01 Slope Deflection.pdf

(1)

BAB I

SLOPE DEFLECTION

1.1. Derajat Ketidaktentuan Statis dan Derajat Ketidaktentuan

Kinematis

Derajat ketidaktentuan statis adalah banyaknya kelebihan reaksi yang diperlukan sebagai syarat perlu dan syarat cukup agar suatu sistem struktur stabil dan setimbang. Faktor kelebihan ini disebut sebagai redundant. Struktur yang memiliki kelebihan reaksi perletakan disebut memiliki redundant statis dan kondisi struktur ini dikategorikan sebagai struktur statis tak tertentu luar.

Derajat ketidaktentuan statis =

                              0 ΣMz , 0 ΣMy , 0 ΣMx , 0 ΣFz , 0 ΣFy , 0 ΣFx : D 3 / u u/2D:ΣM 0,ΣV 0,ΣH 0 perletakan reaksi statika persamaan dikurangi diketahui tidak yang gaya         



Contoh : lihat gambar 1.1

Derajat ketidaktentuan kinematis adalah jumlah perpindahan bebas pada join (perpindahan berupa defleksi, putaran sudut). Derajat ketidaktentuan kinematis disebut juga DOF (Degree of Freedom = derajat kebebasan). Contoh : lihat gambar 1.2.

1.2. Prinsip dalam Metode Slope Deflection

Metode Slope Deflection dikemukakan oleh G.A. Maney pada tahun 1915. Metode ini memenuhi 2 (dua) syarat sbb. :

 Kesetimbangan (equilibrium).

Kesetimbangan momen =  Momen pada join pertemuan elemen adalah nol.  Kompatibilitas secara geometri.

Kompatibilitas ini dapat digambarkan sebagai berikut : nilai komponen-deformasi pada setiap bagian struktur adalah sama. Pada gambar 1.3.a diperlihatkan model

V V V

H H

M

 Derajat ketidaktentuan statis = 6 – 3 = 3.

 Maka struktur dikategorikan statis tak tertentu derajat 3 dan memiliki

redundant = 3.

Gambar 1.1 : Ketidaktentuan statis

A B C V C Δ H C Δ C  B 

Gambar 1.2 : Ketidaktentuan kinematis

 = defleksi

(2)

1.3. Penurunan Persamaan Slope Deflection

Gambar 1.5 : Konfigurasi deformasi FEM (Fixed End Moment) adalah momen

yang terbentuk pada ujung balok yang dibebani bila ujung balok tersebut dianggap sebagai jepit (lihat gambar 1.4)

Perjanjian tanda untuk FEM adalah :

 Momen titik jika berarah  Momen batang jika berarah  Putaran sudut jika berarah struktur yang mengalami deformasi, pada gambar 1.3.b diperlihatkan kompatibilitas struktur dimana irisan struktur tetap setimbang & memiliki kontinuitas perpindahan Perpindahan pada join c di bagian kiri struktur memilki nilai yang sama dan searah dengan perpindahan pada join c di bagian kanan struktur.

Gambar 1.3.a : Contoh deformasi struktur

dengan prinsip kompatibilitas [9] pp : 59

Gambar 1.3.b : Contoh kompatibilitas struktur [9] pp: 60

Struktur asli Deformasi struktur Translasi tipikal (dua komponen) Rotasi tipikal

(3)

Lihat gambar 1.5. L ΑΒ ΑΒ Α      … (1.1.a) L BA BA B      … (1.1.b) sedangkan : AB  = _       EI L M_AB 2 3 - _      EI L M_BA 2 6 +



AB



L … (1.2.a) BA  = -         EI L M_AB 2 6 + _      EI L M_BA 2 3 -



BA



L ... (1.2.b) Jika join A dan join B perletakan jepit, balok dibebani dan momen internal adalah FEM, dengan mengaplikasikan prinsip kompatibilitas dan kesetimbangan, akan diperoleh _A =

B  = _ΑΒ = nol, sehingga : AB M =



_A _B _AB



L EI      3 2 2 + FEM_AB … (1.3.a) BA M =



_B _A _BA



L EI ₂_ _ _ _ ₃_ 2 ₊ BA FEM … (1.3.b) dituliskan dalam bentuk umum sebagai Persamaan Slope Deflection, sbb. :

nf

M = FEM_nf 2EK_nf



2_n _f 3_nf



… (1.4) Hal mana (lihat gambar 1.6) :

nf

M = momen ujung

indeks n  near = ujung dekat indeks f  far = ujung jauh E = modulus elastisitas K_nf = L I , Hal mana :

I = momen inersia penampang L = panjang elemen nf  = R = goyangan horisontal = hH  , halmana H  = defleksi horizontal

h = tinggi elemen kolom

yang bergoyang atau nf  = R = goyangan vertikal = LV  , halmana V  = defleksi vertikal

L = panjang elemen balok yang bergoyang

Untuk lantai ke-1, R₁ = 1 1 h



, untuk lantai ke-2, R₂ = 2 1 2 h    _{analog dengan ij} Gambar 1.6 :

(4)

1.4. Portal tidak Bergoyang dan Portal Bergoyang

Suatu portal akan bergoyang jika memenuhi kriteria ke-1 berikut dan salah satu dari 3 (tiga) kriteria berikutnya (lihat contoh pada gambar 1.7) :

Gambar 1.7 : Contoh aplikasi faktor penyebab portal bergoyang

Gambar 1.4

1. Tidak ada penahan arah lateral. 2. Kekakuan struktur tidak simetris. 3. Geometri struktur tidak simetris. 4. Pembebanan struktur tidak simetris.

