Tensor dan Operasinya Skalar,Vektor dan Tensor

Lampiran 1

Tensor dan Operasinya

Skalar,Vektor dan Tensor

Misalkan terdapat N buah besaran Aµ _{dalam sistem koordinat {x}µ_{} dan N}

buah besaran A′µ _{dalam sistem koordinat lain {x}′µ_{} dengan µ= 1,2,3..., N.} Jikan kedua besaran itu memenuhi hubungan

A′µ ₌

N

X

ν=1

∂x′µ ∂xν A

ν ₍₁₎

maka Aν _{disebut sebagai komponen vektor kontravarian atau vektor}

kontra-varian saja. jika (µν = 0,1,2,3) maka dapat digunakan sumasi Einstein untuk menyederhanakan persamaan tersebut menjadi

A′µ₌ ∂x′

µ

∂xν A ν

(2) Misalkan terdapat N buah besaran Aµ dalam sistem koordinat {xµ} dan N

buah besaran _{A′

µ} dalam sistem koordinat lain {x′ µ

} dengan µ = 0,1,2,3. Jikan kedua besaran itu memenuhi hubungan

A′

µ=

∂x′ν

∂xµAν (3)

maka Aν disebut sebagai vektor kovarian.

Perbedaan antara vektor kovarian dan kontravarian diberikan oleh Gam-bar(1). dari gambar tampak bahwa

A=Aµeµ (4)

dan

Aµ=A·eµ (5)

maka untuk koordinat kartesian berlaku

Aµ=Aµ (6)

sis-tem koordinat ortoghonal Cartesian.[Purwanto, 2009]

Gambar 1: _{Koordinat Tidak Ortogonal}

Tensor rank dua kontravarianAµν_{, kovarianA}

µν dan campuranAµν

didefin-isikan oleh sifat transformasi komponennya

Aµν _→ A′µν ₌ ∂x′

µ

∂xα

∂x′ν ∂xβA

αβ

(7) Aµν → A′µν =

∂xα

∂x,µ

∂xβ

∂x′νAαβ (8)

Aµν → A µ ν =

∂x′µ ∂xα

∂xβ

∂x′νA

α

β (9)

Terlihat bahwa rank menunjuk pada turunan parsial dalam definisi, nol untuk skalar, satu untuk vektor dan dua untuk tensor rank kedua. [Purwanto, 2009]

Operasi Tensor

Operasi yang berlaku pada tensor antara lain

1. Penjumlahan dan Pengurangan

2. Perkalian Luar

Perkalian luar dua buah tensor menghasilkan sebuah tensor yang ranknya sama dengan jumlah rank dari kedua buah tensor yang dioperasikan. Perkalian luar dari tensorAm

n danBij akan memberikan tensorCnijm =AmnBij yang merupakan

tensor campuran rank empat.

3. Kontraksi

Kontraksi adalah operasi menyamakan sepasang atau lebih indeks kontravarian dan kovarian sehingga hasil yang diperoleh adalah penjumlahan yang sesuai dengan kaidah penjumlahan Einstein. Hasil penjumlahan ini adalah suatu tensor yang ranknya dua lebih rendah daripada rank tensor semula. Misalkan diketahui tensor campuran rank empat Al

mnp. Dengan mengambill =m maka

akan diperoleh tensor kovarian rank kedua Anp.

4. Perkalian Dalam

Perkalian dalam merupakan operasi perkalian luar yang diikuti oleh operasi kontraksi. Misalkan diketahui tensor-tensorAmn

l danBks, hasil perkalian kedua

tensor ini dinyatakan oleh Cmns

lk = Amnl Bks. Dengan mengambil l = s maka

akan diperoleh hasil perkalian dalam yang dinyatakan sebagaiCmn

k =Amns Bks.

5. Hukum Hasil Bagi

Lampiran 2

Tensor Simetri dan Antisimetri

Tensor kovarian rank dua Aµν disebut tensor simetri jika komponennya

memenuhi

Aµν =Aνµ (10)

dan disebut antisimetri jika

Aµν =−Aνµ (11)

analog dengan persamaan tersebut, tensor kontravarian Aµν _{disebut simetri}

jika

Aµν =Aνµ (12)

dan disebut anti simetri jika [Dalarson, 2005] Aµν ₌

Lampiran 3

Turunan Kovarian

Turunan kovarian suatu tensor kontravarian Aµν _{diberikan oleh}

DAµν

Dxβ =

∂Aµν

∂xβ + Γ ν αβA

µα_{+ Γ}µ αβA

αν ₍₁₄₎

atau bisa ditulis

DβAµν =∂βAµν+ ΓναβA µα

+ Γµ_αβAαν (15) dan

Aµν_;β =Aµν_,β + ΓναβA µα

+ Γµ_αβAαν (16)

dan turunan kovarian untukAµν

Aµν;β =Aµν,β−Γµβα Aαν −ΓανβAµβ (17)

sedangkan turunan kovarian untuk tensor campuran Aµ ν

Aµ_ν;β =Aµ_ν,β+ Γµ_αβAβ ν −Γ

β νβA

µ

Lampiran 4

Analisis Vektor

Hukum Aljabar Vektor

Jika A, B dan C adalah vektor dan m,n adalah skalar serta θ adalah sudut yang dibentuk oleh Adan B, maka

(1) A+B=B+A

(2) A+ (B+C) = (A+B) +A

(3) (m+n)A=mA+nA

(4) m(A+B) = mA+mB

(5) A_·B =ABcosθ (6) A_×B=ABsinθ (7) A_·B=B_·A

(8) A_×B=₋B_×A (19)

Gradien, Divergensi dan Curl

Operator vektor _∇ yang disefinisikan sebagai berikut

∇=i ∂

∂x +j ∂ ∂y +k

∂

∂z (20)

Kemudian jikaφ(x, y, z) danA(x, y, z) mempunyai turunan pertama yang kon-tinu pada suatu daerah, maka dapat didefinisikan hal berikut

∇φ = ∂φ ∂xi+

∂φ ∂yj+

∂φ

∂zk (21)

∇ ·A= ∂A1 ∂x +

∂A₂

∂y + ∂A₃

∂z (22)

∇ ×A =

∂A3

∂y − ∂A2

∂z

i+

∂A1

∂z − ∂A3

∂x

j

dengan_∇φ adalah gradien dari φ, _{∇ ·}Aadalah Divergensi dariAdan _{∇ ×}A

adalah Curl dari A.

