Proses Percabangan Pada Pembelahan Sel03022017

Nisfiatul Laili, Respatiwulan, dan Sutrima Program Studi Matematika FMIPA UNS

Abstrak. _{Proses percabangan merupakan suatu rantai Markov, dimana setiap}

indivi-du menghasilkan keturunan dengan jumlah yang random. Proses ini dimulai dengan individu tunggal pada generasi ke-0 dan bereproduksi secara independen. Dalam per-kembangannya proses percabangan digunakan dalam berbagai bidang salah satunya pada bidang biologi yaitu pada pembelahan sel. Pembelahan sel adalah proses memperbanyak jumlah sel dengan cara membelah diri. Rata-rata dan variansi pada generasi ke-ndapat ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit probabilitas. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang proses percabangan dan menerapkannya pada pembelahan sel. Hasil penurunan ulang dari proses percabangan untuk mengetahui banyaknya individu ke-(n+ 1) merupakan jumlahan banyaknya keturunan dari individu pertama sampai in-dividu ke-Xn. Proses percabangan diterapkan pada bakteriEscherichia coli pada suatu perairan dalam waktu 3 jam atau sampai generasi ke-9. Dengan mengambil probabilitas bakteri dapat membelah sebesar 0,87 (p₂= 0,87) diperoleh banyaknya sel bakteri pada generasi ke-9 sebanyak 118 sel.

Kata kunci _{: proses percabangan, pembelahan sel, rata-rata, variansi}

1. Pendahuluan

Menurut Allen [1], penelitian mengenai proses percabangan dimulai pada ta-hun 1845 oleh Bienayme. Pada tata-hun 1870, proses percabangan dikembangkan oleh seorang ahli matematika bernama Henry William Watson bersama seorang ah-li biometri bernama Francis Galton yang kemudian digunakan untuk mempelajari peninggalan nama keluarga.

Proses percabangan dapat diterapkan dalam berbagai bidang. Menurut Allen [1], proses percabangan dapat diaplikasikan dalam bidang biologi, teori jaringan, evolusi, dan pertanian. Selain itu Feller [3] mengatakan proses percabangan dapat diterapkan dalam rangkaian reaksi nuklir, peninggalan nama keluarga, gen dan mu-tasi, serta dalam proses antrian. Wu [10] mengatakan proses percabangan memiliki peranan penting dalam model genetik, biologi molekuler, mikrobiologi, ekologi, dan proses evolusi.

perkembangan, sebagai contoh pada tubuh manusia pembelahan sel menyebabkan manusia menjadi besar dan tinggi.

Kimmel dan Axelrod [5] menyatakan proses percabangan dapat diaplikasikan pada pembelahan sel. Pembelahan sel yang menghasilkan sel dengan tipe yang sama termasuk dalam proses percabangan satu tipe (single type branching process), se-dangkan pembelahan sel yang menghasilkan sel dengan tipe yang berbeda termasuk dalam proses percabangan banyak tipe (multitype branching process). Jumlah sel pada waktu tertentu dapat dihitung menggunakan proses percabangan. Pada pe-nelitian ini ditunjukkan aplikasi dari proses percabangan pada pembelahan sel dan dicari rata-rata yang menyatakan rata-rata dari sel yang dihasilkan pada setiap ge-nerasi, serta variansi yang menunjukkan keberagaman nilai dari sel yang dihasilkan pada proses pembelahan tersebut.

2. Proses Percabangan

Menurut Taylor dan Karlin [9], suatu individu pada masa hidupnya akan meng-hasilkan keturunan dengan jumlah yang random (ξ) untuk mempertahankan spesi-esnya agar tidak punah, dimana distribusi probabilitasnya yaitu

P r{ξ =k}=pk untuk k= 0,1,2, . . .,

dengan pk ≥ 0 dan ∑∞

k=0pk = 1. Banyaknya individu pada generasi ke-0 dinota-sikan dengan X0 dan Xn adalah banyaknya individu pada generasi ke-n. Allen [2] memberikan 3 asumsi penting yang digunakan dalam proses percabangan.

(1) Probabilitas memiliki keturunan (p) untuk semua individu bernilai sama. (2) Setiap individu bereproduksi secara independen.

(3) Proses dimulai dengan individu tunggal pada waktu ke-0.

Pada generasi ke-n, individu Xn secara independen menghasilkan keturunan dengan jumlah ξ₁(n), ξ₂(n), . . . , ξ_X(n)

n. Sifat dari rantai Markov memungkinkan untuk

menghitung populasi pada generasi ke-(n+ 1) sebagai

Xn+1=ξ1(n)+ξ (n)

2 +. . .+ξ (n)

Xn,

denganξ_i(n)adalah banyaknya keturunan dari individu ke-ipada generasi ke-n. Jum-lah dari seluruh individu sampai generasi ke-n dengan proses kelahiran berasal dari satu individu dinotasikan dengan Zn dan dinyatakan sebagai

Zn =X1+X2+. . .+XZn₋₁.

