Uji Hipotesis. MA2081 STATISTIKA DASAR Utriweni Mukhaiyar

Uji Hipotesis

MA 2081 STATISTIKA DASAR

MA 2081 STATISTIKA DASAR

Utriweni Mukhaiyar

28 Maret 2012

28 Maret 2012

Pengertian Pengertian



Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji

kebenarann a kebenarannya



Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji

kebenarannya y

1. Hipotesis nol (H₀) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)( )

2. Hipotesis tandingan (H₁) ; tandingan hipotesis H₀,

Galat (error) Galat (error)

H

₀

benar H

₀

salah

d l k P(menolak H₀ | H₀ benar)

H₀ ditolak P(menolak H₀ | H₀ benar)

= galat tipe I = α keputusan benar

( d k l k |

H₀ tidak

ditolak keputusan benar P(tidak menolak H₀ | H₀ salah)

= galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok

bahasan ini bahasan ini

Sk U Uji Hi t i Skema Umum Uji Hipotesis

H

•Hipotesis yang ingin diuji

•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)

•Dapat berupa

Hipotesis Statistik

H₀ - hasil penelitian sebelumnya^{p p} - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikan

H₁ Hipotesis yang ingin dibuktikan

•Disebut juga hipotesis alternatif

•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)

???

mungkin terjadi

Keputusan Keputusan

H₀ ditolak

H₀ ditolak HH₀₀ tidak ditolaktidak ditolak

Kesalahan

Tipe II Tipe II

g j

H₀ ditolak

H₀ ditolak HH₀₀ tidak ditolaktidak ditolak

Kesimpulan

Kesimpulan KesimpulanKesimpulan

Menolak H₀padahal H₀benar

P(tipe I) = α

= tingkat signifikansi Menolak H₀padahal

H₀benar P(tipe I) = α

= tingkat signifikansi

Tipe II Tipe II

H₁benar

H₁benar Tidak cukup bukti untuk Tidak cukup

bukti untuk

g g

g g

Statistik Uji dan Titik Kritis

 Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan Notasinya berpadanan dengan yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan.

 Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H Di l h d i t b l t ti tik b k t

H₀. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.

 H₀ ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.

daerah daerah

penerimaan H daerah daerah

daerah

1 - 

kritis = /2

titik

penerimaan H₀

titik

0

titik

1 - 

daerah penerimaan H₀

daerah kritis kritis = /2

titik kritis

titik kritis

titik kritis

Uji Rataan Satu Populasi Uji Rataan Satu Populasi

1. H ₀ :  ₌  _{0 vs H 1 :  }  ₀

uji dua arah uji dua arah

0 0 0

2. H ₀ :  ₌  _{0 vs H 1 :  >}  ₀

3 H H <

3. H ₀ :  ₌  _{0 vs H 1 :  <}  ₀

uji satu arah uji satu arah



₀

adalah suatu konstanta yang diketahui

Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi

1.

Kasus σ

²

diketahui



0

Z X 

N(0 1)

0

 /

Z n



 ^{~ N(0,1)}

^{Tabel Z} Tabel Z (normal baku)(normal baku)

X

2. Kasus σ

²

tidak diketahui

0

/

 X 

T s n

 ~ t

_(n-1) ^{Tabel tTabel t}

/

s n

Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi

σ² diketahui σ² tidak diketahui Statistik

Statistik ujiuji :: ZZ TT

Statistik

Statistik ujiuji :: ZZ TT

H₀ :  ₌ _{0 vs H1 :  } ₀ Z < - Z_1-α/2 atau Z > Z_1-α/2 T < - T_α/2 atau T > T_α/2 H₀ :  = ₀ vs H₁ :  > ₀ Z > Z_1-α T > T_α

H₀ :  = ₀ vs H₁ :  < ₀ Z < - Z_1-α T < - T_α

titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1

Uji Rataan Dua Populasi Uji Rataan Dua Populasi

uji dua arah

1. H

₀

: 

₁

_- 

₂

₌ 

₀

_{vs H}

₁

_: 

₁

_- 

₂

 

₀

2 H H >

j

2. H

₀

: 

₁

_- 

₂

₌ 

₀

_{vs H}

₁

_: 

