Makalah Sistem Persamaan Linear Dan Matriks

(1)

Makalah Sistem persamaan

linear dan matriks

Makalah Ini Dis

Makalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugasusun Guna Memenuhi Tugas Makul Aljabar Linear Dan Matriks Makul Aljabar Linear Dan Matriks

Dosen Pengampu: Dosen Pengampu: Sukowiyono, M P! Sukowiyono, M P! Disusun "leh: Disusun "leh: #

# A!i A!i Sukron Sukron Ginanjar Ginanjar $%#&#&%#%'$%#&#&%#%' $

$  II((hhwwaan n SSaannttoossoo $%$%##&&##&&%%##$$'' '

'  ))eenn!!rri i **aarriissmmaa $%$%##&&##%%%%++

--  ..iikki i **hhooeerruun n //iissssaa $$%%##&&##&&%%##%%%%

PROGAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS SAINS AL – QUR’AN

FAKULT

FAKULTAS FASTI

AS FASTIKOM

KOM

2015/2016

KATA PENGANTAR

00

 !

 ! ""#$ %& !

#$ %& ! ''#$ (

#$ (''$$ )*

)*

A++,-,.’,-,. 34

Puji syuk

Puji syukur kami panjatkur kami panjatkan ke ha!irat Aan ke ha!irat Allah Subhllah Subhanahu watanahu wata1ala, a1ala, karenkarena berkata berkat rahmat2/ya kami !apat menyelesaikan

rahmat2/ya kami !apat menyelesaikan makalahmakalah yang berju!ul 3 yang berju!ul 3

S+7. P73+,.,,8 L873

44 Makalah ini merupakan rangkuman !ari buku 3Sistem Persamaan Linier !an matriks 5 6SIS Makalah ini merupakan rangkuman !ari buku 3Sistem Persamaan Linier !an matriks 5 6SIS SMA74

SMA74 MakalahMakalah ini !iajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier Dan Matriks ini !iajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier Dan Matriks *ami mengu(apkan terima kasih kepa!a semua pihak yang telah membantu sehingga *ami mengu(apkan terima kasih kepa!a semua pihak yang telah membantu sehingga mak

makalaalah h ini ini !ap!apat at !is!iseleselesaikaikan an sessesuai uai !en!engan gan wakwaktunytunya a MakMakalaalah h ini ini masmasih ih jaujauh h !ar!arii sempurna "leh karena itu kami mengharapkan kritik !an saran yang bersi8at membangun sempurna "leh karena itu kami mengharapkan kritik !an saran yang bersi8at membangun !emi kesempurnaan makalah ini

(2)

Semoga makalah ini memberikan in8ormasi bagi masyarakat !an berman8aat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua

,++,-,.’,-,. 34 

9onosobo, # "ktober $%#&

P789+8

DAFTAR ISI

;".6< # *ATA P6/GA/TA<

 $

DA=TA< ISI

 '

:A: I – PENDA;ULUAN

## LATA< >6LA*A/G#$ T?@?A/

-#'

M6T"D6 P6/?LISA/

-:A: II – SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

$# D6=I/ISI SIST6M P6<SAMAA/ LI/I6< & $$ SIST6M P6<SAMAA/ LI/6A<& A Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

> Pengertian Persamaan Linear Dua .ariabel+ ; Sistem Persamaan Linear Dua .ariabel+ D Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua .ariabel+ 6 Pengertian Persamaan Linear Tiga .ariabel## = Sistem Persamaan Linear Tiga .ariabel## G Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga .ariabel#$

(3)

:A: I

PENDA;ULUAN

141 LATAR :ELAKANG

>anyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghin!ari Matematika Pa!ahal Matematika !apat kita jumpai !i !alam kehi!upan sehari2hari, !an mau ti!ak mau kita pasti menggunakan Matematika "leh karena itu kami membuat makalah ini !engan maksu! membantu pemahaman masyarakat agar mereka ti!ak menilai Matematika a!alah sesuatu yang buruk

142 TU<UAN

Makalah ini !ibuat !engan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear 6lementer, yang !iberikan oleh !osen kami Ibu Musriana, S P! Dan tujuan berikutnya a!alah sebagai sumber in8ormasi yang kami harapkan berman8aat !an !apat

menambah wawasan para pemba(a makalah ini

14= METODE PENULISAN

Penulis menggunakan meto!e obserasi !an kepusatakaan ;ara yang !igunakan !alam penulisan a!alah

