LOGIKA MATEMATIKA
Dalam setiap melakukan kegiatan sering kita dituntut untuk menggunakan akal dan pikiran. Akal dan pikiran yang dibutuhkan harus mempunyai pola pikir yang tepat, akurat , rasional , logis , obyektif dan kritis. Dengan menggunakan logika diharapkan kita lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan penalaran. Prinsip-prinsip logika sering digunakan dalam penalaran aplikasi pemrograman untuk tehnologi informasi.
1. Pernyataan ( Kalimat Dekaratif)
Suatu pernyataan adalah suatu kalimat yang hanya dapat mempunyai nilai kebenaran saja atau mempunyai nilai salah saja dan tidak berlaku kedua-duanya secara bersamaan.
Contoh :
a. " Jika x real maka x20"
Kalimat ini merupakan suatu pernyataan , karena kalimat ini menerangkan sesuatu yang benar.
b. "Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang yang sama "
Kalimat ini merupakan suatu pernyataan sebab kalimat ini menerangkan sesuatu yang salah c. " Harga logaritma suatu bilangan , sama dengan 3 "
Kalimat ini bukan merupakan suatu pernyataan , mengingat kalimat ini menerangkan sesuatu yang mungkin enar atau mungkin salah.
2. Nilai Kebenaran
Suatu Pernyataan dapat menerangkan suatu kejadian yang benar maupun yang salah, maka diperlukan suatu nilai kebenaran untuk membedakan pernyataan yang benar dan yang salah. Untuk menyatakan nilai kebenaran dari pernyataan ada 2 cara yaitu :
a. Cara empiris : kebenaran berdasarkan kenyataan pada saat itu ( tergantung ruang dan waktu) b. Cara non empiris : suatu kebenaran yang mutlak.
Nilai kebenaran dari suatu pertnyataan “p” dituliskan dengan lambang ( )p
Contoh :
“p”= “ Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang yang sama” maka dalam hal ini
( )p = S
3. Pernyataan berkuantor. Ada dua kuantor, yaitu:
a. kuantor universal dengan notasi ( untuk semua , seluruh, setiap ,….) - ( ),x x2 0
- Setiap kucing mempunyai ekor
Pernyataan ini benar sebaba tidak dapat ditemukan kucing yang tidak mempunyai ekor. b. Kuantor eksensial dengan notasi ( ada , beberapa, diantara , …. )
- ( ),x x 3 6 pernyataan ini benar sebab dapat ditemukan beberapa bilangan yang jika dijumlah dengan 3 mempunyai nilai 6
Operasi-operasi pada Logika.
Seperti pada system bilangan real, matriks ataupun fungsi, maka pada logika matematika, kita juga mengenal operasi antara pernyataan, antara lain :
a. Operasi Negasi / Ingkaran
Suatu pernyataan yang baru yang nilai kebenarannya kebalikan dari pernyataan semula. Negasi pernyataan p ditulis ~ p ( bukan p )
1 Tabel kebenaran : P ~ p B S S B ~(~p)p Contoh :
p : “ ada bilangan real yang logaritmanya sama dengan satu “ ~ p : “ Semua bilangan real logaritmanya tidak sama dengan satu” b. Operasi Konjungsi
Operasi yang menggabungkan pernyataan p dan q menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “ dan “ dilambangkan “”
Kata-kata tetapi , hanya saja , walaupun identik dengan dan.
Sebuah konjungsi akan benar apabila nilai kebenaran dari p dan q keduanya benar, dalam hal lain sebuah disjungsi akan salah.
Tabel kebenaran Konjungsi
P Q pq B B S S B S B S B S S S
Negasi dari Konjungsi
q p q p ) ~ ~ ( ~ Contoh :` p : 2
"x 0 untuk semua bilangan real” q : "logx0 untuk setiap x real”
2
:" 0 untuk setiap x real dan log x>0untuk setiap x real"
pq x
(p) = B , (q) = S maka ( p q ) = S c. Operasi Disjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk dari pernyataan p dan q menggunakan kata penghubung atau dilambangkan p V q
Disjungsi ada 2 macam :
Disjungsi Inklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena dua pernyataan benar, atau hanya salah satu pernyataan yang benar
Disjungsi eksklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena salah satu pernyataan saja yang benar karena tidak mungkin keduanya benar.
