Bab 2. Tinjauan Pustaka. 2.1 Pendahuluan. 2.2 Bunga Majemuk

Tinjauan Pustaka

2.1 Pendahuluan

Sebelum melakukan penganalisisan untuk pemodelan matematika aktuaria yang mengarah ke reversionary anuities maka kita perlu memperkaya diri dengan teori- teori pendukungnya sehingga apa yang kita hendak tuju dalam penulisan tesis ini dapat diperoleh.

2.2 Bunga Majemuk

Jenis bunga yang digunakan adalah bunga majemuk. Didefinisikan sebagai suatu perhitungan bunga yang besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Besarnya pen- dapatan bunga tergantung pada besar pokok, jangka waktu investasi dan tingkat bunga.

Dalam bunga majemuk didefinisikan fungsi sebagai faktor diskonto (v) : v = 1

1 + i (2.1)

Sedangkan untuk tingkat diskonto (d) didefinisikan , sebagai berikut : d = 1− v = i

1 + i = i.v (2.2)

4

Definisi 2.2.1 (the force of interest) : The force of interest didefinisikan oleh

δ = lim

m→∞i^(m) = lim

m→∞(1 + i) (2.3)

maka diperoleh

e^δ = (1 + i) atau δ = ln (1 + i) (2.4)

2.3 Mortalitas

Mortalitas diungkapkan dengan variabel acak T (x). Misalkan seseorang beru- sia x tahun, dinotasikan sebagai (x), maka sisa umurnya (future lifetime), T (x) = X− x|X > x, artinya variabel acak yang menyatakan (x) akan meninggal sesudah mencapai usia x tahun, bila diketahui ia masih hidup pada usia x tahun. Dapat dituliskan variabel acak dari sisa kehidupan (x) adalah X − x = T (x). Dengan demikian X = T (x) + x. Jadi T (x) adalah periode (x) akan meninggal.

Fungsi distribusi (d.f.) dari variabel acak T (x) = X − x|X > x yang kontinu adalah

F (t) = Pr ((x) akan meninggal dalam periode t tahun)

= Pr (T (x)≤ t|X > x) , t≥ 0

F (t) = tqx (2.5)

dan fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak T (x) dinyatakan dengan f (t) = Pr (t < T (x) < t + ∆t) = d

dtF (t). Dari persamaan (2.10) akan diperoleh hubungan sebagai berikut

tpx+ tqx = 1

dimana notasi tpx menyatakan peluang bahwa (x) hidup paling sedikit t tahun lagi atau akan meninggal setelah t tahun, yang biasanya disebut sebagai fungsi survival dari variabel acak T (x), yaitu

s (t) = Pr (T (x) > t|X > x) .

Bila x = 0 maka tp0 menyatakan peluang bayi yang baru lahir bisa mencapai usia t tahun, yaitu suatu fungsi survival yang dinyatakan dengan notasi s (t) = tp0. Bila t = x maka diperoleh peluang bayi baru lahir bisa mencapai usia x.

s (x) = xp0.

Misalkan lx menyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang hidup dari sejumlah l0 yang lahir, maka akan diperoleh beberapa hubungan sebagai berikut

lx = l0.s (x) = l0.xp0 (2.6)

tpx = lx+t

lx

tqx = 1−^tpx = 1− lx+t

lx

= lx− l^x+t lx

= dx

lx

dimana dxmenyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang mati sebelum men- capai usia (x + 1) tahun.

Definisi 2.3.1 (the force of mortality) :

The force of mortality dari (x) pada usia x + t didefinisikan dengan μ_x+t= f (t)

1− F (t). (2.7)

Definisi diatas dapat diturunkan lagi menjadi μ_x+t=−dtpx

dt . 1

tpx

=−d

dtln (tpx) (2.8) dan

tpx= exp

⎛

⎝−

Zt 0

μ_x+s ds

⎞

⎠ (2.9)

sehingga diperoleh fungsi kepadatan peluang dari T (x), yaitu

f (t) = tpx.μ_x+t (2.10)

sedangkan fungsi distribusi dari T (x) adalah F (t) = tqx = 1− ^tpx = 1− exp

⎛

⎝−

Zt 0

μ_x+s ds

⎞

⎠ . (2.11)