S> ?+,,



Dalam meto!e ini penulis memba(a buku2buku yang berkaitan !engan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga men(ari sumber2sumber !ari internet

(4)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

241 DEFINISI ATAU PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem persamaan linear !itemukan hampir !i semua (abang ilmu pengetahuan Di bi!ang ilmu ukur, !iperlukan untuk men(ari titik potong !ua garis !alam satu bi!ang Di bi!ang ekonomi atau mo!el regresi statistik sering !itemukan sistem persamaan !engan banyaknya persamaan sama !engan banyaknya ariabel !alam hal memperoleh jawaban tunggal bagi

ariabel Apabila ariabel lebih banyak !ari persamaan, seperti !alam peran(angan linear, umumnya !iperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya /amun !alam teknik listrik sering !itemukan ariabel lebih se!ikit !ari persamaan *arena beberapa !ari persamaan

mempunyai si8at ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk !iperoleh

P78@73,8 S+7. P73+,.,,8 L87,3

Se(ara umum sebuah persamaan linear !alam n ariable x#, x$, B, xn !apat !inyatakan !alam bentuk : a# x# C a $ x $ C B C a n x n  b, !engan a #, a $, B, a n !an b a!alah konstanta real

242 SISTEM PERSAMAAN LINIER

;ontoh :

Persamaan berikut merupakan persamaan linear : a x C ' y  

b y  & x C ' z C #

Persamaan berikut bukan persamaan linear : ( x$ C ' y  &

! y E sin x  %

)impunan berhingga !ari persamaan linear2 persamaan linear !alam n ariable x#, x$, B, xn !inamakan sistem persamaan linear atau sistem linear >entuk umum sistem persamaan linear 5!isingkat SPL7 yang ter!iri !ari m persamaan !an n ariable x#, x$, B, xn !apat !itulis

sebagai :

a## x# C a#$ x$ C B C a#n xn  b# a$# x# C a$$ x$ C B C a$n xn  b$ am# x# C am$ x$ C B C amn xn  bm,

(5)

Suatu sistem persamaan linear !engan m persaman !an n ariable x#, x$, B, xn !engan Am  n  5aij 7, X n  #  5 7 x j , !an Bm  #  5 7 bi  @ika matriks B pa!a SPL !i atas !iganti

!engan matriks nol O, maka sistem persamaan linear tersebut !ikatakan homogen, jika ti!ak !isebut SPL non homogen

;ontoh :

a SPL non homogen berikut x# E x$ C x'  $ $ x# E x$ E x'  - b SPL homogen berikut x# C x$  % x# E x$  %

A4 P7897-7+,,8 S+7. P73+,.,,8 L87,3

Sebuah penyelesaian persamaan linear a# x# C a$ x$ C B C an xn  b a!alah sebuah urutan !ari n bilangan s#, s$, B, sn sehingga persamaan tersebut !ipenuhi jika kita mensubstitusikan x#  s#, x$  s$, B, xn  sn )impunan semua penyelesaian tersebut !inamakan himpunan penyelesaiannya

Penyelesaian SPL a!alah sebuah tupel n terurut bilangan2bilangan x#, x$, B, xn yang memenuhi semua persamaan !alam SPL

;ontoh :

Pasangan terurut 5#,$7 a!alah penyelesaian !ari sistem x# C $ x $  &

$ x# C ' x $  +

karena : #5#7 C $5$7  & !an $5#7 C '5$7  +

Tetapi, pasangan terurut 5',#7 bukan penyelesaian !ari SPL tersebut karena ti!ak memenuhi persamaan ke!ua, yakni $5'7 C '5#7 H +

Tripel terurut 5$,%,%7 a!alah penyelesaian !ari SPL x# E x$ C x'  $

$ x# E x$ E x' 

-karena #5$7 E #5%7 C #5%7  $ $5$7 C #5%7 E #5%7 

-Periksalah bahwa tripel terurut 5$,#,#7, 5$,$,$7, 5$,','7, B juga merupakan penyelesaian SPL tersebut @a!i SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian @ika  a!alah sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut 5$, ,7 a!alah penyelesaian SPL tersebut Ti!ak

semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini !apat !itunjukkan pa!a sistem

x# C x$  $ x# E x$  # x# 

-Pa!a persamaan ketiga x# -, sehingga jika !isubstitusikan ke persamaan pertama !an ke!ua, maka x$ harus memenuhi :

