Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 17 Maret 2010

(1)

Persamaan Non Linear Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua Metode Regula Falsi

Solusi Persamaan Non Linear

Anwar Mutaqin

Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA

(2)

Solusi Persamaan Non Linear Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua Metode Regula Falsi Pendahuluan

Rumusan Masalah

Tentukan solusi

f

(

x

) =

0 dengan

f fungsi nonlinear.

(3)

Metode Pencarian Akar

1 Metode Tertutup

Metode Bagi 2 (Bisection)

Regula Falsi

2 Metode Terbuka

Metode Newton-Raphson

Metode Secant

(4)

Metode Pencarian Akar

1 Metode Tertutup

Metode Bagi 2 (Bisection)

Regula Falsi

2 Metode Terbuka

Metode Iterasi Titik Tetap (…xed point Interation)

Metode Newton-Raphson

Metode Secant

(5)

Metode Pencarian Akar

1 Metode Tertutup

Metode Bagi 2 (Bisection)

Regula Falsi

2 Metode Terbuka

Metode Newton-Raphson

Metode Secant

(6)

Metode Pencarian Akar

1 Metode Tertutup

Metode Bagi 2 (Bisection)

Regula Falsi

2 Metode Terbuka

Metode Iterasi Titik Tetap (…xed point Interation)

Metode Newton-Raphson

Metode Secant

(7)

Metode Pencarian Akar

1 Metode Tertutup

Metode Bagi 2 (Bisection)

Regula Falsi

2 Metode Terbuka

Metode Iterasi Titik Tetap (…xed point Interation)

(8)

Metode Pencarian Akar

1 Metode Tertutup

Metode Bagi 2 (Bisection)

Regula Falsi

2 Metode Terbuka

Metode Iterasi Titik Tetap (…xed point Interation)

Metode Newton-Raphson

Metode Secant

(9)

Solusi Persamaan Non Linear Anwar Mutaqin Pendahuluan Metode Bagi Dua Metode Regula Falsi

Metode Pencarian Akar

1 Metode Tertutup

Metode Bagi 2 (Bisection)

Regula Falsi

2 Metode Terbuka

Metode Iterasi Titik Tetap (…xed point Interation)

Metode Newton-Raphson

(10)

Syarat Cukup

Theorem

Misalkan

f kontinu pada

[

a, b

]

. Jika

f

(

a

)

f

(

b

) <

0, maka

terdapat paling sedikit

c

_{2 (}

a, b

)

sedemikian sehingga

f

(

c

) =

0

(11)

Gra…k

x

y

y=f(x)

a

b

(12)

Kelemahan

Hanya mampu menemukan sebuah akar

Bila syarat cukup tidak terpenuhi karena selang terlalu

lebar, maka seolah-olah tidak mempunyai akar

(13)

Kelemahan

Hanya mampu menemukan sebuah akar

Bila syarat cukup tidak terpenuhi karena selang terlalu

lebar, maka seolah-olah tidak mempunyai akar

(14)

Solusi

Ambil Selang yang cukup kecil

Membuat gra…k

Mencetak nilai fungsi pada selang yang tetap

(15)

Solusi

Ambil Selang yang cukup kecil

Membuat gra…k

(16)

Solusi

Ambil Selang yang cukup kecil

Membuat gra…k

Mencetak nilai fungsi pada selang yang tetap

(17)

Contoh

x

f

(

x

) =

e

x

5x

2 -0.50

-0.643469

-0.40

-0.129680

-0.30

0.290818

-0.20

0.618731

-0.10

0.854837

0.00 1.000000

0.10 1.055171

0.20 1.021403

0.30 0.899859

0.40 0.691825

0.50 0.398721

(18)

Metode Bagi Dua

1 Tentukan

f

(

x

)

2 Tentukan selang

[

a, b

]

3 Bagi dua di

c

=

a

+

₂

b

4 Jika

f

(

c

) =

0, maka proses selesai dan c adalah akar

persamaan tersebut.

5 Jika

f

(

a

)

f

(

c

) <

0, maka b

=

c. Lakukan kembali proses

dari no. 3.

6 Jika

f

(

a

)

f

(

c

) >

0, maka a

=

c. Lakukan kembali proses

dari no. 3.

