Analisis Korelasi dan Regresi

(1)

Analisis Korelasi

dan Regresi

LOGO

dan Regresi

Hazmira Yozza – Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Unand

(2)

LOGO

Data bivariat

Data dengan dua variabel

Terhadap satu pengamatan dilakukan

pengukuran/pengamatan terhadap 2 variabel

Sering ditemui

Contoh

: Dilakukan pencatatan nilai UN Mtk dan

IPK Smt 1 terhadap mahasiswa Matematika

Analisis yang biasa dilakukan : analisis regresi,

analisis korelasi, diagram pencar

(3)

LOGO

1 AN. KORELASI

digunakan untuk mengetahui

2 DIAGRAM PENCAR

adalah salah satu teknik penyajian

3 AN. REGRESI

digunakan untuk menemukan pola mengetahui derajat hubungan antara dua variabel teknik penyajian grafis data bivariate. menemukan pola hubungan antara dua variabel

(4)

Kompetensi

menjelaskan pengertian data bivariate, variabel bebas dan variabel terikat

1

menghitung koefisien korelasi linier antara dua variabel dan menginterpretasikan nilai koefisien korelasi linier tersebut

2

menginterpretasikan nilai koefisien korelasi linier tersebut

2

3

menggambarkan diagram pencar antara dua variabel dan

menginterpretasikan diagram yang terbentuk

menemukan bentuk hubungan antara dua var dengan menggunakan an.regresi serta menginterpretasikan model

4

(5)

Kompetensi

menghitung nilai koef. determinasi dari suatu model regresi dan menginterpretasikan nilai koef. tersebut

5

6

7

menguji hipotesis mengenai parameter populasi

membentuk selang kepercayaan bagi penduga parameter regresi dan menginterpretasikan selang yang terbentuk

(6)

suatu karakteristik sistem yang nilainya selalu berubah.

VAR. TAK BEBAS

VARIABEL

VAR BEBAS VAR. TAK BEBAS

(RESPONS)

VAR BEBAS (VAR. PENJELAS)

Variabel yang nilai-nya tergantung dari nilai peubah lain

Variabel yang nilai-nya tidak tergantung nilai variabel lain

NILAI UN Matematika Lama belajar

(7)

suatu karakteristik sistem yang nilainya selalu berubah.

VAR. TAK BEBAS

VARIABEL

VAR BEBAS VAR. TAK BEBAS

(RESPONS)

VAR BEBAS (VAR.PENJELAS)

Variabel yang nilai-nya tergantung dari nilai peubah lain dalam satu sistem

Variabel yang nilai-nya tidak tergantung nilai variabel lain

dalam satu sistem)

Penjualan es krim Suhu

(8)

Analisis Data Bivariat

1. Diagram pencar

•Menggambarkan

hubungan antara variabel

bebas dengan variabel

tak bebas

•Variabel bebas pada

sumbu horizontal dan

peubah tak bebas pada

sumbu vertikal

•Dari diagram, dapat

diperkirakan bentuk

hubungan antara kedua

variabel (linier, kuadratik,

dlsb)

(9)

2. Koefisien Korelasi

Suatu ukuran yang mengukur derajat hubungan

linier

antara dua buah peubah

(

)(

)

−

=

−

=

∑

= = = =

n

y

x

y

x

y

x

r

n i i n i i n i i i n i i i 1 1 1 1

(

)

(

)

























−

























−

=

−

=

∑

= = = = = = = = = =

n

y

n

x

y

x

r

n i i n i i n i i n i i i i i n i i n i i i xy 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 x _y Keterangan :

r_xy = koefisien korelasi peubah x dan y

x_i = nilai x ke-i y_i = nilai y ke-i

= nilai rata-rata variabel x = nilai rata-rata variabel y n = banyak pasangan data

(10)

Contoh : Data

x

40

50

60

70

80

90

40

60

80

50 y

65 475 272 335 490 415

72 265 492 180

Tentukan nilai koefisien korelasinya

620; 3061; 41200; 1178257; 209810 ; 0.776101

(11)

Catatan :

-1 ≤ r_xy ≤ 1

* Tanda (+ atau -) menunjukkan arah hubungan kedua variabel

r_xy < 0 → semakin tinggi nilai x kecendrungan nilai y semakin

rendah.

r_xy > 0 → semakin tinggi nilai x kecendrungan nilai y semakin

tinggi. tinggi.

* Besarnya nilai r_xy menunjukkan derajat keeratan hubungan

kedua variabel.

Semakin erat hubungan kedua variabel → r_xy mendekati -1

atau 1.