3. Pembelahan Sel

sel dibentuk oleh membran yang berfungsi sebagai penghalang dan dapat melakukan transport aktif molekul. Pada bagian dalam sel terdapat nukleus yang mengandung DNA. Ukuran sel akan tumbuh kemudian membelah menjadi dua. DNA akan ter-bagi ke dalam dua sel anakan saat sel membelah.

Menurut Olofsson [7] serta Olofsson dan McDonald [8], suatu pembelahan sel dapat dianalisis dengan menggunakan pendekatan stokastik. Metode yang tepat untuk menganalisis pembelahan sel adalah proses percabangan. Berdasarkan proses percabangan, pembelahan sel dimulai dari satu sel yang membelah menjadi dua sel.

4. Hasil dan Pembahasan

4.1. Proses Percabangan pada Pembelahan Sel. Proses percabangan meru-pakan suatu rantai Markov, dimana setiap individu menghasilkan keturunan dengan jumlah yang random. Proses ini dimulai dengan individu tunggal pada generasi ke-0. Dalam perkembangannya, proses percabangan digunakan dalam berbagai bidang. Kimmel dan Axelrod [5] mengatakan proses percabangan dapat diaplikasikan dalam bidang biologi salah satunya dapat digunakan pada proses pembelahan sel. Repro-duksi sel dilakukan dengan cara membelah diri yang diawali dari suatu sel tunggal yang kemudian membelah. Setiap sel yang membelah meghasilkan keturunan yang berjumlah random (ξ). Setiap anakan sel dimungkinkan menjadi sel yang dapat membelah kembali dengan probabilitas p2, sel yang pasif dengan probabilitas p1,

atau sel yang tidak dapat membelah dengan probabilitas p0. Sel yang pasif

te-tap ada tete-tapi tidak bisa membelah atau mati. Distribusi probabilitas banyaknya keturunan yang dihasilkan adalah

P r{ξ =k}=pk untuk k = 0,1,2,

dengan pk≥0 dan ∑ ∞

k=0pk= 1.

Pada proses percabangan ini, diasumsikan setiap sel membelah secara inde-penden dan memiliki probabilitas yang sama untuk membelah. Pada generasi ke-n, banyaknya keturunan dari sel pertama dinotasikan sebagai ξ₁(n) dan banyaknya keturunan pada generasi tersebut dinotasikan dengan Xn. Untuk menghitung po-pulasi sel pada generasi ke-n, perhitungan pada proses percabangan dibantu dengan sifat Markov sehingga populasi sel pada generasi ke-n hanya bergantung pada ge-nerasi ke-(n−1). Banyaknya populasi sel pada generasi ke-(n+ 1) merupakan aku-mulasi dari banyaknya sel yang dihasilkan dari individu pertama sampai individu ke-Xn pada generasi ke-n sehingga dapat dinyatakan sebagai

Xn+1=ξ1(n)+ξ (n)

2 +. . .+ξ (n)

Jumlah dari seluruh sel yang dihasilkan dari generasi pertama sampai generasi ke-n dinotasikan sebagai Zn dan dinyatakan dengan

Zn =X1+X2+. . .+XZn

−1.

4.2. Rata-Rata dan Variansi Proses Percabangan. Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk mencari rata-rata dan variansi dariXn. Rata-rata dan variansi dari banyaknya keturunan masing-masing dinotasikan denganµ=E[ξ] danσ2 =V ar[ξ]. Dari fungsi pembangkit probabilitas pada generasi pertama yang dinyatakan sebagai

f(s) = E(sξ) = ∞ ∑

k=0

pksk, (4.1)

dapat dicari turunan pertamanya sehingga didapatkan rata-rata untuk generasi per-tama adalah

f′

(1) =E[ξ] = µ.