Dalam persoalan jika tidak ada pernyataan /keterangan maka dianggap disjungsi inklusif. Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif
P Q pq B B S S B S B S B B B S
Tabel Kebenaran Disjungsi Ekslusif
P Q pq B B S S B S B S S B B S Contoh :
p : "x = 0 merupakan akar persamaan x2 x 0" q : "x = 1 merupakan akar persamaan 2
0 x x "
Jadi p q : " x = 0 merupakan akar persamaan x2 x 0 atau x = 1 merupakan akar persamaan 2
0 x x
Terlihat bahwa (p q) = B
Ingkaran dari Konjungsi : ~(p V q) ≡ ~pV~q
Konsep konjungsi dan disjungsi pada rangkaian listrik
a. Konsep konjungsi dapat digambarkan sebagai hubungan seri
Lampu menyala hanya jika sakelar .S1 dan S2 terhubung. Jika hanya salah satu sakelar yang terhubung lampu tidak menyala. (lihat table kebenaran konjungsi)
b. Konsep disjungsi dapat digambarkan sebagai hubungan parallel pada rangkaian listrik tersebut.
Pada rangkaian seperti gambar , lampu akan menyala apabila sakelar S1 dan S2 terhubung atau salah satu sakelar saja yang terhubung.
c. Operasi Implikasi ( pernyataan bersyarat) 1
3
Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " Jika ….maka ……."
Pernyataan p disebut sebab (hipotesis/antesenden) dan pernyataan q disebut kesimpulan(konklusi/konsekwen)
Sebuah implikasi akan salah jika hipotesanya benar tetapi konklusinya salah dalam hal lain akan benar.
Implikasi " Jika p maka q" dilambangkan pq Contoh :
p : Jakarta terletak di Pulau Jawa
q : Jakarta merupakan ibu kota negara Indonesia
y: Jika Jakarta terletak di Pulau Jawa, maka Jakarta merupakan ibu kota Negara Indonesia. Parto berjanji pada Parti " Jika hujan maka ia akan datang ke rumah Parti "
hari hujan , Parto datang
hari tidak hujan, Parto tidak datang
Parto ingkar janji jika hari hujan ia tidak datang Tabel Kebenaran Implikasi
P Q pq B B S S B S B S B S B B
Negasi dari Implikasi : ~ (pq) p ~q ( Buktikan )
Suatu pernyataan jika …… maka …….. bernilai selalu benar (tautologi) dinamakan Implikasi Logis dan untuk mengetahui suatu pernyataan adalah implikasi logis maka perlu pengujian dengan tabel kebenaran.
Konvers , Invers dan Kontraposisi
Dari implikasi p q dapat dibuat implikasi-implikasi lain yaitu : a. q p disebut Konvers dari p q
b. pq disebut Invers dari p q c. q p disebut Invers dari p q Contoh :
Implikasi : Jika x = 3 , maka x2= 9 Invers : jika x 3 , maka x2 9
Konvers : Jika x2= 9 , maka x = 3 Kontra posisi : Jika x2 9 , maka x 3 Hubungan antara Implikasi , Konvers , Invers dan Kontraposisi
q p q p Konvers q p Kontraposisi p q
q p
d. Operasi Biimplikasi ( bi kondisional / ekuivalensi).
Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " ……..jika dan hanya jika ……." pq dibaca : " p jika dan hanya jika q "
Tabel kebenaran Biimplikasi
P Q pq B B S S B S B S B S S B
Negasi biimplikasi : ~ (pq) (p ~ )q (~pq) Buktikan !!
Suatu biimplikasi akan benar jika nilai kebenaran dari p sama dng nilai kebenaran dari q Contoh :
ABC
adalah segitiga sama kaki jika dan hanya jika A B
Jika pernyataan biimplikasi benar untuk semua keadaan(tautology) maka disebut biimplikasi logis.
e. Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar dalam segala hal. Contoh : P q ~q p~q (p~q)p B B S S B S B S S B S B S B S S B B B B (p~q)p adalah implikasi logis
Kontradiksi :
Adalah pernyataan majemuk yang selalu salah dalam segala hal f. Penarikan kesimpulan
Dalam menarik kesimpulan dari beberapa pernyataan yang ada digunakan beberapa prinsip penarikan kesimpulan yaitu :
a. Modus Ponen Pernyataan 1 : pq benar Pernyataan 2 : p benar Kesimpulan : q benar b. Modus Tollens Pernyataan 1 : pq benar Pernyataan 2 : ~ q benar Kesimpulan : ~p benar Konvers
5 c. Silogisme
Pernyataan 1 : pq benar
Pernyataan 2 : qr benar
Kesimpulan : pr benar
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 1 SKL UN
Menentukan pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan dari dua premis yang diberikan
1. Tentukan kesimpulan yang sah dari tiap argumentasi berikut a . p q ~ p__ …….. b. ~ p q ~ q___ ……. c. ~q p ~r ~q_ ... ... ... d. p q ~q r___ ... ... ... e. ~ q ~ p ~ r ~ q_ ... ... ... f. P q q r ... ... ... 2. tentukan kesimpulan yang sah dari premis–premis berikut
a. 1. Jika semua siswa SMA di DKI Jakarta lulus ujian, maka Pak Gubernur DKI Jakarta sujud syukur 2. Pak Gubernur DKI Jakarta tidak sujud syukur
Kesimpulan : ...
