MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi)

(1)

MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi)

Antonius Cahya Prihandoko

Universitas Jember Indonesia

Jember, 2015

Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 1 / 20

(2)

1 Ekivalensi

2 Tautologi dan Kontradiksi

3 Kuantifikasi

(3)

Outline

1 Ekivalensi

2 Tautologi dan Kontradiksi

3 Kuantifikasi

(4)

1 Ekivalensi

2 Tautologi dan Kontradiksi

3 Kuantifikasi

(5)

Ekivalensi

(6)

Definisi

Proposisi p dan q dikatakan ekivalen jika p memiliki nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran q

In other words

p ekivalen dengan q bila p ⇔ q bernilai benar

Catatan

Dua proposisi yang ekivalen dikatakan sebagai dua proposisi yang

berekivalensi logis

(7)

Ekivalensi

Definisi

Proposisi p dan q dikatakan ekivalen jika p memiliki nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran q

In other words

p ekivalen dengan q bila p ⇔ q bernilai benar

Catatan

Dua proposisi yang ekivalen dikatakan sebagai dua proposisi yang berekivalensi logis

(8)

Definisi

Proposisi p dan q dikatakan ekivalen jika p memiliki nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran q

In other words

p ekivalen dengan q bila p ⇔ q bernilai benar

Catatan

Dua proposisi yang ekivalen dikatakan sebagai dua proposisi yang

berekivalensi logis

(9)

Ekivalensi

Contoh

suatu kondisional ekivalen dengan kontrapositifnya, atau secara notasi dituliskan: (p ⇒ q) ⇔ (−q ⇒ −p);

sedangkan kondisional, (p ⇒ q), tidak ekivalen dengan konversnya, (q ⇒ p).

(10)

Contoh

suatu kondisional ekivalen dengan kontrapositifnya, atau secara notasi dituliskan: (p ⇒ q) ⇔ (−q ⇒ −p);

sedangkan kondisional, (p ⇒ q), tidak ekivalen dengan

konversnya, (q ⇒ p).

(11)

Ekivalensi

Contoh

suatu kondisional ekivalen dengan kontrapositifnya, atau secara notasi dituliskan: (p ⇒ q) ⇔ (−q ⇒ −p);

sedangkan kondisional, (p ⇒ q), tidak ekivalen dengan konversnya, (q ⇒ p).

(12)

Sehubungan dengan proposisi-proposisi yang saling ekivalen, maka dengan mempergunakan tabel kebenaran dapat ditunjukkan bahwa:

1

−(p ∨ q) ekivalen dengan (−p) ∧ (−q);

2

−(p ∧ q) ekivalen dengan (−p) ∨ (−q).

Ekivalensi tersebut akan memudahkan untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi maupun disjungsi.

Contoh

Negasi dari ”harga BBM naik atau subsidi dikurangi” adalah

”harga BBM tidak naik dan subsidi tidak dikurangi”;

Negasi dari ”gajinya dinaikkan dan rumahnya diperbaiki” adalah

(13)

Ekivalensi

Hukum De Morgan

Sehubungan dengan proposisi-proposisi yang saling ekivalen, maka dengan mempergunakan tabel kebenaran dapat ditunjukkan bahwa:

1

−(p ∨ q) ekivalen dengan (−p) ∧ (−q);

2

−(p ∧ q) ekivalen dengan (−p) ∨ (−q).

Ekivalensi tersebut akan memudahkan untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi maupun disjungsi.

Contoh

Negasi dari ”harga BBM naik atau subsidi dikurangi” adalah

”harga BBM tidak naik dan subsidi tidak dikurangi”;

Negasi dari ”gajinya dinaikkan dan rumahnya diperbaiki” adalah

”gajinya tidak dinaikkan atau rumahnya tidak diperbaiki”

(14)

Sehubungan dengan proposisi-proposisi yang saling ekivalen, maka dengan mempergunakan tabel kebenaran dapat ditunjukkan bahwa:

1

−(p ∨ q) ekivalen dengan (−p) ∧ (−q);

2

−(p ∧ q) ekivalen dengan (−p) ∨ (−q).

Ekivalensi tersebut akan memudahkan untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi maupun disjungsi.