Turunan kedua dari fungsi pembangkit dapat digunakan untuk menentukan variansi dari proses percabangan pada generasi pertama, diperoleh rumusan variansi yaitu

V ar[ξ] =f′′

(1) +µ−µ2. (4.2)

Rata-rata dari populasi sel pada generasi ke-ndapat dicari dengan fungsi pem-bangkit probabilitas pada generasi ke-n yang dinyatakan sebagai

fn(s) = fn−1(f1(s)),

dengan f1(s) adalah fungsi pembangkit probabilitas dari ξ1. Untuk lebih

memu-dahkan, f1(s) dinotasikan sebagaif(s) sehingga

fn(s) =fn−₁(f(s)). (4.3)

Turunan pertama dari fungsi (4.3) dengan s= 1 adalah

f′

sehingga rata-rata generasi ke-n dapat dituliskan sebagai

µn =µn. (4.4)

Variansi pada generasi ke-n dapat ditentukan dengan bantuan turunan kedua dari fungsi pembangkit probabilitas pada generasi ke-n. Dengan diketahui bahwa pada generasi ke-0 rata-rata dan variansinya adalah 1 dan 0, sehingga secara umum diperoleh rumusan variansi untuk generasi ke-n sebagai

4.3. Penerapan. Pada bagian ini ditentukan rumusan untuk rata-rata dan variansi dari suatu proses percabangan pada pembelahan sel bakteri Escherichia coli atau

E. coli . Langkah dasar pada perkembangbiakan suatu populasi sel adalah pem-belahan dari satu sel yang kemudian membelah menjadi dua sel anakan. Setelah menyelesaikan siklus hidupnya, sel akan mendekati ukuran ganda dan membelah menjadi dua sel anakan dengan ukuran yang hampir sama. Asumsi proses perca-bangan yang digunakan dalam pembelahan sel ini adalah pembelahan dimulai dari satu sel (X₀ = 1), pembelahan dari setiap sel saling independen, probabilitas untuk membelah dari setiap sel memiliki nilai yang sama, serta setiap sel memiliki waktu hidup yang sama.

Probabilitas sel untuk tidak dapat membelah dinotasikan dengan p0 dan

pro-babilitas sel membelah menjadi dua untuk masing-masing sel dinotasikan denganp2,

dengan p0 +p2 = 1. Fungsi pembangkit probabilitas dari pembelahan sel tersebut

dinyatakan dengan f(s). Dengan berdasarkan persamaan (4.1) sehingga diperoleh fungsi pembangkit

f(s) =p0+p2s2. (4.6)

Pada generasi ke-n fungsi pembangkit probabilitas dinyatakan

fn(s) =fn−₁(p₀+p₂s2).

Rata-rata pada generasi pertama dapat ditentukan dengan menggunakan turunan pertama dari fungsi pembangkit dengan s= 1, diperoleh rata-rata yaitu

µ= 2p₂. (4.7)

Pada generasi ke-n, rata-rata dapat dicari menggunakan persamaan (4.4) sehingga didapatkan

µn= (2p2)n. (4.8)

Variansi pada generasi pertama dapat dicari dengan persamaan (4.2), dimana untuk turunan kedua f′′

(s) adalah

f′′

(1) = 2p2,

sehingga V ar[ξ] adalah

V ar[ξ] = 2p₂ + 2p₂s2−4p₂2s4. (4.9)

Pada generasi ke-n variansi dapat dicari dengan persamaan (4.5) sehingga

σ2_n=

{ _(2p

2+2p2s2−4p22s4)2(2p2s2)n−1((2p2s2)n−1)

(2p2s2)−₁ , 2p2s

2 _{̸= 1}

n(2p2 + 2p2s2−4p22s4)2, 2p2s2 = 1.

(4.10)

hingga berkembang dan menghasilkan individu baru disebut sebagai waktu generasi. Bakteri dengan jenis yang berbeda memiliki waktu generasi yang berbeda pula. Beberapa faktor yang mempengaruhi waktu generasi sel bakteri yaitu

(1) jenis dan strain bakteri,

(2) faktor lingkungan seperti pH, kelembapan, dan suhu.

Menurut Madigan et al. [6], bakteri E. coli merupakan bakteri komensal yang bersifat patogen. Bakteri ini termasuk dalam bakteri gram negatif dengan bentuk batang pendek yang memiliki panjang sekitar 2µm, diameter 0,7µm, lebar 0,4−

0,7µm, dan bersifat anaerob fakultatif. Pada umumnya bakteri ini memerlukan kelembapan yang cukup tinggi untuk dapat hidup yaitu sekitar 85%. E. coli akan tumbuh secara optimum pada suhu 37o_{C dan pada pH 7. Waktu generasi untuk sel} bakteri E. coli berkembang biak adalah kurang lebih selama 20 menit.

Lingkungan hidup bakteri memiliki peranan penting dalam menentukan ke-langsungan hidup bakteri. Faktor lingkungan seperti suhu, pH dan kelembapan yang berubah-ubah menyebabkan terhentinya replikasi DNA pada bakteri sehingga menyebabkan bakteri tersebut mati. Misalkan pada suatu air yang telah tercemar bakteri E. coli, bakteri akan terus berkembang dengan cara membelah diri. Di-karenakan faktor lingkungan yang tidak menentu maka pembelahan sel bakteri E. coli tersebut dimisalkan memiliki distribusi probabilitas sebesar 0,87 untuk dapat membelah menjadi dua sel anakan (p2 = 0,87) dan probabilitas sebesar 0,13 untuk

sel bakteri tersebut tidak dapat membelah (p0 = 0,13). Pada penerapan ini waktu

satu generasi didefinisikan selama 20 menit.

