BAHAN AJAR KALKULUS LANJUT

P a g e 1 | 17

BAHAN AJAR KALKULUS LANJUT Bagian

Sistem Koordinat Kutub, Persamaan Kutub, dan Grafik Persamaan Kutub

Drs. Mukhni, M.Pd

Jurusan Matematika FMIPA UNP

2022

P a g e 2 | 17

Bahan Renungan!!!

 Sebagaimana Kami telah mengutus kepadamu seorang Rasul (Muhammad) dari (kalangan) kamu yang membacakan ayat-ayat Kami, menyucikan kamu dan mengajarkan kepadamu kitab (Alquran) dan Hikmah (Sunnah), serta mengajarkan apa yang belum kamu ketahui (QS: Al-Baqarah:151)

 Dialah yang mengutus seorang Rasul kepada kaum yang buta huruf dari kalangan mereka sendiri, yang membacakan kepada mereka ayat-ayat-Nya, menyucikan (jiwa) mereka dan mengajarkan kepada mereka Kitab dan Hikmah (Sunnah), meskipun sebelumnya mereka benar-benar dalam kesesatan yang nyata (QS: Al-Jumuáh: 2)

Camkanlah!!!

 Dari Abu Hurairah semoga Allah meridhoinya, dia berkata: "Rasulallah Shalallahu 'alaihi wa sallam telah bersabda: "Apabila seorang hamba meninggalkan dunia maka seluruh amalannya terputus kecuali tiga perkara, amal jariyahnya, ilmu yang bermanfaat, dan anak shalih yang (selalu) berdo'a untuknya".

HR Muslim dan selainnya.

P a g e 3 | 17

I. Pengertian Sistem Koordinat Kutub

 Pierre Fermat dan Rene Descartes dua orang bangsa Perancis, telah memperkenalkan sistem koordinat Kartesius atau siku-siku. Kedudukan suatu titik P di bidang ditulis dalam bentuk pasangan berurutan bilangan (x, y) dengan setiap bilangan x dan y menggambarkan jarak berarah dari dua sumbu (sumbu-x dan sumbu-y) yang saling tegak lurus sesamanya.

 Selain menggambarkan suatu titik P dengan cara sistem koordinat Kartesius, juga dapat digambarkan dengan sistem koordinat kutub. Pada sistem koordinat kutub, kedudukan suatu titik P dinyatakan dengan sepasang bilangan riil (r, ) seperti berikut:

dengan:

 r menyatakan jarak dari titik P ke titik pangkal O dinyatakan dalam satuan panjang dan

  menyatakan sudut antara garis OP dengan sumbu positif OX (yang disebut dengan sumbu kutub) dan dinyatakan dalam radian.

 Beberapa contoh pengambaran titik dalam sistem koordinat kutub seperti berikut.

II. Hubungan Koordinat Kutub dengan Koordinat Kartesius dan Persamaan Kutub

 Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif sistem koordinat Kartesius.

Maka koordinat kutub 𝑃(𝑟, 𝜃) dihubungkan dengan koordinat Kartesius 𝑃(𝑥_𝑃, 𝑦_𝑃) dengan:

𝑥_𝑃 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦_𝑃 = 𝑟 sin 𝜃, 𝑟² = (𝑥_𝑃)²+ (𝑦_𝑃)², tan 𝜃 =𝑦_𝑃 𝑥_𝑃

P a g e 4 | 17 Contoh:

Nyatakan dalam bentuk koordinat Kartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π/6).

Sebaliknya nyatakan pula dalam koordinat kutub dari titik yang koordinat Kartesiusnya adalah (−3, √3).

Jawab:

Jika (r, θ) = (4, π/6), maka:

x = r cos θ = 4 cos^𝜋

6 = 4.^√3

2 = 2√3 y = r sin θ = 4 sin^𝜋

6 = 4.¹

2 = 2

Jadi koordinat kartesius dari titik (4, π/6) adalah (x, y) = (2√3, 2).

