Model inventori economic order quantity probabilistik studi kasus pada Optik Yogya - USD Repository

i

MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIK

STUDI KASUS PADA OPTIK YOGYA

SKRIPSI

Ditujukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Vincentius Prabowojati Wicaksana NIM: 053114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ii

ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIC INVENTORY MODELS CASE STUDY OF YOGYA OPTIK

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the SARJANA SAINS Degree

In mathematics

By:

Vincentius Prabowojati Wicaksana Student Number: 053114013

Study Program of Mathematics Science Department of Mathematics Faculty of Science and Technology

Sanata Dharma University Yogyakarta

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 12 Agustus 2009 Penulis,

vi

! "

#

! "

#

! "

#

! "

#

!

$% #

&

$ ' (

!

$% #

&

$ ' (

!

$% #

&

$ ' (

!

$% #

&

$ ' (

(

'

(

'

(

'

(

'

))))

(

$ *

(

$ *

(

$ *

(

$ *

"

"

"

"

%

%

%

%

&

$ "

# + $

)

&

&

$ "

$ "

# + $

# + $

)

)

&

$ "

# + $

)

!!!! " "" "" "" "

# # #

# """"

$$$$

viii ABSTRAK

Dalam proses penjualan yang dilakukan oleh toko Optik Yogya, terdapat be-berapa barang yang harus tersedia untuk memenuhi kebutuhan konsumen. Ada per-masalahan yang terjadi ketika barang yang dibutuhkan tidak tersedia dan juga jika barang yang tersedia melebihi kapasitas atau over.

ix ABSTRACT

In the selling process carried out by Yogya Optik, few goods must be availa-ble in order to meet the need of the consument. The proavaila-blems occurs when the goods that the customer want are not available and when the available goods are exceeding its maximum capasity.

x

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, sehingga karena kasih, izin dan karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

Dalam penyusunan skripsi ini penulis memiliki banyak hambatan sehingga membutuhkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu, pikiran, nasehat dan penuh kesabaran telah membimbing penulis selama penyusunan skripsi.

2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan FST-USD. 3. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji. 4. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku dosen penguji.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.

6. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Sc., yang pernah menjadi dosen pembimbing akademik bagi penulis.

7. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., yang telah banyak membantu penulis. 8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan bekal

xi

9. Bapak Tukija dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administraasi dan urusan-urusan akademik selama penulis kuliah serta Karyawan Perpustakaan USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

10.Kedua orang tuaku serta kakakku Ignas dan adik-adikku Hendrikus dan Dion yang selalu memberikan dukungan kepadaku dalam segala hal, kasih sayang, pengorbanan, doa, motivasi dan kepercayaan yang sangat berarti.

11.Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran serta kritik yang membangun sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas skripsi ini, dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Yogyakarta, Agustus 2009

Penulis,

xii DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ……….... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xi

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Perumusan Masalah ... 3

C. Batasan Masalah ... 4

D. Tujuan Penulisan ... 4

E. Metode Penulisan ... 4

F. Manfaat Penelitian ... 5

xiii

BAB II DIFERENSIAL, FUNGSI KONVEKS DAN TEORI PROBABILITAS 7

A. Diferensial... 7

B. Fungsi konveks ... 11

C. Teori Probabilitas... 12

BAB III MODEL INVENTORI... 31

A.Parameter-parameter Persediaan... 31

B. Model Economic Order Quantity Deterministik Satu Barang... 23

C. Model Economic Order Quantity Deterministik Banyak Barang... 34

D.Model Economic Order Quantity Deterministik Diskon... 36

E.Model Economic Order Quantity Deterministik Back Order... 38

F. Model Economic Order Quantity Probabilistik... 52

BAB IV APLIKASI MODEL INVENTORI PROBABILISTIK... 67

PADA OPTIK YOGYA... ... 67

A. Analisis dengan Data yang tersedia... 67

B. Simulasi ... 73

BAB V PENUTUP... ... 100

A. Kesimpulan... 100

B. Saran... 101

A. Latar Belakang Masalah

Dalam dunia perekonomian kita sering mengenal berbagai

permasalahan yang nyata dalam hidup. Permasalahan itu ada dari zaman

dahulu hingga sekarang. Salah satu permasalahan yang sangat penting dan

hampir dihadapi oleh semua bidang usaha adalah inventori atau yang lebih

kita kenal persediaan.

Inventori (Persediaan) adalah setiap sumberdaya yang disimpan

(stored resource) yang digunakan untuk memuaskan kebutuhan pelanggan

pada saat ini atau masa depan. Bagi banyak perusahaan dan toko, inventori

mencerminkan sebuah investasi, dan investasi ini sering lebih besar daripada

yang seharusnya. Hal ini dikarenakan perusahaan-perusahaan atau toko-toko

lebih mudah untuk memiliki inventori just-in-case (berjaga-jaga kalau ada

apa-apa) daripada inventori just-in-time (persediaan seperlunya) karena

berbagai pertimbangan dan kondisi yang ada.

Setiap perusahaan atau toko saat ini tentunya memiliki manager

operasi yang bertugas dalam bidang inventori. Setiap manager operasi

tentunya harus menyadari bahwa mengatur inventori yang baik dan tepat

sangatlah penting. Hal itu dikarenakan stok (jumlah barang) inventori,

berpengaruh besar terhadap kelangsungan aktivitas keseharian perusahaan

perusahaan ataupun toko tersebut mengalami kerugian yang besar. Selain itu

juga, jika perusahaan atau toko ingin mengurangi biaya pengeluaran dengan

membatasi stok inventori di tangan, sebaliknya konsumen akan merasa tidak

puas bila suatu produk stok inventorinya habis. Oleh karena itu, perusahaan

atau toko harus mencapai keseimbangan antara inventori dan tingkat layanan

konsumen.

Setelah mengetahui beberapa permasalahan di ataas, dalam skripsi ini

akan dibahas tentang inventori Toko Optik Jogja yang berada di kota Jogja

dan Ambon. Optik Jogja merupakan salah satu toko yang menjual dan

menyalurkan kaca mata, soft lens, lensa kacamata serta lap kacamata. Untuk

mendukung proses penjualannya, Optik Jogja memiliki manager yang

mempunyai wewenang dan tugas untuk mengontrol, mendata dan

mengendalikan stok inventori bingkai kacamata, lensa, lap kacamata dan

lainnya.

Meskipun mempunyai manager yang bertugas mengontrol stok

inventori, namun sering kali stok inventori tidak berada pada level yang telah

ditetapkan sebelumnya. Stok inventori sering berada jauh di atas maksimum

stok, bahkan sering juga mengalami kehabisan. Hal ini sering mengakibatkan

konsumen kecewa, karena barang yang diinginkannya tidak tersedia. Selain

itu juga, jumlah pesanan kacamata dan lensa yang berlebihan kadang menjadi

sia-sia karena tidak digunakan dan tidak jarang mengakibatkan kerugian.

Menyadari kenyataan tersebut penulis akan menganalisa faktor-faktor

stok inventori. Selain itu, Penulis juga akan menganalisa banyaknya barang

yang ada, jenis dan tingkat penjualannya, yang selama ini kurang maksimal.

Setelah faktor-faktor yang berkaitan dengan proses inventori selesai

dikumpulkan, faktor-faktor tersebut akan dianalisa lebih lanjut dengan

menggunakan model inventori.

Model inventori yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah model

Economic Order Quantity (EOQ). Dalam masalah nyata, permasalahan

ekonomi sangatlah tidak pasti. Masalah tersebut dapat muncul dan berubah

setiap saat seturut perkembangan kondisi yang terjadi. Oleh karena ketidak

pastian tersebut,model EOQ nantinya akan dianalisa juga dengan cara

probabilistik yaitu dengan mempertimbangakan kemungkinan-kemungkinan

yang terjadi.

Hasil dari analisa dan perhitungan tersebut, nantinya diharapkan

dapat dijadikan suatu landasan dan acuan dalam menggambil keputusan untuk

proses inventori selanjutnya dengan mempertimbangkan faktor-faktor yang

mungkin akan terjadi pada masa yang akan datang. Sehingga, nantinya Toko

Optik Jogja mendapatkan keuntungan yang maksimal.

A.Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan dalam latar belakang, pokok

permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Apakah yang dimaksud model inventori?

3. Bagaimana menganalisa persamaan EOQ secara deterministik dan

probabilistik?