Rumus-Rumus yang Mengandung

_∇

Jika turunan parsial dari A,B,U dan V ada maka:

∇(U +V) = _∇U +_∇V

∇ ·(A+B) = _{∇ ·}A+_{∇ ·}B

∇ ×(A+B) = _{∇ ×}A+_{∇ ×}B

∇ ·(UA) = (_∇U)_·A+U(_{∇ ·}A)

∇ ×(UA) = (_∇U)_×A+U(_{∇ ×}A)

∇ ·(A_×B) = B_·(_{∇ ×}A)₋A_·(_{∇ ×}B)

∇ ·(_∇U) = _∇2U _≡ ∂

2_U

∂x2 +

∂2_U

∂y2 +

∂2_U

∂z2

∇ ×(_∇U) = 0

∇ ×(_{∇ ×}A) = _∇(_{∇ ·}A)_{− ∇}2A (24)

Lampiran 5

Solusi Schwarzchild

Didekat obyek masifM ruang-waktu yang melengkung, garis duniadsdari par-tikel dan berkas cahaya adalah geodesik, untuk mendapatkannya perlu dike-tahui tensor metrik gµν di dalam koordinat yang dipilih. dalam koordinat

bola

x0 =t, x1 =r, x2 =θ, x3 =φ

dengan M sebagai titik pusatnya. jika M nol maka rumus jarak

ds2 =₋c2dt2+dr2+ (r2dθ2+r2sin2θdφ2) (25) Jika massa M dinyalakan maka akan terjadi dua hal, ruang posisi akan me-lengkung sehingga lingkaran r tidak secara tepat berada pada jarak r dari pusat lingkaran, dan jam pada setiap permukaan r tidak teramati dari per-mukaan r yang lain. Efek ini dapat dituliskan dalam elemen jarak

ds2 =₋e2ν_c2_dt2_+e2λ_dr2_{+ (r}2_dθ2_+r2_sin2_θdφ2_{) (26)}

dengan ν=ν(r), λ=λ(r).

Persamaan 26 memberi elemen tensor metrik

g00=−e2ν, g11 =e2λ, g22 =r2, g33 =r2sin2θ (27)

atau dapat ditulis

gµν =



      

−e2ν _{0 0 0}

0 e2λ _{0 0}

0 0 r2 ₀

0 0 0 r2_sin2_θ



      

inversnya

Selanjutnya untuk semua komponen simbol Cristoffelnya akan berlaku

Γ0,22 =

1

2(∂2g02+∂2g20−∂0g22) = 0

Γ0,23= Γ0,32 =

1

2(∂3g02+∂2g03−∂0g23) = 0

Γ0,33 =

1

2(∂3g03+∂3g30−∂0g33) = 0

Γ1,00 =

1

2(∂0g10+∂0g01−∂1g00) = 1

2

0 + 0₋ ∂(−e

2ν₎

∂r

= ν′_e2ν

Γ1,01= Γ1,10 =

1

2(∂1g10+∂0g11−∂1g01) = 0

Γ1,02= Γ1,20 =

1

2(∂2g10+∂0g21−∂1g02) = 0

Γ1,03= Γ1,30 =

1

2(∂3g10+∂0g31−∂1g03) = 0

Γ1,11 =

1

2(∂1g11+∂1g11−∂1g11) = 1

2 2λ ′_e2λ = λ′_e2λ

Γ1,12= Γ1,21 =

1

2(∂2g11+∂1g21−∂1g12) = 0

Γ1,13= Γ1,31 =

1

Γ1,22 =

1

2(∂2g12+∂2g21−∂1g22) = 1

2(0 + 0−(2r)) = ₋r

Γ1,23= Γ1,32 =

1

2(∂3g12+∂2g31−∂1g23) = 0

Γ1,33 =

1

2(∂3g13+∂3g31−∂1g33) = 1

2 0 + 0− 2rsin

2_θ = ₋rsin2θ

Γ2,00 =

1

2(∂0g20+∂0g02−∂2g00) = 1

2(0 + 0−0) = 0

Γ2,01= Γ2,10 =

1

2(∂1g20+∂0g12−∂2g01) = 0

Γ2,02= Γ2,20 =

1

2(∂2g20+∂0g22−∂2g02) = 1

2(0 + 0−0) = 0

Γ2,12= Γ2,21 =

1

2(∂2g21+∂1g22−∂2g12) = 1

2(0 + (2r)−0) = r

Γ2,13= Γ2,31 =

1

2(∂3g21+∂1g32−∂2g13) = 0

Γ2,22= Γ2,21 =

1

2(∂2g22+∂2g22−∂2g22) = 1

2(0) = 0 Γ2,23= Γ2,32 =

1

Γ2,33 =

1

2(∂3g23+∂3g32−∂2g33) = 1

2 0 + 0− r

2_.sinθ.cosθ = ₋r2.sinθ.cosθ

Γ3,00 =

1

2(∂0g30+∂0g03−∂3g00) = 0

Γ3,01= Γ3,10 =

1

2(∂1g30+∂0g13−∂3g01) = 0

Γ3,02= Γ3,20 =

1

2(∂2g30+∂0g23−∂3g02) = 0

Γ3,03= Γ3,30 =

1

2(∂3g30+∂0g33−∂3g03) = 0

Γ3,11 =

1

2(∂1g31+∂1g13−∂3g11) = 0

Γ3,12= Γ3,21 =

1

2(∂2g31+∂1g23−∂3g12) = 0

Γ3,13= Γ3,31 =

1

2(∂3g31+∂1g33−∂3g13) = 1

2 0 + 2rsin

2_θ

−0 = rsin2θ

Γ3,22 =

1

2(∂2g32+∂2g23−∂3g22) = 0

Γ3,23= Γ3,32 =

1

2(∂3g32+∂2g33−∂3g23) = 1

2 0 + r

2_.sinθcosθ

−0 = r2sinθcosθ

Γ3,33 =

1

2(∂3g33+∂3g33−∂3g33) = 0

Γµυρ =g µτ

Γ0₀₀ = g00Γ0,00

= 0 Γ0₀₁ = Γ0₁₀ = g0τΓτ,01

= g00Γ0,01=−e(−2ν). −ν′e(2ν)

=ν′ = g01Γ1,01= 0

= g02Γ2,01= 0

= g03Γ3,01= 0

Γ0₀₂ = Γ0₂₀ = g0τΓτ,20

= g00Γ0,20

= 0 Γ0₀₃ = Γ0₃₀ = g0τΓτ,30

= g00Γ0,30

= 0 Γ0₁₁ = g0τ_Γ

τ,11

= g00Γ0,11

= 0 Γ0₁₂ = Γ0₂₁ = g0τ_Γ

τ,12

= g00Γ0,12

= 0 Γ0₁₃ = Γ0₃₁ = g0τ_Γ

τ,13

= g00Γ0,13

= 0 Γ0₂₂ = g0τ_Γ

τ,22

= g00Γ0,22

= 0 Γ0₂₃ = Γ0₃₂ = g0τ_Γ

τ,23

= g00Γ0,23

= 0 Γ033 = g0τΓτ,33

= g00Γ0,33

Γ1₀₀ = g1τ_Γ τ,00

= g11Γ1,00

= e(−2λ)_{. ν}′_e(2ν) = ν′_e(2ν−2λ)

Γ101 = Γ110 = g1τΓτ,01

= g11Γ1,01

= 0 Γ1₀₂ = Γ1₂₀ = g1τΓτ,02

= g11Γ1,02

= 0 Γ1₀₃ = Γ1₃₀ = g1τΓτ,03

= g11Γ1,03

= 0 Γ1₁₁ = g1τ_Γ

τ,11

= g11Γ1,11

= e(−2λ)_{. λ}′_e(2λ) = λ′

Γ1₁₂ = Γ1₂₁ = g1τ_Γ τ,12

= g11Γ1,12

= 0 Γ113 = Γ131 = g1τΓτ,13

= g11Γ1,13

= 0 Γ1₂₂ = g1τΓτ,22

= g11Γ1,22

= e(−2λ)_.(

−r) = ₋re(−2λ)

Γ1₂₃ = Γ1₃₂ = g1τ_Γ τ,23

= g11Γ1,23

Γ1₃₃ = g1τ_Γ τ,33

= g11Γ1,33

= e(−2λ)_.