Jika (x, y) = (−3, √3 ), maka:

𝑟² = (−3)²+ (√3 )² = 12, atau 𝑟 = 2√3 tan θ = ^√3

− 3, 𝜃 = ^5𝜋

6, atau 𝜃 = ^−𝜋

6

Jadi koordinat kutub dari (−3, √3) adalah (2√3, ^5𝜋

6) dan (−2√3, ^5𝜋

6).

Suatu persamaan kurva yang dinyatakan dalam sistim koordinat kartesius dapat dinyatakan dalam sistem koordinat kutub, dan begitu sebaliknya dengan cara mengganti:

x = r cos θ, y = r sin θ, dan 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟²

Contoh:

Persamaan kutub 𝑟 = 8 sin 𝜃 adalah sebuah lingkaran.

Persaman ini dapat dinyatakan dalam persamaan kartesius seperti berikut:

𝑟 = 8 sin 𝜃

Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan 𝑟 = 8 sin 𝜃 dengan 𝑟, diperoleh 𝑟² = 8𝑟 sin 𝜃

Dengan mengganti 𝑟² = 𝑥²+ 𝑦², dan 𝑟 sin 𝜃 = 𝑦, maka diperoleh persamaan Kartesiusnya adalah:

𝑥²+ 𝑦² = 8𝑦 atau 𝑥² + 𝑦²− 8𝑦 = 0 atau (𝑥 − 0)²+ (𝑦 − 4)² = 16.

Persamaan terakhir ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 4) dan berjari-jari 4.

Contoh:

Persamaan 𝑟 = ²

1 − cos 𝜃 adalah sebuah parabol, dapat ditulis menjadi

𝑟(1 − cos 𝜃) = 2 atau 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 = 2 atau 𝑟 − 𝑥 = 2 atau

P a g e 5 | 17 𝑟 = 𝑥 + 2, kudratka ke dua ruas, diperoleh:

𝑟² = (𝑥 + 2)² atau 𝑥²+ 𝑦² = 𝑥²+ 4𝑥 + 4 atau 𝑦² = 4(𝑥 + 1)

Persamaan terakhir ini adalah persamaan parabola dengan titik puncak (−1, 0) dan titik fokus di (0, 0).

III. Grafik Persamaan Kutub

Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan. Contoh persamaan kutub adalah: r = 8 sin 𝜃, r = ²

1 − cos 𝜃, dan lain-lain.

Salah satu cara untuk menggambar grafik persamaan kutub adalah dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengan koordinat-koordinat yang bersangkutan dan menghubungkan titik-titik itu dengan sebuah kurva yang mulus.

Contoh:

Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin 𝜃 Penyelesaian:

Subtitusikan nilai θ dengan kelipatan π/6 dan hitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali.

𝜃 0 𝜋

6 𝜋 3

𝜋 2

2𝜋 3

5𝜋 6

𝜋 7𝜋 6

4𝜋 3

3𝜋 2

5𝜋 3

11𝜋 6 r 0 4 6,93 8 6,93 4 0 − 4 −6,93 −8 −6,93 −4

Contoh:

Gambarlah grafik dari 𝑟 = ²

1 − cos 𝜃

Penyelesaian:

Lihat Gambar dibawah. Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan system koordinat siku- siku. Koordinat (−2, 3π/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun demikian titik P (−2, 3π/2) terletak pada grafik, sebab (2, π/2) merupakan koordinat P dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa dalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu.

Kenyataan ini mengakibatkan banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.

P a g e 6 | 17

𝜃 0 𝜋

4

𝜋 2

3𝜋 4

𝜋 5𝜋

4

3𝜋 2

7𝜋 4

2𝜋

r - 6,8 2 1,2 1 1,2 2 6,8 -

Contoh:

Gambarlah grafik dari 𝑟 = 2 − 2 cos 𝜃 Penyelesaian:

Bentuk grafik dari persamaan ini disebut kardioid (cardioid) karena berbentuk hati seperti gambar berikut.

𝜃 0 𝜋

2

𝜋 3𝜋

2

r 0 2 4 2

Contoh:

Gambarlah grafik dari 𝑟² = 16 cos 𝜃.