₁

_- 

₂

_> 

₀

3. H

₀

: 

₁

_- 

₂

₌ 

₀

_{vs H}

₁

_: 

₁

_- 

₂

_< 

₀

uji satu arah



₀

adalah suatu konstanta yang diketahui

Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi

1. Kasus σ₁² dan σ₂² diketahui



^{X1 X2}



^μ0



^{1 2}



⁰

H 2 2

1 2

1 2

Z = μ

σ σ n  n

2. Kasus σ₁² dan σ₂² tidak diketahui dan σ₁² ≠ σ₂²



^{1 2}



⁰

H 2 2

X X μ

T =  

H 2 2

1 2

1 2

S S

n  n

3 Kasus σ₁² dan σ₂² tidak diketahui dan σ₁² = σ₂² 3. Kasus σ₁ dan σ₂ tidak diketahui dan σ₁ = σ₂



^{1 2}



⁰

H

X X μ

T = 1 1

S

 

dengan ²_p ^{1 12 2 22}

1 2

(n 1)S (n 1)S

S = n n 2

  

 

p

1 1

S n  n ^{1 2}

Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi

σ₁², σ₂²

diketahui σ₁², σ₂² tidak diketahui

Statistik uji : Z T

σ₁² = σ₂² σ₁² ≠ σ₂²

Derajat Kebebasan n₁ + n₂ - 2

2 2 2

1 2

1 2

2 2

2 2

S S

n n

v = 1 S 1 S

 

  

 

   

j _{1 2}

H₀ : ₁ - ₂ = ₀ vs

H₁ : ₁ - ₂  ₀ Z < - Z_α/2 atau Z

> Z_α/2

T < -T_α/2 atau T >

T_α/2

T < -T_α/2 atau T > T_α/2

2 2

1 2

1 1 2 2

S S

1 1

(n 1) n (n 1) n

   

    

     

H₀ : ₁ - ₂ = ₀ vs

H₁ : ₁ - ₂ > ₀ Z > Z_α T > T_α T > T_α H₀ : ₁ - ₂ = ₀ vs Z < Z T < T T < T H₁ : ₁ - ₂ < ₀ Z < - Z_α T < -T_α T < -T_α

Uji untuk Rataan Berpasangan

1. H

₀

: 

_d

= 

₀

vs H

₁

: 

_d

 

₀

2 H :  =  vs H :  > 

2. H

₀

: 

_d

= 

₀

vs H

₁

: 

_d

> 

₀

3. H

₀

: 

_d

= 

₀

vs H

₁

: 

_d

< 

₀



Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui.

0

; /

T = D μ

S n



d

/

S n

Contoh 1 Contoh 1

Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan p j j ( g lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata

i k h h j d l h d l h 71 8

tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm

dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata rata tingkat curah literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut lebih dari 70 mm.

a

Nyatakan dugaan tersebut dalam

a.

Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik

b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah

pernyataan literatur tersebut?

Solusi Solusi

Diketahui Diketahui Ditanya:

a Hipotesis statistik

X 71.8, s 8.9,

0 70,

  _{  0, 05}

a. Hipotesis statistik

b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab:

Jawab:

Parameter yang akan diuji : μ a Rumusan hipotesis:

a. Rumusan hipotesis:

H

₀

: μ = 70

H : μ > 70

H

₁

: μ > 70



b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t

_0.05,(99)

= 1.645

0 71,8 70

2, 02 8,9

100

  

 x  

t s



Karena t > t

_0.05,(99)

, maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H

₀

ditolak

n 100

penolakan sehingga keputusannya H

₀

ditolak.



Jadi pernyataan literatur tersebut benar bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah “SH”

rata-rata tingkat curah hujan di daerah SH

lebih dari 70 mm.

Contoh 2 Contoh 2

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang di kib k l h k d i d b h dil i i D b l diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas

potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang g g g y g sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan.

Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) seban ak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4 sedangkan sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5.

Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

Solusi Solusi

Misalkan μ

₁

dan μ

₂

masing-masing menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2

populasi bahan 1 dan populasi bahan 2.

Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel.

Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama.

