KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

(1)

A A A

A.... Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di RuangKedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di RuangKedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di RuangKedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang

Hubungan dua garis lurus dapat kita kaitkan dengan situasi sehari-hari.

Jika terdapat dua garis lurus, maka ada beberapa hubungan atau situasi yang bisa terjadi. Kedua garis tersebut dapat sejajar, saling tegak lurus, berimpit, atau berpotongan.

Kegiatan Kegiatan Kegiatan

Kegiatan 4.4.4.4.1. Kedudukan Dua1. Kedudukan Dua1. Kedudukan Dua1. Kedudukan Dua Garis Lurus di BidangGaris Lurus di BidangGaris Lurus di BidangGaris Lurus di Bidang

Untuk menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang, lakukan langkah- langkah berikut.

1. Pilih dua titik pada bidang koordinat, missal titik A dan B, kemudian hubungkan kedua titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis lurus AB, namakan garis ℎ.

2. Hitunglah gradien garis ℎ.

3. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis ℎ, pilihlah dua titik pada garis

, kemudian hitunglah gradien garis .

4. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis , pilihlah dua titik pada garis

, kemudian hitunglah gradien garis .

KEGIATAN BELAJAR 4

KEDUDUKAN DUA KEDUDUKAN DUA KEDUDUKAN DUA KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT GARIS LURUS, SUDUT GARIS LURUS, SUDUT GARIS LURUS, SUDUT

DAN JARAK DAN JARAK DAN JARAK DAN JARAK

Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2. Sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang

3. Menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang 4. Menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang.

(2)

5. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis , pilih dua titik pada garis , kemudian hitunglah gradien garis .

6. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai garis-garis ℎ, , dan ?

7. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai gradien dari garis-garis ℎ, , dan .

Dari kegiatan 4.1 di atas, jika kita perhatikan garis-garis ℎ, , dan adalah garis- garis yang saling sejajar, dan jika hitung gradiennya maka mempunyai nilai gradien yang sama sehingga dapat di simpulkan bahwa garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama yaitu :

=

Masalah Masalah Masalah Masalah 4.14.14.14.1

Diketahui persamaan garis = 3 + 5, tentukan gradien garis tersebut, kemudian tentukan gradien garis ℎ yang sejajar dengan garis = 3 + 5

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Dari masalah di atas, gradien garis = 3 + 5 adalah 3. Maka gradien garis ℎ yang sejajar dengan garis = 3 + 5 adalah 3.

Kegiatan Kegiatan Kegiatan

Kegiatan 4.4.4.4.2222. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika Garisnya Tegak LurusGarisnya Tegak LurusGarisnya Tegak LurusGarisnya Tegak Lurus

Untuk menentukan gradien garis-garis yang saling tegak lurus maka lakukan langkah-langkah berikut.

1. Gambarlah grafik garis dengan persamaan 2 + 3 − 6 = 0 2. Hitunglah gradien garis .

3. Gambarlah grafik garis ℎ dengan persamaan 3 − 2 + 2 = 0 4. Hitunglah gradien garis ℎ.

5. Selidiki apakah garis tegak lurus pada garis ℎ?

6. Tentukan hasil kali antara gradien garis dengan gradien garis ℎ

7. Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil langkah ke-6 berdasarkan kedudukan garis dan ℎ?

Dari kegiatan 4.2 di atas, jika kita perhatikan garis dan ℎ diperoleh hasil kali gradien-gradien yang saling tegak lurus adalah -1. Dengan demikian dapat

…(16)

(3)

diambil kesimpulan bahwa hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Persamaan garis-garis yang saling tegak lurus adalah:

= − Masalah

Masalah Masalah Masalah 4.24.24.24.2

Diketahui titik −4, 5 dan titik 6, −3. Jika garis tegak lurus dengan garis

, tentukan gradien garis .