 Portal tidak memiliki penahan arah lateral

 Kekakuan struktur tidak simetris

 Portal tidak memiliki penahan arah lateral  Geometri struktur tidak

simetris

 Portal tidak memiliki penahan arah lateral  Pembebanan tidak

(5)

1.5. Perjanjian Tanda Menentukan Gaya Geser Kolom dan Syarat

Geseran

(6)

1.6. Resume Contoh DOF dan Syarat Batas Deformasi

(7)

(8)

(9)

1.7. Contoh Soal dan Solusi

CONTOH SOAL KE-1 :

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

CONTOH SOAL KE-2 :

Soal diambil dari Soal no. 1 UTS Analisis Struktur II

Semester Pendek 2004/2005

(18)

(19)

(20)

CONTOH SOAL KE-3 :

UTS Mata Ujian : KTS-325 Analisis Struktur II Tanggal : 22 November 2005

Jurusan : Teknik Sipil Waktu : 3 jam (11:00 ~ 14:00)

Kelas : A dan B Sifat : tutup buku

Dosen : Nur Laeli Hajati, ST, MT dan Nana Mulyana, Ir., M.Sc.

1. SLOPE DEFLECTION

Jawab :

Diketahui suatu struktur balok statis tak tertentu seperti dimodelkan pada gambar 1.

Pertanyaan :

1.a . Dengan metode Slope Deflection, hitunglah momen ujung struktur. 1.b . Hitung dan gambar diagram gaya

dalam. 50%

Gambar 1 : Balok statis tak tertentu

1 m 2 m 1 m

4 t 6 t

A E F B C D

q = 2 t/m

3EI 2EI 3EI

(21)

(22)

(23)

CONTOH SOAL KE-4 :

Jawab :



DOF dan Syarat Batas

DOF Syarat Batas Persamaan

B

  M_B= nol  M_BA+M_BC = nol … (1.a) C

  M_C= nol  M_CB = nol … (1.b)

H

  H= nol  H_AB + 2 ton = nol _{… (1.c)}



FEM

AB FEM = - ₂2 L Pab = - ₂ 2 ) 3 ( ) 5 , 1 )( 5 , 1 )( 2 ( = - 0,75 tm BA FEM = + ₂2 L b Pa = + ₂2 ) 3 ( ) 5 , 1 ( ) 5 , 1 )( 2 ( = + 0,75 tm BC FEM = -



₂2 L Pab = - ₂ 2 ) 4 ( ) 3 )( 1 )( 3 ( - ₂ 2 ) 4 ( ) 1 )( 3 )( 4 ( = - 2,438 tm BC FEM = +

_

2 2 L b Pa = + 2 2 ) 4 ( ) 3 ( ) 1 )( 3 ( + 2 2 ) 4 ( ) 1 ( ) 3 )( 4 ( = + 2,813 tm





i j

(24)



Persamaan Slope Deflection

Persamaan umum:

nf

M = FEM_nf 2EK_nf



2_n _f 3_nf



… (1.4) dengan



_nf = R untuk bangunan satu lantai dengan goyangan arah horisontal adalah kolom tinggiH  . A

 = nol (perletakaan A adalah jepit).

Dengan demikian persamaan slope deflection adalah : AB M = FEM_AB + L EI 2

_

_

R B A 3 2   = -0,75 + 3 ) 3 ( 2 EI                3 3 ) 0 )( 2 ( _B H = -0,75 + EI(2_B-2_H) … (2.a) BA M = FEM_BA + L EI 2

_

_

R A B 3 2   = +0,75 + 3 ) 3 ( 2 EI                3 3 0 ) )( 2 ( _B H = +0,75 + EI(4_B-2_H) … (2.b) BC M = FEM_BC + L EI 2

_

_

C B    2 = -2,438 + 4 ) 2 ( 2 EI

_

_

C B   ) )( 2 ( = -2,438 + EI(2_B+1_C) … (2.c) CB M = FEM_CB + L EI 2

_

_

B C    2 = +2,813 + 4 ) 2 ( 2 EI

_

_

B C   ) )( 2 ( = +2,813 + EI(1_B+2_C) … (2.d)