Contoh

Negasi dari ”harga BBM naik atau subsidi dikurangi” adalah

”harga BBM tidak naik dan subsidi tidak dikurangi”;

Negasi dari ”gajinya dinaikkan dan rumahnya diperbaiki” adalah

(15)

Ekivalensi

Hukum De Morgan

Sehubungan dengan proposisi-proposisi yang saling ekivalen, maka dengan mempergunakan tabel kebenaran dapat ditunjukkan bahwa:

1

−(p ∨ q) ekivalen dengan (−p) ∧ (−q);

2

−(p ∧ q) ekivalen dengan (−p) ∨ (−q).

Ekivalensi tersebut akan memudahkan untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi maupun disjungsi.

Contoh

Negasi dari ”harga BBM naik atau subsidi dikurangi” adalah

”harga BBM tidak naik dan subsidi tidak dikurangi”;

Negasi dari ”gajinya dinaikkan dan rumahnya diperbaiki” adalah

”gajinya tidak dinaikkan atau rumahnya tidak diperbaiki”

(16)

Sehubungan dengan proposisi-proposisi yang saling ekivalen, maka dengan mempergunakan tabel kebenaran dapat ditunjukkan bahwa:

1

−(p ∨ q) ekivalen dengan (−p) ∧ (−q);

2

−(p ∧ q) ekivalen dengan (−p) ∨ (−q).

Ekivalensi tersebut akan memudahkan untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi maupun disjungsi.

Contoh

Negasi dari ”harga BBM naik atau subsidi dikurangi” adalah

”harga BBM tidak naik dan subsidi tidak dikurangi”;

Negasi dari ”gajinya dinaikkan dan rumahnya diperbaiki” adalah

(17)

Ekivalensi

Hukum De Morgan

Sehubungan dengan proposisi-proposisi yang saling ekivalen, maka dengan mempergunakan tabel kebenaran dapat ditunjukkan bahwa:

1

−(p ∨ q) ekivalen dengan (−p) ∧ (−q);

2

−(p ∧ q) ekivalen dengan (−p) ∨ (−q).

Ekivalensi tersebut akan memudahkan untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi maupun disjungsi.

Contoh

Negasi dari ”harga BBM naik atau subsidi dikurangi” adalah

”harga BBM tidak naik dan subsidi tidak dikurangi”;

Negasi dari ”gajinya dinaikkan dan rumahnya diperbaiki” adalah

”gajinya tidak dinaikkan atau rumahnya tidak diperbaiki”

(18)

Tunjukkan bahwa pasangan proposisi berikut ekivalen

1

p ∨ q dan −p ⇒ q;

2

p ∧ (−q) dan −(p ⇒ q).

(19)

Ekivalensi

Tunjukkan bahwa pasangan proposisi berikut ekivalen

1

p ∨ q dan −p ⇒ q;

2

p ∧ (−q) dan −(p ⇒ q).

(20)

Tunjukkan bahwa pasangan proposisi berikut ekivalen

1

p ∨ q dan −p ⇒ q;

2

p ∧ (−q) dan −(p ⇒ q).

(21)

Ekivalensi

Sifat-sifat proposisi yang ekivalen

1

p ≡ p

2

(p ≡ q) ⇒ (q ≡ p)

3

[(p ≡ q) ∧ (q ≡ r )] ⇒ (p ≡ r )

catatan

Karena p ⇔ q bernilai benar hanya p ekivalen dengan q, maka p ≡ q dapat digunakan untuk menyatakan p ⇔ q.

Ada juga yang memberi arti simbol ”≡” pada proposisi (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) sebagai ”=”.

(22)

Sifat-sifat proposisi yang ekivalen

1

p ≡ p

2

(p ≡ q) ⇒ (q ≡ p)

3

[(p ≡ q) ∧ (q ≡ r )] ⇒ (p ≡ r )

catatan

Karena p ⇔ q bernilai benar hanya p ekivalen dengan q, maka p ≡ q dapat digunakan untuk menyatakan p ⇔ q.

Ada juga yang memberi arti simbol ”≡” pada proposisi

(p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) sebagai ”=”.

(23)

Ekivalensi

Sifat-sifat proposisi yang ekivalen

1

p ≡ p

2

(p ≡ q) ⇒ (q ≡ p)

3

[(p ≡ q) ∧ (q ≡ r )] ⇒ (p ≡ r )

catatan

Karena p ⇔ q bernilai benar hanya p ekivalen dengan q, maka p ≡ q dapat digunakan untuk menyatakan p ⇔ q.