4. Bagaimana menerapkan model inventori dalam kasus nyata pada Toko

Optik Jogja?

B. Batasan Masalah

Batasan masalah dalam skripsi ini adalah:

1. Teori probabilitas hanya dibahas sebatas yang terkait langsung dengan

permasalahan, sedangkan hal-hal yang sifatnya elementer tidak dibahas

2. Data-data yang digunakan hanya pada Toko Optik Jogja pada tahun 2007

dan 2008.

3. Model inventori yang akan dibahas pada skripsi ini hanya model Economic

Order Quantity (EOQ).

4. Pada simulasi hanya dipakai proses pengunaannya saja, tanpa membahas

dasar teorinya.

5. Pada simulasi data bilangan random didapatkan menggunakan excel.

C.Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk:

1. Mengetahui dasar-dasar Model Inventori.

2. Mengetahui model inventori Economic Order Quantity (EOQ).

3. Mengaplikasikan model inventori EOQ pada kasus nyata toko optik Jogja.

D.Metode Penulisan

Metode penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu

dengan menggunakan buku-buku, jurnal, dan makalah yang telah

stok inventori dan jumlah penjualannya diperoleh langsung dari Toko Optik

Jogja.

E.Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan skripsi ini adalah:

1. Dapat mengetahui dasar model inventori.

2. Dapat mengetahui parameter-parameter yang berpengaruh dalam model

inventori.

3. Dapat mengetahui model EOQ secara detail.

4. Dapat mengetahui cara pengaplikasian langsung model inventori.

F. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN

A.Latar Belakang Masalah

B. Perumusan Masalah

C.Batasan Masalah

D.Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Maanfaat Penulisan

Bab II DIFERENSIAL, FUNGSI KONVEKS DAN TEORI PROBABILITAS

A.Diferensial

B. Fungsi konveks

C.Teori Probabilitas

BAB III MODEL INVENTORI

A.Parameter-parameter inventori

B. Economic Order Quantity (EOQ) Deterministik

C.Economic Order Quantity (EOQ) Probabilistik

BAB IV APLIKASI MODEL INVENTORI PADA TOKO OPTIK JOGJA

A.Data data parameter yang dibutuhkan

B. Perhitungan dengan Economic Order Quantity (EOQ)

BAB V KESIMPULAN

A.Kesimpulan

Bab II,

Diferensial, Fungsi Konveks dan Teori Probabilitas

2.1 Diferensial Definisi 2.1.1

Andaikan y=f(x) terdeferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx merupakan

diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x.

Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy di definisikan oleh

= ( )

Berikut merupakan grafik peraga dari diferensial

Gambar 2.1.1 Fungsi = ( )

Andaikan P(x0,y0) adalah titik tetap pada grafik fungsi = ( ), seperti

terlihat pada gambar 2.1.1. Pandang P sebagai titik asal, dx dan dy merupakan

sumbu-sumbu koordinat baru yang sejajar dengan sumbu koordinat.

Dalam sistem koordinat yang baru, garis singgung di P persamaannya

adalah sebagai berikut = , dimana adalah kemiringan garis, =

( ) . Dari persamaan tersebut dx disebut diferensial dari x dan dy disebut

differensial dari y.

Maksimum dan minimum fungsi Definisi 2.1.2

Andaikan S adalah daerah asal fungsi f, yang memuat titik c. Dikatakan bahwa:

1. ( )adalah nilai maksimum pada , jika ( ) ≥ ( )untuk semua di 2. ( )adalah nilai minimum pada , jika ( ) ≤ ( )untuk semua di

3. ( ) adalah nilai ekstrim f pada S, jika ( ) adalah nilai maksimum atau

minimum

Berikut ini merupakan grafik ilustrasi dari Definisi 2.1.2

Gambar 2.1.3 Gambar 2.1.4

Gambar 2.1.3 dan 2.1.4 masing-masing menunjukkan sketsa sebagian

grafik yang mempunyai maksimum di c. Sedangkan gambar 2.1.5 dan 2.1.6

masing-masing menunjukan sebagian grafik yang mempunyai nilai minimum di c.

Untuk menentukan daerah asal S agar fungsi f terdefinisi dan dapat

menghasilkan prasyarat nilai ekstrim dan titik kritis yang digunakan untuk

menentukan kemungkinan nilai-nilai c yang memberikan nilai ekstrim, digunakan

definisi berikut

Definisi 2.1.3

Andaikan S, adalah daerah asal f yang memuat titik c, dikatakan bahwa

1. f(c) adalah nilai maksimum relatif f, jika terdapat interval terbuka (a,b), yang

memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b).

2. f(c) adalah nilai minimum relatif f, jika terdapat interval terbuka (a,b), yang

memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b).

3. f(c) adalah nilai ekstrim relatif f, jika terdapat f(c) sedemikian sehingga f(c)

adalah nilai maksimum relatif atau minimum relatif .

Berikut ini merupakan grafik ilustrasi dari Definisi 2.1.3

Gambar 2.1.9

Gambar 2.1.7 memperlihatkan fungsi yang tidak memiliki nilai ekstrim relatif,

walaupun berlaku ( ) = 0. Sedangkan gambar 2.1.8 dan 2.1.9 masing-masing

memperlihatkan grafik fungsi dengan ekstrim maksimum dan ekstrim minimum.

Dari gambar 2.1.8 dan 2.1.9 juga, pada saat ( ) merupakan nilai ekstrim fungsi

( ), maka terlihat bahwa ( ) = 0 dan disekitar x=c, ( ) berubah nilainya

dari positif ke negatif untuk ekstrim maksimum, serta berubah dari negatif ke

positif untuk ekstrim minimum.

Teorema 2.1.1 Uji turunan pertama ekstrim relatif

Andaikan fungsi f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

1. Jika ( ) > 0 untuk semua nilai x pada a<x<c, dan ( ) < 0 untuk semua

nilai x pada c<x<b, maka ( ) adalah nilai maksimum relatif dari f.

2. Jika ( ) < 0 untuk semua nilai x pada a<x<c, dan ( ) > 0 untuk semua

nilai x pada c<x<b, maka ( ) adalah nilai minimum relatif dari f.

3. Jika ( ) bertanda sama untuk semua nilai x pada a<x<c dan c<x<b, maka

Teorema 2.1.2 Teorema titik kritis

Andaikan fungsi f didefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c)

adalah nilai ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu

dari:

1. Titik ujung interval I.

2. Titik stationer dari f, yakni ( ) = %.

3. Titik singular dari f, yakni ( )tidak ada.

Dari teorema 2.1.1 dapat ditarik kesimpulan bahwa persyaratan yang harus

dipenuhi untuk terjadinya nilai ekstrim di c adalah f kontinu dan S adalah

interval tertutup.

2.2 Fungsi Konveks Definisi 2.2.1

S adalah suatu himpunan, dan S disebut himpunan konveks jika ∀_'(,')* maka

semua kombinasi konveks dari ₊ dan _, juga berada dalam S.

Misalkan fungsi f yang bernilai real tersebut didefinisikan paada himpunan

konveks C di Rn. Fungsi tersebut dikatakan fungsi konveks jika untuk setiap

+ dan , di C dan - ≥ 0, . ≥ 0, - + . = 1, maka

(- ++ . ,) ≤ - ( +) + . ( ,)

Sedangkan fungsi f disebut konveks tegas bila

(- ++ . ,) < - ( +) + . ( ,)

Jika akan diinterpretasikan secara geometris, fungsi konveks f adalah

fungsi sedemikian sehingga jika ₊ dan _,, sembarang titik di Rn pada grafik f , maka titik-titik segmen garis [ ₊, _,] yang menghubungkan ₊ dan _, terletak pada atau di atas grafik f.

2.3 Teori Probabilitas

A. Peubah Acak Kontinu

Misalkan terdapat sebuah ruang contoh dari pelamparan uang logam

sebanyak tiga kali dapat dituliskan sebagai berikut

= 2333, 334, 343, 433, 344, 434, 443, 4445

Dengan G menunjukan sisi gambar, dan A menunjukan sisi angka.

Jika dari hasil pelemparan tersebut ditanyakan berapa kali sisi gambar muncul,

maka nilai numerik 0,1,2, atau 3 dapat diberikan.

Dari hasil yang diberikan tersebut, sebenarnya merupakan besaran acak

yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. Nilai-nilai tersebut dapat

dipandang sebagai nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah acak atau

variabel acak X tertentu yang dalam hal ini menyatakan berapa kali sisi gambar

muncul bla sekeping uang logam dilempar tiga kali.

Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa peubah acak

merupakan suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh

setiap unsur dalam contoh. Kemudian, digunakan huruf kapital misalkan X untuk

melambangakan suatu peubah acak, dan huruf kecilnya x untuk menyatakan satu

Pada kenyataannya, banyaknya kemungkinan dari suatu percobaan

mungkin saja tidak terhingga atau tidak tercacah. Misalkan, akan menghitung

jumlah barang yang terjual dalam sebuah toko dalam waktu tertentu. Dengan

mengasumsikan waktu dalam hal ini hari, maka sangatlah jelas bahwa didapat tak

hingga banyaknya kemungkinan barang terjual dalam interval waktu tertentu yang

tidak dapat di dapatkan secara pasti. Oleh karena itu, bila suatu ruang contoh

mengandung takhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik

pada sebuah garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu.

Peubah acak yang didefinisikan dalam ruang contoh kontinu disebut

peubah acak kontinu. Dalam hal ini, peubah acak kontinu digunakan untuk data

yang diukur, misalnya jumlah barang yang dibutuhkan, jarak dan lain sebagainya.

B. Fungsi kepekatan

Fungsi peluang yang digambarkan oleh kurva biasa disebut fungsi

kepekatan. Kebanyakan fungsi kepekatan yang mempunyai penerapan praktis

dalam analisis data statistik bersifat kontinu untuk semua nilai X. Karena luas

daerah akan digunakan untuk menyatakan peluang, dan nilai dari peluang itu

sendiri adalah positif, maka fungsi kepekatan teletak seluruhnya di atas sumbu-x.

Fungsi kepekatan didefinisikan sedemikian sehingga luas di daerah bawah

kurva dan di atas sumbu-x sama dengan satu. Bila suatu fungsi kepekatan

maka peluang X men

diaksir yang terletak a

Oleh karena

kontinu X bila luas d

dan bila luas daerah d

terletak antara a dan b

C. Distribusi Norm

Distribusi norm

bidang statistika dan

merupakan gambar ku

engambil nilai antara x1 dan x2 sama dengan lu

k antara x1 dan x2 di bawah fungsi kepekatannya

na itu, fungsi f disebut fungsi kepekatan ba

s daerah dibawah kurva dan di atas sumbu-x sam

di bawah kurva antara x1 =a dan x2=b menyat

b.

rmal

ormal merupakan distribusi kontinu yang palin

an banyak dipakai dalam memecahkan per

kurva distribusi normal:

Gambar 2.3.1 distribusi normal

n luas daerah yang

nya.

bagi peubah acak

sama dengan satu,

yatakan peluang X

ling penting dalam

Dari gambar d

genta disebut peubah

peubah acak normal

dan simpangan bakun

kepekatan bagi x den

Dari keterang

adalah suatu peubah

persamaan kurva norm

6( ; 8, 9

Bila nilai-nilai

ditentukan dengan pas

Luas daerah dibawa

Kurva dengan se

kepekatan yang dibu

dibatasi oleh ₊

nilai antara ₊ da

dengan : ₊ $ 8 $

r di atas, suatu peubah acak kontinu x yang m

ah acak normal. Persamaan matematik untuk s

al tergantung pada dua parameter 8 dan 9, ya

kunya. Oleh karena itu dapat dilambangkan n

engan ; ; 8, 9 .

ngan di atas, dapat didefinisikan kurva norm

ah acak normal dengan nilai tengah 8 dan ra

ormalnya adalah:

9 1

9√2=>?+,@

'?A B C

)

, D6EDF G ∞ $ $

i 8 dan 9 diketahui, maka kurva normal

pasti.

wah kurva Normal

sembarang sebaran peluang kontinu atau me

ibuat sedemikian sehingga luas daerah di ba

dan _, sama dengan peluang peubah aca

dan _,. Berikut merupakan ilustrasi grafi

, yang dinyatakan oleh luas daerah yang di

memiliki sebaran

k sebaran peluang

yaitu nilai tengah

nilai-nilai fungsi

rmal, yaitu bila x

ragam 9,, maka

$ ∞

l itu telah dapat

merupakan fungsi

bawah kurva itu

acak x mengambil

rafik kurva normal

Kemudian unt

ditransformasikan sem

normal z dengan nilai

Nilai tengah z ada

Sedangkan ragam

Bila x berada di

diantara nilai-nilai:

I

Contoh 2.3.1:

Untuk sebaran n

peubah acak x bernila

Jawab:

Sebaran peluang

diberikan dalam gamb

ntuk mengetahui nilai dari daerah yang diaksir

sembarang peubah acak x menjadi satu nil

lai tengah nol dan ragam satu. Dimana

I G 8₉

adalah nol, karena:

J I _{9 J G 9}1 _{9 J 9 G 9}1 0

amnya adalah

9K, 9,'?A_{LB 9}1_,9', 9 ,

9, 1

diantara ₊ dan _,. Maka peubah

I+ +_{9 M6 I}G 8 , ,₉ G 8

normal dengan 8 300 dan 9 50 hitu

ilai lebih besar dari 362.

ng normal yang menunjukan luas daerah y

mbar berikut

sir tersebut, dapat

nilai peubah acak

ah acak z berada

hitunglah peluang

Untuk menghitung : >362), harus dihitung luas daerah aksiran disebelah

kanan nilai = 362. Ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan = 362

menjadi nilai z sehingga didapatkan luas daerah di sebelah kiri z dari tabel

normal, dan kemudian mengurangkan daerah tersebut dengan satu. Sehingga

diperoleh

I = ,_{9 =} − 8 362 − 300₅₀ = 1.24

Dengan demikian

:( > 362) = :(I > 1.24) = 1 − :(I > 1.24)

= 1 − 0.8925

BAB III

MODEL INVENTORI

Model inventori merupakan suatu strategi bidang perekonomian yang

menggunakan model matematika untuk menentukan banyak persediaan barang

yang disimpan dan yang harus disediakan oleh perodusen itu sendiri. Hal ini

diperlukan agar produsen barang dapat menyuplai barang dengan baik kepada

konsumen tanpa harus kehabisan barang sehingga kebutuhan pasar dapat dipenuhi

dan keuntungan dapat diperoleh.

Model inventori dapat dibedakan menjadi dua, yakni model inventori

deterministik dan inventori probabilistik. Model inventori deterministik ditandai

oleh karakteristik tingkat permintaan dan periode kedatangan pesanan dapat

diketahui sebelumnya secara pasti. Apabila salah satu ataupun kedua parameter

tersebut tidak dapat diketahui secara pasti sebelumnya, harus didekati dengan

distribusi probabilitas, maka hal tersebut memberikan suatu model inventori

probabilistik.

3.1. Parameter-Parameter persediaan

Seperti yang telah diketahui, pada umumnya produsen memproduksi barang

serta menjualnya kembali kepada konsumen. Hal ini tentunya memerlukan proses

yang panjang. Berdasarkan proses tersebut, terdapat dua karakteristik utama

parameter-parameter masalah inventori, yaitu tingkat permintaan dan periode

Tingkat permintaan dan periode kedatangan sangat berpengaruh dalam

penentuan jumlah barang produksi maupun yang disimpan dan pendapatan

produsen. Hal itu dikarenakan di dalam tingkat permintaan dan periode

kedatangan terdapat beberapa parameter yang sangat bepengaruh. Para

meter-parameter tersebut diantaranya adalah:

a. Biaya Pesan (Ordering cost)

Biaya pesan merupakan biaya yang muncul saat terjadi proses pemesanan

barang. Biaya-biaya pembuatan surat, telepon, fax, dan beberapa lainnya yang

muncul karena proses pemesanan barang merupakan contoh biaya pesan.

Biaya pesan akan dilambangkan dengan BP. Biaya ini dapat diperoleh

dengan:

UVM M W>XM6 = YZ[\]^]_`a b`c`d e`^] f[ghib[(j)k(li^`c \h`m` f[g h^[d m`an bhZ[c]`gZ`a(o)) _{p]dc`_ \`g`an e[^h`fZ`ch bhf[e`a(q)}

atau dapat ditulis sebagai bentuk

U: =r_{s (3.1.1)}

Dari bentuk di atas, diasumsikan bahwa jika semakin banyak pesanan, maka

biaya yang dikeluarkan semakin kecil. Berikut ini merupakan ilustrasi dengan

BP

q

Gambar 3.1.1. kurva biaya pesan

b. Biaya Simpan (Carrying cost)

Biaya simpan muncul jika terdapat proses penyimpanan suatu barang.

