidang ini dinamakan bidang ekuipotensial. Untuk φ= k maka dφ= 0, .dr = 0

dr adalah vektor yang menyinggung luasan, maka vektor  tegaklurus bidang φ.

(56)



sehingga untuk T(2,1,-1), maka 7



Persamaan garis normal luasan: (x,y,z) = (2,1,-1) + λ(7,-1,7) (x,y,z) – (2,1,-1) = λ(7,-1,7) Bentuk skalarnya menjadi:

7

Adapun persamaan bidang singgung di T: {(x,y,z) – (2,1,-1)}.(7,-1,7) = 0 Atau 7(x-2) – (y-1) + 7(z+1) = 0

7x – 14 – y + 1 + 7z + 7 = 0 7x – y + 7z = 6

Vektor normal satuan di T =

(57)

Sudut antara dua luasan = θ,

V.2.3. Derivatif Berarah

Jika u vektor arah satuan ke suatu arah tertentu, maka u=  . u merupakan

panjang proyeksi  ke arah u. udisebut derivatif berarah medan skalar di P

pada arah u, dan nilainya akan maksimum jika u sejajar  ( tegak lurus bidang φ = k) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Contoh soal:

Dalam medan φ= xeyz , suatu titik digerakkan dari A(3,0,2) ke B(4,4,1). berapa derivatif berarah medan di A pada arah AB?

Jawab:  = (eyz, xzeyz, xyeyz) ()A= (1,6,0)

AB = b – a = (1,4,-1) sehingga vektor satuan arah AB:

u =

(58)

= (1,6,0) . hasilnya adalah skalar.

 . v = divergensi v = div v

1 masih berupa operator

V.2.5. Curl (Rotor)

Apabila v adalah medan vektor, maka:

 × v = curl v = rotor v ( hasilnya berupa vektor)

V.2.6 Operator Gabungan dan Sifat-sifat Operator

Operator-operator yang telah dijelaskan, dalam penggunaannya bisa digabungkan. Operator gabungan tersebut adalah:

1.  . () = 2φ = div.grad φ = ₂

Hasilnya berupa skalar, persamaan ini juga disebut Laplacian φ.

 2

disebut Operator Laplace

2. ×φ = curl grad φ = 0 (vektor), disebut medan grad φ: irrotational

(59)

Catatan: bersifat sebagai operator dan sebagai vektor, meskipun  sebagai vektor tidak perlu dicoret bawahnya.

Sifat-sifat operator: 1. (φ + θ) = φ + θ 2. .(v + w) = .v + .w 3. ×(v + w) = ×v + ×w 4. .(φ v) = (φ).v + φ(.v) 5. ×(φ v) = (φ)×v + φ(×v)

Khusus: untuk r vektor letak titik.

r = (x,y,z) maka .r = 3

       

z z y y x x

×r = 0

  

 



z y x

k j i

Beberapa contoh kasus:

1. Salah satu definisi elips: r1+ r2= c

dimana r1dan r2adalah jarak titik (pada elips) ke fokus.

(r1+ r2) adalah vektor normal kurva pada sembarang titik P. Jika t adalah vektor

singgung satuan pada P, maka (r1+ r2) . t = 0 atau

r1. t = -r2. t

r1sejajar AP dan r2sejajar BP

r1 . t = -r2 . t membentuk sudut-sudut yang sama terhadap garis

singgung elips.

B A

O

r2 _r

1

P t

(60)

2. Buktikan (φ + θ) = φ + θ

Operasi-operasi pada medan skalar maupun medan vektor merupakan aplikasi dari diferensial vektor.

V.3.2. Tes Formatif

1. Diketahui suatu luasan dengan persamaan φ = 2x2yz + 4xy2z – 3yz

a. Tentukan persamaan garis normal dan persamaan bidang singgung luasan di titik P (1, -2, -1).

b. Tentukan derivatif berarah titik P pada 2i – j + k

2. Tentukan divergensi dan curl dari persamaan x2cosz i + y log x j + yz k 3. Buktikan bahwa .(φ+ θ) = .φ+ .θ

4. Tentukan vektor normal persamaan parabola y = 3x2 – 2x – 6 pada titik (2,2) dengan menggunakan gradien. Tentukan pula persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik tersebut.

(61)

V.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

0 1 2

Pengertian medan skalar dan medan vektor

Dapat menjelaskan secara runtut dengan contoh Gradien dan derivatif

berarah

Dapat menjelaskan secara runtut Divergensi dan curl Tidak mampu

menjelaskan

Dapat menjelaskan secara runtut Operator gabungan Tidak mampu

mengerjakan

Dapat

mengerjakan ada sebagian yang tidak benar

Dapat mengerjakan dengan benar

V.3.4. Tindak Lanjut

Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2

V.3.5. Sumber Pustaka

(62)

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK

GEODESI

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM

(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-6 )

MATEMATIKA GEODESI

Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh:

1. Ir. Parseno, MT.

2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.

3. Dwi Lestari, ST., ME.

4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM

Tahun Anggaran 2013

(63)

BAB VI

GEOMETRI DIFERENSIAL

VI.1. Pendahuluan

VI.1. 1. Deskripsi Singkat

Pada pokok bahasan ini akan dipelajari tentang, kurva dalam ruang, vektor singgung, vektor normal, vektor binormal.

VI.1.2. Manfaat

Mahasiswa akan memperoleh pengetahuan tentang kurva dalam ruang, vektor singgung pada suatu bidang dan dasar-dasar dalam menyusun sistem koordinat ortogonal. Materi ini merupakan pengetahuan dasar dalam mempelajari matakuliah selanjutnya yang terkait dengan garis normal dan sistem koordinat.