Ada juga yang memberi arti simbol ”≡” pada proposisi (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) sebagai ”=”.

(24)

Sifat-sifat proposisi yang ekivalen

1

p ≡ p

2

(p ≡ q) ⇒ (q ≡ p)

3

[(p ≡ q) ∧ (q ≡ r )] ⇒ (p ≡ r )

catatan

Karena p ⇔ q bernilai benar hanya p ekivalen dengan q, maka p ≡ q dapat digunakan untuk menyatakan p ⇔ q.

Ada juga yang memberi arti simbol ”≡” pada proposisi

(p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) sebagai ”=”.

(25)

Ekivalensi

Sifat-sifat proposisi yang ekivalen

1

p ≡ p

2

(p ≡ q) ⇒ (q ≡ p)

3

[(p ≡ q) ∧ (q ≡ r )] ⇒ (p ≡ r )

catatan

Karena p ⇔ q bernilai benar hanya p ekivalen dengan q, maka p ≡ q dapat digunakan untuk menyatakan p ⇔ q.

Ada juga yang memberi arti simbol ”≡” pada proposisi (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) sebagai ”=”.

(26)

Sifat-sifat proposisi yang ekivalen

1

p ≡ p

2

(p ≡ q) ⇒ (q ≡ p)

3

[(p ≡ q) ∧ (q ≡ r )] ⇒ (p ≡ r )

catatan

Karena p ⇔ q bernilai benar hanya p ekivalen dengan q, maka p ≡ q dapat digunakan untuk menyatakan p ⇔ q.

Ada juga yang memberi arti simbol ”≡” pada proposisi

(p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) sebagai ”=”.

(27)

Ekivalensi

Sifat-sifat proposisi yang ekivalen

1

p ≡ p

2

(p ≡ q) ⇒ (q ≡ p)

3

[(p ≡ q) ∧ (q ≡ r )] ⇒ (p ≡ r )

catatan

Karena p ⇔ q bernilai benar hanya p ekivalen dengan q, maka p ≡ q dapat digunakan untuk menyatakan p ⇔ q.

Ada juga yang memberi arti simbol ”≡” pada proposisi (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) sebagai ”=”.

(28)

(29)

Tautologi

Definisi

Tautologi adalah proposisi majemuk yang selalu benar apapun nilai kebenaran komponen-komponennya, dan dikatakan benar secara logika.

Contoh

(p ∧ q) ⇒ p merupakan tautologi, sedangkan (p ⇒ q) ⇒ (p ∨ q) bukan merupakan tautologi. Selidiki dengan menggunakan tabel kebenaran!

(30)

Definisi

Tautologi adalah proposisi majemuk yang selalu benar apapun nilai kebenaran komponen-komponennya, dan dikatakan benar secara logika.

Contoh

(p ∧ q) ⇒ p merupakan tautologi, sedangkan (p ⇒ q) ⇒ (p ∨ q) bukan

merupakan tautologi. Selidiki dengan menggunakan tabel kebenaran!

(31)

Kontradiksi

Definisi

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu salah apapun nilai kebenaran komponen-komponennya, dan dikatakan salah secara logika.

Contoh

p ∨ −p merupakan tautologi, tetapi p ∧ −p merupakan kontradiksi.

Buktikan!

(32)

Definisi

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu salah apapun nilai kebenaran komponen-komponennya, dan dikatakan salah secara logika.

Contoh

p ∨ −p merupakan tautologi, tetapi p ∧ −p merupakan kontradiksi.

Buktikan!

(33)

Latihan

1

Buktikan bahwa −(p ∧ −p) merupakan tautologi!

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q) b. p ⇒ (p ∨ q) c. p ∧ q) ⇒ p d. p ∨ q) ⇒ p e. q ⇒ (p ⇒ q)

(34)

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q)

b. p ⇒ (p ∨ q)

c. p ∧ q) ⇒ p

(35)

Latihan

1

Buktikan bahwa −(p ∧ −p) merupakan tautologi!

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q) b. p ⇒ (p ∨ q) c. p ∧ q) ⇒ p d. p ∨ q) ⇒ p e. q ⇒ (p ⇒ q)

(36)

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q)

b. p ⇒ (p ∨ q)

c. p ∧ q) ⇒ p

(37)

Latihan

1

Buktikan bahwa −(p ∧ −p) merupakan tautologi!

