Besaran Dasar Gauss

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. Materi: Besaran Dasar Gauss A. Tujuan Pembelajaran : Mahasiswa dapat memahami dan menjelaskan arti dan kegunaan besaran dasar Gauss serta menuliskan dan melakukan hitungan besaran-besaran dasar Gauss di bidang datum dan proyeksi. B. Kompetensi yang diharapkan : Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan dapat: 1. Mengingat kembali sebagian materi Geometri Diferensial dalam mata kuliah Matematika Geodesi terkait dengan luasan/permukaan sebagai fungsi vektor dari dua perubah dan cara memperoleh persamaan dan besaran fundamental orde 1 (besaran dasar Gauss). 2. Menjelaskan dan menguraikan rumus jarak, sudut dan luas di atas suatu permukaan sebagai fungsi dari besaran-besaran dasar Gauss. 3. Menuliskan persamaan 3D dari bola, elipsoid, kerucut, dan silinder sebagai fungsi dari lintang dan bujur (, ). 4. Menjelaskan dan menjabarkan cara memperoleh besaran-besaran dasar Gauss pada bidang datum (bola dan elipsoid). 5. Menuliskan besaran-besaran dasar Gauss pada bidang proyeksi (kerucut, silinder dan bidang datar). 6. Melakukan hitungan besaran-besaran Dasar Gauss di bidang datum. C. Teori : 1. Fungsi skalar dan turunannya Suatu fungsi skalar  y = f(x), memiliki arti ......................................................... y = variabel terikat, artinya ................................................................................... x = variabel bebas, artinya ................................................................................... Contoh: y = ax + b  menunjukkan persamaan ............................................................. y = ax2 + bx + c  menunjukkan persamaan .................................................... y = sin x  menunjukkan persamaan ................................................................ L = f(p,l) = p . l (p = panjang, l = lebar)  menunjukkan rumus ........................ V = f(p,l,t) = p . l . t (p = panjang, l = lebar)  menunjukkan rumus ................. Tuliskan linierisasi dari fungsi-fungsi di atas ! (i). y = ax + b  dy/dx = a  dy = a dx Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 1.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. (ii). y = ax2 + bx + c  dy/dx = 2ax + b  dy = …………………………………….. (iii). y = sin x  dy/dx = ……………………..  dy = ………………………………. Jika terdapat fungsi y = f(x1, x2)  dy = .................................................................. (iv). L = p . l  dL = ................................................................................................ (v). V = p . l . t  dV = ............................................................................................ 2. Fungsi vektor dan turunannya Jika suatu vektor v berubah sebagai fungsi dari suatu perubah skalar t, ditulis: v = v (t) Dalam R3, jika v = (v1, v2, v3), maka v = v(t) memiliki arti bahwa masing-masing komponen v merupakan fungsi dari skalar t, ditulis: v = (v1(t), v2(t), v3(t)) = v1(t) i + v2(t) j + v3(t) k dengan i, j, dan k berturut-turut adalah vektor satuan pada arah sumbu X, Y, dan Z. Contoh: v = (cos t, sin t, sin 2t) = cos t i + sin t j + sin 2t k Derivatif atau turunan v ke t, ditulis dv/dt didefinisikan sebagai:. v dv v(t  Δt)  v(t)  lim  lim dt Δt  0  t Δt  0 Δt dapat ditulis pula. dv d  v'(t)  v(t)  hasilnya juga berupa vektor ! dt dt. Hasil pendeferensialan berupa vektor, dan dapat dideferensialkan lagi ke t untuk memperoleh turunan kedua (d2v/dt2), turunan ketiga (d3v/dt3), dst. Untuk contoh di atas v = (cos t, sin t, sin 2t), maka: dv/dt = (............................., .................................., ................................) Dalam kondisi khusus, dimana v merupakan vektor letak suatu titik  ditulis r R2 : r = (x, y) R3 : r = (x, y, z) dan r berubah sebagai fungsi dari skalar u  r = r(u) R2 : r = (x(u), y(u)). dan. R3 : r = (x(u), y(u), z(u)). atau dalam bentuk persamaan skalar dapat ditulis: Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 2.