b. 1. Jika saya dapat mengerjakan soal tryout, maka saya dapat menyelesaikan soal UN 2. Saya tidak dapat menyelesaikan soal UN
Kesimpulan : ...
c. 1. Jika Fadil lulus ujian pegawai atau menikah maka ayah memberi hadiah uang. 2. Ayah tidak memberi hadiah uang.
Kesimpulan : …
d. 1. Jika ia dermawan dan pandai bergaul maka ia disenangi masyarakat 2. Ia tidak disenangi masyarakat.
Kesimpulan: ...
e. 1. Jika Marni rajin belajar atau patuh pada orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru. 2. Ibu tidak membelikan sepatu baru
Kesimpulan …
f. 1. Jika hari hujan, maka ibu memakai payung 2. Ibu tidak memakai payung
Kesimpulan …
3. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premis–premis berikut a. 1. Jika ibu tidak pergi maka adik senang
2. Jika adik senang maka dia tersenyum. Kesimpulan …
b. 1. Jika Andi murid rajin, maka Andi murid pandai 2. Jika Andi murid pandai, maka ia lulus ujian Kesimpulan …
c. 1. Jika saya tidak rajin belajar, maka nilai ujian saya kurang baik. 2. Jika nilai ujian saya kurang baik , maka saya tidak lulus ujian.. Kesimpulan …
d. 1. Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian
2. Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN Kesimpulan …
e. 1. Jika dia bermbut gondrong maka dia seorang seniman 2. Jika dia seorang seniman maka dia berpakaian nyentrik. Kesimpulan …
f. 1. Jika sampah dibuang di sembarang tempat maka keadaan menjadi kumuh 2. Jika keadaan menjadi kumuh maka wabah penyakit datang
Kesimpulan …
4. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premis–premis berikut a. P1 : saya tidak giat belajar atau saya bisa meraih juara
P2 : Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding
Kesimpulan …
b. P1 : Dodi tidak rajin belajar atau ia naik kelas.
P2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju.
Kesimpulan …
c. P1 : Adik tidak makan atau adik tidak lemas.
P2 : Jika adik tidak bertenaga, maka dia lemas.
Kesimpulan …
d. P1 : Mariam tidak rajin belajar atau ia pandai
P2 : Mariam lulus SNMPTN atau ia tidak pandai
Kesimpulan …
e. P1 : pengendara tidak taat aturan atau lalu lintas lancar.
P2 : saya terlambat ujian atau lalu lintas tidak lancar
Kesimpulan …
f. P1 : lapisan ozon di atmosfer tidak menipis atau suhu bumi meningkat.
P2 : keseimbangan alam terganggu atau suhu bumi tidak meningkat
Kesimpulan …
5. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premis–premis berikut
a. Premis 1 : Jika nilai matematika dan Bahasa Inggris baik maka semua siswa senang Premis 2 : Beberapa siswa tidak senang atau prosentase kelulusan 100%
Kesimpulan …
b. Premis 1 : Jika Ani lulus ujian, maka ia melamar pekerjaan atau kuliah di luar negeri Premis 2 : Jika rajin dan tekun maka Ani lulus ujian
Kesimpulan …
c. Premis 1 : Jika saya lulus ujian nasional, maka ibu dan ayah bahagia Premis 2 : Jika ibu dan ayah bahagia maka saya tersenyum
Matematika SMA 2 Kesimpulan …
d. Premis 1 : Jika semua siswa menyukai matematika, maka guru senang mengajar. Premis 2 : Guru tidak senang mengajar atau semua siswa lulus ujian.