Beberapa contoh biaya simpan diantaranya adalah sewa gudang, keamanan,

asuransi, dan biaya-biaya lain yang muncul karena proses penyimpanan.

Sedangkan biaya-biaya lain yang tetap ada meski persediaan tidak ada bukanlah

termasuk kategori biaya penyimpanan.

Biaya simpan per periode dilambangkan dengan BS, yang dapat diperoleh

dengan

UVM M XV WM6

:>tV% > = uUVM M XV WM6VFvDX w uW>tV% >wVFvDX

Dalam model ini, pada umumnya akan melakukan pemesanan secara bertahap

dan kontinu atau dengan kata lain pemesanan dilakukan dalam beberapa kali

diasumsikan rata-rata inventori dalam suatu siklus adalah q

, unit dan panjang

siklus q

j, maka

uUVM M_{W>tV% > w = (tMEM − tMEM W>XM6M6 1 XVFvDX)(WM6xM6y XVFvDX)(biaya simpan per barang)} XV WM6

=s_{2 @rC ℎ =}s s_2r,ℎ

Sehingga

UVM M XV WM6

•MFED =s

,_ℎ

2r ursw =ℎs2

Atau dapat ditulis sebagai fungsi

U = s_{2 ℎ (3.1.2)}

Apabila semakin banyak barang yang dipesan, maka biaya penyimpanan

semakin tinggi. Berikut ini merupakan bentuk kurva biaya pesan. Diasumsikan

kurva berbentuk linear terhadap q

BS

q

c. Biaya Pembelian (Purchase cost)

Biaya pembelian muncul pada saat dilakukan pembelian suatu barang. Biaya

Pembelian dilambangkan dengan BP yangdapat dinyatakan sebagai berikut

UVM M W> €>vVM6 = ℎMtyM W> €>vVM6(W) × ‚>€DEDℎM6 MvM 1 W>tV% >(r)

Atau dapat ditulis sebagai fungsi

U: € = W × r (3.1.3)

d. Biaya Kehabisan Persediaan (Stockout cost)

Biaya kehabisan persediaan muncul pada saat persediaan barang habis

ataupun tidak tersedia lagi sehingga peluang untuk mendapatkan keuntungan tidak

tercapai. Hal ini dapat diakibatkan karena mesin rusak, karyawan tidak bekerja,

terlambatnya pengiriman barang dan lainnya.

Biaya kehabisan persedian dalam suatu siklus dapat dinyatakan sebagai

berikut.

UVM M ‚>ℎM€VXM6 W>tX> VMM6_{:>tV% >} = u UVM M ‚>ℎM€VXM6 W>tX> VMM6_VFvDX w u_{:>tV% >w}VFvDX

Misalkan jumlah unit yang tidak tersedia s_e, maka rata-rata kekurangan

barang dalam interval waktu ∆E adalah q?q„

, , dengan panjang interval ∆E adalah q?q„

j . Dari hal tersebut dapat dituliskan, UVM M ‚>ℎM€VXM6 W>tX> VMM6

=s − s₂ Xus − s_r Xwℎ =Ys − sXk

2_ℎ 2r

Jika terdapat j

qsiklus per tahun maka,

UVM M ‚>ℎM€VXM6 W>tX> VMM6

EMℎD6 =

Ys − s_Xk2ℎ

2r †rs‡=Ys − sXk 2_ℎ 2s

U‚: =(s − s_2se),ℎ (3.1.4)

3.2 Model Economic Order Quantity (EOQ) deterministik satu barang

Model Economic Order Quantity (EOQ) deterministik merupakan model

inventori yang dalam perhitungannya memperhitungkan dua macam biaya

persediaan paling dasar, yaitu biaya pesan dan biaya simpan. Selain itu juga,

model EOQ deterministikbergantung pada tarif dasar harga barang dan tenggang

waktu pemesanan barang.

Untuk memperoleh suatu model awal yang baik, tentunya dibutuhkan

beberapa asumsi dan syarat awal. Berikut ini merupakan asumsi-asumsi yang

dibutuhkan dalam model EOQ deterministik yang harus dicapai.

1. Permintaan saat memesan barang dan tarif dasar harga barang tetap atau

tidak berubah dalam jangka waktu tertentu.

2. Jeda pemesanan antara periode yang satu dan yang lainnya bernilai nol

atau dapat dikatakan tidak boleh terjadi jeda antara waktu pemesanan

periode satu dan berikutnya sehingga pemesanan bersifat kontinu.

Misalkan ˆ‰ s adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan jika dipesan q

unit barang dengan jeda periode sama dengan nol dan dinotasikan sebagai berikut

ˆ‰ s UVM M W>XM6 + UVM M W> €>vVM6 + UVM M XV WM6

Kemudian rumusan tersebut dikombinasikan dengan parameter-parameter

yang telah dibahas sebelumnya sehingga menghasilkan

ˆ‰(s) =j

q + :r + q ,ℎ

Untuk meminimumkan total biaya tahunan (TC(q)), maka ditentukan

ˆ‰ (s) = 0, sehingga menghasilkan

ˆ‰ (s) = −r_s, +ℎ_{2 = 0}

atau

r_s, = ℎ₂

s, ₌ 2r ℎ

Sehingga diperoleh,

s₊ = Š,jo

_ atau s, = −Š,jo_

Persamaan q2 tidak memberikan arti apa-apa karena tidak ada jumlah

barang yang bernilai negatif. Sehingga didapatkan sebuah persamaan dalam q

sd`Ze = ‹2r_{ℎ (3.2.1)}

Untuk mendapatkan gambar kurva EOQ deterministik, persamaan ˆ‰ (s)

diturunkan sekali lagi dan diperoleh.

ˆ‰ ′(s) = 2jo_q• ≥ 0 untuk semua s > 0

sehingga ˆ (s) merupakan fungsi cekung. Berikut ini merupakan gambar

dari fungsi ˆ‰(s)

biaya Tc(q)

h(q/2)

Sd/q

0 q jumlah barang

Gambar 3.2.1 kurva biaya TC(q)

Seperti yang disebutkan di atas, model dasar EOQ deterministik lebih

memperhitungkan dua macam biaya yang utama, yaitu biaya pesan dan biaya

simpan. Oleh karena itu biaya total persediaan (BTP) dapat ditulis sebagai berikut.

Biaya Total persediaan=Biaya Pesan+ Biaya Simpan

BTP=BP+BS

dan dinotasikan sebagai berikut:

Uˆ: = r_{s +}s_{2 ℎ (3.2.2)}

Dengan nilai q yang maksimum, dapat dicari biaya total persediaan, yaitu

dengan memasukan nilai q yang didapatkan pada persamaan awal BTP sehingga

Uˆ: = r_{s +}s_{2 ℎ}

= 2r + s

2s

2

ℎ

= 2r + †Š2rℎ ‡ ,

ℎ

2Š2rℎ

= 2r + 2r 2Š2rℎ

= 2r

Š2rℎ

Uˆ:, 4r, , 2r

ℎ

= 4r_2r, ,ℎ

= 2r ℎ

sehingga

Uˆ:dha= √2r ℎ (3.2.3)

3.2.1 Siklus Pesan Ulang (Reorder Cycle)

Salah satu hal yang juga penting dalam model inventori adalah mengetahui

siklus pemesanan ulang barang. Model EOQ yang secara matematis dinyatakan

pada persamaan (3.2.1) merupakan gabungan antara model sistem periodik dan

sistem pemesana tetap. Model sistem periodik merupakan model inventori dimana

pembelian dilakukan secara periodik. Interval waktu yang digunakan dalam

pembelian selalu sama, misalkan dalam satu minggu, satu bulan, dan seterusnya.

