Sebaran Peluang Bersama

Peubah Acak Yang Menyebar Bersama

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak

diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X dan Y adalah

p(x,y) = P(X=x, Y=y)

Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x dan y. Fungsi dari p(x,y)

Sifat fungsi peluang bersama p(x,y)

1. p(x,y) ≥ 0

2.  _

) ,

Contoh 1

Misalkan bahwa 3 bola diambil dari

sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah

banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang

 Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang

mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0)

 f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola

merah dan 0 bola putih

 Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola

adalah =220

 Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah,

0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10

 f(0,0) adalah 10/220

 Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1

 Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk

contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut

 Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3

p(x,y) _{0 1} x_{2 3} Total Baris

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

Total Kolom 84/22₀ 108/2₂₀ 27/22₀ 1/220 1

3 4 5 3 ( , )

12 3

x x x y p x y

����� �

�����_{ } �

����� �



Definisi

Untuk dua peubah acak X dan Y, fungsi

sebaran peluang kumulatif bersama dari X dan Y adalah

F(a,b) = P{Xa,Yb}

Untuk dua peubah acak diskret X dan Y, F(a,b) memiliki bentuk

F(a,b) =

 



 

a

x

b

Definisi

 Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang

kontinu dengan fungsi sebaran bersama F(a,b). Jika terdapat fungsi nonnegatif f(x,y) sedemikian hingga

 untuk semua bilangan nyata a dan b, maka X

dan Y dikatakan peubah acak kontinu yang menyebar bersama.

 Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepekatan

peluang bersama.

  

   

a b

dxdy y

x f b

a

Contoh

 Fungsi kepekatan bersama X dan Y

adalah

Hitung a. P(X>1,Y<1) b. P(X<Y)

c. P(X<a)

2

2 0 ,0

( , )

0

x y

e e x y

f x y

selainnya

 

� _{ } � _{ } �

 _�

c. P(X<a) = = = 1-e -a





 

a

x

y_{e dydx}

e

0 0

2

2 _{e dx}

a x

Sifat dari Fungsi Sebaran Bersama F(a,b)

 F(-, -) = F(-, y) = F(x, -) = 0

 F(, ) = 1

 Jika a

2 ≥ a1 dan b2 ≥ b1, maka

Sifat dari fungsi kepekatan bersama

1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua x, y

2.   



 



 

1 )

,

Contoh

Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani

pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk

melayani pelanggan yang memanfaatkan layanan

1. Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi

kepekatan peluang yang sah

2. Berapa peluang bahwa kedua layanan

Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran adalah

Sebaran Peluang Marginal dan Sebaran Peluang Bersyarat

 Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak

diskret yang menyebar bersama dengan fungsi peluang p(x,y), maka fungsi

peluang marginal dari X dan Y adalah dan

 

y

x x p x y

p ( ) ( , )  

x

y y p x y

 Misalkan X dan Y adalah peubah acak

kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama

f(x,y), maka fungsi kepekatan marginal dari X dan Y adalah

 dan

 



 

dy y

x f x

f _x ( ) ( , ) _ 

 

dx y

x f y

Contoh

Misalkan

Carilah fungsi kepekatan marginal X dan Y.

Jawab

Fungsi kepekatan marginal X adalah

= 2x(1) – 2x(0) = 2x, 0 x 1

2 , 0 1,0 1 ( , )

0,

x x y

f x y

selainnya

� � � � �

 _�

�

1

1 0 0

( ) ( , ) 2 2

X

f x f x y dy xdy xy

�

�

Sedangkan fungsi kepekatan marginal Y

adalah 1 2 1

0 0

( ) ( , ) 2 1

Y

f y f x y dx xdx x

�

�

Fungsi peluang diskret bersyarat X jika diketahui Y

Contoh

Dari Sebaran bersama berikut

a. P(X=0|Y=1)

b. P(X=1|Y=1)

c. P(X≥2|Y=1)

p(x,y)

x

Total Baris

0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/22₀ 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/22₀   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

b. P(X=1|Y=1) =

c. P(X≥2|Y=1) =

=

( 1, 1) 60 / 220 ( 1) 112 / 220

P X Y P Y

 _{ } 

( 2, 1) ( 2, 1) ( 3, 1)

( 1) ( 1)

P X Y P X Y P X Y

P Y P Y

     

�



 

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak

kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi kepekatan marginal f_x(x) dan f_y(y), maka fungsi kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah

 Dan fungsi kepekatan bersyarat Y jika

diketahui X=x adalah

Contoh

Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan

banyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu hari dan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selama hari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut

a. Tentukan fungsi kepekatan bersyarat X jika diketahui Y=y b. Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurang

dari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awal hari

1/ 2, 0 ,0 2 ( , )

0,

x y y

f x y

selainnya

� � � � �

 _�

b. P(X1/2|Y=1) = 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0

0 0

1

( | ) 1/ 2

1

f x y dx  dx x 

Peubah Acak yang Bebas

(

Independent

)

Definisi

Misalkan X mempunyai fungsi sebaran F_x(x), Y mempunyai fungsi sebaran F_y(y), dan X dan Ymemiliki fungsi sebaran bersama F(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika

F(x,y) = F_x(x) . F_y(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang marginal p_x(x) dan p_y(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

p(x,y) = p_x(x)p_y(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama

f(x,y) dan kepekatan marginal f_x(x) dan f_y(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

f(x,y) = f_x(x)f_y(y)

Contoh

p(x,y) _{0 1} x_{2 3} Total Baris

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

Total Kolom 84/22₀ 108/2₂₀ 27/22₀ 1/220 1

Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:

Apakah X dan Y bebas?

Jawab.

Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan p_X(0) = 84/220 dan p_Y(0) = 56/220 sehingga

Contoh

Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran bersama berikut?

Jawab.

Kita dapatkan sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas

Theorema

Misalkan X dan Y memiliki kepekatan

bersama f(x,y), yang positif jika dan hanya jika axb, cyd, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) = 0 selainnya, maka X

dan Y adalah peubah acak yang bebas jika dan hanya jika

f(x,y) = g(x) h(y)

Contoh

a. Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama

Apakah X dan Y bebas Jawab

f(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1

Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas

2 , 0 1,0 1

( , )

0,

x x y

f x y

selainnya � � � � �

 _�

 Misalkan X dan Y memiliki kepekatan

bersama

Apakah X dan Y bebas Jawab

fungsi kepekatan bersama positif jika dan

hanya jika , tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif pada selang a  x  b, c  y  d

5 , 0 1

( , )

0,

x y x

f x y

selainnya

� � � �

 _�

Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan.

Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah acak yang tidak bebas karena