Substitusi Persamaan Slope Deflection ke Persamaan Syarat

Batas

Substitusikan …(2) ke …(1):  … (1.a): M_BA+M_BC = nol

 (+0,75) + EI(4_B-2_H) + (-2,438) + EI(2_B+1_C) = nol  EI(6_B+1_C-2_H) = +1,688 … (3.a)  … (1.b): M_CB = nol  +2,813 + EI(1_B+2_C) = nol  EI(1_B+2_C) = -2,813 … (3.b)  … (1.c): H_A+ 2 ton = nol  _       3 BA AB M M + 2 ton = nol  _               3 ) 2 4 ( ) 75 , 0 ( ) 2 2 ( ) 75 , 0 ( EI _B _H EI _B _H + 2 ton = nol  EI(6 -4 ) = -3 … (3.c)

(25)



Nilai DOF

Solusi …(3) adalah:             4 0 6 0 2 1 2 1 6 EI           C_H B   =              3 813 , 2 688 , 1 , diperoleh: B  = EI 838 , 1  _{… (4.a)} C  = EI 325 , 2  … (4.b) H  = EI 5067 , 3  _{… (4.c)}



Nilai Momen Ujung

Substitusikan nilai DOF ke Persamaan Slope Deflection = substitusikan …(4) ke …(2) AB M = -0,75 + EI(2_B-2_H) = -0,75 + EI _                     EI EI 507 , 3 2 838 , 1 2 = -4,088 tm

Dengan cara yang sama untuk memperoleh M_AB, diperoleh nilai momen ujung yang lain, yaitu: BA M = +1,088 tm BC M = -1,088 tm CB M = nol. 1.53 1 1 ,5 m H_AB 2 ton V_CB V_BC MCB M_BC 2 m H_BA M_BA MAB

A

B

C

1 ,5 m

E

F

1 m 1 m = -4,088 tm = +1,088 tm = -1,088 tm = nol tm 3 ton 4 ton

D



Nilai Reaksi Perletakan

V_BC(4) – (3)(3) – (4)(1) + M_BC + M_CB = nol

(26)

E M = M_BC + V_BC(1) = (-1,088) + (+3,522)(1) = +2,434 tm F M = M_BC+ V_BC (3) - (3)(2) = (-1,088) + (+3,522)(3) - 6 = +3,478 tm  V_BC = +3,522 ton  -V_CB(4) – (3)(3) – (4)(1) + M_BC + M_CB = nol  -V_CB (4) – 9 – 4 + (-1,088) + (0) = nol  V_CB = +3,478 ton  H_AB(3) – (2)(1,5) + M_AB + M_BA = nol  H_AB(3) – 3 + (-4,088) + (+1,088) = nol  V_BC = +2 ton  D M = M_AB + H_AB(1,5) = (-4,088) + (2)(1,5) = -1,088 tm



Gambar Diagram Bidang Gaya Dalam

A B C D E F -4,08 8 -1,08 8 -1,08 8 -1,088 -4,088 -2,434 A B C D E F 2 -3,522 0,478 A B C D E F -3,52 2 Momen Lintang Normal -3,478

(27)

DAFTAR PUSTAKA SLOPE DEFLECTION

[1] Arbabi, F. (1991) . Structural Analysis and Behavior . Singapore : McGraw-Hill, Inc.

[2] Hariandja, Binsar. (1997) . Analisis Struktur Berbentuk Rangka dalam Formulasi Matrik . Bandung : Aksara Husada.

[3] Hibbeler, Russel C. (1997) . Structural Analysis, 3rded. New Jersey : Prentice-Hall International, Inc.

[4] Hsieh, Yuan-Yu. (1985) . Teori Dasar Struktur. Edisi Kedua . Alihbahasa oleh Suryadi, Ir. Jakarta : Erlangga.

[5] Theodosius, Gunawan, et.al. (1991) . Teori Soal dan Penyelesaian Mekanika Teknik III jilid 1 . Jakarta : Delta Teknik Group .

[6] Theodosius, Gunawan, et.al. (1991) . Teori Soal dan Penyelesaian Mekanika Teknik III jilid 2 . Jakarta : Delta Teknik Group .

[7] Wang, Chu-Kia . (1990) . Analisis Struktur lanjutan jilid 1 . Alihbahasa oleh Kusuma Wirawan dan Mulyadi Nataprawira . Jakarta : Erlangga.

[8] Weaver, William Jr., et al. (1989) . Analisa Matriks untuk Rangka Batang, edisi ke-2 . Jakarta : Erlangga .

[9] West, Harry H. (1993) . Fundamentals of Structural Analysis . Toronto : John Wiley & Sons, Inc. [10] Willems, Nicholas, et.al. (1978) . Structural Analysis for Engineers . Tokyo : McGraw-Hill, Inc.

No. TOPIK untuk SLOPE DEFLECTION SUMBER

No. Ref. Bab/chapter/pasal/tabel Halaman 1. Derajat kebebasan, struktur tidak bergoyang dan

struktur bergoyang, persamaan slope deflection, gaya geser kolom

[3] [4] [6] [7] [9] 10 12 Bab VII Bab : 7.1-7.9 Chapter 11 517-562 250-287 532-592 177-226 447-497