Di dalam matematika aktuaria terdapat berbagai notasi yang sering digunakan untuk menyatakan peluang (bersyarat), antara lain

1. upx+tadalah peluang bersyarat (x) akan mencapai usia x + t + u tahun atau akan meninggal setelah x+t +u tahun bila ia bisa mencapai usia x+ t tahun, yang dinyatakan dengan

upx+t = Pr (T (x) > t + u|T (x) > t)

= ^t+upx upx

(2.12) dimanat+upx adalah peluang tidak bersyarat bahwa (x) akan mencapai usia x + t + u.

2. uqx+t adalah peluang bersyarat bahwa (x) akan meninggal sebelum usia x + t + utahun bila ia bisa mencapai usia x + t tahun, yang dinyatakan dengan

uqx+t= 1− ^upx= ^t+uqx− ^tqx tpx

. (2.13)

3. _t|uqx adalah peluang bahwa (x) akan meninggal antara usia x + t tahun dan x + t + utahun, yang dinyatakan dengan

t|uqx = Pr (t < T (x)≤ t + u)

= Pr (T (x)≤ t + u) − Pr (T (x) ≤ t)

t|uqx = t+uqx− ^tqx (2.14)

= (1− ^t+upx)− (1 − ^tpx)

= tpx− ^t+upx

= tpx(1− ^upx+t)

t|uqx = tpx.uqx+t (2.15)

untuk u = 1, maka

t|q^x = tpx.qx+t. (2.16) Pada kasus diskrit, sisa umur seseorang dinyatakan oleh variabel acak K (x) yang didefinisikan dengan K (x) = [T (x)] dengan notasi [T (x)] menyatakan bilan- gan bulat terbesar yang lebih kecil dari T (x). Fungsi distribusi (d.f.) dari variabel

acak K (x) adalah

F (k) = Pr (K (x)≤ k) = Pr (T (x) ≤ k + 1)

= k+1qx.

Sedangkan fungsi kepadatan peluang dari K (x) adalah f (k) = Pr (K (x) = k), k = 0, 1, 2, ...

= Pr ([T (x)] = k)

= Pr (k < T (x)≤ k + 1)

= kpx− ^k+1px

= kpx.qx+k

= k|q^x. (2.17)

Beberapa ilmuan telah melakukan penelitian untuk mencari distribusi T (x) yang pada akhirnya menghasilkan beberapa macam hukum mortalitas, yaitu Hukum De Moivre, Hukum Gompertz, dan Hukum Makeham. Dalam tesis ini, Hukum Gompertz akan dipakai untuk menentukan distribusi dari T (x).

Bila the force of mortality mengikuti Hukum Gompertz maka μ_x+t dapat dit- uliskan dengan

μ_x+t= Bc^x+t, B > 0, c > 0, t > 0

jika nilai B dan C sudah tertentu maka tpx dapat dituliskan sebagai fungsi dari B, C, x, dan t

tpx = exp

⎛

⎝−

Zt 0

Bc^x+s ds

⎞

⎠

= exp µ

−Bc^x. 1 ln c

¡c^t− 1¢¶

= exp¡

−mc^x¡

c^t− 1¢¢

(2.18) dimana

m = B ln c

jika t = x dan x = 0 diperoleh fungsi survival bagi (x) sebagai berikut :

s (x) = xp0 = exp (−m (c^x− 1)) . (2.19)

2.4 Anuitas (Annuity)

Anuitas didefinisikan sebagai suatu rangkaian pembayaran dalam jumlah ter- tentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanju- tan. Suatu anuitas yang pasti dilakukan dalam jangka pembayaran disebut anuitas pasti.

2.4.1 Anuitas Pasti (Pembayaran Tahunan)

Anuitas yang dibayarkan di awal jangka waktu pembayaran anuitas disebut anuitas awal (annuity-due) sedang bila di akhir jangka waktu pembayaran disebut anuitas akhir (annuity-immediate).