Semakin tidak erat hubungan kedua variabel → r_xy akan

mendekati 0

INGAT : dalam konteks koefisien korelasi, tidak dikenal istilah var. bebas atau tak bebas. Jadi tidak ada hubungan sebab akibat antar variabel

(12)

3. Analisis Regresi Linier Sederhana

Suatu teknik analisis statistika yang digunakan untuk

memodelkan hubungan antara variabel-variabel dalam

suatu sistem, khususnya 1 var tak bebas dg beberapa var

bebas

_AN.REGRESI

AN.REGRESI NON

LINIER : bila pola

hubungan tidak linier AN.REG.LINIER

SEDERHANA :

hubungan 1 var bebas & 1 var tak bebas

AN.REG.LINIER BERGANDA :

hubungan 1 var

bebas dg beberapa var tak bebas

AN.REG.LINIER : bila pola hubungan linier

(13)

Garis Regresi

Model / Persamaan Regr Y = β0 + β1 X

(14)

ε

β

₊

=

x

y

₀ ₁

POPULASI

CONTOH

e

x

b

e

x

y

+

=

+

=

1 0 1 0

ˆ

_β

β

CONTOH

(15)

Model Regresi Linier Sederhana

ε

β

₊

=

x

(16)

1

Pertanyaan : Garis regresi mana yang paling mewakili

₂

3

Pertanyaan : Garis regresi mana yang paling mewakili

tebaran titik tersebut

(17)

Square Method)

Digunakan untuk menduga persamaan regresi linier sederhana

(menduga nilai β0 dan β1)

(18)

Dengan meminimumkan JKS, diperoleh model dugaan : Dengan :

i

b

x

y

_ˆ

₌

₀

₊

₁

n n n n









−

_∑

∑

JKx

JK

x

y

x

n

x

n

y

x

y

x

b

_n xy i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i

=

−

=













−













−

=

∑

= = = = = = = 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1

)

(

)

)(

(

/

x

b

y

b

0

=

−

1

(19)

No y x No y x 1 10.98 35.3 14 9.57 39.1 2 11.13 29.7 15 10.94 46.8 3 12.51 30.8 16 9.58 46.5 4 8.40 58.8 17 10.09 59.3 5 9.27 61.4 18 8.11 70.0

D

5 9.27 61.4 18 8.11 70.0 6 8.73 71.3 19 6.83 70.0 7 6.36 74.4 20 8.88 74.5 8 8.50 76.7 21 7.68 72.1 9 7.82 70.7 22 8.47 58.1 10 9.14 57.5 23 8.86 44.6 11 8.24 46.4 24 10.36 33.4 12 12.19 28.9 25 11.08 28.6 13 11.88 28.1

A

T

A

(20)

60 .

235 =

∑

= 25 1 i i

y

∑

25

4320

.

11821

=

+

(

11 .

13 )(

29 .

7 )

...

(

11 .

08 )(

28 .

6 )

)

3 .

35 )(

98 .

10 (

=

∑

= 25 1 i i i

y

x

=

+

11 .

13 ...

11 .

08

98 .

10 =

∑

= 25 1 i i

x

60 .

52

25 /

1315

₌

=

x

=

+

2 2 2

₂₉

_.

₇

_...

₂₈

_.

₆

3 .

35 =

∑

= 25 1 2 i i

y

1315

=

∑

= 25 1 2 i i

x

=

+

2 2 2

₁₁

_.

₁₃

_...

₁₁

_.

₀₈

98 .

10

424 .

9

25 /

60 .

235 ₌

=

y

=

+

29 .

7 ...

28 .

6

3 .

35

42 .

76323

11 .

2284

(21)

(

)

25 / ) 60 . 235 )( 1315 ( 4320 . 11821 ₋ =

60 .

235 =

∑

= 25 1 i i

y

=

∑

25 i

x

1315

4320

.

11821

=

∑

= 25 1 i i i

y

x

n x x n y x y x b n i i n i i n i i n i i n i i i / / 2 1 1 2 1 1 1 1       −       − =

∑

= = = = =

(

1315

)

/ 25 42 . 76323 ₋ 2 =

60 .

52

25 /

1315

₌

=

x

=

∑

=1 i i

x

1315

424 .

9

25 /

60 .

235 ₌

=

y

=

∑

= 25 1 2 i i

x

76323

.

42 =

−

0 .

079829

x

b

y

b

0

=

−

1

)

60 .

52 )(

079829

.

0 (

424 .

9 ₋

₋

=

(22)

Ketepatan

Model Regresi

Ketepatan

Model Regresi

%

100 /

%

100

1 2 1 2 2 1 2

































−

=









=

∑

= = n i n i i i

x

n

x

b

JKR

R

KOEFISIEN DETERMINASI

%

100 /

%

100

1 2 1 2 1 1 2





















−







=













=

∑

= = = = n i n i i i i i

n

y

JKT

JKR

R

CATATAN : • 0% ≤ R2 ≤ 100% • Semakin tinggi R2

, semakin baik model regresi • R2

(23)

Contoh :

∑

25

=

∑

= 25 1 2 i i

x

76323

.

42 =

∑

= 25 1 2 i i

y

2284

.

11 %

100 /

2 1 2 1 2 2 1 2









_

_

























−

=

∑

= =

x

n n n i n i i i

x

n

x

b

R

60 .

235 =

∑

= 25 1 i i

y

=

∑

= 25 1 i i

x

1315

079829 . 0 1 = − b

(

)

(

)

%

44 .

71 %

100

25 /

)

60 .

235 (

11 .

2284

25 /

)

1315

(

42 .

