PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN LINEAR

(1)

Bahan ajar persamaan & pertidaksamaan linear/by paay Matematika 10 –p. 1

PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Sub bab : 2.1 Konsep Nilai Mutlak 2.2 Persamaan Linier 2.3 Pertidaksamaan Linier

(2)

Nilai mutlak

Definisi : Nilai Mutlak

Contoh Soal 2.1

1.Tentukan nilai dari : a. |5| =

b. |0| = c. |-3| = d. | 3−1| = e. |1− 2| =

Dari definisinya, nilai mutlak suatu bilangan selalu positif atau nol. Dalam ilmu ukur, nilai mutlak dapat dibayangkan sebagai jarak (tak berarah).

|x| = jarak antara x ke titik asal 0 |x - a| = jarak antara x ke a

Atau dapat pula dijelaskan sebagai berikut:

Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya.

Ini berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya terhadap 0 adalah 5: x = –5 dan x = 5 (perhatikan gambar berikut).

(3)

Bahan ajar persamaan & pertidaksamaan linear/by paay Matematika 10 –p. 3 Menggambar grafik fungsi nilai mutlak

Gambarlah grafik fungsi: a. f (x) = |x|

b. f (x) = |2x - 2| Jawab:

a. f (x) = |x|

Buat tabel seperti ini,

x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...

y ... ...

(x,y) ... ...

Sketsa gambar grafiknya,

b. f (x) = |2x - 2|

Buat tabel seperti ini,

x ... -2 -1 0 1 2 3 4 ...

y ... ...

(x,y) ... ...

(4)

(5)

PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat

digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli

matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0,

dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus

-c/b

Bentuk standar

Dimana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.

(6)

Bahan ajar persamaan & pertidaksamaan linear/by paay Matematika 10 –p. 6 Secara gamblang pengertian persamaan linear dapat dijelaskan mulai pemahaman terkait kalimat terbuka sebagai berikut,

Persamaan Linear Satu Variabel

1. Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstanta

a. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai

kebenarannya.

b. Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang

dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah

ditentukan

c. Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu

Pada kalimat berikut x + 5 = 12

Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x)

belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah,

barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti

dengan “3” , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 ,

kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan

huruf-huruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari bentuk diatas

x+5 +12 (kalimat terbuka)

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel

dan belum diketahui nilai kebenarannya. contoh:

(7)

2. Pengertian Persamaan Linier Satu Variabel

Persamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan

tanda sama dengan ( “=”) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 bentuk umum persamaan linier satu variable adalah ax + b = 0

contoh :

3. Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Himpuana Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari penyelesaian-penyelesaian suatu persamaan . Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable , yaitu :

a. Subtitusi ;

b. Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara : a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama

b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.

(8)

b. Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen

Persamaan Operasi Hitung Hasil

Persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan penyelesaian sama jika pada persamaan tersebut dilakukan operasi tertentu suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan tanda ↔

Contoh :

1. Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan

contoh :

(9)

(10)

B. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

1.Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambang <,

>, ≥, dan ≤ . Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4

Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka

yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan olehlambang <, >, ≥, dan ≤. Variablenya hanya satu yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan

linier dengan satu variable (peubah).

2. Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu

variable

Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :

Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang

dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru

yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula

Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan

pertidaksamaan semula

Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka

akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik

Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya

(11)

Bahan ajar persamaan & pertidaksamaan linear/by paay Matematika 10 –p. 11 x > 9

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15} HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Contoh 2 :....

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3 dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.

Jawab :

3x – 1 < x + 3

3x – 1+ 1 < x + 3 + 1 (kedua ruas ditambah 1 ) 3x < x + 4

3x + (-x) < x + (-x) +4 (kedua ruas ditambah – x) 2x < 4

X < 2

Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0

atau x = 1

Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .

Dalam garis bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai

berikut

.

. .

. . . .

(12)

Contoh soal aplikatif :....

1. Sebuah perahu angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari 1 ton jika sebuah kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak

kotak yang dapat diangkut oleh perahu ?

Jawab :

Kalimat matematika : 15 kg x ≤ 1 ton Penyelesaian : 15 kg x ≤ 1 .500 kg

x ≤ 1 .500 𝑘𝑔

15 𝑘𝑔

x ≤ 100

jadi perahu paling banyak mengangkut 100 kotak .

2. Umur Pak Agus 3 kali umur Iwan. Jika umur Pak Agus 22 tahun lebih tua

dari umur Iwan, maka umur Iwan sekarang adalah….

Penyelesaian :

Misal : umur Iwan = y tahun,

maka umur Pak Agus = 3y tahun.

Karena umur Pak Agus lebih tua 22 tahun, maka, umur Pak Agus = umur Iwan + 22 3y = y + 22 pakai cara cepat

3y - y = 22 2y = 22 y = 11

(13)

Latihan soal :...

1. Tentukan penyelesaian dari 5x – 1 = 2x + 11 2. Tentukan penyelesaian dari 3(x + 1) - 5 = 13, 3. Tentukan penyelesaian dari persamaan 1

5 2𝑚+ 1 =

1

4 𝑚+ 5 =