Berdasarkan permasalahan di atas, pertama sekali kita menghitung nilai gradien yang melalui titik −4, 5 dan titik 6, −3 dengan menggunakan persamaan gradien pada kegiatan 3.1 yaitu:

! = "− #

"− # Maka di dapat nilai gradiennya adalah

! = −4

Setelah memperoleh nilai gradien , karena garis tegak lurus dengan 5 maka kita menggunakan persamaan pada kegiatan 3 yaitu:

# "= −1

maka,

−4

5 ^"= −1 Sehingga diperoleh,

" = 5

Apabila # dan " adalah dua buah garis lurus pada bidang XOY, maka 4 hubungan yang mungkin terjadi antara kedua garis tersebut adalah

1. # berimpit dengan "

Misalkan #≡ # + # + &#= 0 dan "≡ " + " + &"= 0 maka g1

dan g2 dikatakan berimpit jika dan hanya jika:

'

' = (

( = )

)

2. # sejajar dengan " (tidak berimpit)

Misalkan #≡ # + # + &#= 0 dan "≡ " + " + &"= 0 maka g1

dan g2 dikatakan sejajar jika dan hanya jika:

'

' = (

(

3. # berpotongan dengan "

(4)

Misalkan #≡ # + # + &#= 0 dan " ≡ " + " + &"= 0 maka # dan " dikatakan berpotongan jika dan hanya jika:

'

' ≠ (

(

Masalah 4.3 Masalah 4.3 Masalah 4.3 Masalah 4.3

Diketahui garis ≡ 3 + 2 − 2 = 0, ℎ ≡ 4 − 5 − 7 = 0 dan

≡ 6 + 4 − 4 = 0. Tentukan kedudukan antara garis dengan dan garis dengan ℎ, apakah sejajar, berimpit atau berpotongan.

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian:

• Garis ≡ 3 + 2 − 2 = 0, dan ≡ 6 + 4 − 4 = 0

#

"= #

"= &#

&"

36 = 2 4 = −2

Kerena nilainya sama maka garis berimpit dengan garis . −4

• Garis ≡ 3 + 2 − 2 = 0, ℎ ≡ 4 − 5 − 7 = 0

#

" ≠ #

"

34 ≠ 2

Karena nilainya tidak sama maka garis berpotongan dengan garis ℎ. −5

4.14.1

4.14.1 Kedudukan Dua Garis Lurus di RuangKedudukan Dua Garis Lurus di RuangKedudukan Dua Garis Lurus di Ruang Kedudukan Dua Garis Lurus di Ruang

Misalkan # ≡ ,, , -. = ,#, #, -#. + /,0#, 1#, 2#. dan

" ≡ ,, , -. = ,", ", -". + /,0_", 1", 2".

Ada beberapa kemungkinan kedudukan antara garis # dan ". 1. Garis # sejajar " # ∥ " jika dan hanya jika :

,0#, 1#, 2#. = 4 ,0", 1", 2". atau 0#

0" = 1#

1" = 2#

2"

2. Garis # berimpit dengan " jika dan hanya jika:

• ,0_#, 1#, 2#. = 4 ,0_", 1", 2".

• ,"− #, "− #, -"− -#. = 4 ,0#, 1#, 2#.

(5)

Tunjukkan bahwa garis # sejajar dengan garis ".

# ≡ − 7 6 =

2 = - dan ^"= + 2

6 = − 1

2 = - − 11 Penyelesaian

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

Vektor arah garis # adalah ,6, 2, 1. dan vektor arah " adalah ,6, 2, 1.. Karena vektor arah # sama dengan vektor arah " berarti kedua garis tersebut sejajar tetapi tidak berimpit, karena hasil penggurangan ,−2 − 7, 1 − 0, 11 − 0. = 4 ,6, 2, 1.

,−9, 1, 11. ≠ 4 ,6, 2, 1. .

3. Jika ,0#, 1#, 2#. ≠ 4 ,0", 1", 2"., maka garis # dan " mungkin saja berpotongan atau bersilangan.

Misalkan # berpotongan dengan ", berarti ada titik potong 6, 6, -6.

sehingga 6, 6, -6 ∈ _# dan 6, 6, -6 ∈ _" sebagai titik potong garis #

dan ".