7 Lakukan proses tersebut sampai toleransi terpenuhi

(19)

Metode Bagi Dua

Toleransi

Iterasi dihentikan jika:

j

a

b

_{j <}

ε

f

(

c

) <

ε

m

atau

c

r

+

1 c

r

c

r

+

1 <

δ

(20)

Metode Bagi Dua

Toleransi

Iterasi dihentikan jika:

j

a

b

_{j <}

ε

atau

f

(

c

) <

ε

m

atau

c

r

+

1 c

r

c

r

+

1 <

δ

(21)

Toleransi

Iterasi dihentikan jika:

j

a

b

_{j <}

ε

atau

f

(

c

) <

ε

m

atau

c

r

+

1 c

r

c

r

+

1 <

δ

(22)

Metode Bagi Dua

Flowchart

S T A R T f(c ) b = c a = c F in ish C e ta k c Tid a k T id ak Ya T id a k Tid a k Ya Y a Ya In p u t a d a n b c = (a + b )/2 f(c) f(a)(c)< 0 a b s(a-b )<e p s f(c )< e p s_ m a b s((cr+1-cr)/cr +1)< d

(23)

Contoh

Carilah akar persamaan dengan toleransi ε

=

0, 0001:

1 e

x

5x

2 =

0

2 x

3 3x

+

1 =

0

(24)

Metode Bagi Dua

Jawab

f

(

x

) =

x

3 3x

+

1 f

(

0 ) =

1 dan f

(

1 ) =

1. selang lokasi akar

[

0, 1

]

Iterasi ke-1

c

=

0 +

1

2 =

0.5 f

(

0.5 ) = (

0.5 )

3

3 (

0.5 ) +

1 =

0.375 f

(

0 )

f

(

0.5 ) <

0 !

b

=

c

=

0.5 j

0

0.5 _{j =}

0.5 >

ε

toleransi belum terpenuhi, lanjutkan ke iterasi ke-2

(25)

Jawab

Iterasi ke-2

c

=

0 +

0.5

2 =

0.25 f

(

0.25 ) = (

0.25 )

3

3 (

0.25 ) +

1 =

0.265 63

f

(

0 )

f

(

0.25 ) >

0 !

a

=

c

=

0.25 j

0.25

0.5 _{j =}

0.25 >

ε

(26)

Metode Bagi Dua

Jawab

Iterasi ke-3

c

=

0.25 +

0.5

2 =

0.375 f

(

0.375 ) = (

0.375 )

3

3 (

0.375 ) +

1 =

7. 226 6

10

2 f

(

0.25 )

f

(

0.375 ) <

0 maka b

=

c

=

0.25 j

0.25

0.375 _{j =}

0.125 >

ε

(27)

Jawab

Iter

a

b

c

f

(

a

)

f

(

b

)

f

(

c

)

ε

1

0

1

0.5

1

0.375

0.5

2

0

0.5

0.25

1

0.375

0.265

0.25

3

0.25

0.5

0.375

0.265

0.375 0.07 2

0.125

4

0.25

0.375

5

6

7

(28)

Metode Bagi Dua

Jumlah Iterasi

Sampai berapa iterasi?

Theorem

jika

f kontinu pada

[

a, b

]

dengan

f

(

a

)

f

(

b

) <

0 dan

bx

2 (

a, b

)

sedemikian sehingga

f

(

bx

) =

0 dan c

r

=

a

r

+

₂

b

r

, maka

j

bx

c

r

j <

j

b

r

₂

a

r

j

dan

j

bx

c

r

j <

j

₂

b a

r+1

j

.

(29)

Jumlah Iterasi

Sampai berapa iterasi?

Theorem

jika

f kontinu pada

[

a, b

]

dengan

f

(

a

)

f

(

b

) <

0 dan

bx

2 (

a, b

)

sedemikian sehingga

f

(

bx

) =

0 dan c

r

=

a

r

+

₂

b

r

, maka

(30)

Metode Regula Falsi

1 Metode bagi dua selalu berhasil menemukan akar, tetapi

kecepatan konvergensi rendah

2 Metode Regula Falsi memiliki kecepatan konvergensi yang

tinggi.

3 Algoritma hampir serupa, hanya beda dalam mencari c.

(31)

x

y

a

c

b

(32)

Metode Regula Falsi

f

(

b

)

f

(

a

)

b

a

=

f

(

b

)

0 b

c

=

b

f

(

b

) (

b

a

)

f

(

b

)

f

(

a

)