Rumusan hipotesis yang diuji adalah:

H : μ μ = 2

H

₀

: μ

₁

- μ

₂

= 2

H

₁

: μ

₁

- μ

₂

> 2

 Tingkat keberartian, α = 0.05

 Kit k t ti tik ji t k i i k d l i t k

1 1 1

2 2 2

85, 4, 12 81, 5, 10

  

  

x s n

x s n

 Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu

 dengan1 2 0 dengan

1 1

H

p

x x μ

t =

s n n

 



2 2

1 1 2 2

1 2

1 1 (11)(16) (9)(25)

4.478

2 12 10 2

p

(n )s (n )s

s = n n

   

 

   

 Maka diperoleh :

1 2

n n

 _{1 2} ₀ (85 81) 2

1 1 4.478 (1/12) (1/10) 1.04

H

x x μ

t =    

 

1 1 4.478 (1/12) (1/10) sp

n n

 

 Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan + 2 12 +10 2 20 hi i ik k i i d l h

n₁+n₂-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t_0.05,20 = 1.725.

 Karena t < 1 725 maka H tidak ditolak Tidak dapat disimpulkan

 Karena t < 1.725, maka H₀ tidak ditolak. Tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan

bahan 2 lebih dari 2 satuan.

Contoh 3 (data berpasangan) Contoh 3 (data berpasangan)

 Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran

hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira- kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa

tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikutp p

No. Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik

Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik

Selisih (d_i)

1 2.76 7.02 4.26

1 2 3

2.76 5.18 2.68

7.02 3.10 5.44

4.26 -2.08

2.76 4

5 6

3.05 4.10 7 05

3.99 5.21 10 26

0.94 1.11 3 21 6

7 8

7.05 6.60 4.79

10.26 13.91 18.53

3.21 7.31 13.74 9

10 11

7.39 7.30 11 78

7.91 4.85 11 10

0.52 -2.45

0 68 11

12 13

11.78 3.90 26.00

11.10 3.74 94.03

-0.68 -0.16 68.03

14 67.48 94.03 26.55

Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30

Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30

menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat

keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah , p g

setelah ditunggu 30 menit.

Solusi Solusi

Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit

b ( ) l h d k l k

percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran

Misalkan μ₁ dan μ₂ masing-masing menyatakan rata-rata Misalkan μ₁ dan μ₂ masing masing menyatakan rata rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah

H₀ : μ₁ = μ₂ atau μ_D = μ₁ - μ₂ = 0 H₁₁ : μ_{1 1} ≠ μ_{2 2} atau μ_{D D} = μ_{1 1} - μ_{2 2} ≠ 0

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05



Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( d

_i

) adalah,

9.848 dan sd 18.474

d  



Statistik uji yang digunakan adalah,

d d 0



Dalam hal ini,

0 d /

t = d d

s n

9.848 0 18.474 / 15 2.06

t = 





Statistik uji t berdistribusi t-student dengan

d k b b d k

derajat kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H

₀

ditolak jika

t < - t_0.025,14

= -2.145 atau t > t

_0.025,14

= 2.145.



Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H

₀

tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t

_{0 02}

= 2 145 Jadi perbedaan mendekati nilai t

_0.025,14

2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen bisa

diabaikan.

Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu

P l i

Populasi



Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah

2 2 2 2

1 H

₀ ² ₀²

H

₁ ²



₀²

1. H :  =  vs H :   

2 2 2 2

0 0 1 0

2. H :    vs H :   

2 2 2 2

0 0 1 0

3. H :    vs H :   



Dengan 

₀²

menyatakan suatu konstanta mengenai

variansi yang diketahui.

 Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di d l h

atas adalah :

2

2 (n 1)s



 ^

 Jika H benar maka statistik uji tersebut berdistribusi khi-

2 0



^



 Jika H₀ benar, maka statistik uji tersebut berdistribusi khi- kuadrat dengan derajat kebebasan n-1.



