6
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Kajian Teori
1. Masalah Matematika
Matematika berasal dari bahasa Latin mathein atau mathema yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Matematika dalam Bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran (Departemen Pendidikan Nasional, 2003). Robert E. Reys (1998) mengemukakan bahwa
Mathe ati s is a study of patte s a d elatio ships, Mathematics is a way of thinking. It provide us with strategies for organizing, analizing, and synthesing data, largely but not exclusively numerical, Mathematics is an art, characterized by order and internal consistency, Mathematics is a language, using carefully defined terms and symbols and Mathematics is a tool. Children can come to appreciate why they are learning the facts, skills, and concept that the school program involves .
Paling (Wahyudi dan Inawati, 2011) juga mengungkapkan bahwa matematika adalah suatu cara untuk menemukan suatu jawaban terhadap masalah yang dihadapi manusia, suatu cara menggunakan pengetahuan tentang menghitung dan yang paling penting adalah memikirkan hubungan-hubungan. Berdasarkan pendapat Reys dan Paling, dapat diambil kesimpulan bahwa matematika adalah salah satu ilmu yang mengasah seseorang untuk berpikir dan memecahkan masalah serta merupakan bahasa yang dapat menyatakan suatu definisi atau simbol.
Berangkat dari pengertian mengenai matematika maka dipaparkan pula pengertian dari masalah. Beberapa ahli telah mengemukakan pendapatnya mengenai arti dari masalah. Akhmad Guntar mengungkapkan bahwa masalah adalah sebuah kesempatan untuk berkembang karena dengan adanya masalah dapat memicu seseorang untuk berpikir lebih kreatif (Akhmad Guntar, 2011). Disisi lain Cooney, et al (1975) mengungkapkan pandangannya yang menyatakan bahwa masalah matematika adalah
.. fo a uestio to e a p o le , it ust p ese t a halle ge that a ot e resolved by some routine procedur known to the stude t .
dengan benar, maka soal tersebut bukan merupakan suatu masalah. Untuk memilih soal yang merupakan masalah, perlu dilakukan perbedaan antara soal rutin dan tidak rutin. Soal rutin biasanya mencakup aplikasi suatu prosedur matematika yang sama atau mirip dengan hal yang baru dipelajari, sementara soal tidak rutin adalah soal yang memerlukan analisis dan proses berpikir yang lebih mendalam untuk mencapai prosedur yang benar. Contoh penerapan soal rutin dan non rutin yang dipakai pada jenjang Sekolah Dasar adalah sebagai berikut:
Model A :2000 + 3000 = 5000
Soal model ini bukan merupakan masalah ketika ia sudah menguasai materi ini.
Model B :
Pada hari pertama sekolah ada 507 orang siswa yang mengunjungi kantin. Pada hari kedua 460 siswa dan pada hari ke tiga 297 siswa. Berapakah jumlah siswa yang mengunjungi kantin selama 3 hari pertama sekolah ?
Soal model ini memerlukan analisis sehingga siswa tidak secara langsung mengetahui jawaban yang benar.
Berdasarkan beberapa pendapat tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa masalah adalah suatu keadaan yang memerlukan penyelesaian yang tidak dapat diraih secara langsung melalui prosedur rutin tapi menggunakan pemikiran yang lebih sebagai suatu tantangan yag dapat melatih daya kreatifitas seseorang. Sesuatu menjadi masalah merupakan hal yang relatif karena tergantung kemampuan masing-masing individu. Berlatih menyelesaikan masalah dengan benar akan membuat seseorang berkembang dan memiliki banyak variasi dalam menyelesaikan masalah-masalah.
Masalah yang baik harus memenuhi tiga kasus yaitu penerimaan dimana individu menerima masalah, hambatan yaitu kebiasaaan dalam memberikan tangapan dan pola pengerjaan dan eksplorasi yaitu memaksa individu untuk mengeksplorasi metode baru dalam pengerjaan (Sutriyono, 2005).
juga mengungkapkan bahwa suatu masalah dapat disebut masalah matematika bilamana masalah tersebut dapat dianalisis dan pemecahannya dapat diperoleh dengan menggunakan metode atau prosedur matematika. (Repository UPI, 2009)
Apabila kita menerapkan pengetahuan matematika, ketrampilan atau pengalaman untuk memecahkan suatu dilema atau situasi yang baru atau yang membingungkan, maka kita sedang memecahkan masalah (Departemen Pendidikan, 1996).