Total nilai sekarang dari anuitas akhir yang dapat dinotasikan sebagai a_ne (annuity-immediate) adalah :

P V = a_ne = v + v²+ v³+ ... + vⁿ⁻¹+ vⁿ dengan menggunakan rumus deret geometri, maka :

a_ne = v¡

1 + v²+ v³+ ... + vⁿ⁻²+ vⁿ⁻¹¢

= v

µ1− vⁿ 1− v

¶

, dari persamaan (2.2) , maka

= v

µ1− vⁿ iv

¶

a_ne = 1− vⁿ

i (2.20)

Sedangkan anuitas awal yang dinotasikan sebagai ¨a_ne (annuity-due) :

¨

a_ne = 1 + v²+ v³ + ... + vⁿ⁻²+ vⁿ⁻¹

= v

µ1− vⁿ 1− v

¶ ,

¨

a_ne = 1− vⁿ

d (2.21)

2.4.2 Anuitas Pasti (Pembayaran m-kali setahun)

Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m-kali dalam setahun dengan selang pembayaran setiap 1/m tahun dan total pembayarannya dalam satu tahun

sebesar 1.

Maka total nilai sekarang dari anuitas tersebut yang dinotasikan, a^(m)_ne adalah : a^(m)_ne = 1

m

¡v^1/m+ v^2/m+ v^3/m+ ... + v^n−1/m+ vⁿ¢

= 1

m

µv^1/m− v^n+1/m 1− v^1/m

¶

= 1− vⁿ

mh

(1 + i)^1/m− 1i, a^(m)_ne = 1− vⁿ

i^(m) (2.22)

Sedangkan untuk anuitas awal yang dinotasikan ¨a^(m)_ne :

¨

a^(m)_ne = 1 m

¡1 + v^1/m+ v^2/m+ v^3/m+ ... + v^n−1/m¢

= 1

m

µ 1− vⁿ 1− v^1/m

¶

= 1− vⁿ

mh

1− (1 − d)^1/mi,

¨

a^(m)_ne = 1− vⁿ

d^(m) (2.23)

2.4.3 Anuitas Pasti (Pembayaran Kontinu)

Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m kali dalam setahun dengan m → ∞, atau dengan kata lain pembayarannya dilakukan setiap saat. Notasi anuitas tersebut adalah ¯a_ne

¯

a_ne = lim

m→∞¯a^(m)_ne = lim

m→∞

1− vⁿ i^(m)

= 1− vⁿ

δ (2.24)

2.5 Anuitas Hidup (Life Annuity)

Anuitas hidup (Life Annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup. Besarnya pembayaran bisa tetap atau berubah-ubah.

Jenis anuitas yang digunakan adalah anuitas seumur hidup (Whole Life Insur- ance).

2.5.1 Anuitas Hidup Kontinu (Continuous Life Annuities)

Anuitas seumur hidup sebesar 1 per akhir tahun dengan pembayaran kontinu atau setiap saat. Nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut variabel acak Y adalah

Y = ¯a_{T e}, T ≥ 0 dari persamaan (2.24) didapat

¯

a_{T e}= 1− v^T δ

Actuarial Present Value (AP V ) dari anuitas tersebut adalah

¯

ax = E [Y ] = E£

¯ a_{T e}¤

= Z∞

0

¯

a_te.g (t) dt

dengan menggunakan pengintegralan parsial integral tentu : Zb

a

u dv = [uv]^a_b − Zb

a

v du

Andaikan : u = ¯a_{T e} ⇒ du dt = d

dt

µ1− v^t δ

¶

= d dt

µ

−v^t δ

¶

=−1 δ

dv^t dt

=−1

δ.v^t. ln v = 1

δ.v^t. ln (1 + i)⁻¹ = 1 δ.v^t.δ

= v^t ⇒ du = v^t.dt dv = g (t) dt

dv = tpx.μ_x+t dt → v =−^tpx

sehingga :

¯ ax =

Z∞ 0

¯

a_te.g (t) dt

= ¯a_te.tpx

¯¯^∞

0 − Z∞

0

−^tpx.v^t dt

jika : t =∞ → ^tpx = 0 ; ¯a_te = 1− v^∞

δ = 1

δ t = 0 → ^tpx = 1 ; ¯a_te = 1− v⁰

δ = 0 Maka :