Sebagai konsekuensinya pembelian persediaan selalu menyesuaikan dengan

kebutuhan, sehingga jumlah persediaan yang dibeli belum tentu sama pada setiap

periode pembelian. Berikut ini merupakan kurva model sistem periodik

persediaan

|| || || waktu

Sedangkan model sistem pemesanan tetap adalah model inventori dimana

pembelian dilakukan dengan jumlah yang tetap sehingga menjelaskan bagaimana

penambahan persediaan yang selalu sama dalam interval waktu kedatangan yang

berbeda. Berikut merupakan kurva model sistem pemesanan tetap

Persediaan

q

waktu

Gambar 3.2.3 Kurva sistem pemesanan tetap

Dari model di atas, diketahui bahwa kebutuhan dalam periode perencanaan

adalah D dan penambahan persediaan adalah q. Sehingga, siklus pemesanan ulang

dapat ditulis dengan

VFvDX W>XM6 DvM6y =_{ŽD vMℎ €MtM6y M6y VW>XM6 X>EVMW W> >XM6M6}‚>€DEDℎM6 MvM W>tV% > W>t>6 M6MM6

Atau dinotasikan sebagai

: =r_{s (3.2.1.1)}

Selanjutnya, untuk menentukan periode waktu pemesanan ulang didapatkan

dari membagi periode waktu perencanaan (W) misalkan 12 bulan, 56 minggu, atau

:>tV% > •MFED W> >XM6M6 DvM6y =W>tV% > •MFED W>t>6 M6MM6_{XVFvDX W>XM6 DvM6y}

atau dinotasikan sebagai

• =•_{: (3.2.1.2)}

Dari persamaan (3.2.1.1) dan (3.2.1.2) didapatkan bahwa satuan periode

waktu yang digunakan dalam setiap siklus pesan ulang Y, sangat bergantung pada

periode waktu perencanaan W.

Berikut ini merupakan penjelasan siklus pesan ulang dalam bentuk kurva

persediaan

q

| || | || | || | waktu

t1 t2 t3 t4

Gambar 3.2.4 Kurva siklus pesan ulang

Dari gambar 3.2.4 di atas, persedian barang datang serentak sebesar q di ti,

untuk i=1,2,3,...,n. Selanjutnya, persediaan itu digunakan selama (ti ,ti+i) Ketika

persediaan habis di ti+1, maka barang datang serentak sebesar q. Siklus ini seperti

yang telah dijelaskan di atas berulang sebanyak j

q dengan penambahan barang

selalu sama sebesar q dan juga dengan siklus pesan ulang ti-ti+1, untuk i=1,2,...,n.

3.2.2 Hubungan Parameter D dan q

Setelah mengetahui siklus pemesanan ulang, berikut ini merupakan hubungan

dalam persamaan (3.1

pesanan ulang atau P

persamaan :. • •

sebagai berikut:

Gam

3.2.3 Tingkat Pemak

Tingkat pema

penggunaan persedia

digunakan secara bert

kurva tingkat persedia

3.1.1) yang akan dipenuhi oleh q dalam bebe

P. Dari persamaan 3.2.1.1 dan 3.2.1.2

•. Persamaan tersebut dapat dibuat dalam

ambar 3.2.5 Kurva kebutuhan periode perencan

akaian Persediaan

makaian persediaan memberi gambaran men

iaan dalam suatu siklus pemesanan. Persedi

ertahap selama periode Y sampai habis. Beriku

diaan. q

eberapa kali siklus

diperoleh suatu

am bentuk kurva

canan

engenai kecepatan

ediaan q kemudian

Ga

Tingkat pemakaia

ˆV6yFME W> MFMVM6 XMED

sedangkan tingka

dengan

ˆV6yFME W> MFMVM6

Kemudian dari p

Gambar 3.2.6 Kurva tingkat pemakaian persedia

aian satu periode perencanaan dapat diperoleh d

XMED W>tV% > W>t>6 M6MM6 ‘[\]^]_`a b`c`d <sub>f[ghib[ ’`Z^] f[g[a</sub>

_• r

gkat pemakaian satu siklus pesanan ulang d

MFMVM6 XMED XVFvDX W>XM6 DvM6y ‚>€DED~M6 MvM_{W>tV% > •MFED}

_• s

i persamaan 3.2.1.1 dan 3.2.1.2 maka,

r

• :. s:. •

diaan

h dengan

e`^] f[ghib[

f[g[a“`a``a

3.2.3.1

g dapat diperoleh

MvM XMED W>tV% > •MFED W>t>6 M6MM6

Atau,

r

• •s

dengan kata lain

_{∆• =}∆r _{∆• (3.2.3.3)}∆s

Jadi, tingkat pemakaian dalam satu periode perencanaa adalah sama dengan

tingkat pemakaian dalam suatu siklus pesanan ulang.

3.2.4 Saat Memesan Ulang

Hal yang dibutuhkan juga dalam model EOQ adalah mengetahui kapan

harus memesan ulang barang agar nantinya datang tepat waktu dengan jumlah yang

sesuai dengan yang diinginkan. Selain itu juga, dalam saat memesan ulang

diasumsikan waktu antara pesan dibuat dan pesanan datang atau yang disebut lead

time telah diketahui sebelumnya secara pasti.

Sesuai dengan penjelasan tentang siklus pemesanan, bahwa penambahan

sebesar q yang datang pada t1 akan habis dipakai pada t2. Pada waktu t2 tersebut,

penambahan barang akan datang serentak. Hal ini mengakibatkan terjadi dua

kejadian sekaligus yaitu persediaan sebelumnya q habis dan penambahan q tepat

datang secara serentak pada t2.

Jika L adalah lead time, dan Y adalah Panjang waktu dalam satu siklus pesan

ulang, maka pesanan ulang harus dilakukan saat t1 atau t0+Y-L atau t2-L. Oleh

lead time. Jadi, jika ad

agar penambahan seb

indikator persediaan y

menandai saat pesan u

Berikut ini merup

Karena telah dias

diketahui secara pas

persamaan (3.2.3.2), m

Atau,

dengan kata lain

ada persedian sebesar R pada saat t1 maka pesa

sebesar q datang serentak di t2. Hal ini beraki

n yang menandai saat pesan ulang harus dibu

n ulang dilakukan.

rupakan gambar kurva saat melakukan pemesan

Gambar 3.2.7 Kurva pemesanan ulang

iasumsikan bahwa tingkat pemakaian selama

pasti sebelumnya dan tidak berubah, yaitu

), maka hal ini berakibat

”

• =::. •. s

” • •s

in

_∆•∆” ∆s_∆•

esanan ulang dibuat

akibat R merupakan

buat. Maka, t1=t2-L

anan ulang

a lead time dapat

itu sesuai dengan

Dari persamaan (3.2.3.2) dapat menjamin agar prediksi persediaan habis dan

pesanan datang tepat pada waktunya.

3.2.5 Model Economic Order Quantity (EOQ) Deterministik Banyak Barang

Pada model EOQ ini, sebenarnya memiliki perinsip yang sama dengan

model satu barang. Hanya saja, dalam model banyak barang ini, barang-barang

yang dihitung lebih dari satu, tetapi asumsi-asumsi yang digunakan masih sama.

Pertama-tama dalam model ini haruslah ditentukan terlebih dahulu periode

dalam pesan ulang. Karena dalam model ini mencakup banyak barang, nantinya

akan digunakan indeks i sebagai keterangan barang ke i. Dalam kasus ini r_h dan

sh berbeda untuk setiap barang, sehingga periode pesan ulang yang pada model ini

dilambangkan dengan Pi dan dirumuskan :_h j–

q– , hal ini berakibat :h akan

berbeda untuk setiap barang.

Berdasarkan asumsi bahwa pemesanan ulang untuk beberapa atau seluruh

barang memiliki periode yang sama, maka Pi=P. Oleh karena itu, dari persamaan

3.2.2) harus diubah agar terdapat P terlebih dahulu sehingga dapat diketahui

periode pesan ulang untuk EOQ multi item. Dari persamaan (3.2.2)

Uˆ: =r_{s +}s_{2 ℎ}

Karena : =j

q atau s =j— maka,

Karena ini merupakan kasus banyak barang, maka persamaan 3.2.5.1)diubah

menjadi,

Uˆ: = ˜ :. h + a

h™+

˜r_2:h. ℎh a

h™+

dimana i=1...n,

Atau,

Uˆ: = : ˜ h + a

h™+

1

2: ˜ rh. ℎh a

h™+

(3.2.5.2)

Diketahui syarat BTP minimum untuk P adalah b(šl—)

b— = 0. Maka, (Uˆ:)

: = ˜ h

a

h™+

−1_{2 :}?,_{˜ rh. ℎh} a

h™+

˜ h

a

h™+

−1_{2 :}?,_{˜ rh. ℎh} a h™+ = 0 ˜ h a h™+

= 1_{2 :}?,_{˜ rh. ℎh} a

h™+

˜ h

a

h™+

= _2:1_,˜ rh. ℎh a

h™+

:, ₌∑ rah™+ h. ℎh 2 ∑ah™+ h

: = ‹∑ r_{2 ∑}ah™+ h. ℎh h a

P pada (3.2.5.3) merupakan P optimal yang sama untuk setiap item i. Hal

tersebut dapat memungkinkan pemasok mengirimkan beberapa item berbeda pada

saat yang sama sehingga mendapatkan BTP persamaan (3.2.5.2) minimum juga.