Untuk menjadi seorang pemecah masalah yang baik, siswa membutuhkan banyak kesempatan untuk menciptakan dan memecahkan masalah dalam bidang matematika dan dalam konteks kehidupan nyata.
Permasalahan atau soal-soal dalam matematika dapat dikategorikan menjadi dua macam. Yang pertama adalah masalah-masalah matematika tertutup (closed problems) dan yang kedua adalah masalah-masalah matematika terbuka (open problems). Soal matematika tertutup atau open
problems masih dibedakan menjadai dua macam yaitu open-ended problems
dan pure open problems. Soal matematika tertutup adalah soal yang
menggunakan prosedur baku dalam penyelesaiannya, sedangkan soal matematika terbuka adalah soal yang penyelesaiannya menuntut seseorang untuk lebih kreatif dan tidak menggunakan prosedur baku. (Wahyudi, Inawati , 2011)
Berdasarkan uraian tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa masalah matematika adalah keadaan yang memerlukan penyelesaian menggunakan metode matematika yang tidak dapat diraih secara langsung melalui prosuder rutin tapi menggunakan pemikiran yang lebih sebagai suatu tantangan dalam penyelesaiannya.
2. Pemecahan Masalah Matematika
Polya (1985), mengemukakan pendapatnya bahwa pemecahan masalah adalah suatu usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan guna mencapai suatu tujuan yang tidak begitu mudah dapat dicapai. Sejalan dengan itu NCTM (2000), mengartikan pemecahan masalah sebagai aktivitas dalam menyelesaikan suatu tugas (masalah) yang cara menyelesaikannya belum diketahui dengan pasti. Pengertian tersebut mengandung makna bahwa ketika seseorang telah mampu menyelesaikan masalah, maka ia telah mendapatkan kemampuan baru dan membantu mengasah kemampuannya untuk memecahkan masalah yang lain.
Menurut Sutriyono, pemecahan masalah yang mengacu pada proses perpindahan dari pernyataan yang diberikan untuk mendapatkan penyelesaian suatu masalah. Hal ini berarti dengan mana seorang individu menggunakan pengetahuan, ketrampilan, dan pemahaman yang telah diperoleh sebelumnya untuk memenuhi tuntutan situasi yang asing. Para siswa harus mensintesis apa yang telah dipelajarinya, dan belajar untuk menghadapai situasi yang baru dan berbeda. Kemampuan untuk menggunakan informasi dan fakta adalah bagian penting dari proses pemecahan masalah. Kemampuan untuk menghadapi permasalahan-permasalahan baik dalam permasalahan-permasalahan matematika maupun permasalahan-permasalahan dalam kehidupan nyata merupakan kemampuan daya matematis atau
mathematical power dan menurut The Massachusets Mathematics
Framework 1996 (dalam Departemen of Education, 1996), pengembangan
daya matematis dapat dilakukan melalui pemecahan masalah (problem
solving), komunikasi (communication), penalaran (reasoning) dan koneksi
(connections). Berdasarkan hal tersebut secara tidak langsung nyata bahwa
untuk menghadapi permasalahan diperlukan kemampuan untuk memecahkan masalah atau problem solving.
3. Strategi Pemecahan Masalah Matematika
pendekatan pembelajaran yang berorientasi atau berpusat pada guru
(teacher centered approach), sementara itu, Kemp mengemukakan
bahwa strategi pembelajaran adalah suatu kegiatan pembelajaran yang harus dikerjakan guru dan siswa agar tujuan pembelajaran dapat dicapai secara efektif dan efisien. Selanjutnya, dengan mengutip pemikiran J. R David, Wina Senjaya (2008) menyebutkan bahwa dalam strategi pembelajaran terkandung makna perencanaan. Artinya, bahwa strategi pada dasarnya masih bersifat konseptual tentang keputusan-keputusan yang akan diambil dalam suatu pelaksanaan pembelajaran. (Herdian; Ismail Bugis, 2011)
Berangkat dari pengertian strategi dan pendekatan maka selanjutnya akan diungkapkan pengertian strategi pemecahan masalah. Wahyudi dan Inawati (Wina Senjaya, 2008) mengungkapkan bahwa konsep dasar dan strategi pemecahan masalah dapat diartikan sebagai rangkaian aktifitas pembelajaran yang menekankan pada proses penyelesaian masalah yang dihadapi secara ilmiah. Dalam hai ini terdapat tiga ciri utama yaitu: pertama merupakan rangkaian aktivitas pembelajaran, kedua, aktivitas pembelajaran diarahkan untuk menyelesaikan masalah yang menempatkan masalah sebagi kunci dari proses pembelajaran, ketiga pemecahan masalah menggunakan pendekatan berfikir secara ilmiah.