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q) b. p ⇒ (p ∨ q) c. p ∧ q) ⇒ p d. p ∨ q) ⇒ p e. q ⇒ (p ⇒ q)

(38)

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q)

b. p ⇒ (p ∨ q)

c. p ∧ q) ⇒ p

(39)

Latihan

1

Buktikan bahwa −(p ∧ −p) merupakan tautologi!

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q) b. p ⇒ (p ∨ q) c. p ∧ q) ⇒ p d. p ∨ q) ⇒ p e. q ⇒ (p ⇒ q)

(40)

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q)

b. p ⇒ (p ∨ q)

c. p ∧ q) ⇒ p

(41)

Latihan

1

Buktikan bahwa −(p ∧ −p) merupakan tautologi!

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q) b. p ⇒ (p ∨ q) c. p ∧ q) ⇒ p d. p ∨ q) ⇒ p e. q ⇒ (p ⇒ q)

(42)

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q)

b. p ⇒ (p ∨ q)

c. p ∧ q) ⇒ p

(43)

Latihan

1

Buktikan bahwa −(p ∧ −p) merupakan tautologi!

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q) b. p ⇒ (p ∨ q) c. p ∧ q) ⇒ p d. p ∨ q) ⇒ p e. q ⇒ (p ⇒ q)

(44)

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q)

b. p ⇒ (p ∨ q)

c. p ∧ q) ⇒ p

(45)

Latihan

1

Buktikan bahwa −(p ∧ −p) merupakan tautologi!

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q) b. p ⇒ (p ∨ q) c. p ∧ q) ⇒ p d. p ∨ q) ⇒ p e. q ⇒ (p ⇒ q)

(46)

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q)

b. p ⇒ (p ∨ q)

c. p ∧ q) ⇒ p

(47)

Latihan

1

Buktikan bahwa −(p ∧ −p) merupakan tautologi!

2

Apakah setiap dua tautologi berekivalensi secara logis?

3

Buktikan setiap pernyataan berikut:

a. p ≡ (p ∧ p) b. p ≡ (p ∨ p)

c. −(p ∨ q) ≡ (−p ∧ −q) (de Morgan’s law) d. −(p ∧ q) ≡ (−p ∨ −q) (de Morgan’s law)

4

Buktikan bahwa (p ⇒ q) tidak ekivalen dengan (p ∧ q)

5

Buktikan bahwa (p ∧ q) ∧ −(p ∨ q) merupakan kontradiksi.

6

Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology?

a. p ⇒ (p ∧ q) b. p ⇒ (p ∨ q) c. p ∧ q) ⇒ p d. p ∨ q) ⇒ p e. q ⇒ (p ⇒ q)

(48)

(49)

Kuantifikasi

Definisi

Kuantifikasi adalah proposisi yang menunjukkan suatu keberadaan dan biasanya menggunakan kata-kata ”semua”, ”setiap”, ”beberapa”,

”ada”.

Kuantifikasi dikelompokkan ke dalam kuantifikasi universal dan kuantifikasi eksistensial.

(50)

Definisi

Kuantifikasi adalah proposisi yang menunjukkan suatu keberadaan dan biasanya menggunakan kata-kata ”semua”, ”setiap”, ”beberapa”,

”ada”.

Kuantifikasi dikelompokkan ke dalam kuantifikasi universal dan

kuantifikasi eksistensial.

(51)

Kuantifikasi Universal

Definisi

Kuantifikasi universal merupakan suatu proposisi yang benar secara menyeluruh dalam suatu semesta pembicaraan. Kuantifikasi ini mempergunakan kata ”semua” atau ”setiap”. Proposisi yang

mempergunakan kata ”semua” atau ”setiap” dapat dinyatakan sebagai suatu kondisional. ”Semua p adalah q” dapat dinyatakan sebagai ”Jika p maka q”.

Contoh

”Semua bilangan genap habis dibagi dua” dapat dinyatakan sebagai ”Jika bilangan genap maka habis dibagi dua”;

”Untuk setiap bilangan cacah a, a + 2 = 2 + a” dapat dinyatakan sebagai ”Jika a bilangan cacah, maka a + 2 = 2 + a”

(52)

Kuantifikasi universal merupakan suatu proposisi yang benar secara menyeluruh dalam suatu semesta pembicaraan. Kuantifikasi ini mempergunakan kata ”semua” atau ”setiap”. Proposisi yang

mempergunakan kata ”semua” atau ”setiap” dapat dinyatakan sebagai suatu kondisional. ”Semua p adalah q” dapat dinyatakan sebagai ”Jika p maka q”.