Jika 6, 6, -6 ∈ _# maka ,6, 6, -6. = ,#, #, -#. + /#,0#, 1#, 2#. …..(1) Jika 6, 6, -6 ∈ " maka ,6, 6, -6. = ,", ", -". − /",0", 1", 2". …..(2) Dari persamaan (1) dan (2) jika di kurangkan menjadi:

,_#, #, -#. + /_#,0_#, 1#, 2#. = ,_", ", -". − /_",0_", 1", 2". atau 0#/#+ 0"/"= "− #

1#/#+ 1"/" = "− #

2#/#+ 2"/"= -"− -#

Berdasarkan teori persamaan linier, nilai /# dan /" ada, jika nilai determinannya:

89 9 −

: : ; − ;

< < = − =

8 = >

Merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada suatu titik. Jika nilai determinannya tidak sama dengan nol maka kedua garis tersebut bersilangan

bersilangan bersilangan

bersilangan. Sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis #

dan " adalah:

89 9 −

: : ; − ;

< < = − =

8 = >

…(18)

…(19)

(6)

Tunjukkan bahwa garis # berpotongan dengan garis ". Jika berpotongan maka tentukan titik potong kedua garis tersebut serta tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut.

# ≡ − 1

2 = + 1

−3 = - + 10

8 dan ^" ≡ − 4 = + 3

−4 = - + 1 Penyelesaian 7

# ≡ ,, , -. = ,1, −1, −10. + /,2, −3, 8.

" ≡ ,, , -. = ,4, −3, −1. + /,1, −4, 7.

Jika kita perhatikan vektor arah kedua garis tersebut tidak berkelipatan berarti kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berimpit. Untuk menunjukkan kedua garis tersebut berpotongan, kita harus mencari determinannya terlebih dahulu, dan nilai determinannya harus sama dengan nol.

80# 0" "− #

1# 1" "− #

2# 2" -"− -#

8 = 0

8 2 1 4 − 1

−3 −4 −3 − −1

8 7 −1 − −108 = 0

8 2 1 3

−3 −4 −2

8 7 9 8 @ 2 1

−3 −4 8 7 8 = 0

A−72 + −16 + −63B − A−27 + −28 + −96B = 0

−151 − −151 = 0 0 = 0

Karena determinannya sama dengan nol maka garis # berpotongan dengan garis ".

Titik potong kedua garis tersebut diperoleh dari persamaan:

2/#+ /"= 3

−3/#− 4/"= −2

8/#+ 7/"= 9

Cukup kita ambil dua persamaan, sehingga diperoleh nilai /# dan /" dengan cara mengeliminasikan kedua persamaan tersebut. Setelah di eliminasi maka diperoleh nilai /# = 2 dan /"= −1.

Untuk memperoleh titik potong kedua garis tersebut kita menggunakan persamaan:

,>, ;>, =>. = ,, ;, =. + C,9, :, <.

(7)

,₆, 6, -6. = ,1, −1, −10. + 2,2, −3, 8.

,6, 6, -6. = ,5, −7, 6.

Jika kita menggunakan persamaan:

,>, ;>, =>. = , , ; , = . − C ,9 , : , < . ,6, 6, -6. = ,4, −3, −1. − −1,1, −4, 7.

,6, 6, -6. = ,5, −7, 6.

Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 5, −7, 6

Bidang rata yang memuat garis # dan " adalah:

80# 0" − #

1# 1" − #

2# 2" - − -#

8 = 0

8 2 1 − 1

−3 −4 + 1

8 7 - + 108 @ 2 1

−3 −4 8 7 8 = 0

≡ A−8- + 10 + 8 + 1 + −21 − 1B − A−3- + 10 + 14 + 1 +

−32 − 1B = 0

≡ −8- − 80 + 8 + 8 − 21 + 21 + 3- + 30 − 14 − 14 + 32 − 32 = 0

≡ 11 − 6 − 5- − 67 = 0

Jadi, persamaan bidang yang memuat kedua garis tersebut adalah 11 − 6 − 5- − 67 = 0.

BB

BB.... Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di RuangGaris Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di RuangGaris Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di RuangGaris Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di Ruang 4.2

4.2 4.2

4.2 Garis Garis Garis Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di BidangLurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di BidangLurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di BidangLurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Bidang

Misalkan # ≡ # + # + &#= 0 dan " ≡ " + " + &"= 0. Untuk menentukan persamaan garis lain kita menggunakan persamaan berkas garis, berkas garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Persamaan berkas garis adalah

D+ C D = >

dimana / disebut dengan parameter dan / harus linier.

Titik potong S kedua garis # dan " terletak pada garis #", berarti koordinat titik potong tersebut memenuhi ke dalam persamaan garis #

maupun ke dalam garis ". Serta untuk tiap-tiap harga / bentuk #+ / "= 0 selalu linier, sehingga menghasilkan sebuah garis lurus yang melalui S.