¯

ax = E£ a_{T e}¤

= Z∞

0

v^t.tpx dt (2.25)

Hubungan antara anuitas seumur hidup dengan asuransi seumur hidup yang kontinu :

E£

¯ a_{T e}¤

= E

∙1− v^T δ

¸

= Z∞

0

1− v^T

δ .g (t) dt

= 1 δ − 1

δ Z∞

0

v^t.g (t) dt

maka :

¯

ax = 1 δ − 1

δA¯x = 1− ¯Ax

δ

δ¯ax = 1− ¯Ax ⇒ A¯x+ δ¯ax = 1 (2.26)

2.5.2 Anuitas Hidup Diskrit (Discrete Life Annuities)

Anuitas hidup diskrit menggunakan anuitas awal (annuity-due) yang pembayaran- nya setiap awal tahun. Nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut yang merupakan variabel acak dari Y adalah :

Y = ¨a_K+1|, K ≥ 0 dari persamaan (2.21) akan didapat :

¨

a_K+1| = 1− v^K+1 d

AP V dari anuitas tersebut, ¨ax :

¨

ax = E [Y ] = Eh

¨ a_K+1|i

= X∞ k=0

¨

a_k+1|. Pr (K = k)

= X∞ k=0

¨

a_k+1|.kpx.qx+k

= X∞ k=0

v^k.kpx (2.27)

Hubungan anuitas dengan asuransi adalah :

¨

ax = Eh

¨ a_K+1|i

= E

∙1− v^K+1 d

¸

maka akan didapat :

¨

ax = 1− E£ v^K+1¤ d

= 1− A^x

d (2.28)

2.5.3 Anuitas Hidup dengan m-kali Pembayaran

AP V dari anuitas hidup sebesar 1 pertahun, yang dibayarkan 1/m pada awal setiap 1/m tahun selama orang berusia (x) tersebut hidup hingga K + (J + 1) /m.

Variabel acak Y adalah :

Y =

mk+jX

j=0

1 mv^j/m

= ¨a^(m)

K+(J+1)/m|

= 1− v^k+(j+1)/m

d^(m) (2.29)

AP V dari anuitas :

¨

a^(m)_x = E [Y ] = Eh

¨ a^(m)

K+(J+1)/m|

i

= X∞ k=0

¨ a^(m)

k+(j+1)/m|. Pr (K = k)

= 1

m X∞

k=0

v^k/m.k/mpx (2.30)

Hubungan anuitas dengan asuransi adalah :

¨

a^(m)_x = Eh

¨ a^(m)

K+(J+1)/m|

i

= E

∙1− v^K+(J+1)/m d^(m)

¸

(2.31) maka akan didapat :

¨

a^(m)_x = 1− E£

v^K+(J+1)/m¤ d^(m)

= 1− A^(m)x

d^(m) (2.32)

2.6 Anuitas Survivor, Anuitas Reversionary

Anuitas yang dibayarkan kepada istri pada waktu suaminya meninggal disebut Anuitas Janda, jika anuitas dibayarkan dengan syarat orangtuanya meninggal disebut anuitas yatim (orphans annuity). Dalam istilah umum disebut Sur- vivor Annuity, dalam bagian ini dibahas perhitungan-perhitungannya.

Pada anuitas ini dimulai pada waktu suami atau orangtuanya meninggal kepada isteri atau anak akan dibayarkan sejumlah anuitas, pada anuitas yang jatuh waktu, nilai sekarang pembayaran anuitas di waktu yang akan datang pada waktu kontrak dimulai perhitungan premi tunggalnya bisa dilakukan (nilai sekarang dari survivor annuity). Dari (x) , (y) , pada waktu (x) meninggal dunia dimulai pada akhir tahun polis setiap tahun dilakukan pembayaran anuitas hidup sebesar 1 sejauh (y) hidup, pembayaran terakhir dilakukan pada akhir tahun ke−n, nilai sekarang anuitas tersebut dinyatakan dalam a_x|y:n| dengan menggunakan nilai kemungkinan, maka

a_x|y:ne = qx py v ¨a_y+1:ne+ _1|qx 2py v² ¨a_y+2:n−1|

+ _2|qx 3py v³ ¨a_y+3:n−2|+ ... + _n−1|qx npy vⁿ ¨a_y+n:1| (2.33)