Contoh

”Semua bilangan genap habis dibagi dua” dapat dinyatakan sebagai ”Jika bilangan genap maka habis dibagi dua”;

”Untuk setiap bilangan cacah a, a + 2 = 2 + a” dapat dinyatakan

(53)

Kuantifikasi Universal

Definisi

Kuantifikasi universal merupakan suatu proposisi yang benar secara menyeluruh dalam suatu semesta pembicaraan. Kuantifikasi ini mempergunakan kata ”semua” atau ”setiap”. Proposisi yang

mempergunakan kata ”semua” atau ”setiap” dapat dinyatakan sebagai suatu kondisional. ”Semua p adalah q” dapat dinyatakan sebagai ”Jika p maka q”.

Contoh

”Semua bilangan genap habis dibagi dua” dapat dinyatakan sebagai ”Jika bilangan genap maka habis dibagi dua”;

”Untuk setiap bilangan cacah a, a + 2 = 2 + a” dapat dinyatakan sebagai ”Jika a bilangan cacah, maka a + 2 = 2 + a”

(54)

Kuantifikasi universal merupakan suatu proposisi yang benar secara menyeluruh dalam suatu semesta pembicaraan. Kuantifikasi ini mempergunakan kata ”semua” atau ”setiap”. Proposisi yang

mempergunakan kata ”semua” atau ”setiap” dapat dinyatakan sebagai suatu kondisional. ”Semua p adalah q” dapat dinyatakan sebagai ”Jika p maka q”.

Contoh

”Semua bilangan genap habis dibagi dua” dapat dinyatakan sebagai ”Jika bilangan genap maka habis dibagi dua”;

”Untuk setiap bilangan cacah a, a + 2 = 2 + a” dapat dinyatakan

(55)

Kuantifikasi Universal

Catatan

Kalimat yang dimulai dengan kata ”hanya” dapat diganti dengan kalimat yang dimulai dengan kata ”semua” asalkan subyek dan predikatnya harus saling dipertukarkan.

Contoh

”Hanya mahasiswa yang mendapat nilai A yang diluluskan” dapat diganti dengan ”Semua mahasiswa yang diluluskan mendapat nilai A”.

(56)

Catatan

Kalimat yang dimulai dengan kata ”hanya” dapat diganti dengan kalimat yang dimulai dengan kata ”semua” asalkan subyek dan predikatnya harus saling dipertukarkan.

Contoh

”Hanya mahasiswa yang mendapat nilai A yang diluluskan” dapat

diganti dengan ”Semua mahasiswa yang diluluskan mendapat nilai A”.

(57)

Kuantifikasi Eksistensial

Definisi

Proposisi ini dimaksudkan untuk menyatakan bahwa paling tidak ada satu unsur yang membuat proposisi itu benar. Proposisi semacam ini mempergunakan kata-kata ”beberapa” atau ”ada”.

Proposisi berikut bernilai sama

ada pemain basket yang bertubuh pendek;

paling tidak ada seorang pemain basket yang bertubuh pendek;

beberapa pemain basket bertubuh pendek.

(58)

Definisi

Proposisi ini dimaksudkan untuk menyatakan bahwa paling tidak ada satu unsur yang membuat proposisi itu benar. Proposisi semacam ini mempergunakan kata-kata ”beberapa” atau ”ada”.

Proposisi berikut bernilai sama

ada pemain basket yang bertubuh pendek;

paling tidak ada seorang pemain basket yang bertubuh pendek;

beberapa pemain basket bertubuh pendek.

(59)

Kuantifikasi Eksistensial

Definisi

Proposisi ini dimaksudkan untuk menyatakan bahwa paling tidak ada satu unsur yang membuat proposisi itu benar. Proposisi semacam ini mempergunakan kata-kata ”beberapa” atau ”ada”.

Proposisi berikut bernilai sama

ada pemain basket yang bertubuh pendek;

paling tidak ada seorang pemain basket yang bertubuh pendek;

beberapa pemain basket bertubuh pendek.

(60)

Definisi

Proposisi ini dimaksudkan untuk menyatakan bahwa paling tidak ada satu unsur yang membuat proposisi itu benar. Proposisi semacam ini mempergunakan kata-kata ”beberapa” atau ”ada”.

