ALT 3. Persamaan Garis dan Kurva

(1)

ALJABAR LINEAR TERAPAN

Pertemuan 3

28 September 2018

(2)

ALJABAR LINEAR TERAPAN ASISTEN LABORATORIUM

MATEMATIKA FMIPA UNPAD 2018

APA YANG AKAN DIBAHAS HARI INI?

Pe

Lingkaran – 3 titik

Irisan Kerucut – 5 titik

Dimensi – 3

Bidang – 3 titik

(3)

TEOREMA PERSAMAAN GARIS DAN KURVA

(4)

GARIS YANG MELALUI DUA TITIK

Jika diberikan dua titik berbeda pada suatu bidang, yaitu dan maka terdapat sebuah garis yang melalui dua titik tersebut, yaitu:

…(1)

Karena dan terletak pada garis tersebut, maka jika disubstitusikan ke persamaan garis di atas menjadi:

…(2) …(3)

(5)

GARIS YANG MELALUI DUA TITIK

Gabungkan persamaan (1)-(3) sehingga didapatkan sistem persamaan linear yang homogen sebagai berikut:

(6)

GARIS YANG MELALUI DUA TITIK

Bentuk sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks, sehingga didapat:

Karena nilai , dan tidak semuanya nol, maka sistem persamaan di atas memiliki sebuah solusi non trivial.

(7)

GARIS YANG MELALUI DUA TITIK

Berdasarkan teorema, maka determinan dari matriks koefsiennya haruslah nol, sehingga:

Dari hasil perhitungan di atas, akan didapatkan persamaan garis yang melalui dua titik.

(8)

CONTOH

Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan !

Jawab:

Sistem persamaan linear homogennya ialah

(9)

CONTOH

Inputkan sistem ke dalam Maple

(10)

CONTOH

Didapat persamaan garisnya dengan mencari nilai determinan matriks M yang sama dengan nol

Sehingga didapatlah persamaan garisnya:

(11)

LINGKARAN YANG MELALUI TIGA TITIK

Jika diberikan tiga titik berbeda pada suatu bidang, yaitu, , dan , tidak semuanya terletak pada suatu garis lurus maka terdapat sebuah lingkaran yang melalui tiga titik tersebut, yaitu:

…(4)

Jika yaitu, , dan disubstitusikan ke persamaan di atas menjadi:

…(5) …(6) ...(7)

(12)

LINGKARAN YANG MELALUI TIGA TITIK

Dari penggabungan sistem persamaan di atas maka dibentuk dalam bentuk matriks, sehingga didapat:

Karena nilai , dan tidak semuanya nol, maka sistem persamaan di atas memiliki sebuah solusi non trivial.

(13)

LINGKARAN YANG MELALUI TIGA TITIK

Berdasarkan teorema, maka determinan dari matriks koefsiennya haruslah nol, sehingga:

Dari hasil perhitungan di atas, akan didapatkan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik.

(14)

CONTOH

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik , , dan !

Jawab:

Sistem persamaan linear homogennya ialah

(15)

CONTOH

Inputkan sistem ke dalam Maple

(16)

CONTOH

Didapat persamaan lingkarannya dengan mencari nilai determinan matriks M2 yang sama dengan nol

Persamaan belum sederhana sehingga persamaan akan dibagi dengan 32,

Sehingga didapatlah persamaan lingkarannya: atau

Artinya ketiga titik tersebut berada pada lingkaran dengan pusat dengan jari-jari .

(17)

IRISAN KERUCUT UMUM YANG MELALUI LIMA TITIK

Persamaan umum suatu irisan kerucut pada bidang (parabola, hiperbola, elips, dan bentuk turunannya) adalah

…(8)

Mengikuti cara seperti sebelumnya, maka persamaan ini membutuhkan lima titik dan harus memenuhi:

(18)

CONTOH

Seorang astronom yang ingin menentukan orbit suatu asteroid mengelilingi matahari membuat sistem koordinat kartesius

pada bidang orbit dimana matahari merupakan titik asalnya. Ukuran satuan astronomis digunakan sepanjang sumbu (1

satuan astronomis = jarak rata-rata dari bumi ke matahari = 93 juta mil). Dengan menggunakan hukum Kapler I, orbit harus berupa elips, sehingga astronom melakukan lima observasi

pada asteroid di lima waktu yang berbeda dan menemukan lima titik sepanjang orbit tersebut, yaitu:

dan. Carilah persamaan orbit tersebut.

(19)

CONTOH

Untuk mempermudah membuat persamaannya, maka dibuat fungsi sebagai berikut:

(20)

CONTOH

(21)

CONTOH

Didapat persamaan elipsnya dengan mencari nilai determinan matriks M3 yang sama dengan nol

Sehingga didapatlah persamaan elipsnya:

(22)

BIDANG YANG MELALUI TIGA TITIK

Persamaan umum suatu bidang pada dimensi tiga adalah …(9)

Dengan diketahui tiga titik pada dimensi tiga, misalkan dan maka menghasilkan persamaan:

…(10) …(11) …(12)

(23)

BIDANG YANG MELALUI TIGA TITIK

Sama seperti sebelumnya, untuk mendapatkan persamaan bidang digunakan determinan matriks koefsiennya sama dengan nol, yaitu sebagai berikut:

(24)

CONTOH

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan !

Jawab:

Sistem persamaan linear homogennya didapat:

(25)

CONTOH

(26)

CONTOH

Didapat persamaan bidangnya dengan mencari nilai determinan matriks M4 yang sama dengan nol

Sehingga didapatlah persamaan bidangnya:

(27)

BOLA YANG MELALUI EMPAT TITIK

Persamaan umum suatu bola pada dimensi tiga adalah …(13)

Dengan diketahui empat titik pada dimensi tiga, misalkan , dan maka menghasilkan persamaan:

…(14) …(15) …(16) …(17)

(28)

BOLA YANG MELALUI EMPAT TITIK

Sama seperti sebelumnya, untuk mendapatkan persamaan bola digunakan determinan matriks koefsiennya sama dengan nol, yaitu sebagai berikut:

(29)

CONTOH

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan !

Jawab:

Sistem persamaan linear homogennya didapat:

(30)

CONTOH

(31)

CONTOH

Didapat persamaan bolanya dengan mencari nilai determinan matriks M5 yang sama dengan nol

Karena persamaan masih belum sederhana, maka persamaan dibagi 300

Sehingga didapatlah persamaan bolanya:

(32)

LATIHAN

1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan !

2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik dan !

3. Tentukan persamaan irisan kerucut yang melalui titik dan ! 4. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan !

5. Tentukan persamaan bola yang melalui titik dan !

(33)

JAWABAN

No.1

Jadi, persamaan garisnya

(34)

JAWABAN

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

atau

Artinya, lingkaran pusat di dan jari-jari 10

(35)

JAWABAN

No.3

Jadi, persamaan irisan kerucutnya

(36)

JAWABAN

No.4

Jadi, persamaan bidangnya adalah

(37)

JAWABAN

No.5

Jadi, persamaan bolanya adalah

atau

(38)

(39)

TERIMA KASIH

_{ASISTEN LABORATORIUM}