OSILASI
Osilasi
Osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi kesetimbangannya.
Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah gerak tersebut bersifat periodik, yaitu berulang-ulang.
Contoh : perahu kecil yang berayun turun naik, bandul jam yang berayun ke kiri dan ke kanan, senar gitar yang bergetar, dll
Gerak gelombang berhubungan erat dengan gerak osilasi.
Contoh : gelombang bunyi dihasilkan oleh getaran (seperti
senar gitar), getaran selaput gendang, dll.
Osilasi
Osilasi Harmonis Sederhana:
Beban Massa pada Pegas
Salah satu gerak osilasi yang sangat lazim dan sangat penting adalah gerak harmonis sederhana.
Apabila sebuah benda disimpangkan dari kedudukan setimbangnya, gerak harmonik akan terjadi jika ada gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya dan simpangan tersebut kecil.
Suatu sistem yang menunjukkan gejala harmonik sederhana adalah sebuah benda yang tertambat pada sebuah pegas.
Pada keadaan setimbang, pegas tidak mengerjakan gaya pada benda. Apabila benda disimpangkan sejauh x dari setimbang, pegas mengerjakan gaya –kx.
x
F = -kx
Osilasi Harmonis Sederhana:
Beban Massa pada Pegas
Perhatikan kembali sistem benda pegas!
Gaya pemulih yang bekerja pada benda adalah F = - kx, tanda – timbul karena gaya pegas berlawanan arah dengan simpangan.
Gabungkan gaya tersebut dengan hukum kedua Newton, kita mendapatkan 2
2
d x k
a = = - ( )x
dt m
2 2
F= -kx = ma = m d x dt
Percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan karakteristik umum gerak harmonik sederhana dan bahkan dapat digunakan untuk mengidentifikasi sistem-sistem yang dapat menunjukkan gejala gerak harmonik sederhana.
F = -kx
Osilasi Harmonis Sederhana:
Beban Massa pada Pegas
2 2
d x k
= - ( )x
dt m
Persamaan Diferensial untuk OHS.
Solusi persamaan di atas yang berbentuk osilasi harmonik sederhana adalah X = A sin(ωt + θ) atau X = A cos(ωt + θ)
Di mana
A ≡ simpangan maksimum = amplitudo, ω=frekuensi sudut, θ = fasa awal, (ωt + θ) = fasa, ω = 2πf = 2π/T, T = waktu yang diperlukan suatu benda untuk melakukan satu osilasi.
Fasa awal θ bergantung pada kapan kita memilih t = 0.
Satuan A sama dengan X yaitu meter, satuan fasa (ωt + θ) adalah radian Satuan f adalah Hz (s-1) dan satuan T adalah s (detik)
Osilasi Harmonis Sederhana:
Beban Massa pada Pegas
Misalkan persamaan simpangan OHS adalah X = A sin(ωt + θ), substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan diferensial OHS diperoleh ω2 = k/m.
Dalam menyelesaikan persoalan OHS secara umum kita harus mencari terlebih dahulu 3 besaran yaitu A, ω, dan θ. Setelah ke-3nya diketahui maka kita mengetahui persamaan posisi untuk osilasi, kemudian dengan cara mendeferensiasi x terhadap t kita memperoleh kecepatan dan percepatan osilasi.
2
2 2
2
x =Acos(ωt+θ)
v = dx =ωAcos(ωt+θ) dt
dv d x
a = = = -ω Asin(ω ) dt dt
a = -ω x
t +θ
V berharga maksimum (ωA) saat x = 0, pada saat tersebut a = 0.
a berharga maksimum (ω2A) saat x =±A, pada saat tersebut v = 0
Osilasi Harmonik Sederhana : soal-soal
Sebuah partikel memiliki simpangan x = 0,3 cos (2t + π/6) dengan x dalam meter dan t dalam sekon.
a. Berapakah frekuensi, periode, amplitudo, frekuensi sudut, dan fasa awal?
b. Di manakah partikel pada t = 1 s?
c. Carilah kecepatan dan percepatan pada setiap t!
d. Carilah posisi dan kecepatan awal partikel!