(6)

- C x$  $ - E x$  #

*arena ti!ak a!a bilangan real yang memenuhi ke!ua persamaan ini, maka SPL ini ti!ak mempunyai penyelesaian Sebuah SPL yang ti!ak mempunyai penyelesaian !isebut tak konsisten 5in(onsistent7 Sebuah SPL yang mempunyai paling se!ikit satu penyelesaian !isebut konsisten 5(onsistent7

Dari (ontoh !i atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL !ibe!akan ' yaitu : # SPL mempunyai satu penyelesaian 5penyelesaian tunggal7

$ SPL mempunyai banyak penyelesaian 5tak terhingga penyelesaian7 ' SPL ti!ak mempunyai penyelesaian

SPL homogen AX  % selalu mempunyai penyelesaian 5konsisten7 yaitu X  %, yang

!inamakan !engan penyelesaian triial @ika a!a penyelesaian lain, 5yang ti!ak nol7 maka penyelesaian tersebut !inamakan penyelesaian tak triial

;ontoh :

$ x# C x $ E ' x '  % x # C $ x $  %

x $ C x '  %

SPL homogen !i atas mempunyai penyelesaian tak triial yaitu : x #  $ x '

x $  E x '

@ika x't , !engan t bilangan real, maka x#  $t , x$  E t sehingga himpunan penyelesaiannya a!alah J5t ,$t ,2t 7K  Jt 5#,$,2#7K Ini menunjukkan SPL !i atas mempunyai tak terhingga

banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t.

:4 P78@73,8 P73+,.,,8 L87,3 D,

V,3,7-Persamaan linear !ua ariabel a!alah persamaan yang mengan!ung !ua ariabel !imana pangkat!erajat tiap2tiap ariabelnya sama !engan satu >entuk umum persamaan linear !ua

ariabel a!alah: a C by  (

!imana   !an y a!alah ariabel

4 S+7. P73+,.,,8 L87,3 D,

V,3,7-Sistem persamaan linear !ua ariabel a!alah !ua persamaan linear !ua ariabel yang

mempunyai hubungan !iantara ke!uanya !an mempunyai satu penyelesaian >entuk umum sistem persamaan linear !ua ariabel a!alah

a C by  ( p C y  !

!imana:  !an y !isebut ariabel a, b, p !an  !isebut koe8isien ( !an r !isebut konstanta

D4 P7897-7+,,8 S+7. P73+,.,,8 L87,3 D,

(7)

Langkah2langkahnya sebagai berikut :

# Gambarlah gra8ik garis lurus pa!a bi!ang koor!inat

$ Tentukan titik potong ke!ua garis tersebut *oor!inat titik potong tersebut merupakan pasangan penyelesaian !ari system persamaan yang !imaksu!

# Meto!e 6liminasi

Pa!a meto!e eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian !ari sistem persamaan linear !ua ariabel, (aranya a!alah !engan menghilangkan 5mengeliminasi7 salah satu

ariabel !ari sistem persamaan tersebut @ika ariabelnya  !an y, untuk menentukan ariabel  kita harus mengeliminasi ariabel y terlebih !ahulu, atau sebaliknya Perhatikan bahwa jika koe8isien !ari salah satu ariabel sama maka kita !apat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu ariabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan ariabel yang lain

;ontoh:

Dengan meto!e eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan $ C 'y   !an  E y  '

Penyelesaian:

$ C 'y   !an  E y  '

Langkah I 5eliminasi ariabel y7

?ntuk mengeliminasi ariabel y, koe8isien y harus sama, sehingga persamaan $ C 'y   !ikalikan # !an persamaan

 E y  ' !ikalikan ' $ C 'y   N # $ C 'y    E y  ' N ' ' E 'y  O &  #&   #&&   '

Langkah II 5eliminasi ariabel 7

Seperti langkah I, untuk mengeliminasi ariabel , koe8isien  harus sama, sehingga persamaan $ C 'y   !ikalikan # !an