Menurut Polya dalam pemecahan masalah terdapat empat langkah yang harus dilakukan dalam memecahkan masalah, yaitu: (1) memahami masalah, (2) merencanakan strategi pemecahan, (3) menyelesaikan masalah sesuai rencana langkah ke dua (4) memeriksa kembali hasil yang diperoleh (looking back).
Reys mengungkapkan langkah-langkah strategi pemecahan masalah yaitu sebagai berikut :
a. Strategi Act It Out
b. Membuat gambar atau diagram
Strategi ini dapat membantu siswa untuk mengungkapkan informasi yang terkandung dalam masalah sehingga hubungan antar komponen dalam masalah tersebut dapat terlihat dengan jelas yang dapat dilakukan dengan menggunakan gambar atau diagram.
c. Menemukan pola
Kegiatan matematika yang berkaitan dengan proses menemukan suatu pola dari sejumlah data yang diberikan dapat mulai dilakukan melalui sekumpulan gambar atau bilangan yang digunakan untuk mengobservasi sifat-sifat yang dimiliki bersama oleh kumpulan gambar atau bilangan yang tersedia.
d. Membuat tabel
Mengorganisasikan data ke dalam sebuah tabel dapat membantu dalam mengungkapkan suatu pola tertentu serta dalam mengidentifikasi informasi yang tidak lengkap.
e. Memperhatikan semua kemungkinan secara sistematik
Strategi ini biasanya digunakan bersamaan dengan strategi mencari pola dan menggambar tabel. Dalam strategi ini tidak perlu memperhatikan keseluruhan kemungkinan yang terjadi, tetapi semua kemungkinan itu diperoleh dengan cara yang sistematik (mengorganisasikan data ke dalam kategori tertentu).
f. Tebak dan periksa (Guess and Check)
Strategi menebak yang dimaksud disini adalah menebak yang didasarkan pada alasan tertentu. Untuk dapat melakukan tebakan dengan baik seseorang pelu memiliki pengalaman cukup yang berkaitan dengan permasalahan yang dihadapi.
g. Strategi kerja mundur
Suatu masalah kadang-kadang disajikan dalam suatu cara sehingga yang diketahui itu sebenarnya merupakan hasil dari suatu proses tertentu, sedangkan komponen yang ditanyakan merupakan komponen yang seharusnya muncul lebih awal.
h. Menentukan apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan informasi yang diperlukan.
i. Menggunakan kalimat terbuka
Strategi ini termasuk yang paling sering digunakan, tetapi masih sering mengalami kesulitan, karena untuk sampai pada kalimat terbuka yang dimaksud haru smenggunakan strategi yang lain agar hubungan antar unsur yang terkandung di dalam masalah dapat dilihat dengan jelas.
j. Menyelesaikan masalah yang mirip atau masalah yang lebih mudah Adakalanya soal matematika itu sangat sulit untuk diselesaikan, karena didalamnya terkandung permasalahan yang sangat kompleks. Untuk itu dapat dilakukan dengan mengunakan analogi melalui penyelesaian masalah yang mirip atau masalah yang lebih mudah.
k. Mengubah strategi pandang
Strategi ini sering digunakan setelah gagal untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan suatu straegi dan kemudian dicoba dengan strategi lainnya. (Arniati dan Asmi, 2010)
Di Amerika Serikat, penyelidikan tentang pemecahan masalah telah dilakukan beberapa puluh tahun yang lalu yang diantaranya dilakukan oleh Dodson (1971), Hollander (1974). Menurut mereka kemampuan pemecahan masalah yang harus ditumbuhkan adalah: (a) Kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika, (b) Kemampuan mencatat kesamaan, perbedaan, dan analogi, (c) Kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih prosedur yang benar, (d) Kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan, (e) Kemampuan untuk menaksir dan menganalisa, (f) kemampuan untuk memvisualisasi dan mengimplementasi kuantitas atau ruang, (g) Kemampuan untuk memperumum (generalisasi) berdasarkan beberapa contoh, (h) Kemampuan untuk menganti metode yang telah diketahui, (i) Mempunyai kepercayaan diri yang cukup dan merasa senang terhadap materinya.