Jadi dapat disimpulkan bahwa semua garis yang didapat dari persamaan

#+ / " = 0 selalu melalui titik potong kedua garis # dan ".

Diketahui dua garis lurus # ≡ = − 1 dan " ≡ = −^#_" + 2

…(20)

(8)

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut.

Buatlah berkas garis D+ C D = > sehingga dapat di tulis menjadi:

− + 1 + / E + 1

2 − 2F = 0 … … . . 1

1 + / − E1 −1

2 /F + 1 − 2/ = 0

Karena garis tersebut melalui titik pangkal yaitu 0, 0 maka diperoleh:

0 − 0 + 1 − 2/ = 0 sehingga di dapatlah nilai / = ^#_". Subsitusikan nilai / = ^#_" ke persamaan (1) yaitu:

− + 1 + 1

2 E + 1

2 − 2F = 0 2 − + 1 + E + 1

2 − 2F = 0 2 − 2 + 2 + + 1

2 − 2 = 0 3 − 3

2 = 0

= 1

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua 2 garis tersebut adalah = ^#_".

4.34.3

4.34.3 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di RuangGaris Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di RuangGaris Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di RuangGaris Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Ruang

Jika # ∶ J#= 0 = J" dan "∶ K#= 0 = K" maka persamaan umum dari garis lurus yang memotong # dan " adalah

L + C L = > dan M+ N M = >

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, −1, 1 dan memotong garis-garis lurus # ∶ 2 + − 4 = 0, + 2- = 0 serta "∶ + 3- = 4, 2 + 5- = 8.

…(21)

(9)

Persamaan umum garis lurus yang memotong # dan " adalah:

L+ C L = > dan M+ C M = >

Pertama kita menggunakan persamaan L+ C L = >

2 + − 4 + / + 2- = 0

2 + 1 + / + 2/- − 4 = 0

Karena melalui titik 2, −1, 1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (22),

22 + 1 + /−1 + 2/1 − 4 = 0 4 − 1 − / + 2/ − 4 = 0

−1 + / = 0 / = 1

Subsitusikan nilai / = 1 ke persamaan (22) sehingga diperoleh persamaan garis:

2 + 1 + 1 + 21- − 4 = 0 2 + 2 + 2- − 4 = 0

+ + - − 2 = 0

Jadi, persamaan garis lurus adalah + ; + = = .

Kedua kita menggunakan persamaan M+ N M = >

+ 3- − 4 + 4 2 + 5- − 8 = 0

1 + 24 + 3 + 54- − 4 + 84 = 0

Karena melalui titik 2, −1, 1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (23),

1 + 242 + 3 + 541 − 4 + 84 = 0 2 + 44 + 3 + 54 − 4 − 84 = 0

1 + 4 = 0 4 = −1

Subsitusikan nilai 4 = −1 ke persamaan (23) sehingga diperoleh persamaan garis:

O1 + 2−1 + O3 + 5−1P- − 4 + 8−1P = 0

− − 2- + 4 = 0

+ 2- − 4 = 0

Jadi, persamaan garis lurus adalah + = = Q.

…(22)

…(23)

(10)

C C C

C.... Sudut Antara Dua Garis Lurus di Sudut Antara Dua Garis Lurus di Sudut Antara Dua Garis Lurus di Sudut Antara Dua Garis Lurus di Bidang dan di RuangBidang dan di RuangBidang dan di RuangBidang dan di Ruang

Sekarang kita perhatikan sudut R yang merupakan sudut diantara dua garis lurus di bidang seperti yang terlihat pada Gambar 4.1.

Jika # ≡ = # + 1# dan " ≡ = " + 1". Sudut R adalah sudut perpotongan antara kedua garis tersebut.

tan T#= # dan tan T"= "

T# = T"+ R

R = T#− T"

tan R = tanT#− T" tan R = tan T#− tan T"

1 + tan T# . tan T"

karena tan T#= # dan tan T"= " maka di peroleh suatu persamaan:

tan R = #− "

1 + # . "

Supaya sudut R selalu lancip, maka tan R harus bernilai positif, oleh karena itu diambil harga mutlaknya yaitu:

UVW X = Y_[^Z

.Y

X = 9\< ]9^ _[^Z

. CATATAN

CATATAN CATATAN CATATAN (4)(4)(4)(4)

• Jika X = >, maka = . Ini berarti dua garis tersebut sejajar atau berimpit. Dua garis tersebut akan sejajar apabila ^ ≠ ^ dan dua garis tersebut berimpit, apabila ^ = ^ .