3.2.6 Model Economic Order Quantity (EOQ) dengan Potongan Pembelian (Quantity Discount)

Dalam dunia usaha salah satu hal yang dapat terjadi adalah potongan harga

dalam pembelian. Hal tersebut tentunya dapat terjadi jika pembelian dalam jumlah

yang banyak sesuai kesepakatan produsen.

Pada model awal diasumsikan bahwa harga pembelian atau q tetap. Hal ini

tentunya menimbulkan kerancuan, karena pada model ini harga menurun jika

jumlah pembelian bertambah banyak. Hal ini jelas membuat model awal EOQ

tidak valid lagi, karena asumsi harga pembelian tidak terpenuhi. Oleh karena itu,

pada model EOQ potongan pembelian, biaya pembelian diganti dengan biaya

yang telah dikurangi harga potongan ~_W .

Model BTP EOQ potongan pembelian dapat dirumuskan sebagai berikut,

BTP=Biaya Pesan + Biaya Simpan +Biaya Potongan Pembelian

Dengan,

UVM M W%E%6yM6 W> €>vVM6 = ℎMtyM W%E%6yM6(ℎf) × ‚>€DEDℎM6 MvM 1 W>tV% >(r)

Atau dapat ditulis sebagai fungsi

U:: = ℎf× r (3.2.6.1)

Sehingga,

Misalkan terdapa

(3.2.6.2) dapat diubah

Uˆ:

Dengan s_c adala

diskon. Berikut ini me

Ga

Dari gambar 3.2

maksimum dengan b

Š,jo_{_} . Kemudian, ada

atau yang dimaksud z

Nilai dari s_c > s

apat dua harga pembelian ~_f+ dan ~_f, m

ah menjadi:

Uˆ: œUˆ:+

r

s /s2 ~ / ~f+r , s ! sc

Uˆ:, r_{s /}s_{2 ~ / ~}f,r , s > sc

•

alah batas banyak barang yang di beli untu

merupakan kurva perbandingan kedua BTP:

Gambar 3.2.8 Kurva tingkat pemakaian persedia

2.8 dapat terlihat bahwa, fungsi Uˆ:₊ dan Uˆ:

biaya minimum pada titik tengah kedua kur

ada kemungkinan letak nilai q maksimum yai

d zona I, s_d, s_c atau zona II, dan , s_d, ∞ ata

s_d dapat ditentukan dengan persamaan sebag

Uˆ:, sc Uˆ:+ sd

BTP1

BTP

qm

maka persamaan

•

ntuk mendapatkan

diaan

Uˆ:, mencapai q

urva dengan s_d

yaitu antara 0, s_d

atau zona III.

r

s /s2 ℎ + ℎf,r = Uˆ:+(sd)

s,_{+ †}2Yℎf,r − Uˆ:+(sd)k

ℎ ‡ s +2rℎ (3.2.6.3)

Sehingga dari gambar 3.2.8 juga dapat ditentukan q* yaitu:

s∗ _{= Ÿs}d jika s terletak pada zona I atau III sc jika s terletak pada zona II •

Dimana q* merupakan jumlah barang maksimum yang akan dipesan

berdasarkan penentuan di ataas. Dari penentuan s∗ kemudian dapat disubtitusikan ke dalam persamaan (3.2.6.3) untuk mendapatkan BTPmin

3.2.7 Model Economic Order Quantity (EOQ) Back Order

Pada model EOQ dasar, diasumsikan bahwa pesanan akan datang tepat

pada saat persediaan habis sehingga masalah kehabisan persediaan tidak penah

terjadi. Pada model EOQ back order, kemungkinan terjadinya kehabisan

persediaan ada dan telah dapat diprediksi sebelumnya. Oleh karena itu, dalam

model ini biaya kehabisan persediaan juga diperhitungkan dalam mencari

peminimuman biaya total persediaan.

Berikut ini merupakan ilustrasi gambar perbedaan antara model EOQ

Gambar

Dari gambar p

tersebut digambarkan

gambar ilustrasi EOQ

q

ar 3.2.9 Kurva perbandingan EOQ dasar dan ba

r peraga, jelas terlihat kehabisan persediaan da

an dengan daerah yang diaksir hitam. Berikut

Q back order.

Gambar 3.2.10 Kurva back order

q

back order

dapat terjadi. Hal

Dari ilustrasi tersebut, biaya total persediaan EOQ back order dapat

dituliskan sebagai berikut

BTP=Biaya Pesan +Biaya Kehabisan Persediaan+ Biaya Simpan ketika

barang habis

Dalam rumusan BTP EOQ back order, rumus biaya pesan dan biaya

kehabisan persediaan sama dengan yang telah diberikan sebelumnya yaitu

persamaan (3.1.1) dan (3.1.4), sedangkan biaya simpan dihitung ketika barang

habis. Berikut ini merupakan rumusan biaya simpan ketika barang habis. Biaya

simpan ketika barang habis dapat diperoleh dengan

UVM M XV WM6 F>EVFM €MtM6y ℎM€VX

•MFED = uUVM M XV WM6 F>EVFM €MtM6y ℎM€VXVFvDX w u•MFEDwVFvDX

Jika diasumsikan rata-rata kehabisan barang dalam suatu siklus adalah q„

,

unit, panjang siklus q„

j, dan ℎe adalah biaya kehabisan persediaan , maka

uUVM M XV WM6 F>EVFM €MtM6y ℎM€VX_VFvDX w = (tMEM − tMEM F>ℎM€VXM6 €MtM6y 1 XVFvDX) (WM6xM6y XVFvDX)(biaya simpan per barang)

=s_{2 @}e s_{rC ℎ}e e = se ,_ℎe 2r

UVM M XV WM6 F>EVFM €MtM6y ℎM€VX

•MFED = se

,_ℎe

2r ursw =ℎese ,

2s (3.2.7.1)

Misalkan ˆ‰(s, s_e) adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan jika barang habis.

ˆ‰(s, se) =Biaya Pesan +Biaya Kehabisan Persediaan+Biaya Simpan ketika barang habis

ˆ‰(s, se) =r_{s +}(s − se) ,_ℎ

2s +ℎese , 2s

=r_{s +}s,− 2s. s_2se+ se,ℎ +ℎe_2sse,

= r_{s +}(s − s_{2s ℎ +}e) se,(ℎ + ℎ_2s e)

Untuk meminimumkan total biaya tahunanTC(q, s_e), maka ditentukan

£l“ £q =

£l“

£q„ = 0. sehingga diperoleh,

¤ˆ ¤s = 0

−r_s, +ℎ_{2 −}se,(ℎ + ℎ_2s e)= 0

ℎ

2 =rs, +se

,_{(ℎ + ℎe)} 2s

ℎ

2 =2r + se

,_{(ℎ + ℎ} e) 2s,

s = ‹2r + se_ℎ,(ℎ + ℎe) (3.2.7.2)

¤ˆ ¤se = 0

−ℎ +se(ℎ + ℎ_s e) = 0

ℎ =se(ℎ + ℎ_s e)

s_e =_{(ℎ + ℎ}ℎs

e) (3.2.7.3)

Dari persamaan (3.2.7.2) dan (3.2.7.3) diperoleh,

s, ₌ 2r u ℎs(ℎ + ℎe)w ,

(ℎ + ℎe) ℎ

s, ₌ 2r + ℎ ,_s, (ℎ + ℎe) ℎ

2r = ℎs,₋ ℎ,s, (ℎ + ℎe)

s, ₌ 2r (ℎ + ℎe) ℎ[(ℎ + ℎe) − ℎ¥

s, ₌ 2r (ℎ + ℎe) ℎℎe

s = ‹2r (ℎ + ℎ_ℎℎ e)