Misalkan dicari banyaknya sel bakteri E. coli pada satu jam pertama (gene-rasi ke-3), dua jam berikutnya (gene(gene-rasi ke-6) dan setelah tiga jam atau gene(gene-rasi ke-9 pada air tersebut. Langkah awal yaitu dengan menentukan fungsi pembangkit probabilitas dengan menggunakan distribusi probabilitas yang telah diketahui. De-ngan persamaan (4.6) diperoleh fungsi pembangkit pada generasi pertama sebagai berikut

fξ(s) = 0,13 + 0,87s2.

Rata-rata pada generasi pertama dihitung dengan menggunakan persamaan (4.7) sehingga

µ= 2×0,87 = 1,74.

dan variansi ditentukan dengan (4.9), diperoleh

V ar[ξ] = 2×0,87 + 2×0,87−4×0,872 = 0,4524.

Dengan persamaan (4.8) dan (4.10) dapat ditentukan rata-rata dan variansi pada generasi ke-3, ke-6 dan ke-9.

(a) (b)

(c)

Gambar 1. Pola proses percabangan (a) generasi ke-3, (b) generasi ke-6, dan (c) generasi

ke-9 dari pembelahan sel bakteri E. coli

Dari Gambar 1 (a) terlihat bahwa banyaknya sek bakteri E. coli setelah satu jam pertama atau pada generasi ke-3 adalah sebanyak 4 sel bakteri. Rata-rata dan variansi generasi tersebut secara berturut-turut adalah 5,263 dan 7,899. Dari gene-rasi ke-2 ke genegene-rasi ke-3 semua sel membelah menjadi dua sel anakan. Gambar 1 (b) menunjukkan bahwa banyaknya sel bakteriE. coli setelah dua jam berlalu pada perairan tersebut atau pada generasi ke-6 adalah sebanyak 22 sel bakteri. Dari gene-rasi ke-5 ke genegene-rasi ke-6 hanya satu sel bakteri yang tidak membelah menjadi dua sel anakan. Rata-rata untuk generasi tersebut adalah 27,752 dan untuk variansinya adalah 260,851. Gambar 1 (c) menunjukkan pola proses percabangan pada pembe-lahan sel bakteri E. coli setelah tiga jam atau pada generasi ke-9. Banyaknya sel bakteri pada generasi tersebut adalah 118 sel. Rata-rata dan variansi pada generasi tersebut adalah 146,199 dan 7458,429.

5. Kesimpulan

Penerapan proses percabangan pada pembelahan sel bakteri E. coli dengan mengambil probabilitas p2 sebesar 0,87 diperoleh rata-rata pada generasi pertama

sebesar 1,74 dan variansi sebesar 0,4524. Rata-rata dan variansi generasi ke-3 adalah 5,263 dan 7,899, dan banyaknya sel bakteri adalah 4 bakteri. Rata-rata untuk generasi ke-6 adalah 27,752 dan untuk variansinya adalah 260,851 serta banyaknya bakteri adalah sebanyak 22 sel bakteri. Kemudian untuk generasi ke-9 banyaknya sel bakteri pada generasi tersebut adalah 118 sel serta rata-rata dan variansi pada generasi tersebut adalah 146,199 dan 7458,429.

Daftar Pustaka

[1] Allen, L. J. S.,An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice

Hall, Upper Saddla River, N.J., 2003.

[2] Allen, L. J. S.,Branching Processes, Encyclopedia of Theoretical Ecology (2012), 112-119.

[3] Feller, W.,An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Eugene Higgins

Pro-fessor of Mathematics, Princenton University, 1950.

[4] Harris, T. E.,The Theory of Branching Processes, Springer Verlag, 1963.

[5] Kimmel, M. and D. E. Axelrod,Branching Processes in Biology, Springer Verlag, 2002.

[6] Madigan, T. M., J. M. Martinko, D. A. Stahl and D. P. Clark, Biology of Microorgisms,

Pearson, San Francisco, 2012.

[7] Olofsson, P. and T. O. McDonald, A stochastic Model of Cell Cycle Desyncronization,

Ma-thematical Biosciencess (2010), 97-104.

[8] Olofsson, P.,A stochastic Model of a Cell Population with Quiescence, Journal of Biological

Dynamics (2008), 386-391.

[9] Taylor, H. M. and S. Karlin,An Introduction to Stochastic Modeling, United States of America,

1994.