…(24)

…(25)

(11)

• Jika harga tan R besarnya tak berhingga, yaitu X = _>^`, maka + . = > atau . = −. Ini berarti kedua garis tersebut saling

tegak lurus.

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1 dan mengapit sudut yang besarnya 45^a dengan garis 2 + 3 + 4 = 0.

Perhatikan gambar 4.2 di bawah ini adalah sketsa dari ketentuan-ketentuan dalam soal dan garis # dan " adalah garis-garis yang mengapit sudut yang besarnya 45^a dengan garis 2 + 3 = 4 = 0.

Tanjakan garis 2 + 3 + 4 = 0 adalah = −^"_b. Misalkan tanjakan garis

# yang dicari adalah #, maka tan 45^a= #−

1 + #. 1 = #− c− 23d

1 + #c− 23d 1 = #+ 23

1 − 23 ^# 1 −2

3 ^# = #+ 2 3

(12)

1 −2

3 = ^#+ 2 3 ^# 13 = 5

3 ^#

# = 1 5

Jadi, persamaan garis # adalah garis dengan gradien #= ^#_e dan melalui titik

2, 1, yaitu:

− # = # − _#

− 1 = 1

5 − 2

5 − 5 = − 2

− 5 + 3 = 0

Gradien garis " adalah "= −5, karena garis " tegak lurus dengan garis #

sehingga diperoleh persamaan garis " melalui titik 2, 1 dengan gradien

"= −5 adalah

− # = # − #

− 1 = −5 − 2

− 1 = −5 + 10 5 + − 11 = 0

Berdasarkan proses di atas, persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1

adalah − f; + g = > dan f + ; − = >.

Sedangkan sudut antara garis # dan " di ruang adalah sudut antara vektor-vektor arah ,0#, 1#, 2#. dan ,0", 1", 2". yaitu:

cos k = ,0_#, 1#, 2#. . ,0_", 1", 2".

|,0#, 1#, 2#.||0", 1", 2"| cos k = 0#0"+ 1#1"+ 2#2"

mO0_#"+ 1#"+ 2#"PO0""+ 1""+ 2""P

Jadi, persamaan untuk menentukan sudut antara dua garis lurus di ruang adalah:

nop q = ⁹⁹^{[ :}^:^[<^<

mc9 [:[<dc9[:[<d

CATATAN (5) CATATAN (5) CATATAN (5) CATATAN (5)

Jika kedua garis # dan " saling tegak lurus apabial dot product vektor arah mereka sama dengan nol sehingga diperoleh suatu persamaan:

,9, :, <. . ,9 , : , < . = 99 + :: + << = >

…(25)

…(26)

(13)

Tentukan sudut antara garis ℎ ≡ ,, , -. = ,1, 2, 0. + / ,2, −1, 2. dan garis

≡ ,, , -. = ,2, 6, 3..

Sudut antara garis ℎ dan garis adalah cos k = 0#0"+ 1#1"+ 2#2"

mO0_#"+ 1#"+ 2#"PO0""+ 1""+ 2""P cos k = 2 . 2 − 1 . 6 + 2 . 3

r2^"+ −1^"+ 2^"2^"+ 6^"+ 3^" cos k = 4 − 6 + 6

r4 + 1 + 44 + 36 + 9

cos k = 4

√9 . 49 cos k = 4

3 .7 cos k = 4

Jadi, sudut antara garis ℎ dan garis adalah k = 0t2 cos21 _"#^u.

D D D

D.... Jarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di RuangJarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di RuangJarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di RuangJarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di Ruang

Sebelumnya kita sudah mempelajari kegiatan 3.3 yaitu persamaan normal Hesse adalah cos v + sin v = x dengan x adalah jarak dari titik pangkal ke garis dan v adalah sudut antara jarak tersebut dengan sumbu positif serta titik y#, # yang berjarak z dari garis seperti yang terlihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.