Kesimpulan …
e. Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka semua bahan pokok naik
Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang Kesimpulan …
f. Premis 1 : Jika ujian nasional dimajukan, maka semua siswa gelisah Premis 2 : Jika semua siswa gelisah maka semua orang tua siswa ketakutan Kesimpulan …
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 2 SKL UN
Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor RANGKUMAN MATERI
Pernyataan–Pernyataan yang Equivalen 1) implikasi kontraposisi : p q ~ q ~ p ~ p q 2) ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari konjungsi 3) ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari disjungsi 4) ~(p q) p ~ q : ingkaran dari implikasi 5) ~(p q) (p ~ q) (q ~ p) : ingkaran dari biimplikasi 6) ~(x) (~x) : ingkaran dari kuantor universal 7) ~(x) (~x) : ingkaran dari kuantor eksistensial
SOAL LATIHAN 2A A. Tentukan ingkaran dari tiap pernyataan majemuk di bawah ini
1. 18 habis dibagi 2 atau 9
2. Sekarang les matematika atau besok lesnya libur 3. Saya siswa kelas XII IPA atau saya ikut Ujian Nasional 4. Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung 5. Ani senang bernyanyi dan tidak senang olah raga
6. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik 7. Harga BBM turun, tetapi harga sembako tinggi
8. Jika Prabu mendapatkan nilai jelek maka ia tidak mendapatkan uang saku 9. Jika hari hujan maka Amir tidak berangkat ke sekolah
10. Jika Ali seorang pelajar SMA, maka ia mempunyai kartu pelajar 11. Jika harga penawaran tinggi maka permintaan rendah
12. Beberapa siswa memakai kacamata dan memiliki laptop 13. Beberapa siswa naik kendaraan umum atau miliki pribadi 14. Semua bunga harum baunya dan hijau daunnya
15. Semua warga desa memiliki televisi dan motor 16. Jika ulangan tidak jadi maka semua murid bersuka ria
17. Jika ada guru yang tidak hadir maka semua siswa sedih dan prihatin
Matematika SMA 3 SOAL LATIHAN 2B
B. Tentukan dua pernyataan yang ekuivalen (setara) dengan pernyataan majemuk di bawah ini 1. Saya lulus UN atau ke Jakarta
2. Harga cabai rawit tidak turun atau kaum ibu bergembira 3. Polisi turun tangan atau warga bertindak anarkis 4. Tuntutan karyawan di turuti atau terjadi mogok masal 5. Beberapa siswa masuk kelas atau pelajaran kosong 6. Jika BBM naik maka harga bahan pokok naik 7. Jika saya sakit maka saya minum obat 8. Jika Amir pandai maka diberi hadiah
9. Jika Ino seorang atlit maka Ino tidak merokok
10. Jika semua siswa kelas XII Lulus Ujian maka kepala sekolah gembira
Soal Latihan UN :
1. kalimat ingkaran dari kalimat “ semua orang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan” adalah :
a. semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan b. tidak ada orang yang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan c. ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan d. ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan e. tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan
2. Kesimpulan dari pernyataan “ Jika perang terjadi maka setiap orang gelisah maka kehidupan menjadi kacau “ adalah
a. jika perang terjadi maka setiap orang gelisah b. jika perang terjadi maka kehidupan menjadi kacau c. jika setiap orang gelisah maka perang terjadi
d. Jika perang terjadi maka setiap orang gelisah maka kehidupan menjadi kacau e. Jika kehidupan menjadi kacau maka setiap orang gelisah
3. Kontra posisi pernyataan “ Jika devisa negara bertambah maka pembangunan berjalan lancar “ adalah
a. jika pembangunan tidak lancar maka devisa negara tidak bertambah b. Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan tidak lancar c. Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan berjalan lancar d. Jika pembangunan berjalan lancar maka devisa negara bertambah e. Jika devisa negara bertambah maka pembangunan tidak lancar 4. Pernyataan p dan q masing-nasing bernilai benar
P: saya lulus SMA
Q : saya mengikuti SPMB
Implikasi berikut ini benar kecuali :
a. jika saya tidak lulus SMA , maka saya tidak mengikuti SPMB b. jika saya mengikuti SPMB, maka saya lulus SMA
c. jika saya tidak mengikuti SPMB, maka saya tidak lulus SMA d. jika saya tidak lulus SMA , maka saya mengikuti SPMB e. jika saya lulus SMA , maka saya tidak mengikuti SPMB 5. Pernyataan yang ekuivalen dengan “ Jika 4 > 5 maka –4 < -5 adalah …
A. Jika –4 > -5 maka 4 < 5 B. Jika 4 > 5 maka –4
-5Matematika SMA 4 C. Jika 4
5 maka –4 < -5D. Jika –4 < -5 maka 4 > 5 E. Jika –4
-5 maka 4
56. Ingkaran dari kontra posisi
p
q
ialah .A.
