MATRIKS. Tujuan : Memahami operasi matriks

MATRIKS

Tujuan : Memahami operasi matriks

DEFINISI : Matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan.

Bilangan tersebut dinamakan entri.

Jika A adalah suatu matriks, maka entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dapat dinyatakan sebagai aij.

Contoh :

11 12 13

2 3

21 22 23

^ij

a a a

A a

a a a ^×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢⎣ ⎥ ⎣ ⎦⎦=

Selanjutnya ukuran suatu matriks dinyatakan sebagai banyaknya baris dan kolom, sebagai contoh matriks A di atas berukuran 2 × 3.

MATRIKS PERSEGI

Suatu matriks yang memiliki kolom dan baris yang banyaknya sama dinamakan matriks persegi.

Contoh :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

MATRIKS DIAGONAL

Matriks D dikatakan matriks diagonal jika matriks tersebut merupakan matriks persegi dengan entri-entri dij = 0 untuk setiap i ≠ j.

Contoh : 1 0 0 0 5 0 0 0 9 D

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

MATRIKS SATUAN /IDENTITAS

Matriks I dikatakan matriks satuan jika matriks I merupakan matriks diagonal dengan entri-entri Iii = 1 untuk setiap i ( entri diagonalnya = 1).

Contoh : 1 0 0

0 1 0 0 0 1 I

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

OPERASI PADA MATRIKS

1. Penjumlahan

Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika mempunyai ukuran yang sama Penjumlahan dua matriks didefinisikan sebagai berikut :

Jika

ij 2 3

A a

⎡ ⎤ ×

= ⎣ ⎦ dan A bij 2 3

⎡ ⎤ ×

= ⎣ ⎦ , maka A B aij bij 2 3

⎡ ⎤ ×

+ =⎣ + ⎦

Contoh :

1 2 3 4 5 6

A ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ dan 0 2 1 2 0 6

B ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦,

diperoleh 1 0 2 2 3 1 1 4 4 4+2 5+0 6+6 6 5 12 A+ =B ⎡⎢ + + + ⎤ ⎡⎥ ⎢= ⎤⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. Perkalian Matriks

Untuk mendefinisikan perkalian matriks, terlebih dahulu diberikan sebuah contoh sebagai berikut :

1 2 3 4 5 6

A ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ dan

1 2 4 5 0 1 B

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 2

1 2 3 1(1) 2(4) 3(0) 1(2)+2(5)+3(1) 9 15 4 5 6 4 5 4(1)+5(4)+6(0) 4(2)+5(5)+6(1) 24 39

0 1 AB

⎡ ⎤

+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢⎣ ⎥⎦⎢⎢⎣ ⎥⎥⎦=⎢⎣ ⎥ ⎢⎦ ⎣= ⎥⎦

Berdasarkan contoh di atas, dapat dilihat bahwa dalam menghitung perkalian dua matriks, kita mengalikan elemen-elemen pada setiap baris dengan elemen-elemen pada setiap kolom.

Jika _ij

A a m r

⎡ ⎤ ×

= ⎣ ⎦ dan A b^ij r m

⎡ ⎤ ×

= ⎣ ⎦ , maka AB=

[ ]

akh m n_× dengan

ik ir rk

r

a =

∑

a b 3. Perkalian scalar

Jika A adalah suatu matriks dan k adalah scalar, maka kA adalah suatu matriks yang entri-entrinya merupakan hasil kali entri matriks A dengan k.

Contoh :

k =2 dan 1 2 A ⎡0 3⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦⇒ 2 4

2A ⎡0 6⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦.

4. Transpose matriks

Jika A matriks berukuran m × n, maka transpose matriks A, dinotasikan dengan A^t, merupakan matriks berukuran n × m dengan baris ke-i nya merupakan kolom ke-i dari A.

Jadi A^t =⎡ ⎤⎣ ⎦a_ji ,a_ji∈A^. Contoh :

1 2 1 2 4

2 0 2 0 1

4 1

A At

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

=⎢⎣ ⎥⎦⇒ =⎢⎢⎣ ⎥⎥⎦

LATIHAN :

1. 8 1

3 2 4 7 6

a b b c

d c a d

− +

⎡ ⎤ ⎡= ⎤

⎢ + − ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦, tentukan nilai a,b, c dan d.

2. Jika diketahui matriks-matriks sebagai berikut : 3 0

4 -1 1 4 2 -1 2

0 2 3 1 5 1 1

A B C

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢⎢⎣ ⎥⎥⎦ =⎢⎣ ⎥⎦ =⎢⎣ ⎥⎦

Hitung : AB, AC, BC, CA.

SIFAT-SIFAT OPERASI MATRIKS

Berikut beberapa sifat yang berlaku pada operasi matriks:

1. A+ B = B + A ( komutatif terhadap penjumlahan) 2. A + (B + C) = (A+B) + C ( assosiatif terhadap penjumlahan) 3. A(BC) = (AB) C ( assosiatif terhadap perkalian)

4. A(B+C) = AB + AC ( distributif)

Selanjutnya akan dibuktikan untuk sifat (3) sebagai berikut :

Misal

11 12 1

1 2

....