(14)

Gambar 4.3. Garis Lurus Gambar 4.3. Garis Lurus Gambar 4.3. Garis Lurus

Gambar 4.3. Garis Lurus D sejajar dengan garis sejajar dengan garis sejajar dengan garis sejajar dengan garis D

Dari persamaan normal Hesse tersebut dapat ditentukan persamaan normal garis # yang melalui titik y#, # dan sejajar dengan garis . Jelas bahwa panjang normal dari normal dari garis # adalah x + z, maka persamaan normal garis # adalah nop { + ; p|W { − ^ + } = >.

Karena titik y#, # pada garis #, maka koordinat-koordinat titik y memenuhi persamaan garis #, sehingga diperoleh

nop { + ;p|W { − ^ + } = >. Jadi, } = nop { + ;p|W { − ^....

Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula jarak tersebut apabila titik-titik ~ dan y terletak sepihak terhadap garis , sehinga diperoleh } = −nop { + ;p|W { − ^. Karena z adalah jarak, maka nilainya harus positif, sehingga harus diambil harga mutlaknya.

} = |nop { + ;p|W { − ^|

Jika persamaan garisnya merupakan persamaan untuk umum, maka untuk menentukan jarak suatu titik pada garis tersebut harus diubah ke persamaan normal. Karena persamaan normal garis + + & = 0 adalah

E

√^"+ ^" +

√^"+ ^" + &

√^"+ ^"F = 0 Maka jarak titik y#, # ke garis tersebut adalah

} = '+ (;+ )

√'+ ( Bentuk persamaan normal garis = + x adalah

E − − x

√1 + ^" F = 0

Maka jarak titik y#, # ke garis = + x adalah

…(27)

…(28)

(15)

} = ^;^Z_r[^{Z ^}

Masalah Masalah Masalah Masalah 4.104.104.104.10

Tentukan jarak titik 2, 3 ke garis ≡ 3 − 4 − 3 = 0 Penyelesaian

Jarak titik 2, 3 ke garis ≡ 3 − 4 − 3 = 0 adalah z = 3#− 4#− 3

r3^"+ −4^" z = 32 − 43 − 3

√9 + 16 z = 6 − 12 − 3

√25 z = −9

5 z = 9

5

Sedangkan jarak titik ke garis di ruang, kita misalkan titik y#, #, -# dan garis tersebut berada di ruang. Kita dapat di menghitungnya dengan cara sebagai berikut:

1. Buat bidang melalui y yang tegak lurus garis .

2. Cari titik , titik ini adalah titik tembus garis pada bidang .

3. Setelah dapat titik maka hubungkan titik y ke sehingga terbentuklah sebuah garis lurus yaitu garis y. Garis y adalah suatu garis yang tegak lurus garis dan melalui titik y sehingga panjang y adalah jarak titik y ke garis . Seperti yang terlihat pada Gambar 4.4 dibawah ini.

G GG

Gambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis ambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis ambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis ambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis D

…(29)

(16)

4. Untuk mencari panjang y kita menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu || = r − + ; − ;+ = − = .

Tentukan jarak titik 4, −5, 3 ke garis lurus

≡ − 5

3 = + 3

−4 =- + 6 Penyelesaian 5

Untuk mencari jarak titik ke garis lurus kita ikuti langkah-langkah di atas:

1111.... Buat bidang Buat bidang Buat bidang Buat bidang melalui titik melalui titik melalui titik melalui titik Q, −f, g yang tegak lurus garis yang tegak lurus garis yang tegak lurus garis yang tegak lurus garis D Persamaan bidang rata yang melalui titik y#, #, -# adalah

≡ ' − + (; − ; + )= − = = >

≡ − 4 + + 5 + &- − 3 = 0

Karena bidang ⊥ maka 0 = x sehingga di peroleh ,0, 1, 2. = ,, , &.

,3, −4, 5. = ,, , &.

Berarti = 3, = −4 dan & = 5, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu

≡ 3 − 4 − 4 + 5 + 5- − 3 = 0

≡ 3 − 12 − 4 − 20 + 5- − 15 = 0

≡ 3 − 4 + 5- − 47 = 0 ………(1)

2222.... Cari titik Cari titik Cari titik Cari titik , titik , titik , titik , titik ini adalah titik tembus garis ini adalah titik tembus garis ini adalah titik tembus garis D pada bidang ini adalah titik tembus garis pada bidang pada bidang pada bidang .

Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang , kita gunakan persamaan parameter garis lurus yaitu

D ≡ = + C 9

; = ;+ C :

= = =+ C <@

≡ = 5 + 3/

= −3 − 4/

- = −6 + 5/@ ………..(2)

Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), untuk memperoleh niai /.

≡ 3 − 4 + 5- − 47 = 0

≡ 35 + 3/ − 4−3 − 4/ + 5−6 + 5/ − 47 = 0 15 + 9/ + 12 + 16/ − 30 + 25/ − 47 = 0

−50 + 50/ = 0 / = 1

(17)

Subsitukan nilai / = 1 ke persamaan (2), sehingga diperoleh

≡ = 5 + 3 = 8

= −3 − 4 = −7 - = −6 + 5 = −1@ Jadi, titik adalah 8, −7, −1.

3333.... Jarak antara titik y4, −5, 3 ke titik 8, −7, −1 adalah

|y| = r"− #^"+ "− #^"+ -"− -#^"

|y| = r8 − 4^"+ −7 + 5^"+ −1 − 3^"

|y| = r4^"+ −2^"+ −4^"

|y| = √16 + 4 + 16

|y| = √36 = 6

Jadi, jarak titik ke garis tersebut adalah 6 satuan panjang.

EE

EE.... Jarak Antara Dua Garis Lurus di RuangJarak Antara Dua Garis Lurus di RuangJarak Antara Dua Garis Lurus di RuangJarak Antara Dua Garis Lurus di Ruang

Untuk mencari jarak antara dua garis lurus # dan " di ruang ada beberapa hal yang harus di perhatikan yaitu:

1. Jika # dan " sejajar, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.

a. Pilihlah sebarang titik pada garis # berarti , ;, = ∈ D

b. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis #, yang dengan sendirinya juga tegak lurus pada pada garis ". Seperti yang terlihat pada Gambar 4.5 di bawah ini.

Gambar 4.5. Bidang rata Gambar 4.5. Bidang rata Gambar 4.5. Bidang rata

Gambar 4.5. Bidang rata tegak lurus terhadap dua garis yang sejajartegak lurus terhadap dua garis yang sejajartegak lurus terhadap dua garis yang sejajar tegak lurus terhadap dua garis yang sejajar

c. Tentukan titik , titik adalah titik tembus garis " pada .

d. Setelah titikk di dapat maka carilah panjang dimana panjang

ini adalah jarak antara garis # dan garis ". Seperti yang terlihat pada Gambar 4.6 di bawah ini.

(18)

Gambar 4.6. Bidang rata Gambar 4.6. Bidang rata Gambar 4.6. Bidang rata

Gambar 4.6. Bidang rata sejajar dengan garis lurussejajar dengan garis lurussejajar dengan garis lurus sejajar dengan garis lurus

e. Mencari panjang dengan menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu: || = r − + ; − ;+ = − =

2. Jika # dan " bersilangan, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.

a. Buat bidang rata yang melalui garis # dan sejajar dengan garis ". b. Pilih sebarang titik pada garis ".

c. Tentukan jarak titik ke bidang , jarak ke bidang ini adalah jarak antara garis # dan garis ".

d. Untuk menghitung jarak titik ke bidang , kita menggunakan persamaan jarak antara titik ke bidang rata yaitu

} = '+ (;+ )=+

√'+ (+ )

Tentukan jarak antara garis lurus #dan " dibawah ini.

#∶ − 2 2 =

3 = - − 2

#∶

2 = − 4

3 = - − 8 Penyelesaian

Pertama-tama kita perhatikan apakah kedua garis tersebut sejajar atau bersilangan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka kita menggunakan langkah yang pertama, dan jika tidak maka kita menggunakan langkah yang kedua.

Perhatikan vektor arah kedua garis lurus tersebut, apakah sama atau tidak.

Ternyata kedua garis tersebut memiliki vektor arah yang sama yaitu ,2, 3, 1.,

(19)

berarti kedua garis tersebut sejajar. Karena #∥ " maka kita menggunakan langkah yang pertama yaitu:

1111.... Pilihlah sebarang titik Pilihlah sebarang titik Pilihlah sebarang titik Pilihlah sebarang titik pada garis pada garis pada garis Dpada garis , berarti , berarti , berarti , berarti , ;, = ∈ D Titik 2, 0, 2 yang terletak pada garis # berarti 2, 0, 2 ∈ #.