−rsin2θ = ₋rsin2θe(−2λ)

Γ200 = g1τΓτ,00

= g22Γ2,00

= 0 Γ2₀₁ = Γ2₁₀ = g2τΓτ,01

= g22Γ2,01

= 0 Γ2₀₂ = Γ2₂₀ = g2τΓτ,02

= g22Γ2,02

= 0 Γ2₀₃ = Γ2₃₀ = g2τ_Γ

τ,03

= g22Γ2,03

= 0 Γ2₁₁ = g22Γ2,11

= 0 Γ2₁₂ = Γ2₂₁ = g2τΓτ,12

= g22Γ2,12

= (r)−2_.(r) = 1

r Γ2₁₃ = Γ2₃₁ = g22Γ2,13

= 0 Γ2₂₂ = Γ2₂₂ = g22Γ2,22

= 0 Γ223 = Γ232 = g22Γ2,23

= 0 Γ2₃₃ = Γ2₃₃ = g22Γ2,33

= (r)−2_.

−r2sinθcosθ = ₋sinθcosθ

Γ3

00 = g33Γ3,00

Γ3₀₁ = Γ3₁₀ = g33Γ3,01

= 0 Γ3₀₂ = Γ3₂₀ = g33Γ3,02

= 0 Γ303 = Γ310 = g33Γ3,03

= 0 Γ3₁₁ = g33Γ3,11

= 0 Γ3₁₂ = Γ3₂₁ = g33Γ3,12

= 0 Γ3₁₃ = Γ3₃₁ = g33Γ3,13

= r−2_sin−2_{θ. rsin}2_θ = 1

r Γ3

23 = Γ332 = g33Γ3,23

= r−2_sin−2_{θ. r}2_sinθ.cosθ = sinθ

cosθ = cotθ Γ3

33 = g33Γ3,33

= 0 Tensor Riccinya

Rτ υ =∂υΓγτ γ−∂γΓ γ τ υ+ Γ

ρ τ γΓ

γ ρυ −Γ

ρ τ υΓ

γ

ργ (31)

maka untuk komponen Ricci diagonalnya Rτ τ = ∂τΓγτ γ−∂γΓ

γ τ τ+ Γ

ρ τ γΓ

γ ρτ −Γ

ρ τ τΓ

R20 =R02 = ∂0Γγ2γ−∂γΓγ02+ Γ

ρ

0γΓ γ ρ2−Γ

ρ

02Γγργ

= ∂0Γγ2γ− ∂0Γ002+∂1Γ102+∂2Γ202+∂3Γ302

+ Γρ₀₀Γ0ρ2+ Γ

ρ

01Γ1ρ2+ Γ

ρ

02Γ2ρ2+ Γ

ρ

03Γ3ρ2

− Γ0₀₂Γγ_0γ+ Γ1₀₂Γγ_1γ+ Γ2₀₂Γγ_2γ+ Γ3₀₂Γγ_3γ = Γ000Γ002+ Γ100Γ120 + Γ200Γ022+ Γ300Γ032

+ Γ0₀₁Γ1₀₂+ Γ1₀₁Γ1₁₂+ Γ2₀₁Γ1₂₂+ Γ3₀₁Γ1₃₂ + Γ0₀₂Γ2₀₂+ Γ1₀₂Γ2₁₂+ Γ2₀₂Γ2₂₂+ Γ3₀₂Γ2₃₂ + Γ0₀₃Γ3₀₂+ Γ1₀₃Γ3₁₂+ Γ2₀₃Γ3₂₂+ Γ3₀₃Γ3₃₂ = 0

R30 =R03 = ∂0Γγ3γ−∂γΓγ03+ Γ

ρ

0γΓ γ ρ3−Γ

ρ

03Γγργ

= ∂0Γγ3γ− ∂0Γ003+∂1Γ103+∂2Γ203+∂3Γ303

+ Γρ₀₀Γ0_ρ3+ Γρ₀₁Γ1_ρ3+ Γρ₀₂Γ2_ρ3+ Γρ₀₃Γ3_ρ3

− Γ003Γ

γ

0γ+ Γ103Γ

γ

1γ+ Γ203Γ

γ

2γ+ Γ303Γ

γ

3γ

R23=R32 = ∂2Γγ3γ−∂γΓγ23+ Γ

ρ

2γΓ γ ρ3−Γ

ρ

23Γγργ

= ∂2Γ030+∂2Γ131+∂2Γ232+∂2Γ333

− ∂0Γ023+∂1Γ123+∂2Γ223+∂3Γ323

+ Γ0_2γΓγ₀₃+ Γ1_2γΓγ₁₃+ Γ2_2γΓγ₂₃+ Γ3_2γΓγ₃₃

− Γ023Γ

γ

0γ+ Γ123Γ

γ

1γ+ Γ223Γ

γ

2γ+ Γ323Γ

γ

3γ

= Γ0₂₀Γ0₀₃+ Γ0₂₁Γ1₀₃+ Γ0₂₂Γ2₀₃+ Γ0₂₃Γ3₀₃ + Γ1₂₀Γ0₁₃+ Γ1₂₁Γ1₁₃+ Γ1₂₂Γ2₁₃+ Γ1₂₃Γ3₁₃ + Γ2₂₀Γ0₂₃+ Γ2₂₁Γ1₂₃+ Γ2₂₂Γ2₂₃+ Γ2₂₃Γ3₂₃ + Γ3₂₀Γ0₃₃+ Γ3₂₁Γ1₃₃+ Γ3₂₂Γ2₃₃+ Γ3₂₃Γ3₃₃

−Γ3₂₃ Γ0₃₀+ Γ1₃₁+ Γ2₃₂+ Γ3₃₃ = 0

R23 =R32= 0

Rab =Rba ≡0,dengan a, b= 1,2,3

Pada medan gravitasi yang vakum, Rτ υ = 0. Maka persamaan (8) dan (9)

menjadi

−ν′′_+ν′_λ′_−ν′2

− 2_rν′ _{= 0 (34)}

ν′′_−ν′_λ′_+ν′2

− 2_rλ′ _{= 0 (35)}

(1 +rν′ _−rλ′_)e(−2λ) _{= 1 (36)}

dengan menjumlahkan (10) dan (11)