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. R2: x = x(u) y = y(u). dan. R3 : x = x(u) y = y(u) z = z(u). Contoh : r = r() = (4 cos , 4 sin ), dengan r merupakan vektor letak suatu titik, dalam bentuk persamaan skalar dapat ditulis: x = 4 cos  y = 4 sin  x2 + y2 = (4 cos )2 + (4 sin )2 = 16 (cos2  + sin2 ) = 16  kurva berupa lingkaran dengan pusat O dan jari-jari = 4 Jika v = (v1, v2, v3), sedangkan v1, v2, dan v3 merupakan fungsi dari dua perubah skalar s dan t  maka v adalah fungsi vektor dari skalar s dan t. v = v(s,t) = (v1(s,t), v2(s,t), v3(s,t)) Derivatif parsial v ke s dan t adalah:.  v   v1  v 2  v 3   , ,  s  s s s . ;.  v   v1  v 2  v 3   , ,  t  t t t . Dalam kondisi khusus, dimana v merupakan vektor letak suatu titik r yang merupakan fungsi dari 2 perubah skalar  r = r(s,t), maka tempat kedudukan titiknya berupa suatu luasan dalam ruang. Contoh: r = r(, ) = (4 cos  cos , 4 cos  sin , 4 sin ) dalam bentuk persamaan skalar dapat ditulis: x = 4 cos  cos  y = 4 cos  sin  z = 4 sin  x2 + y2 + z2 = 16  Buktikan !!  berupa permukaan bola 3. Geometri diferensial Dari fungsi vektor di atas, terdapat dua hal yang nantinya terkait dengan permasalahan dalam proyeksi peta, yaitu: a. Kurva dalam ruang Suatu kurva dalam ruang (R3) adalah merupakan tempat kedudukan titik-titik (dinyatakan sebagai vektor letak r = (x, y, z)) yang dapat dinyatakan sebagai fungsi vektor dari satu perubah/parameter skalar u. r = r(u), dengan r = (x, y, z) dapat juga ditulis  r = r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = x(u) i + y(u) j + z(u) k atau dalam bentuk persamaan skalar: Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 3.

TKD 3503. Proyeksi Peta.  Rochmad M. x = x(u) y = y(u) z = z(u) Suatu kurva dalam ruang dapat juga merupakan hasil perpotongan dari 2 buah luasan: F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 Derivatif atau turunan pertama r ke u  dr/du  vektor singgung pada kurva b. Luasan (permukaan) Suatu luasan (permukaan) dalam ruang (R3) adalah merupakan tempat kedudukan titik-titik (dinyatakan sebagai vektor letak r = (x, y, z)) yang dapat dinyatakan sebagai fungsi vektor dari dua perubah/parameter skalar u dan v. r = r(u,v), dengan r = (x, y, z) dapat juga ditulis  r = r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) atau dalam bentuk persamaan skalar: x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v) Jika u = konstan (k)  r = r(v)  kurva pada luasan L disebut garis parameter Jika v = konstan (k)  r = r(u)  kurva pada luasan L disebut garis parameter u=k pasangan (jaringan) garis parameter v=k Pada setiap titik (x, y, z) pada luasan L akan terdapat sepasang garis parameter.. Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 4.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. r2 T. Dari sepasang garis parameter di atas suatu luasan r = r(u, v). u=k. Derivatif parsial r ke u, dengan menganggap v konstan:. r1. r1 = .......... = (............, ............, .............). v=k. = vektor singgung pada garis v = k. Derivatif parsial r ke v, dengan menganggap u konstan: r2 = .......... = (............, ............, .............) = vektor singgung pada garis u = k Jika r1 . r2 = 0  kedua vektor singgung saling tegak lurus, yang berarti juga: sepasang garis parameter saling tegak lurus (sistem ortogonal) v. v + dv Q u + du dr. P. u. ds merupakan panjang busur antara titik P dan Q pada suatu permukaan, dimana masing-masing titik dilalui oleh sepasang garis parameter (u, v) dan (u+du, v+dv). Dengan asumsi kedua titik saling berdekatan, maka panjang busur yang menghubungkan P dan Q = ds = | dr | r = r(u, v). dr = ........... du + ........... dv = r1 du + r2 dv Maka: ds2 = | dr |2 = dr . dr = r1 . r1 du2 + 2 r1 . r2 dudv + r2 . r2 dv2 ds2 = E du2 + 2F dudv + G dv2  persamaan fundamental orde 1 dengan: E = r1 . r1 F = r1 . r 2. dinamakan Besaran-besaran Dasar Gauss. G = r2 . r2. E  r1 . r1 . r r   x  y  z    x  y  z  .  , , , , .   ................................................ u u u u u u u u. F = ............................................................................................................................. Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 5.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. G = ............................................................................................................................ 4. Besaran Dasar Gauss di bidang Datum Dalam proyeksi peta dikenal adanya dua bidang yang saling berkaitan, yaitu bidang datum sebagai model bumi yang diwakili oleh bidang bola dan elipsoid, dan bidang proyeksi sebagai ”developable surface” yang diwakili oleh bidang datar, kerucut, dan silinder. Dalam ruang (R3) kedua bidang datum dan proyeksi tersebut dapat dianggap sebagai suatu luasan (permukaan), sehingga dalam bentuk fungsi vektor juga dapat dituliskan sebagai fungsi dari 2 perubah/parameter skalar (r = r(u, v)). Namun demikian, baik bidang Datum maupun bidang Proyeksi merupakan kondisi khusus dimana 2 perubah atau parameternya berupa posisi titik yang dinyatakan terhadap bidang referensi tertentu pula (dalam hal ini bola dan elipsoid), sehingga 2 perubah tersebut dinyatakan sebagai  (lintang) dan  (bujur). r = r(, )  luasan/permukaan di atas bidang datum ataupun proyeksi dengan r = (x, y, z)  merupakan vektor letak suatu titik Dalam bentuk persamaan skalar dapat ditulis: x = x(, ) y = y(, ). Bentuk umum: F (x, y, z) = 0. z = z(, ).   = 2 T  = 1 .  = 1. Jika  = 1 = konstan  r = r().  kurva (garis parameter) yang merupakan tempat kedudukan titik-titik dengan nilai  (lintang) konstan dinamakan ...........................  = 2. Jika  = 1 = konstan  r = r().  kurva (garis parameter) yang merupakan tempat kedudukan titik-titik dengan nilai  (bujur) konstan dinamakan ..................................... a. Jarak antara 2 buah titik di atas permukaan bidang datum Besarnya jarak antara 2 buah titik di atas permukaan datum ditentukan dengan asumsi bahwa kedua titik tersebut masing-masing dilewati oleh sepasang garis parameter dengan perbedaan yang sangat kecil (d dan d). Hal ini berarti bahwa jarak antara kedua titik relatif sangat dekat, sehingga dapat dianggap besarnya. Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 6.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. jarak lengkungan antara kedua titik adalah sama dengan panjang tali busur antara kedua titik tersebut (= ds).. ds1. =k.  + d P’.  Vektor letak titik P adalah: r = (x, y, z)  + d. ds.  Vektor letak titik P’ adalah: r = (x+dx, y+dy, z+dz) 2. P. 2. 2. Maka: ds = dx + dy + dz ds2. 2. =k. dx = ........... d + ........... d dy = ........... d + ........... d dz = ........... d + ........... d Lihat dan perhatikan penjabaran selanjutnya pada saat kuliah !! dx2 = .......................................................................................................................... dy2 = .......................................................................................................................... dx2 = .......................................................................................................................... ds2 = .......................................................................................................................... ds2 = E d2 + 2F d d + G d2 E = ............................................................................................................................. F = ............................................................................................................................. G = ............................................................................................................................ E, F, dan G dinamakan Besaran-besaran Dasar Gauss untuk permukaan yang menyatakan sifat-sifat geometris dari permukaan yang akan dipetakan, dan kegunaannya terutama nantinya dalam hal pendefinisian faktor skala dan konformalitas. Besaran jarak ds dapat diuraikan menjadi 2 buah komponen jarak, yaitu ds1 dan ds2 (lihat gambar !). . ds1 merupakan garis parameter dengan  = konstan  d = 0 maka: ds12 = E d2  ds1 = .......................................... Komponen ds1 ini dinamakan ............................................................................... Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 7.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. . ds2 merupakan garis parameter dengan  = konstan  d = .......... maka: ds22 = .........................  ds2 = .......................................... Komponen ds2 ini dinamakan ............................................................................... Catatan: d dan d dapat diartikan berturut-turut sebagai beda lintang dan beda bujur yang nilainya kecil untuk menghindari terjadinya distorsi. Dalam proyeksi Polieder dikenal adanya Lembar Bagian Derajad (LBD) yang berukuran 20’ x 20’. Perhatikan satuan d dan d bukan metrik (satuan panjang), melainkan satuan sudut (derajad, menit atau detik). b. Sudut di atas permukaan bidang datum. =k.  + d. ds1 = ......... P’. P. 1 .  + d.  = 1 + 2. ds. ds2 = E d2 + 2F d d + G d2 ..........1). 2. ds2 = ......... Perhatikan gambar di samping !! Sudut yang terbentuk antara 2 garis parameter ( = k) dan ( = k) = , dimana. =k. Karena ds, d dan d kecil, maka luasan/permukaan dapat dianggap sebagai bidang datar. Dengan menggunakan rumus cosinus bidang datar, buktikan bahwa: ds2 = E d2 + G d2 + 2. E G d d cos  ............2). 1  2) dapat diperoleh: cos  = ................... dan sin  = ..................................... Tunjukkan cara memperoleh nilai sin . Perhatikan penjabaran yang dilakukan pada saat perkuliahan, lalu isilah rumusrumus di bawah ini sebagai fungsi dari besaran-besaran dasar Gauss. cos 1 = ………………………………... cos 2 = …………………………………. sin 1 = …………………………………. sin 2 = ………………………………..... 1 merupakan komponen sudut yang paling penting, karena merupakan ………….. pada permukaan datum. Jika sepasang garis parameter tersebut saling tegak lurus (sistem ortogonal), maka besarnya sudut  = 90o Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 8.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. cos  = cos 90o = ............. = .................  F = 0 Ingat di geometri diferensial: jika F = r1 . r2 = 0  r1 tegak lurus r2 Jika F = 0  ds2 = E d2 + G d2 Isilah rumus-rumus di bawah ini untuk kondisi F = 0 : cos 1 = ……………………………….... cos 2 = …………………………………. sin 1 = …………………………………. sin 2 = ………………………………..... tg 1. tg 2 = ………………………………..... = …………………………………. c. Luas di atas permukaan bidang datum Yang dimaksud dengan luas di atas permukaan bidang datum adalah luas daerah yang dibatasi oleh sepasang garis parameter (2 buah busur paralel dan 2 buah busur meridian) dengan beda lintang (d) dan beda bujur (d) yang relatif kecil sehingga permukaan datum dapat dianggap sebagai bidang datar. Dengan menggunakan rumus luas segitiga bidang datar (unsur 2 sisi dan 1 sudut yang diapit kedua sisi), maka: Luas = L = ds1 ds2 sin . dengan sin  = ................................................ Nyatakan L sebagai fungsi dari besaran-besaran dasar Gauss: L = ............................................................................ Jika F = 0  L = .......................................................... d. Besaran dasar Gauss pada Bola Persamaan permukaan bola sebagai fungsi vektor dari 2 perubah ,  adalah: r = r(, ) = (R cos  cos , R cos  sin , R sin ). ;. R = jari-jari bola. Dalam bentuk persamaan skalar dapat ditulis: X = x(, ) = R cos  cos  Y = y(, ) = ……………………………. Hapalkan !!!. Z = z(, ) = …………………………… Perhatikan penjabaran untuk memperoleh nilai besaran-besaran dasar Gauss pada bola pada saat perkuliahan !! Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 9.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. Besaran-besaran dasar Gauss pada Bola adalah: E = …………………………….. F = ……………………………... Hapalkan !!!. G = …………………………….. ds2 = …………………………………………… e. Besaran dasar Gauss pada Elipsoid Persamaan permukaan elipsoid sebagai fungsi vektor dari 2 perubah ,  adalah: r = r(, ) = (N cos  cos , N cos  sin , N(1-e2) sin ) Dalam bentuk persamaan skalar dapat ditulis: X = x(, ) = …………………………... Y = y(, ) = ……………………………. Hapalkan !!!. Z = z(, ) = …………………………… N = jari-jari kelengkungan ....................... = ........................................................... M = jari-jari kelengkungan ....................... = .......................................................... Jabarkan sendiri cara memperoleh nilai besaran-besaran dasar Gauss pada elipsoid !! Besaran-besaran dasar Gauss pada Elipsoid adalah: E = …………………………….. F = ……………………………... Hapalkan !!!. G = …………………………….. ds2 = …………………………………………… Carilah sendiri persamaan dasar (dalam bentuk fungsi vektor ataupun skalar) dan besaran-besaran dasar Gauss untuk bidang proyeksi kerucut dan silinder.. Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 10.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. D. Tugas Diberikan data koordinat geodetis beberapa titik di bawah ini: Titik. Koordinat Geodetis Lintang () o. A. Bujur (). 0 0’ 0”. 110º 2a’ 3b”.cd. A’. 0 1e’ 4d” LU. A + 20’. B. 7º 40’ 5b” LU. 110º 2a’ 3b”.cd. B’. B + 20’. B + 20’. C. 0o 20’ 0” LS. 110º 2a’ 3b”.cd. C’. 0o 0’ 0”. C + 20’. o. a. Buatlah sketsa dari posisi titik-titik tersebut dalam satu gambar. b. Untuk setiap pasangan titik (AA’, BB’, dan CC’), hitunglah besarnya ds1, ds2, ds, 1, 2, dan  baik pada model bumi Bola dan Elipsoid. Petunjuk: a. Gunakan jari-jari bola = 6378 km b. Sebagai parameter elipsoid  a = 6378edc, ba m dan 1/f = 298, abc c. Gunakan o = 180 /  atau ’ = 180 x 60 /  d. Nilai (a,b,c,d,e) di atas adalah nomer mahasiswa anda (contoh no. mhs = 12739, berarti a = 1, b = 2, c = 7, d = 3, dan e = 9) E. Contoh Soal Ujian Untuk sebuah titik yang terletak di equator, panjang ds1 dengan beda lintang 30” dan panjang ds2 dengan beda bujur 20” di atas elipsoid WGS ’84 (a = 6378137,00 m ; 1/f = 298,257) berturut-turut adalah : (ρ” = 180 x 3600 / ) ds1 = ................................... meter. ds2 = .................................... meter. Azimuth arah di titik tersebut (dalam DMS) = ……………………………………. Luas permukaan tersebut (dalam meter2) = ………………………….................. Hal yang sama pada bola, untuk sebuah titik yang terletak di equator, panjang ds1 dengan beda lintang 30” dan panjang ds2 dengan beda bujur 20” berturut-turut adalah : (R = 6370 km) : ds1 = .................................... meter. ds2 = .................................... meter. Azimuth arah di titik tersebut (dalam DMS) = ……………………………………. Luas permukaan tersebut (dalam meter2) = ………………………….................. F. Daftar Pustaka Koesdiono, dan Sinaga, I., 1979, “Dasar-dasar Matematika untuk Geodesi”, Edisi ke 1, Departemen Geodesi, Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan, ITB. Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 11.

 Rochmad M. TKD 3503. Proyeksi Peta. Muryamto, R., dan Narni, S., 1999, “Diktat Pelengkap Kuliah Matematika Geodesi”, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, Universitas Gadjah Mada. Prihandito, A., 2010, “Proyeksi Peta”, ISBN 978-979-21-2852-9, Cetakan kedua, Penerbit Kanisius, Yogyakarta. Richardus, P., and Adler, R.K., 1972, “Map Projections For Geodesists, Cartographers and Geographers”, North-Holland ISBN: 0 7204 5007 1, NorthHolland Publishing Company – Amsterdam. Spiegel, M.R., 1959, “Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis”, Schaum Publishing Co., 611 Broadway, New York.. Dosen Pengampu Ir. Rochmad Muryamto, M.Eng.Sc. Program Studi Teknik Geodesi Departemen Teknik Geodesi FT-UGM. 12.