= qx(pyv)¡

1 + py+1 v + ... + _n−1py+1 vⁿ⁻¹¢ + _1|qx

¡

2pyv²¢ ¡

1 + py+2 v + ... + _n−2py+2 vⁿ⁻²¢ + _2|qx

¡

3pyv³¢ ¡

1 + py+3 v + ... + _n−3py+3 vⁿ⁻³¢ +...

+ _n−1|qx(npyvⁿ)

= (pyv) qx+¡

2pyv²¢ ¡

qx+ _1|qx

¢+¡

3pyv³¢ ¡

qx+ _1|qx+ _2|qx

¢ +.... + (npyvⁿ)¡

qx+ _1|qx+ ... + _n−1|qx

¢

= Xn

t=1

tpy v^t tqx = Xn

t=1

v^t(1− ^tpx) tpy (2.34) Rumus pada (2.34) bisa diinterpretasikan sebagai syarat berikut. Pada saat pem- bayaran anuitas satu demi satu, pada saat itu syarat pembayarannya adalah digambarkan pada nilai kemungkinannya, pada saat itu nilai sekarang pemba- yarannya anuitas dikalikan dengan v^t jumlah totalnya digambarkan pada (2.34).

Dalam hal pembuatan formula reversionary annuity seperti dijelaskan dalam bagian ini, untuk memperkenalkan akan lebih mudah bila menggunakan cara berpikir yang demikian. Dari ruas kanan (2.34) dari bentukP

−P

didapatkan

a_x|y:n| = a_y:n|− a_xy:n| (2.35)

ruas kanan menggambarkan pembayaran anuitas hidup dari (y), dikurangi pem- bayaran anuitas hidup (x) , (y) , sesudah (x) meninggal menggambarkan besarnya pembayaran anuitas hidup kepada (y). Perhitungan menggunakan (2.35), menjadi sederhana. Benefit anuitas seumur hidup kepada (y) dinyatakan untuk n → ∞, seperti rumus berikut ini:

a_x|y = ay− a^xy (2.36)

Berikut ini anuitas dalam setahun dibayarkan sebanyak k kali, setelah (x) mening- gal, pembayaran anuitasnya berikutnya kepada (y) yang berupa anuitas hidup be- sarnya adalah ¹_k−nya, n tahun kemudian pembayaran anuitas selesai, nilai sekarangnya adalah

a^(k)

x|y:n|= Xnk

t=1

³

t−1

k px− _k^tpx

´

t

kpy v^kt ¨a_y+t

k:n−^t−1_k | (2.37) bentuk ini adalah similar dengan (2.33) , atau menggunakan cara yang pada (2.34) .

a^(k)

x|y:n| = a^(k)

y:n|− a^(k)_xy:n| (2.38)

Jika k → ∞, didapatkan

a_x|y:n| = a_y:n|− a_xy:n| (2.39)

(2.33)atau (2.36) , single life x atau y diganti dengan xy atau yang paling akhir hidup xy dimasukkan pada rumus tersebut akan didapatkan suatu formula. Jika persyaratan anuitasnya ditambahkan beberapa kondisi, aplikasi menjadi lebih luas dari pada survivor annuity. Berikut ini diperlihatkan reversionary annuity (dan juga survivor annuity).

1. (y) diganti dengan (y) dan (z) yang hidup bersamaan dimulai pada akhir tahun polis pada waktu (x) meninggal, yang masih hidup (y) dan (z) , sampai pada akhir tahun polis ke−n, setiap tahun dibayarkan anuitas hidup sebesar 1, similar dengan (2.33) nilai sekarangnya adalah:

a_x|yz:n| = Xn

t=1

t−1|qx v^t tpyz ¨ay+t,z+t:n−t+1| (2.40) dalam bentuk lain menjadi

a_x|yz:n|= Xn

t=1

v^t tqx tpyz = Xn

t=1

v^t(1− ^tpx) tpyz (2.41)

atau juga

a_x|yz:n|= a_yz:n|− a_xyz:n| (2.42)

Jika dalam 1 tahun anuitasnya dibayarkan k kali, maka a diganti dengan a^(k) jika dibayarkan secara kontinu digunakan a, formulanya mirip dengan (2.42) .