−2 r (ν

′_+λ′_{) = 0} atau

(ν′_+λ′_{) = 0}

dengan memasukkan (13) ke (12)

(1 + 2rν′_)e(2ν) ₌ d

dr

re(2ν) = 1 dengan mengintegralkan persamaan sebelumnya

Z d

re(2ν) =

Z dr

re(2ν)_{=r−2m (38)}

2m merupakan konstanta integrasi _→ radius gravitasi g00 = −e(2ν)

= ₋

1₋ 2m r

(39) g11 = e(2λ)

= e(−2ν)

=

1₋ 2m r

−1

(40)

g00=η00+h00

1₋ 2GM

c2_r = 1 +

2 c2Φ

Φ =₋GM r 2m= 2GM

c2 (41)

Persamaan (2) menjadi

ds2 = ₋

1₋ 2m r

c2(dt)2+

1₋ 2m r

−1

(dr)2+r2

(dθ)2 +sin2θ(dϕ)2

Lampiran 6

Metrik Kerr

Bentuk Edington dari Solusi Schwarzchild

Solusi Schwarzchild diubah menjadi bentuk Edington dengan memakai trans-formasi koordinat waktu baru

¯

x0 =x0+ 2mln

r₋2m 2m

(42)

maka akan didapatkan bentuk elemen garis baru

ds2 =₋(d¯x)2+ (dr)2+r2(dθ2+sin2θdϕ2) + 2m r (d¯x

2_+dr)2 ₍₄₃₎

bentuk Edington ini bila diubah ke koordinat kartesian

ds2 =₋(dx¯0)2+ (dx)2 +2m r

d¯x0+ x·dx r

(44)

(dx)2 =dx2+dy2+dz2, r = (x_·x) = (x2+y2+z2) bentuk metrik dari persamaan tersebut

gµν =ηµν+ 2mℓµℓν, ℓµ =

1

√

r

1,x r

(45)

dimana ηµν adalah matrik Minkowski

ηµν =



      

−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



      

Bentuk-Bentuk Metrik dari

gµν

=

ηµν

+ 2mℓµℓν

, dengan

ℓµℓν

η

µν

_{= 0}

Dengan mendefinisikan

ℓµ =ηµνℓν (46)

maka invers dari gµν adalah

gµν =ηµν ₋2mℓµℓν (47) ini bisa dibuktikan sebagai berikut

ℓµ_ℓ

jika kita menuliskan ulangℓµ menulisnya

gµν =ηµν+α2mℓµℓν, gµν =ηµν −α2mℓµℓν, (56)

= 1 2α{(ℓ

σ_ℓ

µ),σν + (ℓσℓν),σµ−ηστ(ℓµℓν),στ}

+1 2α

2

{(ℓσ_ℓτ₎

,σ(ℓνℓµ),τ +ℓµℓτ(ℓνℓσ),στ −1₂(ℓσ_ℓ

τ,µ+ℓτℓσ,µ)(ℓ τ_ℓ

σ,ν+ℓσℓτ,ν) −1₂(ℓσ_ℓ

τ,µ+ℓτℓσ,µ)(ℓ τ_ℓ

ν,σ+ℓνℓτ,σ)

+1 2η

τ λ_(ℓσ_ℓ

τ,µ +ℓτℓσ,µ)(ℓσℓν,λ+ℓνℓσ,λ) −1₂(ℓσ_ℓ

µ,τ +ℓµℓσ,τ)(ℓτℓσ,ν +ℓσℓτ,ν) −1₂(ℓσ_ℓ

µ,τ +ℓµℓσ,τ)(ℓτℓν,σ +ℓνℓτ,σ)

+1 2η

τ λ_(ℓσ_ℓ

µ,τ +ℓµℓσ,τ)(ℓσℓν,λ+ℓνℓσ,λ)

+1 2η

σρ_(ℓτ_ℓ

σ,ν +ℓσℓτ,ν)(ℓτℓµ,ρ+ℓµℓτ,ρ)

+1 2η

σρ_(ℓ

τℓµ,ρ+ℓµℓτ,ρ)(ℓτℓν,σ+ℓνℓτ,σ) −1₂ησρητ σ(ℓτℓµ,ρ+ℓµℓτ,ρ)(ℓσℓν,λ+ℓνℓσ,λ)} −1₄α3_{ℓτℓλ(ℓτℓσ,µ+ℓ

σ

ℓτ,µ)(ℓσℓν,λ+ℓνℓσ,λ)

+ℓτℓλ(ℓσℓµ,τ +ℓµℓσ,τ)(ℓσℓν,λ+ℓνℓσ,λ) −ησρ_ℓτ_ℓλ_(ℓ

τℓµ,ρ+ℓµℓτ,ρ)(ℓσℓν,λ+ℓνℓσ,λ)

+ℓσℓρ(ℓτℓµ,ρ+ℓµℓτ,ρ)(ℓτℓσ,ν+ℓσℓτ,ν)

+ℓσ_ℓρ_(ℓ

τℓµ,ρ+ℓµℓτ,ρ)(ℓτℓν,σ+ℓνℓτ,σ) −ητ λ_ℓσ_ℓρ_(ℓ

τℓµ,ρ+ℓµℓτ,ρ)(ℓσℓν,λ+ℓνℓσ,λ)} −1₂α4_{ℓσ_ℓρ_ℓτ_ℓλ_(ℓ

= 1

Pada ruang waktu kosong, Rµν = 0, dan selama α adalah konstanta

sem-barang maka setiap suku dari ketiga sukuαharuslah bernilai nol. Jikaℓµ6= 0,

maka suku ketiga memberikan

a2 _{= 0,}

(60) dimana

aµ = ℓνℓµ,ν (61)

akan didapatkan juga~a_·~l= 0,maka dapat dituliskan untuk sebuah operator skalar A

lalu untuk aµ

aµ _{= g}µν_a ν

= ηµνℓβℓν,β

= ℓβ_ℓµ

,β. (63)

Bila didefinisikan B =ℓµ

,µ, maka suku pertama

ηστ_(ℓ

µℓν),στ = (ℓσℓµ),σν + (ℓσℓν),σµ

= (ℓσ,σℓµ+ℓσℓµ,σ),ν+ (ℓσ,σℓν+ℓσℓν,σ),µ

= (Bℓµ+Aℓµ),ν + (Bℓν+Aℓν),µ

(ℓµℓν) = [(A+B)ℓµ],ν + [(A+B)ℓν],µ (64)

dimana

≡ηµν ∂

2

∂xµ_∂xν (Persamaan D’Alembert) (65)

kemudian dengan mengkontraksikan persamaan (64) denagn ηµν _dan

mem-baginya dengan 2

ηµν (ℓµℓν) = ηµν{(Bℓµ+Aℓµ),ν+ (Bℓν+Aℓν),µ}

(ℓν_ℓ

ν) = [(A+B)ℓν],ν+ [(A+B)ℓµ],µ

0 = 2[(A+B)ℓµ],µ

0 = [(A+B)ℓµ_]

,µ (66)

lalu untuk bagian suku keduanya akan bernilai nol jika pada suku pertama dan ketiga berlaku