...

r

m m mr

a a a

A

a a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

# ;

11 12 1

1 2

....

...

k

r r rk

b b b

B

b b b

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

# dan

11 12 1

1 2

....

...

n

k k kn

c c c

C

c c c

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

# .

1 1 1 2 1

11 12 1 11 12 1

1 2 1 2 1 2

...

.... ....

... ... ...

k k k k k kn

k n

r r rk k k kn rk k rk k rk kn

b c b c b c

b b b c c c

BC

b b b c c c b c b c b c

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

# # #

1 1 1 2 1

11 12 1

1 2 1 2

...

....

( )

... ...

k k k k k kn

r

m m mr rk k rk k rk kn

b c b c b c

a a a

A BC

a a a b c b c b c

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

# #

11 1 1 12 2 1 1 1 11 1 12 2 1

1 1 1 2 2

+ .... ... +...+

+

k k k k r rk k k kn k kn r rk kn

m k k m k

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c a b

+ + +

=

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

#

1 .... 1... +...+ 1 1 2 2

k mr rk k m k kn m k kn mr rk kn

c + +a b c a b c +a b c a b c

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

⎦

11 1 1 12 2 1 1 1 11 1 12 2 1

1 1 1 2 2

+ .... ... +...+

+

k k k k r rk k k kn k kn r rk kn

m k k m k

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c a b

+ + +

=

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

#

1 .... 1... +...+ 1 1 2 2

k mr rk k m k kn m k kn mr rk kn

c + + a b c a b c + a b c a b c

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

⎦

1 1 1 2 1

1 2

...

...

r rk k r rk k r rk kn

r k r k r k

mr rk k mr rk k mr rk kn

r k r k r k

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

#

1 1 1 2 1

1 2

...

...

r rk k r rk k r rk kn

r k r k r k

mr rk k mr rk k mr rk kn

r k r k r k

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑∑ ∑∑ ∑∑

∑∑ ∑∑ ∑∑

#

Selanjutnya akan dicari bentuk dari (AB) C sebagai berikut :

1 1 1 2 1

11 12 1

11 12 1

1 2 1 2 1 2

....

....

....

... ...

r r r r r rk

k

r r r r

m m mr r r rk mr r mr r

r r

a b a b a b

b b b

a a a

AB

a a a b b b a b a b

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑

# # #

.... _{mr rk}

r

a b

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣

∑

⎦

1 1 1 2 1

11 12 1

1 2

1 2

....

....

( ) .... ...

r r r r r rk

n

r r r

k k kn

mr r mr r mr rk

r r r

a b a b a b

c c c

AB C

c c c

a b a b a b

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

# #

1 1 11 1 2 21 1 1 1 1 1 1 2 2 1

1 11 2 21

....+ ... ... +

r r r r r rk k r r n r r n r rk kn

r r r r r r

mr r mr r

r r

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c a b c

+ + + +

=

+ +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

#

1 1 1 2 2 2

.... + _{mr rk k} ... _{mr r n mr r n} ... _{mr rk k}

r r r r

a b c a b c a b c a b c

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ + + + ⎥

⎢ ⎥

⎣

∑ ∑ ∑ ∑

⎦

1 1 1 2 1

1 2

....

....

r rk k r rk k r rk kn

r k r k r k

mr rk k mr rk k mr rk kn

r k r k r k

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

⎡ ⎤

⎢⎢

=⎢

⎢⎢⎣ ⎦

∑∑ ∑∑ ∑∑

∑∑ ∑∑ ∑∑

#

⎥⎥

⎥⎥

⎥ Jadi terbukti bahwa (AB)C = A(BC).

Selanjutnya dengan menerapkan sifat-sifat pada operasi pada matriks, maka diperoleh suatu ketentuan yang ditulis dalam teorema berikut :

Teorema 2.1: Setiap sistem persamaan linear pasti memenuhi salah satu kondisi berikut:

tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi.

Bukti :

Misal sistem persamaan linear AX=B memiliki solusi dan solusi tersebut adalah X1

dan X2. Diperoleh AX1 = B dan AX2 = B, sehingga AX1 = AX2. Akibatnya A(X1-X2)

= 0.

Jika X0 = X1 –X2 , maka

A(X1 + kX0) = AX1 + A(kX0)

= AX1 + k A(X0)

= B + 0

= B

Berdasarkan hasil di atas, terlihat bahwa X1 + kX0 juga merupakan solusi. Karena terdapat tak hingga banyak untuk scalar k, maka sistem persamaan linear tersebut memiliki takhingga banyak solusi.

MATRIKS YANG MEMILIKI INVERS ( INVERTIBEL )