kemungkinan lain, mengatakan dengan bahasa mereka sendiri, kemudian ajaklah untuk mencari penyelesaian dengan cara yang lebih baik, (e) Jika berhadapan dengan masalah yang sulit, tidak berarti harus menghindar. Tetapi gunakan cukup waktu untuk mengulang dan mengerjakan masalah yang lebih banyak, Mulailah dengan mengerjakan masalah serupa, dan kemudian masalah-masalah yang menantang, (f) Fleksibelitas di dalam pemecahan masalah merupakan perilaku belajar yang baik.
Menurut Jhon A. Van De Walle (2006) strategi yang sering digunakan dalam memecahkan masalah matematika yaitu : (a) Membuat gambar, menggunakan gambar dan menggunakan model, yaitu strategi yang merupakan salah satu cara untuk berpikir dan memperluas model ke dalam interpretasi nyata dari situasi soal, (b) Mencari pola yaitu inti dari tugas-tugas yang berbasis soal khususnya dalam aljabar. Hal ini akan membantu siswa dalam belajar dan menguasai fakta-fakta dasar, (c) Membuat tabel atau diagram, diagram data, tabel fungsi, tabel operasi dan tabel tetntang rasio atau pengukuran merupakan bentuk utama analisis dan komunikasi. (d) Coba versi sederhana dari soal, dengan menyelesaikan soal yang lebih mudah diharapkan dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang lebih kompleks. (e) Menduga dan memeriksa, yaitu strategi dimana siswa mencoba-coba dan memeriksa, dengan melakukan hal ini siswa dapat berlatih untuk memecahkan soal dengan berbagai versi. (f) Buat daftar yang teratur, strategi ini melibatkan secara sistematis perhitungan semua hasil yang mungkin dalam situasi dengan tujuan untuk menemukan beberapa banyak kemungkinan yang ada atau untuk memastikan bahwa semua hasil yang mungkin telah dihitung.
Masalah : Masalah
Keputusan : Pendekatan holistik atau analisis-sintetik?
Hasil : Benar atau salah.
Pendekatan holistik adalah pendekatan dimana persamaan yang dituliskan merupakan hasil dari pandangan umum dari seluruh masalah. Pendekatan holistik merupakan model pada tingkat makroskopik yang menyoroti pentingnya keputusan yang dibuat oleh pemecah masalah pada pendekatan yang digunakan. Pendekatan holistik adalah Pendekatan analisis-sintetik adalah pendekatan dengan membagi masalah yang diberikan dan yang tidak diketahui kemudian menuliskan persamaan sebenarnya setelah menggunakan arti kata dan alasan matematika, manipulasi aljabar dan kalkulasi aritmatika.
Setelah mendapatkan hasil benar dan salah dari pengerjaan siswa dalam menyelesaikan soal, maka langkah selanjutnya adalan meneliti jawaban yang menggunakan metode analitis-sintetik seperti berikut :
Pendekatan: Analisis-sintetik
Strategi Kognitif: Linguistik Additional Fungsional
Hasil: Persamaan Benar Persamaan Salah (I) Sumber Kesalahan :
( I ) =
Kesalahan dalam urutan kata, arti kata, arti fase, arti kalimat, penggunaan variabel jika menggunakan strategi linguistik.