(ℓσ_ℓτ₎

,σ(ℓµℓν),τ = (ℓσ,σℓ

τ _+ℓσ_ℓτ

,σ)(ℓµ,τℓν +ℓµℓν,τ)

= (Bℓτ _+Aℓτ_)(ℓ

µ,τℓν +ℓµℓν,τ)

= (A+B)(Aℓµℓν +Aℓµℓν)

ℓσ_ℓτ_(ℓ

µℓν),στ = ℓσℓτ(ℓµℓν,στ +ℓνℓµ,στ +ℓµ,σℓν,τ +ℓµ,τℓν,σ)

= ℓσ_ℓ

µℓτℓν,στ +ℓνℓσℓτℓµ,στ +ℓσℓµ,σℓτℓν,τ

+ℓτℓµ,τℓσℓν,σ

= ℓσ_[ℓτ_(ℓ

µℓν),τ],σ−ℓσℓτ,σ(ℓµℓν),τ

+ℓσ[ℓτ(ℓνℓµ),τ],σ−ℓσℓτ,σ(ℓνℓµ),τ

+ℓσ_ℓ

µ,σℓτℓν,τ +ℓτℓµ,τℓσℓν,σ

= ℓσ_[A(ℓ

µℓν)],σ−Aℓτ(ℓµℓν),τ

+ℓσ[A(ℓνℓµ)],σ−Aℓτ(ℓνℓµ),τ + 2A2(ℓµℓν)

= ℓσ_A

,σℓµℓν +ℓσA(ℓµℓν),σ−Aℓτ(ℓµℓν),τ

ℓσ_A

,σℓνℓµ+ℓσA(ℓνℓµ),σ−Aℓτ(ℓνℓµ),τ

+2A2(ℓµℓν)

= ℓσ_A

,σℓµℓν +A2(ℓµℓν)−A2(ℓµℓν)

+ℓσA,σℓνℓµ+A2(ℓµℓν)−A2(ℓµℓν)

+2A2(ℓµℓν)

= 2(ℓσ_A

,σ+A2)ℓµℓν (68)

(ℓσℓµ),τ(ℓτℓν),σ = (ℓµℓσ,τ +ℓ σ

ℓµ,τ)(ℓνℓτ,σ+ℓ τ

ℓν,σ)

= ℓµℓσ,τℓνℓτ,σ+ℓµℓσ,τℓ τ_ℓ

ν,σ

+ℓσ_ℓ

µ,τℓνℓτ,σ+ℓ σ_ℓ

µ,τℓτℓν,σ

= ℓµℓν[(ℓσ,τℓ τ

),σ−ℓσ,τ σℓ τ

] + 3A2ℓµℓν

= ℓµℓν[(Aℓσ),σ−B,τℓτ + 3A2] (69)

kembali mengambil persamaan (64)

(ℓµℓν) = [(A+B)ℓµ],ν+ [(A+B)ℓν],µ

ℓµ ℓν +ℓν ℓµ+ 2ηστℓµ,σℓν,τ = ℓµ(A+B),ν+ℓν(A+B),µ

+(A+B)(ℓµ,ν +ℓν,µ)

dengan ℓν akan didapat

ℓµ _ℓ

µ = ℓµ(A+B),µ+A(A+B)

= [ℓµ(A+B)],µ−B(A+B) +A(A+B)

= ₋B(A+B) +A(A+B)

= A2₋B2 (70)

tapi

0 = (ℓµℓν)

= ℓµ _ℓ

µ+ℓµ ℓµ+ηστℓµ,σℓµ,τ

+ηστ_ℓµ ,τℓµ,σ

= 2(ℓµ ℓµ+ηστℓµ,τℓµ,σ)

= 2(A2₋B2+ηστ_ℓµ ,τℓµ,σ)

B2_−A2 _{= η}στ_ℓµ

,τℓµ,σ (71)

maka

ητ σℓσ,τℓµℓσ,λℓν = ℓµℓν(B2−A2) (72)

dengan menghapus faktor α2_{/2 dari suku α}2 _{akan didapat}

= 2A(A+B)ℓµℓν+ 2(ℓσA,σ+A2)ℓµℓν −1₂ℓµℓν[(Aℓσ),σ−B,τℓτ + 3A2] +

1

2ℓµℓν(B

2

−A2) +1

2ℓνℓµ(B

2

−A2)2A(A+B)ℓµℓν+ 2(ℓσA,σ+A2)ℓµℓν −1₂Aℓτℓνℓτ.µ+

1 2Aℓσℓ

σ ,µℓν −

1 2Aℓ

σ

ℓµℓσ,ν −1₂ℓµℓν[(Aℓσ),σ−B,τℓτ + 3A2]

+1

2ℓµℓν(B

2_−A2_{) +} 1

2Aℓτℓ

τ ,νℓµ+

1

2ℓνℓµ(B

2_−A2₎

−1

2ℓµℓν[(Aℓ

σ₎

,σ−B,τℓτ + 3A2] −1

2ℓµℓν[(Aℓ

σ₎

= 2A(A+B)ℓµℓν + 2(ℓσA,σ+A2)ℓµℓν −1₂ℓµℓν[(Aℓσ),σ−B,τℓτ + 3A2] +

1

2ℓµℓν(B

2

−A2) +1

2ℓνℓµ(B

2

−A2)₋1

2ℓµℓν[(Aℓ

σ

),σ−B,τℓτ + 3A2]

= 2A(A+B) + 2(ℓσA,σ+A2)−

1 2[(Aℓ

σ

),σ−B,τℓτ+ 3A2]

+1 2(B

2

−A2) + 1 2(B

2

−A2)₋ 1 2[(Aℓ

σ

),σ−B,τℓτ+ 3A2]

= 2A(A+B) + 2(ℓσ_A

,σ+A2)−(Aℓσ),σ+B,σℓσ−3A2

+B2₋A2

= 2A2 + 2AB+ 2ℓσA,σ+ 2A2−(Aℓσ),σ+B,σℓσ −4A2 +B2

= 2ℓσ_A

,σ−(Aℓσ),σ+ 2AB+B2+B,σℓσ

= 2ℓσA,σ−(Aℓσ),σ+ 2A,σℓσ +Bℓσ,σ+B,σℓσ

= 2(Aℓσ₎

,σ−(Aℓσ),σ+ (Bℓσ),σ

= (Aℓσ₎

,σ+ (Bℓσ),σ

0 = [(A+B)ℓσ],σ (73)

Seperti halnya pernyataan diawal. selanjutnya kita set α = 1.