Kemudian persamaan (3.2.7.4) disubtitusikan ke dalam persamaan (3.2.7.3)

sehingga,

se _{~ / ~}~

e ‹

2r (ℎ + ℎe) ℎℎe

se = ‹2r (ℎ + ℎe) ,

ℎℎe(ℎ + ℎe),

se = ‹_ℎ 2r ℎ

e(ℎ + ℎe) (3.2.7.5)

Sesuai dengan gambar peraga, qmaks diperoleh dari q dikurangi se. Sehingga

qmaks= q-se

sd`Ze = ‹2r (ℎ + ℎ_ℎℎ e)

e − ‹

2r ℎ ℎe(ℎ + ℎe)

Atau dapat disederhanakan menjadi

sd`Ze= ‹2r_{ℎ ‹(ℎ + ℎ}ℎe

e) (3.2.7.6)

Dari persamaan (3.2.7.4) dan (3.2.7.5) diperoleh,

ˆ‰(s, se)= Uˆ: = rs +(s − s_{2s ℎ +}X) sX

r

Š2r (ℎ + ℎe) ℎℎe

+ℎ_{2 ‹}2r (ℎ + ℎ_ℎℎ e)

e − ℎ‹

2r ℎ ℎe(ℎ + ℎe) +

se

s se(ℎ + ℎ2 e)

= r ‹_{2r (ℎ + ℎ}ℎℎe e) +

ℎ

2 ‹2r (ℎ + ℎℎℎe e)− ‹

2r ℎ¦ ℎe(ℎ + ℎe)

+_{(ℎ + ℎ}ℎ e)

se(ℎ + ℎe) 2

= ‹_{2r (ℎ + ℎ}ℎℎer, ,

e) +‹2r (ℎ + ℎ e)ℎ, ℎℎe2, − ‹

2r ℎ¦ ℎe(ℎ + ℎe) +

ℎse 2

= ‹_{2r (ℎ + ℎ}ℎℎer, ,

e) +‹2r (ℎ + ℎ e)ℎ, ℎℎe2, − ‹

2r ℎ¦ ℎe(ℎ + ℎe) +

ℎ

2 ‹ℎe(ℎ + ℎ2r ℎe)

= ℎe‹_2ℎ r ℎ

e(ℎ + ℎe) + (ℎ + ℎe)‹ r ℎ

2ℎe(ℎ + ℎe) − 2ℎ‹

r ℎ

2ℎe(ℎ + ℎe) + ℎ‹

r ℎ 2ℎe(ℎ + ℎe)

= ℎe √r ℎ

§2ℎe(ℎ + ℎe)+ (ℎ + ℎe)

√r ℎ

§2ℎe(ℎ + ℎe)− 2ℎ

√r ℎ

§2ℎe(ℎ + ℎe)+ ℎ

√r ℎ §2ℎe(ℎ + ℎe)

=√r ℎ[ℎe + (ℎ + ℎe) + 2ℎ + ℎ¥ §2ℎ_e(ℎ + ℎe)

Uˆ:dha =

Š4r ℎℎ_e, §2ℎe(ℎ + ℎe)

Jadi, BTP minimum untuk EOQ back order adalah,

Uˆ:dha = §2r ℎℎe §(ℎ + ℎe)

Atau,

Uˆ: J±² UM F ±t >t = √r ℎ‹_{(ℎ + ℎ}ℎe

e) (3.2.7.7)

Contoh soal 3.2.8 model deterministik satu barang

Sebuah supermarket Alma ingin memesan sepeda untuk persediaannya

yang akan dijual dalam waktu 1 tahun ke depan. Supermarket tersebut ingin

mengetahui tingkat pemesanan barang, penentuan siklus pesan ulang, panjang

waktu siklus pesanan ulang, tingkat penjualan per hari dan perhitungan biaya total

persediaan yang dikeluarkannya bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam

satu periode sejumlah 600 buah per tahun dengan 240 hari kerja efektif, kemudian

total biaya pesan per barang yang dikeluarkan sebesar Rp.250,- untuk tiap kali

pemesanan dengan jeda waktu pemesanan atau lead time 10 hari dan biaya simpan

Dari permasalahan di atas akan ditentukan:

1. Tingkat pemesanan barang.

2. Penentuan siklus pesan ulang.

3. Panjang waktu siklus pesanan ulang.

4. Tingkat penjualan per hari.

5. Biaya total persediaan yang dikeluarkan

Penyelesaian:

Diketahui:

D :600 buah/tahun, untuk 240 hari kerja efektif

S :Rp.250,00 untuk setiap kali pesan

h :Rp.30,00 per unit per tahun

L :10 hari

Jawab:

1. Penentuan tingkat penambahan persediaan yang ekonomis.

Dari persamaan (3.2.1),

sd`Ze= ‹2r_ℎ

sd`Ze= ‹2 600 250₃₀

s_d`Ze= 100

2. Penentuan siklus pesanan ulang.

Dari persamaan (3.2.1.1),

: =r_s

: = 600₁₀₀

: = 6FMvV

Jadi, dalam satu tahun periode perencanaan akan terjadi 6 kali pesanan.

3. Penentuan panjang waktu dalam satu siklus pesanan ulang.

Karena diketahui kebutuhan 600 unit sepeda direncanakan untuk satu tahun, maka estimasi biaya simpan juga dihitung dengan asumsi hari kerja efektif dalam satu tahun adalah 240 hari.

Dari persamaan (3.2.1.2)

• =•_:

• =240₆

• = 40 hari.

Jadi, panjang waktu setiap siklus pesanan ulang adalah 40 hari.

4. Perhitungan tingkat penjualan per hari untuk menentukan saat pesan

ulang.

∆r

∆• ∆•∆s

Karena s =100 dan

unit per hari. Diketahui selama lead time adala ulang adalah pada saat atau hari ke-30 setelah Berikut ini merupakan k

5. Penghitungan biaya

Dari persamaan

Uˆ:dha

Uˆ:dha

Uˆ:dha

Atau

Uˆ:dha

dan • 40 maka tingkat penjualan per hari adal

Diketahui juga bahwalead time adalah 10 hari. Mak adalah 10 x 2,5 25 unit. Oleh karena itu saa pada saat persediaan tinggal 25 unit atau pada h 0 setelah pesanan datang.

rupakan kurva siklus pemesanan ulang

gan biaya total persediaan, amaan 3.2.3

dha √2r ~

dha √2 600 250 30

dha 3000

dha j_q /q_,~

hari adalah +_» 2,5

Uˆ:_dha

Uˆ:dha

Uˆ:dha

Sehingga biaya Total Rp1.500,00 dan biaya si Berikut ini merupakan i

Contoh soal 3.2.9 mo

Sebuah supermar

akan dijual dalam wak

tingkat penambahan u

biaya total persediaa

periode sejumlah 600

total biaya pesan per

pemesanan, biaya sim

persediaan

Rp.2000,-dha 600_{100 250 /}100_{2 30} dha 1.500 / 1.500 dha 3000

ya Total Persediaan Rp.3.000,00, terdiri dari b an biaya simpan Rp1.500,00.

rupakan ilustrasi kurva Uˆ:dha

model EOQ back order

arket Alma ingin memesan motor untuk pers

aktu 1 tahun kedepan. Supermarket tersebut in

n unit yang tidak tersedia, penentuan siklus p

iaan bila diketahui data sebelumnya kebutuh

00.000 unit per tahun dengan 300 hari kerja ef

er barang yang dikeluarkan sebesar Rp.10.000,

simpan Rp.400,- per barang per tahun dan b

- per unit.

iri dari biaya pesan

ersediaannya yang

t ingin mengetahui

s pesan ulang dan

tuhan dalam satu

efektif, kemudian

,- untuk tiap kali

Dari permasalahan di atas akan ditentukan:

1. Tingkat pemesanan barang.

2. Biaya total persediaan yang dikeluarkan.

3. Frekuensi pesanan dalam satu tahun.

4. Panjang waktu siklus pesanan ulang.

Penyelesaian:

Diketahui:

D :600.000unit/tahun, untuk 300 hari kerja efektif

S :Rp.10.000,00

~e :Rp.2.000,00 per unit

h :Rp.400,00 per unit per tahun

Jawab

1. Penentuan tingkat penambahan persediaan yang habis. Tingkat persediaan q optimal

s ‹2r ~ / ~_~~ e

e

s ‹2 600.000)(10.000)(400 + 2.000)_(400)(2.000)

s = 6.000 D6VE

sd`Ze ‹2r_{~ ‹ ~ / ~}~e e

sd`Ze ‹2 600.000)(10.000)₄₀₀ ‹_{(400 + 2.000)} 2.000

sd`Ze = 5.000

Dengan demikian, se=q- qmaks

se = 6.000 − 5.000 = 1.000 D6VE

D. Penghitungan biaya total persediaan Dari persamaan (3.2.7.2)

Uˆ: = §2r ℎℎe §(ℎ + ℎe)

Uˆ: = §2(600.000)(10.000)(400)(2.000) §(400 + 2.000)

Uˆ: = ”W. 2.000.000,00

2 Frekuensi pesanan dalam satu tahun Dari persamaan(3.2.1.1)

: = r_s

: = 600.000_6.000

: = 100FMvV

3 Penentuan panjang waktu dalam satu siklus pesanan ulang. Diketahui hari kerja efektif dalam satu tahun adalah 300 hari.