2. (x) diganti dengan (x) dan (y) yang hidup bersamaan, penerimaan anu- itasnya adalah (z) , jika di antara (x) dan (y) ada yang meninggal (yang manapun juga), pada akhir tahun polis tersebut jatuh tempo anuitas untuk (z), dengan menggunakan _t|qxy nilai sekarang anuitasnya

a_xy|z:n|= Xn

t=1

t−1|qxy v^t tpz ¨a_z+t:n−t+1| (2.43) Dengan menggunakan hubungan yang ada, didapatkan perubahan bentuk seperti yang ada pada (2.33)

a_xy|z:n|= Xn

t=1

v^t tqxy tpz = Xn

t=1

v^t(1− ^tpxy) tpz (2.44)

juga didapatkan rumus berikut ini :

a_xy|z:n| = a_z:n|− a_xyz:n| (2.45)

3. (y) diganti dengan yang terakhir hidup di antara (y) dan (z) , dimulai pada akhir tahun polis di mana (x) meninggal, nilai sekarang anuitas yang dibayar sejauh (y) atau (z) hidup adalah:

a_x|yz:n| = Xn

t=1

t−1|qxv^t[tpy tqz ¨a_y+t:n−t+1|+ tqy tpz a¨_z+t:n−t+1|

+ tpy tpz a¨y+t,z+t:n−t+1|] (2.46)

dalam hubungan ini didapatkan juga:

a_x|yz:n| = a_yz:n|− a_x,yz:n| (2.47)

Suku ketiga ¨a yang terdapat dalam [...] pada (2.46) a_x|yz:n| =

Xn t=1

t−1|qxv^t[tpy ¨a_y+t:n−t+1|+ tpz ¨a_z+t:n−t+1|

+ tpyz ¨ay+t,z+t:n−t+1|]

Dari yang ada dalam kurung, (2.33) , (2.40) didapatkan

a_x|yz:n|= a_x|y:n|+ a_x:z:n|− a_x|yz:n| (2.48)

Dari hasil ini dengan menggunakan (2.35) dan (2.42) maka a_x|yz:n| =³

a_y:n| + a_z:n|− a_yz:n|´

−³

a_xy:n|+ a_xz:n|− a_xyz:n|´

Suku pertamanya sama dengan a_yz:n|, suku keduanya hasilnya sama dengan a_x,yz:n|, dari sinar (2.47) bisa dibuktikan. Jika menggunakan (2.34) , maka

a_x|yz:n|= Xn

t=1

v^t(1− ^tpx) tpyz (2.49)

ruas kanannya bisa dinyatakan dalam P

−P

, dan didapatkan (2.47) . 4. (x) diganti dengan yang hidup paling akhir di antara (x) dan (y) sebagai

penerima anuitas adalah (z) , dimulai pada akhir tahun pada waktu yang hidup paling akhir di antara (x) dan (y) meninggal dimulai pembayaran reversionary annuity kepada (z), dengan menggunakan _t−1|qxy , maka nilai sekarangnya

a_xy|z:n|= Xn

t=1

t−1|qxy v^t tpz ¨a_z+t:n−t+1| (2.50) Perubahan bentuk seperti (2.33) dapat dilakukan

a_xy|z:n|= Xn

t=1

v^t tqxy tpz = Xn

t=1

v^t(1− ^tpxy) tpz (2.51)

bisa didapatkan juga hubungan seperti di bawah ini:

a_xy|z:n|= a_z:n|− a_xy,z:n| (2.52)

Dengan melihat pengaruh yang ada pada point 1-4, berapapun jumlah ter- tanggung secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut:

a_{X|Y :n|} = a_{Y :n|}− a_{XY :n|} (2.53)

sedang yang dimaksud dengan X adalah xyz... atau xyz..., Y adalah abc...atau abc...