VI.1.3. Relevansi

Mahasiswa dapat memahami arti pentingnya kurva dalam ruang, vektor singgung pada suatu bidang dan dasar-dasar dalam menyusun sistem koordinat ortogonal. Pengetahuan tentang kurva dalam ruang sangat mendukung dalam mempelajari matakuliah Proyeksi Peta dan Sistem Transformasi Koordinat.

VI.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-6, mahasiswa akan dapat:

1. Menguraikan terbentuknya kurva dalam ruang dan luasan dalam konsep geometri diferensial.

2. Menjelaskan perbedaan antara vektor singgung, vektor normal dan vektor binormal.

(64)

I.2. Penyajian

VI.2.1. Kurva dalam Ruang dan Vektor Singgung

Suatu kurva dalam ruang (R3) adalah tempat kedudukan suatu titik r(x, y, z) yang

dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi dari suatu parameter tunggal u. R3: r(x, y, z) → r = r(u) dengan u : parameter

Dapat ditulis r = r (u) = (x(u), y(u), z(u))

atau x = x(u); y = y(u); z = z(u)

Suatu kurva dalam ruang dapat pula merupakan kurva hasil perpotongan dari 2 luasan misalnya perpotongan antara luasan F(x,y,z) = 0 dengan luasan G(x,y,z) = 0.

Jika diketahui suatu kurva: r = r(u), maka derivatif pertama: r(u) du

r d



 adalah

vektor singgung pada kurva.

o

o r

r

r  → garis singgung di Topada kurva.

0 )

(rr_o r_o  → bidang normal pada kurva di To.

Khusus: jika sebagai parameter adalah s sama dengan panjang busur kurva, sehingga:

r = r(s), maka dr/ds = r´(s) = t merupakan vektor singgung satuan (|t| = 1).

Lambang aksen (´) digunakan untuk derivatif ke s, sedangkan lambang flux (·) untuk derivatif ke parameter lain yang bukan s.

Untuk suatu nilai u = uotertentu oleh titik r(uo) = ro

pada kurva yaitu To dan

r



(

u

o

)



r



o = vektor

singgung di To.

0

r = r (u)

(65)

Di antara keduanya terdapat hubungan:

VI.2.2. Vektor Normal

r = r (s) → r´ = t → vektor singgung satuan, karena |t| = konstan (=1) maka t´┴t

n : vektor normal utama satuan

κ: kelengkungan dari kurva pada suatu titik (dipilih yang tidak negatif) Dapat ditulis κ= |t´| = |r˝| = (r˝.r˝)1/2

ρ= 1/κ → jari-jari kelengkungan

VI.2.3. Vektor Binormal

Jika b: suatu unit vektor yang tegak lurus bidang yang tertentu oleh n dan t maka b = t x n Vektor b : vektor binormal satuan.

Ketiga vektor t, n, b menyusun suatu sistem ortogonal yang disebut sistem koordinat yang berjalan, karena di setiap titik di kurva dapat disusun sepasang t, n, b kemudian semua vektor berkaitan dengan titik tersebut dapat dinyatakan dengan t, n, b secara tunggal.

t . n = n . b = b . t = 0 t . t = n . n = b . b = 1

Vektor t, n menyusun bidang oskulasi (Os), Vektor n, b menyusun bidang normal (N), Vektor t, b menyusun bidang rektifikasi (R), Garis melalui T, sejajar t disebut garis singgung, Garis melalui T, sejajar n disebut garis normal utama,

t

n b

(66)

Garis melalui T, sejajar b disebut garis binormal.

Jadi misalnya:

Persamaan bidang oskulasi di To:

(r – ro) . bo= 0 atau r = ro+ λto+ μnoatau bisa ditulis [r – ro, to, no] = 0

Garis normal utama di To:

r = ro+ γno

Catatan:

Bidang N adalah bidang tegak lurus kurva, dan bidang Os adalah bidang yang di sekitar titiknya seolah-olah memuat kurvanya.

Contoh:

Diketahui kurva r(t) = x i + y j + z k dengan x = 3t – t3, y = 3t2, z = 3t + t3. Tentukan vektor singgung satuan (t).

Jawab:

r(t) = (3t – t3, 3t2, 3t + t3)

ds

dt

r

d

ds

r

d

t



= (3 – 3t2, 6t, 3 + 3t2)

ds

dt

|t| = 1

Bidang oskulasi (r – ro). bo= 0

Bidang

rektifikasi/pelurus (r – ro). no= 0

Bidang normal (r – ro). to= 0

t n

(67)

ds

Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami penggunaan vektor terkait dengan kurva dalam ruang dan luasan dalam konsep geometri diferensial. Selain itu, mahasiswa diberi pengertian tentang perbedaan antara vektor singgung, vektor normal dan vektor binormal.

VI.3.2. Tes Formatif

1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ= parameter. Tentukan t, t´, n, κ, b, persamaan garis singgung di θ= θodan persamaan bidang Os di

(68)

2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2, v3)

3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana: x = t2+ 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2– 6t, tentukan t di titik t = 2.

4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada kurva: r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β= Π/3.

Tentukan pula κdan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya.

VI.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

0 1 2

Menguraikan terbentuknya kurva dan luasan dalam konsep geometri diferensial

Tidak mampu menguraikan

perbedaan antara vektor singgung, vektor normal dan vektor binormal

Tidak mampu membedakan

Menerapkan dalam hitungan

VI.3.4. Tindak Lanjut

VI.3.5. Sumber Pustaka