Penyelesaian:

Bentuk grafik fungsi ini seperti berikut:

𝜃 0 𝜋

2

𝜋 3𝜋

2

𝑟 4 0 4 0

P a g e 7 | 17 Soal Latihan:

1. Plotlah titik-titik yang mempunyai koordinat kutub:

(1,¹

3𝜋) , (3,¹

2𝜋) , (4,4𝜋), (3,¹¹

7 𝜋) , (⁵

3,¹

2𝜋)

2. Plotlah titik-titik yang mempunyai koordinat kutub:

(3, 2𝜋), (2,¹

2𝜋) , (4, −¹

2𝜋) , (−2,¹

4𝜋) , (−1, −¹

2𝜋)

3. Plotlah titik-titik yang mempunyai koordinat kutub ini. Untuk setiap titik, berikan empat pasang koordinat kutub lainnya, dan dengan 𝑟 positif dan dengan 𝑟 negatif:

(1,¹

3𝜋), (−1,¹

4𝜋), (√2, −¹₃𝜋), (−√2,⁵₂𝜋) 4. Tentukan koordinat kartesius soal nomor 3 di atas.

5. Tentukan koordinat kutub dari tiik-titik yang mempunyai koordinat kartesius berikut:

(− ³

√3, ¹

√3 ), (−^√3

2 ,^√3

2 ), (0, −2), (3, −4)

6. Sketsalah grafik dari persamaan kartesius berikut, kemudian tentukan persamaan kutubnya:

a. 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 b. 𝑦 = 2

c. 𝑥²+ 𝑦² = 4

7. Tentukan persamaan kartesius grafik-grafik persamaan kutub berikut:

a. 𝜃 = ¹

2𝜋

b. 𝑟 cos 𝜃 + 3 = 0 c. 𝑟 sin 𝜃 − 1 = 0

d. 𝑟²− 6𝑟 cos 𝜃 − 4𝑟 sin 𝜃 + 9 = 0.

8. Namailah kurva dengan persamaan kutub yang diberikan berikut. Kemudian sketsalah grafiknya:

a. 𝑟 = 6 b. 𝑟 = 4 sin 𝜃 c. 𝑟 = ⁴

1 + cos 𝜃

d. 𝑟 = ⁶

2 + sin 𝜃

Camkanlah!!!

P a g e 8 | 17

 Bagi manusia ada malaikat-malaikat yang selalu mengikutinya bergiliran, di muka dan di belakangnya, mereka menjaganya atas perintah Allah. Sesungguhnya Allah tidak merobah Keadaan sesuatu kaum sehingga mereka merobah keadaan

yang ada pada diri mereka sendiri. dan apabila Allah menghendaki keburukan terhadap sesuatu kaum, Maka tak ada yang dapat menolaknya;

dan sekali-kali tak ada pelindung bagi mereka selain Dia (Surat Ar-Ra’du:11)

IV. Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran, Kardiod, Limakon dan Konik

Bahan Renungan!!!

 Dari Ibnu Abbas semoga Allah meridhoi keduanya, dia berkata: 'Rasulallah Shalallahu 'alaihi wa sallam pernah di tanya; 'Ya Rasulallah, siapakah teman duduk yang paling baik? Beliau menjawab: "Orang yang ketika kamu melihatnya membuatmu teringat Allah, dan apabila kamu mendengar perkataannya akan membuatmu bersemangat untuk menambah amal kebaikan, dan orang yang amalannya membuatmu mengingat akhirat".

HR Abu Ya'la dan para perawinya semuanya shahih selain Mubarak bin Hasaan.

P a g e 9 | 17

a. Persamaan Kutub untuk Garis

Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah 𝜃 = 𝜃₀. Apabila garis tidak melalui kutub, maka garis tersebut berjarak misalnya d dari kutub (d > 0). Contoh gambar berikut memperlihatkan kurva dua garis lurus l1 sejajar sumbu-x dan l2 sejajar sumbu-y.