~
q
p
B.q
p
C.p
~
q
D.p
~
q
E.p
q
7. Bentukp
(
p
q
)
senilai dengan …A. p B. q C.
p
~
q
D.p
q
E.p
q
8. Nilai kebenaran dari pernyataan : “
f
(
x
)
ax
2
bx
c
mengalami definit negatif jika dan hanya jika a0 dan D0”A. B B. S C. B dan S D. 0 E. ~
9. Diberikan empat pernyataan p,q,r dan s . Jika tiga pernyataan berikut benar:
p
q
,
q
r
,
r
s
, dan s pernyataan yang salah , maka diantara ernataan berikut yang salah adalah ..A. ~p B. ~q C. ~r D. p
r
E.p
~
r
10. Kesimpulan tiga premis
1.
~
p
q
2.q
r
3. ~r adalah ….A. p B. ~p C. q D. ~q E.
p
~
r
Soal – soal logika matematika Ujian Nasional
Materi pokok : Invers, Konvers, Kontraposisi
1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p → ( p V ~q ) adalah ….
a. ( p V ~q ) → ~p
b. (~p Λ q ) → ~p
c. ( p V ~q ) → p
d. (~p V q ) → ~p
e. ( p Λ ~q ) → ~p
2. Invers dari pernyataan p → ( p Λ q )
a. (~p Λ ~q ) → ~p
b. (~p V ~q ) → ~p
c. ~p → (~p Λ ~q )
d. ~p → (~p Λ q )
e. ~p → (~p V ~q )
Materi pokok : Penarikan Kesimpulan
3. Diketahui pernyataan :
I. Jika hari panas, maka Ani memakai topi
II. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung III. Ani tidak memakai payung
Kesimpulan yang sah adalah …. a. Hari panas
b. Hari tidak panas
c. Ani memakai topi
d. Hari panas dan Ani memakai topi
Matematika SMA 5
4. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut : Jika Siti sakit maka dia pergi ke dokter
Jika Siti pergi ke dokter maka dia diberi obat. adalah ….
a. Siti tidak sakit atau diberi obat b. Siti sakit atau diberi obat
c. Siti tidak sakit atau tidak diberi obat d. Siti sakit dan diberi obat
e. Siti tidak sakit dan tidak diberi obat 5. Diketahui premis berikut :
I. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai. II. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian. III. Budi tidak lulus ujian.
Kesimpulan yang sah adalah …. a. Budi menjadi pandai
b. Budi rajin belajar c. Budi lulus ujian d. Budi tidak pandai e. Budi tidak rajin belajar 6. Diketahui argumentasi : I. p → q ~p --- ∴ ~q II. p → q ~q V r --- ∴ p → r III. p → q p → r --- ∴ q → r
Argumentasi yang sah adalah …. a. I saja
b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. II dan III saja
7. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumen tasi berikut :
~p → q q → r --- ∴ … a. p Λ r b. ~p V r c. p Λ ~r d. ~p Λ r
Matematika SMA 6
e. p V r
8. Ditentukan premis – premis :
I. Jika Badu rajin bekerja maka ia disayang ibu. II. Jika Badu disayang ibu maka ia disayang nenek III. Badu tidak disayang nenek
Kesimulan yang sah dari ketiga premis diatas adalah …. a. Badu rajin bekerja tetapi tidak disayang ibu
b. Badu rajin bekerja c. Badu disayang ibu d. Badu disayang nenek e. Badu tidak rajin bekerja
9. Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus tolens didasarkan atas suatu pernyataan majemuk yang selalu berbentuk tautologi untuk setiap kasus. Pernyataan yang dimaksud adalah ….
a. ( p → q ) Λ p → q
b. ( p → q ) Λ ~q → ~p
c. ( p → q ) Λ p → ( p Λ q )
d. ( p → q ) Λ ( q → r ) → ( p → r )
e. ( p → q ) Λ ( p → r ) → ~ ( q → r )
10. Kesimpulan dari premis berikut merupakan ….
p → ~q q V r --- ∴ p → r a. konvers b. kontra posisi c. modus ponens d. modus tollens e. silogisme
1. B 2.E 3.B 4.A 5.E 6.B 7.E 8.E 9.B 10.E