Keadaan Stasioner

Sekarang diasumsikan ℓµ takbergantung terhadap koordinat x0. Dapat

dit-ulis ℓµ = ℓ(1, λ1, λ2, λ3), dengan ℓµ adalah null λj adalah vektor-tiga, maka

persamaan

(ℓµℓν) = [(A+B)ℓµ],ν+ [(A+B)ℓν],µ

dapat dibentuk ulang

∇2(ℓ0ℓ0) = [(A+B)ℓ0],0+ [(A+B)ℓ0],0

∇2(ℓ2) = 0 (74)

∇2(ℓ2λi) = [(A+B)ℓ0],0+ [(A+B)ℓ0],i

= [(A+B)ℓ],i (75)

∇2_(ℓ2_λ

persamaan-persamaan tersebut akan memberikan

∇2ℓ2λi = (ℓ2λi),kk

= (ℓ2,kλi+ℓ2λi,k),k

= ℓ2,kkλi+ℓ2,kλi,k +ℓ2λi,kk +λi,kℓ2,k

ℓ2λi,kk+ 2(ℓ2),kλi,k = [(A+B)ℓ],i

∇2(ℓ2λiλj) = (ℓ2λiλj),kk

= (ℓ2λi,kλj +ℓ2λj,kλi+ℓ2kλiλj),k

= ℓ2

,kλi,kλj +ℓ2λi,kkλj +ℓ2λi,kλj,k

+ℓ2,kλj,kλi+ℓ2λj,kkλi+ℓ2λj,kλi,k

+ℓ2_,kkλiλj+ℓ2,kλi,kλj +ℓ2,kλiλj,k

[(A+B)ℓλi],j+ [(A+B)ℓλj],i = ℓ2λi,kkλj+ℓ2λiλj,kk

+2ℓ2λi,kλj,k+ 2ℓ2,kλi,kλj

+2ℓ2_,kλiλj,k

0 = ℓ2λi,kkλj +ℓ2λiλj,kk + 2ℓ2λi,kλj,k+ 2ℓ2,kλi,kλj

+2ℓ2_,kλiλj,k −[(A+B)ℓλi],j−[(A+B)ℓλj],i

= ℓ2_λ

i,kkλj +ℓ2λiλj,kk + 2ℓ2λi,kλj,k+ 2ℓ2,kλi,kλj

+2ℓ2,kλiλj,k −[(A+B)ℓ],jλi−[(A+B)ℓ],iλi,j −[(A+B)ℓ]iλj−[(A+B)ℓ]λj,i

= ℓ2λi,kkλj +ℓ2λiλj,kk + 2ℓ2λi,kλj,k+ 2ℓ2,kλi,kλj

+2ℓ2,kλiλj,k −[(A+B)ℓ],jλi−[(A+B)ℓ],iλi,j −(A+B)ℓ(λi,j+λj,i)

= 2ℓ2λi,kλj,k−(A+B)ℓ(λi,jλj,i)

2ℓ2λi,kλj,k = (A+B)ℓ(λi,jλj,i)

atau bisa ditulis

λi,kλj,k =

(A+B)

jika kita definisikan

(A+B)

2ℓ = p (78)

λi,k = M

maka persamaan (77) bisa ditulis

M+MT − 1

pM M

T _{= 0. (79)}

denagn λ2 = 1, maka

(λjλj),i = λj,iλj +λjλj,i

= 2λjλj,i

λjλj,i =

1

2(λjλj),i = 0

MT_{λ = 0 (80)}

disini λ berada dalam ruang null dari MT_{. Bila pada persamaan (61) µ= 0}

maka

Aℓµ = ℓνℓµ,ν

Aℓ = ℓnuℓ,ν

= ℓλiℓ,i

Aℓλi = ℓν(ℓλi),ν

= ℓλjℓ,jλi+ℓλjℓi,j

= Aℓλi+ℓ2λjλi,j

ℓ2λjλi,j = 0

λjλi,j = 0

maka λjuga berada dalam ruang null dariM. Dengan memakai suatu matrik orthogonal baru R yang bila dioperasikan pada λ akan menghasilkan

Rλ = λ′ ₍₈₂₎

bentuk M′ _haruslah

M′ ₌

Selama matrik tersebut tidak berubah terhadap perotasian, maka bentuk metrik N′ _{dan M}′ _{juga memenuhi bentuk persamaan (79)}

N′_+N′T

atau

I₋ N ′ p =





cosθ ₋sinθ

−sinθ ₋cosθ 



untuk sembarang θ. Dengan memilih kemungkinan pertama akan didapat

N′ _=p 



1₋cosθ sinθ

−sinθ 1₋cosθ 

 (89)

maka kita dapatkan untuk nilai M′

M′ _=p 

   

0 0 0

0 1₋cosθ sinθ 0 ₋sinθ 1₋cosθ



   

(90)

Kemudian untuk mengembalikan kebentuk M dapat kita pakai M = RTM′_R

Mik = RilTMlj′ Rjk

Mik = RliMlj′Rjk

= R2iM22′ R2k+R2iM23′ R3k+R3iM32′ R2k+R3iM33′ R3k

= p(1₋cosθ)R2iR2k+psinθR2iR3k−psinθR3iR2k

+p(1₋cosθ)R3iR3k

= p(1₋cosθ)(R2iR2k+R3iR3k)

+psinθ(R2iR3k−R3iR2k) (91)

Karena R adalah matrik rotasi orthogonal kolom dan baris, maka matrik R akan memenuhi

R1iR1k+R2iR2k+R3iR3k =δik

R2iR3k−R3iR2k=ǫiklR1l

jika R1i ≡Ri maka persamaan (A.46) akan menjadi

dengan kembali melihat bentuk λ′ _{maka akan kita dapatkan}

R_·λ= 1 (93)

dimana R disini menunjukkan vektor R1i = Ri. Disini akan didapat bahwa

Ri =λi. Maka akan kita dapatkan bentuk

Mik =λi,k = p(1−cosθ)(δik−λiλk) +psinθǫiklλl

= α(δik−λiλk) +βǫiklλl (94)

dengan

α=p(1₋cosθ), β=psinθ.

Dengan memakai i=k pada persamaan (94) dan menjumlahkannya λ1,1+λ2,2+λ3,3 = α(δ11−λ1λ1+δ22−λ2λ2+δ33−λ3λ3)

= α(3₋1)

∇ ·λ = 2α. (95)

Dengan mengalikan persamaan (A.49) dengan ǫjki lalu menjumlakannya di i

dan k

ǫ312λ2,1+ǫ321λ1,2+ǫ213λ3,1+ǫ231λ1,3+ǫ123λ3,2+ǫ132λ2,3

=₋α_{ǫ312λ2λ1+ǫ321λ1λ2+ǫ213λ3λ1+ǫ231λ1λ3+ǫ123λ3λ2

+ǫ132λ2λ3}+β{ǫ312ǫ213λ3+ǫ321ǫ123λ3+ǫ213ǫ321λ2

+ǫ231ǫ132λ2+ǫ123ǫ321λ1 +ǫ132ǫ231λ1}

λ2,1−λ1,2−λ3,1 +λ1,3+λ3,2−λ2,3

=₋α_{λ1λ2 −λ2λ1−λ3λ1+λ1λ3+λ3λ2−λ2λ3}

−β2_{λ1+λ2+λ3}

Laplasian dari λ dapat diperoleh dengan dua cara. Pertama dengan menu-runkan persamaan (94) terhadap xk