 E y  ' !ikalikan $ $ C 'y   N# $ C 'y    E y  ' N$ $ E $y   &y  % y  %& y  %

@a!i, himpunan penyelesaiannya a!alah J5',%7K # Meto!e Substitusi

Meto!e Substitusi ?ntuk menyelesaikan sistem persamaan linear !ua ariabel !engan meto!e substitusi, terlebih !ahulu kita n yatakan ariabel yang satu ke !alam ariabel yang lain !ari suatu persamaan, kemu!ian menyubstitusikan 5menggantikan7 ariabel itu !alam persamaan yang lainnya

;ontoh:

Dengan meto!e substitusi, tentukan himpunan penyelesaian !ari persamaan $ C'y   !an  E y  ' 

(8)

Persamaan  E y  ' ekuialen !engan   y C ' Dengan menyubstitusi persamaan   y C ' ke persamaan $ C 'y   !iperoleh sebagai berikut:

$ C 'y   QR $ 5y C '7 C 'y   QR $y C  C 'y   QR &y C    QR &y C  E    E  QR &y  % QR y  %

Selanjutnya untuk memperoleh nilai , substitusikan nilai y ke persamaan   y C ', sehingga !iperoleh:

  y C ' QR   % C ' QR   '

@a!i, himpunan penyelesaiaanya a!alah J5',%7K # Meto!e Gabungan

?ntuk menyelesaikan sistem persamaan linear !ua ariabel !engan meto!e gabungan, kita menggabungkan meto!e eliminasi !an substitusi

;ontoh:

Dengan meto!e gabungan tentukan himpunan penyelesaian !ari sistem persamaan $ E &y  $ !an  C &y   

Penyelesaian:

Langkah pertama yaitu !engan meto!e eliminasi, !iperoleh $ E &y  $ N# $ E &y  $

 C &y   N$ $ C#%y  #$ 2#&y  2#%

y  52#%752#&7 y  $'

*emu!ian, !isubstitusikan nilai y ke persamaan  C &y   sehingga !iperoleh  C &y  

QR  C & 5$'7   QR  C #%#&  

QR    E #%#& QR   $$'

@a!i, himpunan penyelesaiaanya a!alah J5$ $',$'7K # ;ara Determinan

Determinan a!alah suatu bilangan yang berkaitan !engan matriks bujur sangkar 5persegi7 ?ntuk menyelesaikan !engan (ara !eterminan !ari bentuk persamaan :

a C by  ( p C y  r

!iubah !alam susunan bilangan sebagai berikut !an !iberi notasi : D, D, Dy

Dengan : D   a E bp D  ( E br

(9)

Dy   ar E (p

*emu!ian  !an y !apat !itentukan !engan :   !an y 

;ontoh:

Tentukan himpunan penyelesaian !ari sistem persamaan : !engan (ara !eterminan 

@awab: D   $# E ''  $ E O  2 D  ## E '&  # E #&  2#-Dy   $& E #'  #% E '       $ y    2# @a!i )P  J5$, 2#7K

E4 P78@73,8 P73+,.,,8 L87,3 T@,

V,3,7-Persamaan linear tiga ariabel a!alah persamaan yang mengan!ung tiga ariabel !imana pangkat!erajat tiap2tiap ariabelnya sama !engan satu >entuk umum persamaan linear tiga

ariabel a!alah: a C by C (  p

!imana  , y !an  a!alah ariabel

F4 S+7. P73+,.,,8 L87,3 T@,

V,3,7-Sistem persamaan linear tiga ariabel a!alah tiga persamaan linear tiga ariabel yang

mempunyai hubungan !iantara ketiganya !an mempunyai satu penyelesaian >entuk umum sistem persamaan linear !ua ariabel a!alah:

a C by C (  u p C y C r  t

!imana: , y !an  !isebut ariabel a, b,(, p, , !an r !isebut koe8isien u !an t !isebut konstanta

G4 P7897-7+,,8 S+7. P73+,.,,8 L87,3 T@,

V,3,7-A!a beberapa (ara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga ariabel, antara lain : # Meto!e eliminasi

Meto!e ini bekerja !engan (are mengeliminasi 5menghilangkan7 ariabel2ariabel !i !alam sistem persamaan hingga hanya satu ariabel yang tertinggal