Untuk hipotesis ,

l k d k k b k

2 2 2 2

0 0 1 0

H :



=



vs H :





 tolak H

₀

pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

1 ( 1)

atau

( 1)

n n

  



_



_

   



Untuk hipotesis ,

tolak H pada tingkat keberartian α jika

1 ,( 1) ,( 1)

2 n 2 n

  

2 2 2 2

0 0 1 0

H :



=



vs H :





 tolak H

₀

pada tingkat keberartian α jika

2 2

1 ,(n1)

 _

 

nilai dari tabel distribusi chi-square

dengan derajat

k b b 1



Untuk hipotesis ,

tolak H

₀

pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 2

0 0 1 0

H :



=



vs H :







kebebasan n - 1

tolak H

₀

pada tingkat keberartian α jika

2  2

 

Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua

P l i

Populasi



Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji

h d l d l h

hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah,

2 2 2 2

1 H :

₀



₁

 

₂

vs H :

₁



₁

 

₂

1. H :    vs H :   

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

2. H :    vs H :   



Dengan σ

²

dan σ

²

masing masing adalah

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

3. H :    vs H :   



Dengan σ

₁²

dan σ

₂²

masing-masing adalah

variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2



Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah,

2

s

1

F



Jik H b t ti tik ji t b t b di t ib i Fi h

1 2 2

F  s



Jika H

₀

benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan,

v₁

= n

₁

– 1 dan v

₂

= n

₂

– 2

v₁

n

₁

1 dan v

₂

n

₂

2

Untuk hipotesis^{H :0 12 22 vs H :1 12  22} tolak H₀

Untuk hipotesis , tolak H₀

pada tingkat keberartian α jika :

0 1 2 1 1 2

1 2 1 2

1 ,( , ) atau ,( , )

v v v v

F f F f

 _  _

Untuk hipotesis , tolak H₀

pada tingkat keberartian α jika :

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 v v 2 v v

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2

H :    vs H :   

p g j

U t k hi t i t l k H

1 2

1 ,( , )v v

F  f _

2 2 2 2

H :   vs H : 

Untuk hipotesis , tolak H₀

pada tingkat keberartian α jika :

0 1 2 1 1 2

H :   vs H : 

1 2

(v v )

F  ff_{,( , )v v1 2}

1 2 1 2 1 2 1 2

,( , )_{v v} , 1_ ,( , )_{v v} , / 2,( , )_{v v} , dan 1_ / 2,( , )_{v v}

f_ f _ f_ f _ adalah nilai-nilai

dari tabel distribusi Fisher dengan derajatg j kebebasan v₁ dan v₂

Contoh 4 Contoh 4



Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan

b h b b d b h

bahwa umur baterainya berdistribusi hampir

normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila

sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan

sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan

simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju

bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian

5%!

Solusi Solusi

H₀ : σ² = 0.81 H₁₁ : σ² > 0.81 α = 0.05

Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2 k

Statistik uji

2 2

2 0

( 1) (9)(1.44) 0.81 16

 n  s  

 

Titik kritis adalah _{2 2}

,_n1  0.05,9 16.919

  

2 2

Karena , maka H₀ tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9

2 2

0.05,9

  

Contoh 5 Contoh 5



Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, p g j ,

dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0 10

0.10.

Solusi Solusi



Misalkan σ

₁₁²

dan σ

₂₂²

adalah variansi populasi dari masing- p p g masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah

H

₀

: σ

₁²

= σ

₂²

H

₁

: σ

₁²

≠ σ

₂²

α = 0.10

Statistik uji f = s₁²/ s₂² = 16 / 25 = 0.64 H₀ ditolak dengan tingkat keberartian α jika

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

atau

  

v v v v

f f _ f f_

α = 0.10, v₁ = n₁ – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v₂ = n₂ – 1 = 10 – 1 = 9.

Maka

1 2 0.95,(11.9) 1 ,( , )

2

   0.34

f _ v v f ^dan

1 2 0.05,(11.9) ,( , )

2

  3.11

f_ v v f

f f f

Karena , maka jangan tolak H₀.

Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa i i b b d

1 2 1 2

1 ,( , ) ,( , )

2 2

  

v v v v

f _ f f_

variansinya berbeda.

Referensi Referensi

 Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and p Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

Wild C J d S b G A F Ch E t A fi t

 Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John

Wiley&Sons,Inc., 2000.y

 Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung:

Penerbit ITB 1995 Penerbit ITB, 1995.

 Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs

& Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice , g , J y Hall, 2007.