Pada reversionary annuity, premi tahunan dibayar sampai tahun di mana pembayaran anuitasnya dimulai pada akhir tahun, (x) , (y) , (z) meninggal secara berurutan, benefitnya jatuh tempo secara berurutan, atau sebelum jatuh tempo kontraknya putus, akan diperhitungkan besar pendapatan premi.

Sebagai contoh premi tahunan untuk anuitas sebesar 1.

a_x|y:n|

¨

a_xy:n|,a_x|yz:n|

¨

a_xyz:n|,a_x|yz:n|

¨ a_x,yz:n|

Terakhir, bentuk dasar reversionary annuity, bentuknya dapat diubah dalam 2 macam seperti pada (1) .

5. m < n, dalam jangka waktu m tahun yang dimulai pada saat kontrak dibuat (x)meninggal dunia, dari akhir tahun polis tersebut, atau m tahun kemudian (x) tetap hidup, dari akhir tahun polis tersebut, setiap tahun dibayarkan kepada (y) anuitas sebesar 1, anuitas tersebut dibayarkan sampai akhir tahun polis ke n, nilai sekarangnya dinotasikan dengan a_x:m||y:n|

Dari (2.34) pembayaran masing-masing anuitas dilakukan sampai akhir tahun polis ke m−1, sampai saat pembayaran masing-masing (x) meninggal dunia, pada saat tersebut (y) tetap hidup, pada dan sesudah akhir tahun polis ke-m tidak ada lagi hubungannya dengan kematian (x) karena (y) tetap hidup

a_x:m||y:n| =

m−1X

t=1

v^t(1− ^tpx) tpy+ Xn t=m

v^t tpy

= Xn

t=1

v^t tpy −

m−1X

t=1

v^t tpxy

= a_y:n|− a_xy:m−1| (2.54)

Untuk mendapatkan premi tahunan dibagi dengan ¨a_xy:m|.

6. Dewasa ini persoalan yang ada pada reversionary annuity, tanpa menunggu akhir tahun polis kematian (x) , jika pada waktu (x) meninggal, (y) tetap

hidup, pada saat itu anuitasnya dimulai reversionary annuity yang diba- yarkan segera dinotasikan dengan bax|y. Sekarang anuitasnya terhadap (y), dan anuitasnya sampai tahun polis ke n. Kematian (x) rata-rata terjadi pada pertengahan tahun polis, sebagai ganti (2.33), didapatkan

ˆ

a_x|y:n| = Xn

t=1

t−1|q_xy¹ v^t−12 ¨a_y+t−¹

2:n−t+1| (2.55)

maka

ˆ

a_x|y:n| = Xn

t=1

t−1|q_{x t−}¹

2py v^t−12 ¨a_y+t−¹

2:n−t+1| (2.56)

Perhitungan menjadi

¨ a_y+t−¹

2:n−t+1| = a¨y+t−1:n−t+1|+ ¨a_y+t:n−t+1|

2

Jadi, kita bisa sedikit ambil penjelasan anuitas reversionary itu anuitas yang dialihkan. Sebagai contoh jika status x jatuh, dialihkan ke y. Dan lagi jika sta- tus x dan y jatuh maka dialihkan ke z itu jg dengan persyaratan yang telah diatur/ditentukan. Untuk kasus pensiun, anuitas reversionary di jelaskan pada penetapan anutias janda dan anuitas yatim. Sehingga kelak jika dilibatkan dalam perhitungan normal cost, anuitas reversionary berperan dalam perhitungan PV (present value) untuk pensiun janda dan pensiun yatim.

2.7 Compound Survivorship Annuity

Sebagai contoh a_xy|z:n|dan a_xy|z:n|persoalannya adalah (x) dan (y) dalam keadaan hidup bersamaan atau yang paling akhir hidup, sebagai contoh anuitasnya dimu- lai pada saat (x) meninggal paling awal, atau anuitasnya dimulai pada waktu (y) meninggal pada urutan ke-2, jika persoalannya adalah urutan kematian disebut Compound Survivorship Annuity. Pada permasalahan ini digunakan Com- pound Contingent Function tersebut di pembahasan Probabilitas Joint Condi- tional Life. Berikut ini diberikan 2 hal yang mendasar.