76323

)

079829

.

0 (

/

2 2 2 1 2 1 2

=

−

=

























−

∑

= =

x

n i n i i i

y

n

y

(24)

Sebaran Penarikan Sampel bagi Parameter Populasi Sebaran Penarikan Sampel bagi Parameter Populasi

bo & b1 : bo & b1 : penduga bagi penduga bagi β β0 dan 0 dan ββ11 bo & b1 : didapat bo & b1 : didapat dari dt sampel dari dt sampel sampel berbeda sampel berbeda bo & b1 bo & b1 juga berbeda

juga berbeda _{b0 & b1}_{b0 & b1} Peubah acak Peubah acak

b0 & b1

punya sebaran

(25)

Asumsi dalam Analisis Regresi Linier

• merupakan peubah acak

• Nilai tengah adalah 0; dituliskan E( ) = 0

• Ragam konstan yang nilainya tidak diketahui ; dituliskan Var( )=σ2_.

i ε i ε i ε ε ε

Model Y =

Model Y = β

β0 +

0 + β

β1X +

1X + ε

ε

Model Y =

Model Y = β

β0 +

0 + β

β1X +

1X + ε

ε

• Ragam konstan yang nilainya tidak diketahui ; dituliskan Var( )=σ2_.

• menyebar menurut sebaran normal

• Galat pengamatan-pengamatan yang berbeda saling bebas. Akibatnya

Keempat asumsi tersebut dapat diringkas : ~ N(0, σ2 _{) untuk I = 1,2,-,n}

(bsi = bebas stokastik identik)

• X bukanlah peubah acak, sehingga tidak memiliki sebaran

i ε ε_i i ε 0 ) , ( _i _j ₌ Cov ε ε bsi i ε

(26)





































−

∑

= = n i n i i i

x

n

x

N

B

1 2 1 2 2 1 1

/

,

~

β

σ

− = B1 β Asumsi





i=1



i=1



) 1 , 0 ( ~ / 1 1 2 1 2 1 _N n x x B Z n i n i i i

∑

= =       − − = σ β 2 2 − = n JKS s e

∑

= =       − − = n i n i i i e x x n s B T 1 2 1 2 1 / 1 _β Tidak diket, hrs diduga

2 ~

t

n

₋

T

(27)

) 1 , 0 ( ~ 1 0 2 2 0 N X n B Z n  n  + − = σ β 2 2 − = n JKS s e

Asumsi Tidak diket, _{hrs diduga}

                    + X n N B 2 2 2 0 0 1 , ~ β σ / 1 2 1 2 n x x n n i n i i i

∑

= =       −                       −

∑

= = n i n i i i x n x n N B 1 2 1 2 0 0 / , ~ 2 1 2 1 2 2 0 ~ / 1 0 − = =

∑

      − + − = _n n i n i i i e t n x x X n s B Z β

(28)

Selang Kepercayaan bagi Parameter Regresi

∑

= = − = = −













−

+

<













−

+

−

n i n i i i e n n i n i i i e n

n

x

n

s

t

b

n

x

n

s

t

b

1 2 1 2 2 2 , 2 / 0 0 1 2 1 2 2 2 , 2 / 0

/

1 /

1

α α

β

SELANG KEPERCAYAAN (1

SELANG KEPERCAYAAN (1--) 100% BAGI ) 100% BAGI ββ00

= = =



=



i



i



i 1 i 1 1 1

∑

= = − = = −       − + < <       − − n i n i i i e n n i n i i i e n n x x s t b n x x s t b 1 2 1 2 2 , 2 / 1 1 1 2 1 2 2 , 2 / 1 / / α α β SELANG KEPERCAYAAN (1

SELANG KEPERCAYAAN (1--) 100% BAGI ) 100% BAGI ββ11

(29)

Uji Hipotesis mengenai β1

Hipotesis :

Ho : (Yang paling umum Ho : ) H1 : Statistik uji : 0 . 1 1 = β β 0 . 1 1 ≠ β β b b ₋ _β ₋ _β 0 1 = β Wilayah kritis : Kesimpulan :

Bila > maka tolak H0 :

Bila ≤ maka tidak tolak H0 :

x b hit JK s b s b t 1 1.0 1 1.0 1 β β ₋ = − = 2 , 2 / n₋

t

α hit

t

hit

t

2 , 2 / n₋

t

α 2 , 2 / n₋

t

α 0 . 1 1 = β β 0 . 1 1 = β β

(30)

Uji Hipotesis mengenai β

0

Uji Hipotesis mengenai β

0

Hipotesis : Ho : H1 : Statistik uji : 0 . 0 0 = β β 0 . 0 0 = β β Wilayah kritis : Kesimpulan :

Bila > maka tolak H0 :

Bila ≤ maka tidak tolak H0

_:

0 . 0 0 = β β 2 , 2 / n₋

t

α hit

t

hit

t

2 , 2 / n₋

t

α 2 , 2 / n₋

t

α x b hit JK x n s b s b t 2 0 . 0 0 0 . 0 0 1 0 + − = − = β β 0 . 0 0 = β β

(31)