λi,kk = [α(δik−λiλk)],k+ (βǫiklλl),k

= α,k(δik−λiλk)−αλi,kλk−αλiλk,k+ǫikl(βλl),k

= α,kδik−α,kλiλk−α[α(δik−λiλk) +βǫiklλl]λk −αλ_{∇ ·}λ+ǫiklβ,kλl+ǫiklβλl,k

= ∇α₋λ(_∇α_·λ)₋α(2αλ₋2αλ)₋2α2λ

+_∇β_×λ+β_{∇ ×}λ

= _∇α₋λ(_∇α_·λ)₋2α2λ+_∇β_×λ+ (₋2βλ)

∇2λ = _∇α₋λ(_∇α_·λ)₋2(α2+β2)λ+_∇β_×λ (97) Dan cara kedua dengan identitas vektor

∇ ×(_{∇ ×}λ) = _∇(_{∇ ·}λ)_{− ∇}2λ −2_{∇ ×}(βλ) = 2_∇λ_{− ∇}2λ

∇2λ = 2λα+ 2_{∇ ×}(βλ)

= 2λα+ 2_∇β_×λ+ 2β_{∇ ×}λ

= 2λα₋2λ_{× ∇}β+ 2β(₋2βλ)

= 2λα₋2λ_{× ∇}β₋4β2λ (98) dengan menjumlahkan persamaan (97) dengan persamaan (98) akan didapat

∇α = λ_{× ∇}β₋λ(λ_{· ∇}α)₋2(α2₋β2)λ (99) dari bentuk tersebut akan didapat

∇α = λ_{× ∇}β₋λ(β2_−α2_)−2(α2_−β2_)λ

= λ_{× ∇}β₋λ(α2₋β2)

dengan

∇α_·λ = (λ_{× ∇}β)_·λ₋(λ_{· ∇}α)₋2(α2₋β2) = ₋(λ_{· ∇}α)₋2(α2₋β2)

2_∇α_·λ = ₋2(α2₋β2)

∇α_·λ = β2₋α2 (101)

(_∇β_×λ)_·λ = (β,2λ3−β,3λ2 +β,3λ1−β,1λ3+β,1λ2−β,2λ1)·λ

= β,2λ3λ1−β,3λ2λ1+β,3λ1λ1−β,1λ3λ1

+β,1λ2λ1−β,2λ1λ1

= 0 (102)

dari persamaan (96), divergensi dari βλadalah nol, maka

∇ ·βλ = β(_{∇ ·}λ) +_∇β_·λ ∇ ·

−∇ ×₂ λ

= β(_{∇ ·}λ) +_∇β_·λ

0 = β(_{∇ ·}λ) +_∇β_·λ ∇β_·λ = ₋β(_{∇ ·}λ)

= ₋2αβ (103)

mengalikan silang λ dengan persamaan (100) akan menghasilkan

λ_{× ∇}α = λ_×(β2₋α2)λ₋λ_×(_∇β_×λ)

= ₋λ_×(_∇β_×λ) = λ_×(λ_{× ∇}β) = λ(λ_{· ∇}β)₋λ2_∇β

∇β = λ(λ_{· ∇}β) + (_∇α_×λ)

dengan memakai simbol baru γ _≡α+iβ:

∇γ_·λ = _{∇ ·}(_∇α+i_∇β) = λ_{· ∇}α+iλ_{· ∇}β = β2₋α2₋2iαβ

= ₋γ2 (105)

∇γ = _∇α+i_∇β

= (β2₋α2)λ+λ_{× ∇}β₋2iαβλ₋i(λ_{× ∇}α) = (β2_−α2 _{−2iαβ)λ+λ×(∇β−i∇α)}

= ₋γ2λ₋i(λ_{× ∇}γ) (106)

dan akan didapat,

∇ ·(_∇γ) = _{−∇ ·}(γ2λ)_{− ∇ ·}(iλ_{× ∇}γ)

∇2_{γ = −2γ(∇γ·λ)−γ}2_{(∇ ·λ)}

−i_{∇γ_·(_{∇ ×}λ) +λ_·(_{∇ × ∇}γ)_} = ₋2γ(_∇γ_·λ)₋γ2(_{∇ ·}λ)

−i_{∇γ_·(_{∇ ×}λ)_}

= ₋2γ(₋γ2)₋γ(2α)₋2iβγ2 = 2γ2(γ₋α₋iβ)

= 0 (107)

(_∇γ)2 = [₋γ2λ₋i(λ_{× ∇}γ)]2

= γ4_{+ 2iγλ·(λ× ∇γ)−(λ× ∇γ)}2

= γ4₋(λ_{× ∇}γ)2

= γ4_{− {}(_∇γ)2₋(λ_{· ∇}γ)2_} = γ4_{− {}(_∇γ)2₋γ4_}

jika kita definisikan konstanta baru ω= 1/γ, maka

∇ω = ₋∇γ

γ2

= γ

2_{λ+iλ× ∇γ}

γ2

= γ2λ+iλ_× ∇γ

γ2

= γ2λ+iλ_{× ∇}ω (109)

λ_{· ∇}ω = λ_· −∇γ

γ2

= 1 (110)

(_∇ω)2 = (∇γ)

2

γ4

= 1 (111)

∇ω_{× ∇}ω_∗ = (λ₋iλ_{× ∇}ω)_×(λ+iλ_{× ∇}ω_∗)

= λ_×λ+λ_×(iλ_{× ∇}ω_∗) +λ_×(iλ_{× ∇}ω) +(λ_{× ∇}ω)_×

= iλ_×(_∇ω_·λ)₋iλ2_∇ω+iλ_×(_∇ω_{∗ ·}λ)

−iλ2_∇ω_∗+λ_×λ+ (λ_{× ∇}ω)_×(λ_{× ∇}ω_∗) = ₋i_∇ω₋i_∇ω_∗+Hλ

= ₋i(_∇ω+_∇ω_∗) +Hλ (112) dengan H adalah representasi dari semua fungsi yang berhubungan dengan λ. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, persamaan tersebut dilakukan perkalian titik dengan _∇ω

∇ω_·(_∇ω_{× ∇}ω_∗) = i_∇ω_·(_∇ω+_∇ω_∗) +_∇ω_·Hλ

0 = ₋i(1 +_∇ω_{· ∇}ω_∗) +H

sehingga akan diadaptkan

∇ω_{× ∇}ω_∗ = ₋i(_∇ω+_∇ω_∗) +i(1 +_∇ω_{· ∇}ω_∗)λ

i_∇ω_{× ∇}ω_∗ = (_∇ω+_∇ω_∗)₋(1 +_∇ω_{· ∇}ω_∗)λ

(1 +_∇ω_{· ∇}ω_∗)λ = ₋i_∇ω_{× ∇}ω_∗+(_∇ω+_∇ω_∗)

λ = ∇ω+∇ω∗ −i∇ω× ∇ω∗

1 +_∇ω_{· ∇}ω_∗ (114)