1. (x) meninggal duluan dari (y) dimulai pada akhir tahun polis kepada (z) dibayarkan anuitas tahunan sebesar 1 sampai akhir tahun polis ke n, nilai sekarangnya dituliskan dalam bentuk a¹

xy|z:n|. Penggambaran x ini meny- atakan dimulainya anuitas setelah x meninggal. Dengan menggunakan _t|q_xy¹ , maka

a¹_xy|z:n|= Xn

t=1

t−1|q_xy¹ v^t tpz ¨a_z+t:n−t+1| (2.57) Pembuktian menggunakan proses yang sama seperti pada (2.34) , maka

a¹_xy|z:n|= Xn

t=1

v^t tq¹_{xy t}pz (2.58)

Dari (2.34), memperlihatkan saat pembayaran masing-masing, dan juga mem- perhatikan fungsi kondisi pembayaran, dari rumus tersebut bisa dituliskan ruas kanannya. Perhatikan anuitasnya dihitung _t|q_xy¹ , dihitung tq_xy¹ , dima- sukkan pada ruas kanannya.

Jika dimasukkan pada 2.43 didapatkan rumus berikut ini:

a_xy|z:n| = a¹_xy|z:n|+ a_xy|z:n|¹ (2.59) 2. (y) meninggal duluan dari (y) dimulai pada akhir tahun polis pada waktu

(x)meninggal, dimulai anuitasnya (z) , menggunakan _t|q²_xy , maka a²

xy|z:n|= Xn

t=1

t−1|q_xy² v^t tpz ¨a_z+t:n−t+1| (2.60) Pembuktiannya menggunakan proses yang ada pada (2.34), maka

a²_xy|z:n|= Xn

t=1

v^t tq²_{xy t}pz (2.61)

Menggunakan hubungan yang ada pada (2.60) , maka

a¹_xy|z:n|+ a²_xy|z:n|= a_x|z:n| (2.62) Membandingkan a¹

xy|z:n| dan a ²

xy|z:n| dengan kondisi (x) yang lebih cepat meninggal daripada (y) , perbedaannya ada pada dimulainya anuitas jatuh

tempo, yang pertama setelah kematian (x) , yang lain setelah kematian (y).

Dengan menggunakan (2.62) dan (2.59) perbedaan keduanya a¹

xy|z:n|− a_xy|z:n|² = a¹

xy|z:n|−³

a_y|z:n|− a_xy|z:n|¹ ´

= a_xy|z:n|− a_y|z:n| (2.63)

Dengan menggunakan (2.45) dan (2.35) didapatkan a¹_xy|z:n|− a_xy|z:n|² = a_yz:n|− a_xyz:n|

dari ruas kanan (2.42) didapatkan rumus berikut ini

a¹_xy|z:n|− a_xy|z:n|² = a_x|yz:n| (2.64)

Compound Survivorship Annuity, premi tahunan, benefitnya dimulai pada akhir tahun polis. Keadaannya sama dengan survivor annuity, benefitnya dimulai berdasarkan urutan yang mati, dalam hubungannya dengan pemu- tusan kontrak, sampai kapan pembayarannya dilakukan. Besarnya anuitas 1, premi tahunan, dinyatakan dalam rumus berikut ini.

a¹

xy|z:n|

¨ a_xyz:n|,

a²

xy|z:n|

¨ a_xz:n|

Pada Compound Survivorship Annuity, anuitasnya dimulai pada akhir tahun polis, ada juga dimulainya pada saat kejadian. Perhitungannya menggu- nakan dan berdasarkan rumus (2.55) , (2.56) . Sebagai contoh dalam keadaan (2.57) ,didapatkan rumus berikut ini:

ˆ

a¹_xy|z:n|= Xn

t=1

t−1|q¹_xy v^t−12 _t−¹

2pz ¨a_z+t−¹

2:n−t+1| (2.65)