Pertama2tama, lihat persamaan2persamaan yang a!a !an (oba (ari !ua persamaan yang mempunya koe8isien yang sama 5baik positi8 maupun negatie7 untuk ariabel yang sama Misalnya, lihat persamaan 5#7 !an 5'7 *oe8isien untuk y a!alah # !an 2# untuk masing2 masing persamaan *ita !apat mejumlah ke!ua persamaan ini untuk menghilangkan y !an kita men!apatkan persamaan 5-7

(10)

-  y C '  # 5'7

UUUUUUUU2 C

' C $  $ 5-7

Perhatikan bahwa persamaan 5-7 ter!iri atas ariabel  !an  Sekarang kita perlu persamaan lain yang ter!iri atas ariabel yang sama !engan persamaan 5-7 ?ntuk men!apatkan

persamaan ini, kita akan menghilangkan y !ari persamaan 5#7 !an 5$7 Dalam persamaan 5#7 !an 5$7, koe8isien untuk ya!alah # !an ' masing2masing ?ntuk menghilangkan y, kita

kalikan persamaan 5#7 !engan ' lalu mengurangkan persamaan 5$7 !ari persamaan 5#7  C V    # 5#7 N ' ' C 'y  '  ' 5#7 + C 'y    # 5$7 + C 'y    # 5$7

UUUUUUUU2 E

& C '  $ 5&7 Dengan persamaan 5-7 !an 5&7, mari kita (oba untuk menghilangkan 

' C $  $ 5-7 N ' O C    5-7 & C '  $ 5&7 N $ #% C   - 5&7

UUUUUUUU2 

  $ 57

Dari persamaan 57 kita !apatkan   $ Sekarang kita bisa subtitusikan 5masukkan7 nilai !ari  ke persamaan 5-7 untuk men!apatkan nilai 

'5$7 C$  $ 5-7

 C $  $

$  +

  + W $

 

-Akhirnya, kita substitusikan 5masukkan7 nilai !ari  ke persamaan 5#7 untuk men!apatkanya

$ C y -  # 5#7

y  #  $ C

-y  '

@a!i solusi sistem persamaan linier !i atas a!alah   $, y  ',   -# Meto!e Subsitusi

;ontoh :

Dengan meto!e subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut  $ C y E   ' B5#7  C y C   # B5$7  E $y E '  - B5'7 @awab : Dari persamaan 5$7  C y C   # X   # E y E  B5-7 5- !an #7 X $ C y E   ' $5# E y E 7 C y E   ' $ E $y E $ C y E   ' 2y E '  # y  2' E # B5&7

(11)

5' !an -7 X  E $y E '  # E y E  E $y E ' 

-2'y E -  ' B57

5& !an 7 X 2'y E -  ' 2' 52' E #7 E -  '

O C ' E -  ' &  %

  % B57

untuk   % !isubsitusikan ke persamaan 5&7 y  2' E #

y  2'5%7 E # y  2#

untuk   %, y  2#, !isubsitusikan ke persamaan 5$7  C y C   #

 E # C %  #   $

@a!i himpunan penyelesaiannya J5$, 2#, %7K

# ;ara Gabungan 56liminasi !an Substitusi7 ;ontoh:

Tentukan himpunan penyelesaian !ari sistem persamaan : !engan (ara gabungan antara eliminasi !an substitusi @awab:

Dari 5#7 !an 5$7 eliminir   C y E   #

$ C y C  ## Y ' C $y  #$ B 5-7 Dari 5$7 !an 5'7 eliminir  $ C y C  ##

 C $y C  #$ Y  E y  2# B 5&7

Dari 5-7 !an 5&7 eliminir y &  #%

  $

  $ substitusi ke 5&7  E y  2#

(12)

2y  2# E $ y  '   $, y  ' substitusi ke 5#7  C y E   # $ C 'E   # 2  # E &   -@a!i )P  J5$, ', -7K

:A: III

PENUTUP

S,3,8

Alangkah baiknya kita mengenal Matematika !ulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika !engan baik !an menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu ti!aklah seburuk apa

yang kita pikirkan

(13)

Anton, )owar!, Sistem Persamaan linear ,@akarta: 6rlangga, $%%-6SIS,6rlangga, Matematika SMA $%%

S+ I87387B

wwwgoogle(om wwwwikipe!ia(om