Nama : Venti Julianti NIM : K1318078
BAHAN PROYEK TURUNAN Definisi Turunan
Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel). Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.
Menggunakan konsep limit, turunan dapat didefinisikan sebagai
, asalkan limit ini ada dan bukan bernilai ∞ atau −∞.
Aturan-Aturan Pencarian Turunan Teorema
Jika f '(c) ada maka f kontinu di c.
Teorema (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘, dengan 𝑘 suatu konstanta untuk sebarang 𝑥 maka 𝑓 ′ (𝑥) = 0 atau 𝐷𝑥 (𝑘) = 0
Teorema (Aturan Fungsi Satuan)
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓 ′ (𝑥) = 1 atau 𝐷𝑥 (𝑥) = 1.
Teorema (Aturan Pangkat)
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 , dengan 𝑛 bilangan bulat positif, maka 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 atau 𝐷𝑥 (𝑘) = 𝑛𝑥𝑛−1
Teorema (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika 𝑘 suatu konstanta dan 𝑓 suatu fungsi yang terdiferensialkan maka (𝑘𝑓) ′ (𝑥) = 𝑘 . 𝑓(𝑥) atau 𝐷𝑥 [𝑘 . 𝑓(𝑥)] = 𝑘 .𝐷𝑥𝑓(𝑥) .
Teorema (Aturan Jumlah)
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi maka (𝑓 + 𝑔) ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′(𝑥) atau 𝐷𝑥 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐷𝑥𝑓(𝑥) + 𝐷𝑥𝑔(𝑥) .
Teorema (Aturan Selisih)
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi maka (𝑓 − 𝑔) ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′(𝑥) atau 𝐷𝑥 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐷𝑥𝑓(𝑥) − 𝐷𝑥𝑔(𝑥) .
Teorema (Aturan Hasil Kali)
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi maka (𝑓 . 𝑔) ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) . 𝑔 ′ (𝑥) + 𝑔(𝑥) . 𝑓′(𝑥) atau 𝐷𝑥 [𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) . 𝐷𝑥𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥) . 𝐷𝑥𝑓(𝑥) .
Teorema (Aturan Hasil Bagi)
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi dengan 𝑔(𝑥) ≠ 0 maka ( 𝑓 𝑔 ) ′ (𝑥) = 𝑔(𝑥) . 𝑓 ′(𝑥)−𝑓(𝑥) . 𝑔′(𝑥) 𝑔2(𝑥) atau 𝐷𝑥 [ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ] = 𝑔(𝑥) . 𝐷𝑥𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥) . 𝐷𝑥𝑔(𝑥) 𝑔2(𝑥) .
Dx 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥).𝐷𝑥𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥).𝐷𝑥𝑔(𝑥) 𝑔2(𝑥)
Teorema : Aturan Rantai
Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) dengan 𝑔 adalah fungsi yang terdiferensialkan di 𝑥 dan 𝑓 adalah fungsi yang terdiferensialkan di 𝑢, maka fungsi komposit 𝑓 ∘ 𝑔, didefinisikan oleh (𝑓
∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) terdiferensialkan di 𝑥 dan (𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)
Turunan Fungsi Trigonometri
Dengan menggunakan definisi turunan, maka dapat diperoleh teorema trigonometri sebagai berikut. 𝐷𝑥 sin 𝑥 = cos x
𝐷𝑥 cos 𝑥 = −sin 𝑥 𝐷𝑥 tan 𝑥 = sec2 𝑥 𝐷𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝐷𝑥 cot 𝑥 = −csc2 𝑥 𝐷𝑥 csc 𝑥 = −csc 𝑥 cot x
Turunan Tingkat Tinggi
Aplikasi Turunan dalam kehidupan sehari-hari
Biaya untuk memproduksi x bungkus keripik tempe adalah (1
4𝑥2+25x+25) ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga (55−1
2x) ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah
Jawab :
Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah f(x) = 1
4𝑥2+25x+25, sedangkan fungsi penjualan sebanyak x bungkus keripik tempe adalah g(x) = x.( 55−1
2x) = 55x - 1
2𝑥2. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi
keuntungan h(x) = g(x) – f(x) = (55x - 1
2𝑥2) - (1
4𝑥2+25x+25) = −3
4𝑥2 + 30x -25
Nilai fungsi h akan maksimum ketika h’(x) = 0
−3
4(2𝑥) + 30 = 0
−3
2𝑥 = -30 X = 30 . 2
3
X = 20
Substitusi x = 20 pada h(x) h(20) = −3
4(20)2 + 30(20) -25 = -300 + 600 – 25
= 275
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp 275.000,00.