Sebuah benda 0,8 kg dihubungkan pada sebuah pegas dengan k = 400 N/m.
Carilah frekuensi dan perode gerak benda ketika menyimpang dari kesetimbangan.
Sebuah benda 5 kg berosilasi pada pegas horizontal dengan amplitudo 4 cm.
Percepatan maksimumnya 24 cm/s2. Carilah a. Konstanta pegas
b. Frekunsi dan perioda gerak
Osilasi Harmonis Sederhana:
Energi
Bila sebuah benda berosilasi pada sebuah pegas, energi kinetik benda dan energi potensial sistem benda-pegas berubah terhadap waktu.
Energi total (jumlah energi kinetik dan energi potensial) konstan.
Energi potensial sebuah pegas dengan konstanta k yang teregang sejauh x adalah U = ½ kx
2.
Energi kinetik benda (m) yang bergerak dengan laju v adalah K = ½ mv
2.
Energi total = ½ kx
2+ ½ mv
2= ½ kA
2.
Persamaan energi total memberikan sifat umum yang
dimiliki OHS yaitu berbanding lurus dengan kuadrat
amplitudo.
Osilasi Harmonis Sederhana: Energi
Sebuah sistem benda pegas disimpangkan sejauh A dari posisi setimbangnya, kemudian dilepaskan. Pada keadaan ini benda dalam keadaan diam dan pegas memiliki energi potensial sebesar ½ kA2.
Saat benda mencapai titik setimbang energi potensial pegas nol. Dan benda bergerak dengan laju maksimum vmaks, energi kinetik benda ½ mVmaks2.
Bagaimana energi pada saat pegas
tersimpangkan sejauh x? E = ½ mv2 + ½ kx2
Osilasi Harmonis Sederhana: Energi contoh
Sebuah benda 3 kg yang dihubungkan pada sebuah pegas berosilasi dengan amplitudo 4 cm dan periode 2 s.
a.Berapakah energi total ?
b.b. Berapakah kecepatan maksimum benda?
Sebuah benda bermassa 2 kg dihubungkan ke sebuah pegas berkonstanta k = 40 N/m. Benda bergerak dengan laju 25 cm/s saat berada pada posisi setimbang.
a.Berapa energi total benda?
b.Berapakah frekuensi gerak?
c.Berapakah amplitudo gerak?
Osilasi Harmonis Sederhana:
Benda pada pegas vertikal
Perhatikan sebuah pegas yang tergantung secara vertikal!
Pada ujung pegas digantung benda bermassa m sehingga pegas teregang sepanjang yo, sistem setimbang. Dalam hal ini kyo = mg atau yo = mg/k.
Benda disimpangkan sejauh y’ dari posisi setimbang kemudian dilepaskan!
yo
setimbang
y’
2 2 2
o
o 2
2 2
2 2
F = -k y + m g = m a = m d d t
d ( y + y ') -k ( y + y ') + m g = m
d t
d y ' d y ' k
-k y ' = m a ta u = - y '
d t d t m
y
Perhatikan bahwa persamaannya identik dengan sistem pegas- benda horizontal. Solusinya
Y = A sin (ωt+θ), Y = y’
Osilasi Harmonis Sederhana:
Benda pada pegas vertikal
Benda 4 kg digantung pada sebuah pegas dengan k = 400 N/m.
a. Cari regangan pegas ketika dalam keadaan setimbang.
b. Carilah energi potensial total termasuk energi potensial gravitasi, ketika pegas diregangkan 12 cm.
(Asumsikan energi potensial gravitasi nol saat setimbang)
Benda 2,5 kg tergantung pada pegas dengan k = 600
N/m. Benda berosilasi dengan amplitudo 3 cm. Bila
benda berada pada simpangan arah bawah
maksimumnya. Cari energi potensial sistem.
Bandul Sederhana
θ
mg sinθ
mg cosθ L
Perhatikan sebuah bandul bermassa m yang digantungkan pada ujung tali sepanjang L, massa tali di abaikan dan tegangan tali T.