Proposisi berikut bernilai sama

ada pemain basket yang bertubuh pendek;

paling tidak ada seorang pemain basket yang bertubuh pendek;

beberapa pemain basket bertubuh pendek.

(61)

Kuantifikasi Eksistensial

Definisi

Proposisi ini dimaksudkan untuk menyatakan bahwa paling tidak ada satu unsur yang membuat proposisi itu benar. Proposisi semacam ini mempergunakan kata-kata ”beberapa” atau ”ada”.

Proposisi berikut bernilai sama

ada pemain basket yang bertubuh pendek;

paling tidak ada seorang pemain basket yang bertubuh pendek;

beberapa pemain basket bertubuh pendek.

(62)

Aturan

1

”semua P adalah Q” negasinya ”beberapa P tidak Q”

2

”beberapa P adalah Q” negasinya ”semua P tidak Q”

Contoh

”semua manusia tidak berekor” negasinya ”beberapa manusia berekor”;

”beberapa mahasiswa mengisi daftar hadir” negasinya ”semua

mahasiswa tidak mengisi daftar hadir”.

(63)

Negasi Kuantifikasi

Aturan

1

”semua P adalah Q” negasinya ”beberapa P tidak Q”

2

”beberapa P adalah Q” negasinya ”semua P tidak Q”

Contoh

”semua manusia tidak berekor” negasinya ”beberapa manusia berekor”;

”beberapa mahasiswa mengisi daftar hadir” negasinya ”semua mahasiswa tidak mengisi daftar hadir”.

(64)

Aturan

1

”semua P adalah Q” negasinya ”beberapa P tidak Q”

2

”beberapa P adalah Q” negasinya ”semua P tidak Q”

Contoh

”semua manusia tidak berekor” negasinya ”beberapa manusia berekor”;

”beberapa mahasiswa mengisi daftar hadir” negasinya ”semua

mahasiswa tidak mengisi daftar hadir”.

(65)

Negasi Kuantifikasi

Aturan

1

”semua P adalah Q” negasinya ”beberapa P tidak Q”

2

”beberapa P adalah Q” negasinya ”semua P tidak Q”

Contoh

”semua manusia tidak berekor” negasinya ”beberapa manusia berekor”;

”beberapa mahasiswa mengisi daftar hadir” negasinya ”semua mahasiswa tidak mengisi daftar hadir”.

(66)

Aturan

1

”semua P adalah Q” negasinya ”beberapa P tidak Q”

2

”beberapa P adalah Q” negasinya ”semua P tidak Q”

Contoh

”semua manusia tidak berekor” negasinya ”beberapa manusia berekor”;

”beberapa mahasiswa mengisi daftar hadir” negasinya ”semua

mahasiswa tidak mengisi daftar hadir”.

(67)

Negasi Kuantifikasi

Aturan

1

”semua P adalah Q” negasinya ”beberapa P tidak Q”

2

”beberapa P adalah Q” negasinya ”semua P tidak Q”

Contoh

”semua manusia tidak berekor” negasinya ”beberapa manusia berekor”;

”beberapa mahasiswa mengisi daftar hadir” negasinya ”semua mahasiswa tidak mengisi daftar hadir”.

(68)

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian

(69)

Latihan

1

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini.

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian dalam kedua segitiga haruslah sama besar.

(70)

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian

(71)

Latihan

1

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini.

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian dalam kedua segitiga haruslah sama besar.

(72)

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian

(73)

Latihan

1

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini.

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian dalam kedua segitiga haruslah sama besar.

(74)

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian

(75)

Latihan

1

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini.

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian dalam kedua segitiga haruslah sama besar.

(76)

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian

(77)

Latihan

1

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini.

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian dalam kedua segitiga haruslah sama besar.

(78)

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian

(79)

Latihan

1

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini.

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian dalam kedua segitiga haruslah sama besar.

(80)

1

Semua jenis ikan bertelur.

2

Beberapa astronot adalah warga Amerika.

3

Semua kelinci berwarna putih.

4

Semua kerbau mandi di sungai.

5

Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang.

6

Tidak ada dua orang yang serupa.

7

Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut.

2

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi.

1

Manusia perlu makan untuk hidup.

2

Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras.

3

Tidak seorang manusiapun dapat terbang.

4

Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian

(81)