Garis 𝑙₁berjarak a dari titik asal. Setiap titip P yang berada pada garis 𝑙₁ini harus memenuhi persamaan 𝑟cos 𝜃 = 𝑎 yang merupakan persamaan dari garis 𝑙₁. Garis 𝑙₂ berjarak b dari titik asal.

Setiap titik P yang terletak pada garis l2 akan memenuhi persamaan 𝑟 sin 𝜃 = 𝑏 yang merupakan persamaan dari garis l2..

Garis 𝑙₃ yang berjarak a dari titik asal O(0,0) dengan kemiringan positif seperti terlihat pada gambar berikut.

Karena garis memiliki kemiringan tertentu maka sudut antara garis tegak-lurus ke𝑙₃, yaitu β juga tertentu. Sudut β digunakan untuk mencari persamaan garis 𝑙₃. Jika titik P harus terletak pada 𝑙₃ maka:

𝑟cos(𝛽 − 𝜃) = 𝑎 Inilah persamaan garis 𝑙₃ dengan kemiringan garis ini positif).

Jika garis 𝑙₄, memiliki kemiringan negatif, seperti gambar berikut,

P a g e 10 | 17 maka persamaan garis 𝑙₄adalah r cos(𝜃 − 𝛽) = 𝑎

b. Persamaan Kutub untuk Persamaan Lingkaran

Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari 𝑎 berpusat di kutub, pesamaannya adalah 𝑟 = 𝑎. Apabila pusatnya di (𝑟_0,𝜃), persamaannya agak rumit, kecuali kalau dipilih 𝑟_0, = 𝑎. Maka menurut aturan kosinus, 𝑎² = 𝑟²+ 𝑎² − 2𝑟𝑎 cos(𝜃 − 𝜃₀) yang dapat disederhanakan menjadi:

Lingkaran: 𝑟 = 2𝑎 cos(𝜃 − 𝜃₀)

 Jika 𝜃₀ = 0, maka lingkaran: 𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃, dan

 Jika 𝜃₀ =¹

2𝜋, maka lingkaran: 𝑟 = 2𝑎 cos(𝜃 −¹

2𝜋) = 2𝑎 sin 𝜃

Persamaan lingkaran berjari-jari r dan berpusat P(a,b) dalam koordinat kartesius:

L: (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟²

Maka dalam koordinat kutub menjadi:

L: (𝑟 cos 𝜃 − 𝑎)²+ (𝑟 sin 𝜃 − 𝑏)² = 𝑟² atau

L : 𝑟²(𝑐𝑜𝑠²𝜃 + 𝑠𝑖𝑛²𝜃) − 2𝑟(𝑎 cos 𝜃 + 𝑏sin 𝜃) + (𝑎²+ 𝑏²− 𝑟²) = 0 atau L : 𝑟²− 2𝑟(𝑎 cos 𝜃 + 𝑏sin 𝜃) + (𝑎²+ 𝑏² − 𝑟²) = 0

Jika lingkaran ini berjari-jari r = a, dan berpusat di P(a,0), maka persamaan kutubnya adalah:

L : 𝑟( 𝑟 − 2 𝑎 cos 𝜃) = 0

Jika r = 0, maka lingkaran L memenuhi titik pusat dan persaman lingkaran 𝑟 = 2 𝑎 cos 𝜃, dengan grafiknya seperti berikut.

P a g e 11 | 17 Contoh:

Gambarkan grafik dari lingkaran 𝑟 = 2 cos 𝜃

Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis dan lingkaran.

Uraian selanjutnya membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana kalau digunakan persamaan kutub, tetapi dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu sistem dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam sistem lain.

Sifat simetri dapat membantu dalam menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan.

a. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu 𝑥 (yaitu sumbu kutub dan perpanjangannya ke kiri), apabila 𝜃 diganti dengan −𝜃 menghasilkan persamaan yang sama,

b. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu 𝑦 (yaitu garis 𝜃 =^𝜋

2 ), apabila 𝜃 diganti dengan 𝜋 − 𝜃 menghasilkan persamaan yang sama.

c. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila 𝑟 diganti −𝑟 menghasilkan persamaan yang sama.

Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.

c. Kardiod dan Limakon

Persamaan

Kardiod dan Limakon

berbentuk:

P a g e 12 | 17 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 cos 𝜃 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 sin 𝜃

dengan 𝑎 dan 𝑏 positif. Grafik-grafik ini disebut limakon, dan untuk kasus 𝑎 = 𝑏 disebut kardiod

Grafik-grafik seperti ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Contoh:

Selidiki persamaan 𝑟 = 2 + 4 cos 𝜃 mengenai kesimetrian dan gambarlah grafiknya.

Penyelesaian:

Oleh karena kosinus adalah fungsi genap (artinya cos(−𝜃) = cos 𝜃, untuk semua θ), grafiknya simetrik terhadap sumbu x. Pengujian kesimetrian yang lain tidak berhasil. Daftar nilai dan grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.

𝜃 0 𝜋

6

𝜋 3

𝜋 2

7𝜋 12

2𝜋 3

3𝜋 4

5𝜋 6

𝜋

r 6 5,5 4 2 1 0 −0,8 −1,5 −2

Contoh:

Gambar grafik dari

𝑟 = 3 + 4 sin 𝜃 dan 𝑟 = 3 + 3 sin 𝜃 berturut-turut adalah:

d. Lemniskat

P a g e 13 | 17 Persamaan Lemniskat berbentuk:

𝑟² = ± 𝑎 cos 2𝜃, 𝑟² = ± 𝑎 sin 2𝜃

dan grafiknya dinamakan lemniskat, yang berbentuk angka delapan.

Di laut Aegea di hadapan selat Dardanella, terdapat sebuah pulau yang penting dalam mitologi Yunani yaitu pulau Lemnos atau Limnos. Pulau vulkanik ini berbentuk tak beraturan dengan dua teluk yang menjorok dalam ke daratan di pantai utara dan pantai selatan.

Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean Dominique Cassini (1625 – 1712) adalah astronom Italia. Cassini menemukan empat di antara sembilan atau sepuluh satelit planet Saturnus. Ia pula yang menemukan celah cincin Saturnus, antara cincin terluar dengan cincin ke-dua yang paling terang; celah itu kemudian disebut Cassini’s division.

Bangun-geometris yang disebut lemniskat dan oval Cassini merupakan situasi khusus dari kurva yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan.

Contoh:

Selidiki persamaan 𝑟² = 8 cos 2𝜃 tentang kesimetrian dan gambarlah grafiknya.

Penyelesaian:

Oleh karena cos (−2θ) = cos 2θ dan cos (2(π−θ)) = cos (2π − 2θ) = cos (−2θ) = cos 2θ Maka grafiknya adalah simetrik terhadap sumbu x dan sumbu y (garis θ = ¹

2𝜋). Jadi simetrik juga terhadap titik asal. Daftar nilai dan grafik diperlihatkan pada gambar berikut.

e. Mawar

Persamaan kutub yang berbentuk:

𝑟 = 𝑎 cos 𝑛𝜃, 𝑟 = 𝑎 sin 𝑛𝜃

Grafiknya berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.

Contoh:

Selidiki 𝑟 = 4 sin 2𝜃 mengenai kesimetrian dan kemudian gambarlah grafiknya.

Penyelesaian:

P a g e 14 | 17 Persamaan tersebut tidak memenuhi pengujian kesimetrian yang pertama dan yang ketiga.

Sedangkan yang kedua menghasilkan:

sin 2(θ − π) = sin (2π − 2θ) = sin 2θ Akan tetapi, grafiknya mempunyai ketiga jenis kesimetrian.

Untuk menggambar grafik yang benar, kita menyusun sebuah daftar nilai yang agak lengkap untuk 0 ≤ θ ≤ π/2 dan yang agak ringkas untuk π/2 ≤ θ ≤ 2π.

Anak panah pada grafik menggambarkan arah gerak titik P(r, θ) sepanjang grafik apabila θ naik dari 0 hingga 2π.