Benda berayun ke kiri dan ke kanan mengikuti busur lingkaran berjari-jari L. Benda setimbang dalam arah radial T = mgcosθ.
Dalam arah tangensial bekerja gaya mgsinθ, gaya ini selalu berlawanan arah dengan arah perubahan θ.
Jadi –mgsinθ = ma = m d2s/dt2, di mana s = Lθ.
–mgsinθ = m Ld2θ/dt2 →d2θ/dt2 = –(g/L)sinθ
Perhatikan persamaan d2θ/dt2 = –(g/L)sinθ, untuk sudut kecil sinθ ≈ θ. Diperoleh d2θ/dt2 = –(g/L)θ, ini adalah persamaan getaran harmonik dengan ω2 = (g/L).
Bandul Fisis
Perhatikan sebuah benda tegar dengan massa m!
Benda dapat berputar pada titik O.
Jarak titik O ke pusat massa adalah r.
Momen inersia benda adalah I
O
pm r
mg θ
mgcosθ mgsinθ
Perhatikan gaya berat yang bekerja pada pusat massa!
Gaya dapat diuraikan menjadi 2 komponen!
Gaya yang menyebabkan benda berayun pada pusat massa adalah mgsinθ atau τ = mgrsinθ (τ = r x F).
Hukum Newton τ = −Iα, di mana α = d2θ/dt2. Untuk sudut kecil sinθ ≈ θ.
d2θ/dt2 =− (mgr/I)θ, ini adalah persamaan getaran harmonik dengan ω2 = (mgr/I)
BANDUL FISIS : soal-soal
Sebuah batang bermassa m dan panjang L digantung secara vertikal pada salah satu ujungnya. Batang berosilasi di sekitar titik setimbangnya. Berapa frekuensi sudut osilasi? (ω=(3g/L)1/2)
Sebuah piringan tipis bermassa 5 kg dan jari-jari 20 cm digantung dengan suatu sumbu horizontal tegak lurus terhadap lingkaran melalui pinggir lingkaran.
Piringan disimpangkan sedikit dari posisi setimbangnya dan dilepas. Cari frekuensi sudut osilasi? (ω=(200/6)1/2)
Bandul Puntir
Gambar di samping memperlihatkan sebuah bandul puntir, yang terdiri dari benda yang digantung dengan kawat yang disangkutkan pada titik tetap. Bila dipuntir hingga sudut Φ, kawat akan mengerjakan sebuah torka (momen gaya) pemulih sebanding dengan Φ, yaitu τ = −κ Φ. Di mana κ adalah konstanta puntir.
Φ
Jika I adalah momen inersia benda terhadap sumbu putar sepanjang kawat, hukum Newton untuk gerak rotasi memberikan
τ= −κΦ = I d2Φ/dt2 atau d2Φ/dt2 = −(κ/I) Φ Persamaan di atas adalah osilasi harmonis sederhana dengan ω2 = (κ/I)
Osilasi Teredam
Pada semua gerak osilasi yang sebenarnya,energi mekanik terdisipasi karena adanya suatu gaya gesekan.
Bila dibiarkan, sebuah pegas atau bandul akhirnya berhenti berosilasi.
Bila energi mekanik gerak osilasi
berkurang berkurang terhadap waktu,
gerak dikatakan teredam.
Osilasi Teredam
Grafik simpangan terhadap waktu untuk osilator yang teredam sedikit. Gerak hampir berupa osilasi harmonik sederhana dengan amplitudo berkurang secara lambat terhadap waktu
Osilasi benda teredam karena pengaduk yang terendam dalam cairan. Laju kehilangan energi dapat bervariasi dengan mengubah ukuran pengaduk atau kekentalan cairan. Meskipun analisis terinci gaya teredam untuk sistem ini cukup rumit, kita sering dapat menyajikan gaya seperti itu dengan suatu persamaan empirik yang bersesuaian dengan hasil eksperimen dan pengolahan matematisnya relatif sederhana.