Pendekatan analisis-sintetik menganalisis cara untuk mendapatkan penyelesaian, kemudian cara untuk mendapatkan penyelesaian tersebut dikelompokkan dalam tiga strategi kognitif. Tiga strategi kognitif tersebut adalah linguistik, additional dan fungsional. Strategi linguistik adalah persamaan yang didapatkan dari makna kata-kata dalam masalah atau dari susunan kata-kata dalam masalah. Pada strategi linguistik siswa memecahkan masalah melalui apa yang didapatkan dari kata-kata yang ada dalam soal dan menyelesaikan dengan menggunakan kata-kata yang ia pahami. Strategi additional adalah persamaan yang didapatkan dari hasil penggunaan pengetahuan tentang barisan dan deret dengan pengetahuan mereka dalam memahami masalah dan secara operasional dilakukan dengan penjumlahan. Strategi ini dapat dilihat dari jawaban siswa yang menggunakan pengetahuan tentang barisan dan deret dan menjawab dengan menjumlahkan. Strategi fungsional adalah persamaan yang didapat dari hasil penggunaan formula matematika tentang barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah. Pada strategi ini siswa murni menggunakan rumus dalam menyelesaikan soal.
4. Barisan dan Deret
Konsep barisan dan deret bilangan sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari. Pemahaman yang baik mengenai materi ini juga akan membantu siswa secara cepat dalam memecahkan masalah matematika dalam kehidupan nyata. Sebagai contoh adalah soal berikut ini,
“e uah stadio olah aga ya g a u di a gu e pu yai te pat duduk pada barisan paling depan di tribun barat dan timur, serta 60 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Berapa kapasitas penonton dalam stadion tersebut jika terdapat 25 baris tempat duduk? (wahyudi da Dwi: 8)
menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.
Untuk memahami mengenai materi ini, perlu diketahui terlebih dahulu pengertian mengenai barisan dan deret. Barisan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan tertentu. Bilangan-bilangan dalam barisan bilangan tersebut disebut dengan suku. Jika aturan suatu barisan telah diketahui, maka suku berikutnya pun dapat ditentukan. Barisan bilangan terbagi menjadi dua macam yaitu barisan aritmetika dan geometri. Barisan aritmetika adalah barisan yang mempunyai selisih dua suku yang berurutan (beda) yang tetap antar sukunya, sementara barisan geometri adalah barisan yang mempunyai perbandingan yang sama antar suku yang berturutan, misal
Contoh dari barisan adalah seperti berikut:
a. 2, 6, 10, 14, . . .. contoh di samping adalah barisan aritmetika dimana setiap suku mempunyai selisih antar suku atau beda yang sama yaitu +4. b. 2, 4, 8, 16, 32, . . .. contoh di samping adalah barisan geometri dimana
antar suku mempunyai perbandingan yang sama yaitu 2.
Rumus yang dapat digunakan untuk mencari suku ke-n pada barisan aritmetika juga berbeda dengan barisan geometri. Rumus suku ke-n pada barisan dapat dinyatakan sebagai berikut:
a. Rumus untuk barisan aritmetika adalah , dimana .
b. Rumus untuk barisan geometri adalah , dimana .
Setelah mengetahui pengertian barisan, selanjutnya adalah pengertian dari deret. Deret adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan yang tersusun secara berurutan. Sama seperti barisan, deret juga terbagi menjadi deret aritmetika dan deret geometri. Bentuk dari deret dapat dinyatakan sebagai berikut:
a. dengan adalah jmlah suku ke-
b.
Grafik 1.
Peta Konsep Barisan dan deret Bilangan
B. Penelitian yang Relevan
Sutriyono, Ratih & Kriswandani (2011) menemukan bahwa mahasiswa pendidikan matematika UKSW melakukan pemecahan masalah perbandingan dengan dua pendekatan yaitu holistik dan sintetik. Pendekatan analitik-sintetik terbagi dalam tiga strategi kognitif. Strategi kognitif yang digunakan siswa dalam menyelesaikan masalah dikategorikan sesuai dengan cara siswa menyusun konsep yang dipelajari sebelumnya yaitu linguistik, proporsional dan
fungsional. Penelitian tersebut menemukan bahwa mahasiswa yang menggunakan pendekatan holistik sebesar 18,49% dan mahasiswa yang menggunakan pendekatan analisis sintetik sebesar 81,51%, dari pendekatan analisis-sintetik yang dilakukan mahasiswa terbagi menjadi 81,01% mahasiswa menggunakan strategi proporsional, 18,99% mahasiswa menggunakan strategi linguistik dan tidak ada mahasiswa yang menggunakan strategi fungsional.
Joko dan Sulis dalam tulisannya Upaya Meningkatkan Aktivitas dan Kreativitas Siswa dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar dengan
Metode Pemecahan Masalah, menemukan bahwa untuk dapat meningkatkan