Persamaan tersebut dapat memberikan ℓ hanya dalam fungsi γ. Karena ℓ haruslah memenuhi pers.(74),(75), maka ℓ2 _{= α. Persamaan (107)}

menun-jukkan bahwaα harmonik sehingga pers.(74) haruslah lenyap. Untuk menun-jukkan bahwa ℓ2 _{=α adalah solusi dari pers.(75), maka}

∇2(αλj) = (αλj)kk

= (α,kλj+αλj,k),k

= αkkλj +α,kλj,k+α,kλj,k+αλj,kk

= _∇2αλj+ 2α,kλj,k +α∇2λj

= α_∇2λj+ 2α,kλj,k (115)

dengan memakai pers.(94),(98),(100),dan (104) akan didapat

∇2(αλj) = 2α∇α+ 2α(∇β×λ)−4αβ2λ

+2α,k(α(δjk −λjλk) +βεjklλl)

= 2α_∇α+ 2α(_∇β_×λ)₋4αβ2λ+ 2α_∇α

−2α(_∇β_×λ) + 2β(_∇α_×λ) = 4α_∇α₋4αβ2λ+ 2β(_∇α_×λ) = 4α_∇α₋4αβ2λ+ 2β(₋2αβλ+_∇β) = 2α_∇α+ 2β_∇β

= _∇(α2+β2) (116)

dari definisi α dan β akan didapat

α2_+β2 _{= (p[1−cosθ])}2 _{+ (psinθ)}2

= p2₋2p2cosθ+p2cos2θ+p2sin2θ = 2p2(1₋cosθ)

dari definisi pers.(78) akan didapat

A+B = ℓ α(α

2_+β2_{) (118)}

lalu jika ℓ2 _{=α, sisi kanan pers.(75) menjadi}

[(A+B)ℓ],j = (α2+β2),j. (119)

Persamaan t sesuai dengan pers.(116), maka terbukti bahwa ℓ2 _=α.

Pada kasus ini

γ = p 1

(x+ia)2 (120)

atau untuk ω

ω =p(x+ia)2 ₍₁₂₁₎

dengan memisahkan bagian real dan imajinernya

ω=ρ+iσ, ω2 =ρ2₋σ2+ 2iρσ=x2₋a2+ 2ia_·x

dengan

r =√x2_{, a=}√_a2

maka

ρ2₋σ2 =r2₋a2, ρσ=a_·x,

ρ2_+σ2 _{= ρ}2₊ (a·x)2

ρ2

= ρ

4_{+ (a·x)}2

Dengan memilih a= (0,0, a) dan x= (x, y, z). Lalu

Metrik tersebut adalah metrik Kerr. Metrik tersebut akan kembali menjadi metrik Schwarzschild dalam bentuk Edington jika a= 0.

dx2+dy2 = _|d(x+iy)_|2

= _|d[(ρ+ia)eiφ_sinθ] |2

= _|eiφsinθdρ+ (ρ+ia)eiφcosθdθ+i(ρ+ia)eiφsinθdφ_|2 = _|sinθcosφdρ+ρcosθcosφdθ₋acosθsinφdθ

−ρsinθsinφdφ₋acosφsinθdφ+i(sinθsinφdρ +ρsinφcosθdθ+acosφcosθdθ+ρcosφsinθdφ

−asinφsinθdφ)_|2

= (sinθcosφdρ+ρcosθcosφdθ₋acosθsinφdθ

−ρsinθsinφdφ₋acosφsinθdφ)2 + (sinθsinφdρ +ρsinφcosθdθ+acosφcosθdθ+ρcosφsinθdφ)2 = sin2θdρ2+ 2ρsinθcosθdρdθ₋2asin2θdρdφ

+ρ2cos2θdθ2₋2aρsinθcosθdθdφ+a2cos2θdθ2 +2aρsinθcosθdθdφ+ρ2sin2dφ2+a2sin2θdφ2

dx2 = dz2+dx2+dy2

= cos2θdρ2 +ρ2sin2θdθ2 ₋2ρsinθcosθdρdρ + sin2θdρ2+ 2ρsinθcosθdρdθ₋2asin2θdρdφ

+ρ2cos2θdθ2+a2cos2θdθ2+ρ2sin2dφ2+a2sin2θdφ2 = (cos2_{θ+ sin}2_θ)dρ2_+ρ2_(sin2_{θ+ cos}2_θ)dθ2

+a2cos2θdθ2₋2asin2θdρdφ+ρ2sin2θdφ2 +a2sin2θdφ2

= dρ2+ (ρ2+a2cos2θ)dθ2+ (ρ2+a2) sin2θdφ2

−2asin2θdρdφ.

d_|x+iy_|2 = d(x2+y2) = 2(xdx+ydy)

xdx+ydy = 1

2d|x+iy|

2

= 1 2d[(ρ

2_+a2_{) sin}2_θ]

xdy₋ydx = _ℑ[(x₋iy)d(x+iy)]

= _ℑ{(ρ₋ia)e−iφ_sinθ[eiφ_{sinθdρ+ (ρ+ia)e}iφ_cosθdθ

+i(ρ+ia)eiφsinθdφ]_}

= _ℑ[(ρ₋ia) sin2θdρ+ (ρ2+a2) sinθcosθdθ+i(ρ2+a2) sin2θdφ] = ₋asin2θdρ+ (ρ2+a2) sin2θdφ

maka elemen garis pers.(128) dapat menjadi

ds2 = ₋d(x0)2+ρ2+ (ρ2+a2cos2θ)dθ2+ (ρ2+a2) sin2θdφ2

−2asin2θdρdφ+ 2mρ ρ2_+a2_cos2_θ

dx0+ ρ ρ2_+a2

(ρsin2θdρ+ sinθ(ρ2+a2) cosθdθ) + a ρ2_+a2

(₋asin2θdρ+ (ρ2+a2) sin2θdφ) +cos2θdρ

−ρsinθcosθdθ 2

= ₋d(x0)2+ρ2+ (ρ2+a2cos2θ)dθ2+ (ρ2+a2) sin2θdφ2

−2asin2θdρdφ+ 2mρ ρ2_+a2_cos2_θ

dx0+ ρ

2

ρ2_+a2 sin 2_θdρ

+ρsinθcosθdθ₋ a

2

ρ2_+a2 sin

2_θdρ+asin2_θdφ

+asin2_{θdφ+ cos}2_{θdρ−ρsinθcosθdθ}

2

= ₋d(x0)2+ +ρ2+ (ρ2+a2cos2θ)dθ2+ (ρ2+a2) sin2θdφ2

−2asin2θdρdφ+ 2mρ ρ2_+a2_cos2_θ

dx0+asin2θdφ

+ρ

2_+a2_cos2_θ

ρ2_+a2 dρ+asin 2_θdφ

2

(130)

dengan mengenalkan suatu bentuk variabel baru

x0 =x0′+ Z

2mρ

ρ2_+a2_−2mρdρ,

φ =φ′₊ Z

2a ρ2_+a2 −

a ρ2_+a2_−2mρ