Contoh:

Grafik dari 𝑟 = 3 cos(3𝜃) dan 𝑟 = 3 sin 2𝜃 berturut-turut adalah:

f. Spiral

Grafik persamaan 𝑟 = 𝑎𝜃 disebut spiral Archimedes; grafik persamaan 𝑟 = 𝑎𝑒^𝑏𝜃 dinamakan spiral logaritma.

Contoh:

Gambarlah grafik 𝑟 = 𝜃 untuk 𝜃 ≥ 0.

Penyelesaian:

Grafik 𝑟 = 𝜃 memotong sumbu kutub di (0, 0), (2π, 2π), (4π, 4π),… dan memotong

perpanjangannya yang ke kiri di (π, π), (3π, 3π), (5π, 5π),…seperti dapat dilihat pada gambar berikut.

P a g e 15 | 17

V. Perpotongan Kurva-kurva dalam Persamaan Koordinat Kutub

Dalam koordinat kartesius, semua titik potong dua kurva dapat dicari dengan jalan menyelesaikan persamaan kurva bersama-sama. Hal ini tidak selalu mungkin jika menggunakan koordinat kutub. Ini disebabkan sebuah titik P memiliki banyak koordinat kutub.

Satu pasang dapat memenuhi persamaan polar dari kurva yang lain. Misalnya (lihat gambar di bawah ini), lingkaran r = 4 cosπ memotong garis θ = π/3 di dua titik, yaitu di titik kutub dan di titk (2, π/3). Tetapi harga pasangan terakhir inilah yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Ini disebabkan koordinat kutub yang memenuhi persamaan garis adalah (0, π/3) dan yang memenuhi persamaan lingkaran adalah (0, π/2).

Contoh:

Tentukan titik potong kardioid 𝑟 = 1 + cos 𝜃 dan 𝑟 = 1 − sin 𝜃.

Penyelesaian:

Apabila r dihilangkan dari dua persamaan tersebut, maka diperoleh:

1 + cos 𝜃 = 1 − sin 𝜃 atau cos 𝜃 = − sin 𝜃, atau tan 𝜃 = −1.

Dapat disimpulkan bahwa 𝜃 =³

4𝜋 dan 𝜃 =⁷

4𝜋, yang menghasilkan dua titik potong (1 −

1 2√2,³

4𝜋) dan (1 +¹

2√2,³

4𝜋).

Grafik dari kedua persamaan ini seperti gambar berikut.

P a g e 16 | 17 Pada gambar di atas tampak adanya titik potong yang ketiga, yaitu kutub. Ini disebabkan 𝑟 = 0 dalam persamaan 𝑟 = 1 + cos 𝜃 menghasilkan 𝜃 = 𝜋 dan jika 𝑟 = 0 dalam persamaan 𝑟 = 1 − sin 𝜃, maka diperoleh 𝜃 =^𝜋

2.

Soal Latihan:

1. Sketsalah grafik persamaan kutub berikut!

a. 𝑟 sin 𝜃 + 4 = 0 b. 𝑟 = 2 cos 𝜃 c. 𝑟 = 3 − 3cos 𝜃 d. 𝑟 = 1 − 2 sin 𝜃 e. 𝑟 = 5 cos 3𝜃

2. Sketsalah grafik persamaan kutub berikut dan tentukan titik potongnya!!

a. 𝑟 = 6, 𝑟 = 4 + 4cos 𝜃 b. 𝑟 = 1 + cos 𝜃, 𝑟 = √3. sin 𝜃 c. 𝑟 = 3√3. cos 𝜃 , 𝑟 = 3. sin 𝜃

Bahan Renungan!!!

 Hai orang-orang yang beriman ber-dzikirlah yang banyak kepada Allah (dengan menyebut nama-Nya)” (QS. Al Ahzaab: 41)

 Karena itu, ingatlah kamu kepada-Ku niscaya Aku ingat (pula) kepadamu (dengan memberikan rahmat dan pengampunan). Dan bersyukurlah kepada-Ku, serta jangan ingkar (pada nikmat-Ku)” (QS. Al Baqarah: 152)

P a g e 17 | 17