2222.... Buat bidang rata Buat bidang rata Buat bidang rata Buat bidang rata yang melalui titik yang melalui titik yang melalui titik dan tegak lurus pada garis yang melalui titik dan tegak lurus pada garis dan tegak lurus pada garis dan tegak lurus pada garis D yang yang yang yang juga akan tegak lurus dengan garis

juga akan tegak lurus dengan garis juga akan tegak lurus dengan garis juga akan tegak lurus dengan garis D ....

Persamaan bidang rata yang melalui titik 2, 0, 2 adalah

≡ − # + − # + &- − -# = 0

≡ − 2 + − 0 + &- − 2 = 0

≡ − 2 + + &- − 2 = 0

Karena bidang ⊥ # maka 0 = x sehingga di peroleh ,0, 1, 2. = ,, , &.

,2, 3, 1. = ,, , &.

Berarti = 2, = 3 dan & = 2, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu

≡ 2 − 2 + 3 + - − 2 = 0

≡ 2 − 4 + 3 + - − 2 = 0

≡ 2 + 3 + - − 6 = 0 …..(1)

3333.... Tentukan titik Tentukan titik Tentukan titik Tentukan titik , titik , titik , titik adalah titik tembus garis , titik adalah titik tembus garis adalah titik tembus garis adalah titik tembus garis D pada pada pada . pada

Untuk menentukan titik tembus garis " pada bidang rata adalah dengan menggunakan persamaan parameter garis lurus yaitu

D ≡ = + C 9

; = ; + C :

= = = + C <@

≡ = 2/

= 4 + 3/

- = 8 + /@ …….(2)

Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai / yaitu

≡ 2 + 3 + - − 6 = 0

≡ 22/ + 34 + 3/ + 8 + / − 6 = 0

≡ 4/ + 12 + 9/ + 8 + / − 6 = 0 14/ + 14 = 0

/ = −1

Subsitusikan nilai / = −1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh

≡ = −2

= 4 + 3−1 = 1 - = 8 + −1 = 7@ Jadi titik adalah −2, 1, 7.

4444.... Jarak antara titik Jarak antara titik Jarak antara titik Jarak antara titik , >, ke titik ke titik ke titik ke titik − , , adalahadalahadalahadalah

(20)

|| = r"− #^"+ "− #^"+ -"− -#^"

|| = r−2 − 2^"+ 1 − 0^"+ 7 − 2^"

|| = r−4^"+ 1^"+ 5^"

|| = √16 + 1 + 25

|| = √42

Jadi, jarak antara garis # ke garis " adalah √42 satuan panjang.

1. Kedudukan dua garis lurus di Bidang,

• Jika garis # sejajar dengan garis " maka =

• Jika garis # tegak lurus dengan garis " maka . = −

• Garis # berimpit dengan garis " jika dan hanya jika = dan

^= ^ .

• Garis # berpotongan dengan garis " jika ≠ dan ^≠ ^ ....

2. Kedudukan dua garis lurus di Ruang,

• Jika garis # sejajar dengan garis " maka 9D = N 9D

• Garis # berimpit dengan garis " jika dan hanya jika 9D = N 9D dan ,− , ; − ;, = − =. = N 9_D

• Garis # berpotongan dengan garis " jika dan hanya jika 9D ≠ N 9D . 3. Persamaan garis lurus yang perpotongan dengan dua buah garis lurus di

bidang adalah D+ C D = > sedangkan persamaan garis lurus yang berpotongan dengan garis lain adalah L+ C L = > dan M+ N M = >....

4. Sudut antara dua buah garis lurus di bidang adalah ]9^ X = −

+

sedangkan sudut antara dua buah garis lurus di ruang adalah nop q = 99 + :: + <<

m9 + : + < m9 + : + <

5. Jarak sebuah titik y#, # ke garis + + & = 0 adalah } = '+ (;+ )

√'+ (

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

KEGIATAN BELAJAR 4

KEDUDUKAN DUA KEDUDUKAN DUA KEDUDUKAN DUA KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT GARIS LURUS, SUDUT GARIS LURUS, SUDUT GARIS LURUS, SUDUT

DAN JARAK DAN JARAK DAN JARAK DAN JARAK

Rangkuman

Rangkuman

Rangkuman

Rangkuman