Dari persamaan(3.2.1.2),

• =•_:

• =300₁₀₀

• = 3 hari.

Jadi, panjang waktu setiap siklus pesanan ulang adalah 3 hari.

3.3 EOQ Probabilistik

Seperti yang telah dipaparkan di atas, model Economic Order Quantity

(EOQ) probalistik merupakan model inventori yang dalam perhitungannya

permintaan barang, kebutuhan dalam satu periode dan waktu lead time tidak dapat

diketahui sebelumnya secara pasti. Hal tersebut mengakibatkan asumsi pesanan

datang saat persediaan habis dapat dimungkinkan tidak terpenuhi. Oleh karena itu

harus didekati dengan distribusi probabilitas.

Hal yang memungkinkan jika permintaan dan lead time tidak dapat diketahui

sebelumnya adalah sebagai berikut:

1. Pesanan habis tepat pada saat pesanan tiba.

2. Persediaan habis ketika pesanan belum tiba.

3. Persediaan belum habis saat pesanan tiba.

Berikut ini merupakan gambar peraga untuk kemungkinan-kemungkinan

Pada •₊, persedi

pesanan datang tepat

pesan tiba tidak berde

Pada •_,, persedia

datang pada E_». Hal in

Pada •_¦ pemakai

pada E_À, tetapi karen

persediaan selama E_À,

Pada •_», terjadi

diharapkan datang pa

barang masih tersedia

Dari empat kemu

tersebut tentunya aka

untuk mengantisipasi

dengan pendekatan di

Gambar 3.3.1 kemungkinan persediaan

diaan sebesar q diperkirakan akan habis pa

at pada saat itu. Kondisi ini terjadi jika perm

deviasi, atau secara pasti dapat ditentukan sebe

diaan q sudah habis terpakai pada E_¦ tetapi p

l ini berakibat akan terjadi kehabisan persediaan

aian persediaan sesuai dengan yang direncana

rena pesanan datang pada saat E_Á maka te

, EÁ.

adi kelebihan barang. Hal ini disebabkan

pada saat E_Â tiba lebih awal pada saat E_Ã, pad

dia.

ungkinan di atas, hal yang menyimpang dari p

akan mengakibatkan kerugian yang besar. O

asinya harus dibentuk persediaan cadangan

distribusi probabilitas normal.

pada E_, sehingga

rmintaan dan saat

belumnya.

i persediaan baru

aan selama E_¦, E_».

anakan yaitu habis

terjadi kehabisan

an pesanan yang

adahal persediaan

i perkiraan semula

Oleh karena itu,

3.3.1 Persediaan Cad

Permintaan ya

secara pasti, maka pen

karena permintaan pa

dengan i=1,2,3,...,n dan

dengan bantuan teore

Var(Xi) yang mendek

permintaan dan le

pendekatan. Berikut m

Dari kurva terseb

dalam satu siklus (mis

rata (mean) atau 8 ku

menyebar disekitar 8

memperkirakan perse

penyimpangan variab

dengan 9. q

adangan ( Safety Stock )

yang berlebih pada waktu Lead time tidak

penyimpangan tersebut dapat didekati dengan d

pada saat lead time sangatlah banyak atau d

dan Xi adalah variabel random yang saling b

rema limit pusat dapat dicari nilai harapan E(X

dekati distribusi normal. Hal ini berakibat na

lead time dapat diperkirakan sebelumnya

t merupakan peraga pendekatan dengan kurva n

Gambar 3.3.2 pendekatan kurva normal

sebut, jika rata-rata permintaan selama masa te

misalnya dalam interval waktu (t1,t2)) ditrasform

kurva normal, maka perilaku penyimpangan p

sehingga deviasi penyebaran itu akan dapat d

rsediaan cadangan (safety stock) yang berdasa

abel-variabel yang mempengaruhinya. Hal ters

k dapat diketahui

n distribusi normal

dilambangkan Xi

g bebas, sehingga

E(Xi) dan variansi

nantinya perilaku

ya dengan hasil

a normal.

tenggang pesanan

ormasikan ke

rata-n permirata-ntaarata-n akarata-n

at digunakan untuk

asar pada perilaku

Untuk memperk

normal untuk pende

normal, dengan x m

tunggu.

Pada gambar pera

kurva normal di mana

G 8 dan dinyataka

ini, penyimpangan-pe

tenggang pesanan) ter

9 Š∑Ä–Å

Dengan 8 adalah rata

erkirakan persediaan cadangan, akan digun

dekatannya. Berikut ini merupakan peraga

menyatakan permintaan pada waktu tertent

Gambar 3.3.3 kurva normal

eraga kurva normal di atas menjelaskan cakupa

ana penyimpangan atau deviasi x terhadap rata

akan dalam standar deviasi 9. Pada kasus perse

penyimpangan _h ( permintaan pada waktu ke

terhadap 8 dinyatakan dalam 9 melalui:

Š ÄÅ( '–?A)

a ;

ta-rata yang dapat dirumuskan

8 E%EMv xD vM~ €MtM6y _•MFED

∑ah™+₆ h

unakan distribusi

ga dari distribusi

ntu selama masa

pan luas area pada

ata-rata 8 adalah

rsediaan cadangan

ke i selama masa

(3.3.1.1)

Dengan i menunjukan indeks jumlah barang per satuan waktu yang berjalan dari

1-n

Selanjutnya, 9 dari persamaan (3.3.1.1) digunakan untuk menemukan luas

area dalam kurva normal melalui:

I h_{9 3.3.}G 8 1.2

Kemudian dengan bantuan tabel normal, dapat dicari nilai z, dimana z berkaitan

dengan empat digit bilangan di belakang koma yang menjelaskan berapa persen

luas area yang dicakup 9. Setelah mendapatkan nilai z, dapat ditentukan berapa

besar persediaan cadangan yaitu:

:>tX> VMM6 M M6yM6 probabilitas kekurangan persediaan × XEM6 Mt >…VMXV atau dapat ditulis,

G 8 I × 9 3.3.1.3)

3.3.2 Model EOQ Probabilistik Dasar

Berbeda dengan model EOQ deterministik, model EOQ probabilistik

memperhitungkan perilaku permintaan, dan tenggang waktu pesanan datang ( lead

time) yang tidak pasti atau tidak dapat ditentukan sebelumnya secara pasti.

Ketidakpastian permintaan dan tenggang waktu pesanan tersebut

memunculkan dua masalah baru. Pertama, keinginan produsen untuk

mendapatkan persediaan cadangan tentunya akan menambah jenis biaya baru

yang tidak diperhitungkan sebelumnya pada EOQ deterministik. Kedua, jika

persediaan. Kedua jenis biaya tersebut berbanding terbalik, dimana jika

persediaan banyak maka kehabisan persediaan akan kecil dan sebaliknya.

Oleh karena itu, model EOQ pada model probabilistik nantinya akan

ditambahkan dua biaya baru yaitu biaya persediaan cadangan dan biaya kehabisan

persediaan. Misalkan ˆ‰ s adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan,

ˆ‰ s UVM M :>XM6 / UVM M V WM6 / €VM M W> €>vVM6

/€VM M F>~M€VXM6 W>tX> VMM6 XMED W>tV% > / €VM M W>tX> VMM6 M M6yM6

ˆ‰ s r_{s /}s_{2 ~ / :r / U‚:}f/ U:‰ 3.3.2.1)

Dalam hal ini, persamaan (3.3.2.1) tidak dapat diturunkan untuk mendapatkan

sd`' secara langsung seperti pada EOQ deterministik karena U‚: M6 U:‰ merupakan biaya yang diperhitungkan dalam penuru