Buku Pintar Ukuran Tendensi Sentral

KATA PENGANTAR

Terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah mencurahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Buku Pintar ini sesuai rencana. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada seluruh pihak dan rekan yang telah berkontribusi dalam proses penyelesaian buku ajar ini.

Penulis mempersembahkan Buku Pintar yang diharapkan dapat membantu para siswa untuk

memahami konsep-konsep matematika dengan lebih mudah dan menyenangkan. Buku pintar ini dirancang dengan metode pembelajaran yang mencakup teori dan contoh soal agar para pembaca dapat menguasai setiap pelajaran dengan baik. Selain itu, buku ini juga

dilengkapi dengan penjelasan yang ringkas namun lugas untuk memperjelas konsep-konsep yang seringkali membingungkan.

Penulis percaya dengan belajar secara bertahap dan konsisten, para siswa akan mampu meningkatkan pemahaman dan prestasi dalam mata pelajaran

Matematika. Penulis berharap buku ini dapat menjadi sahabat setia dalam perjalanan belajar para siswa. Terima kasih

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR………..2

DAFTAR ISI………...3

TENDENSI SENTRAL………..4

1. Mean………...5

2. Median………8

3. Modus………12

DAFTAR PUSTAKA………17

Tendensi Sentral

Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data

(himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran tendensi sentral. Nilai ukuran atau

tendensi sentral adalah nilai dalam rangkaian data yang mewakili rangkaian data tersebut. Tendensi sentral merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang disajikan dalam tabel atau diagram, yang dapat mewakili sampel

atau populasi. Bila ukuran tersebut diambil dari sampel d isebut statistik dan jika ukuran itu diambil dari populasi disebut parameter. Tendensi sentral digunakan untuk menggambarkan sifat sekumpulan data dari suatu pengamatan. Tendensi sentral juga bisa disebut nilai yang representatif dalam suatu kelompok observasi atau studi. Syarat-syaratnya adalah sebagai berikut:

1. Harus dapat mewakili rangkaian data

2. Perhitungannya harus didasarkan pada seluruh data 3. Perhitungannya harus objektif

4. Perhitungannya harus mudah

5. Dalam suatu rangkaian hanya ada 1 nilai sentral Terdapat tiga ukuran dalam tendensi sentral yang sering digunakan yaitu mean (rata-rata), median, dan modus.

1. Mean (Rata-rata)

Mean adalah nilai tengah yang diperoleh dari hasil penjumlahan seluruh nilai data kemudian dibagi dengan banyaknya data. Sederhananya, mean memberikan Gambaran umum tentang seberapa besar nilai rata-rata dari sekumpulan data.

Mean = (Jumlah semua data) / (Banyaknya data) Misalnya, kita memiliki nilai ulangan sebagai berikut:

80, 90, 75, 85

Untuk mean-nya kita lakukan Langkah-langkah berikut:

1. Jumlah semua nilai: 80, 90, 75, 85= 330 2. Hitung banyaknya data: Ada 4 nilai data 3. Bagi jumlah total dengan banyaknya data: 330

/ 4 = 82.5

Jadi, mean (rata-rata) dari nilai ualangan tersebut adalah 82.5

Mean data kelompok digunakan ketika data kita disajikan dalam bentuk interval atau kelas, bukan nilai individu.

Misalnya, data nilai ujian yang dikelompokkan dalam interval 50-59, 60-69, dan seterusnya.

Rumus:

Mean (X̄A) = (Σf * x) / Σf X̄A: Lambang untuk mean Σf: Jumlah semua frekuensi

Σ(f * x): Jumlah perkalian antara frekuensi (f) dengan titik tengah kelas (x)

Langkah-langkah:

 Tentukan titik tengah setiap kelas: Titik tengah kelas adalah nilai tengah dari setiap interval kelas.

 Kalikan frekuensi dengan titik tengah masing- masing kelas: Hasil perkalian ini menunjukkan kontribusi setiap kelas terhadap total nilai.

 Jumlahkan semua hasil perkalian: Ini adalah Σ(f * x).

 Jumlahkan semua frekuensi: Ini adalah Σf.

 Bagi jumlah perkalian dengan jumlah frekuensi:

Hasil pembagian ini adalah mean.

Contoh:

Interval Nilai Frekuensi (f) Titik Tengah (x) f * x

50-59 5 54.5 272.5 60-69 10 64.5 645 70-79 15 74.5 1117.5 Total 30

203

Dalam contoh ini:

Σ(f * x) = 2035

Σf = 30

Jadi, mean-nya adalah:

X̄A = 2035 / 30 = 67.83

Artinya, nilai rata-rata ujian adalah sekitar 67,83.

Kelebihan Mean :

1. Nilai rata-rata mempunyai sifat objektif.

2. Nilai rata-rata mudah dimengerti.

3. Nilai rata-rata mudah dihitung.

4. Nilai rata-rata mempunyai stabilitas sampel.

5. Nilai rata-rata digunakan untuk perhitungan lebih lanjut.

Kelemahan Mean :

1. Nilai rata-rata mudah dipengaruhi oleh nilai ekstrim, baik kecil maupun besar.

2. Pada distribusi yang condong, nilai rata-rata kurang mewakili.

2. Median

Median atau nilai tengah adalah pemusatan data yang membagi suatu data menjadi setengah (50%) data terkecil dan terbesarnya. Median adalah bilangan sentral dari suatu kumpulan dalam ukuran pemusatan data. Dimana, atur titik data dari yang terkecil hingga terbesar dan temukan nomor pusatnya. Maka, itulah mediannya. Akan tetapi jika ada 2 angka di tengah, median adalah rata-rata dari 2 angka tersebut. Syarat utama untuk menentukan median adalah dengan mengurutkan data-data yang ada.

Mengurutkan dari nilai terkecil sampai ke nilai terbesar.

a) Median Data Tunggal Ganjil

Untuk data berjumlah ganjil kita bisa lihat langsung datanya dan ambil angka tengahnya, mudahkan?

asalkan sudah diurutkan tentunya. Jika ada bilangan ganjil, nilai mediannya merupakan bilangan yang ada di tengah, dengan jumlah bilangan yang sama di bawah dan di atasnya.

Langkah – langkah menentukan median nilai ganjil :

 Urutkan kelompok data data dari nilai terkecil nilai terbesar atau sebaliknya.

 Tentukan nilai tengahnya.

 Jumlah data di sisi kiri dan dan kanan harus sama sehingga terdapat satu angka tepat di tengahnya yang menjadi median kelompok data.

x : data ke - Rumus :

Me=x(n+1) 2

Contoh soal : Hitung median dari data berikut ini:

9,1,3,7,5

1) pembahasan:

urutkan data dari terkecil sampai terbesar 1,3,5,7,9

data ke-1 : 1 data ke-2 : 3 data ke-3 : 5 data ke-4 : 7 data ke-5 : 9

2) kedua hitung banyak data (n) : n = 5

3) ketiga masukkan dalan rumus : Me=x(n+1)

2

Me=x(5+1) 2 Me=x(6) Me=x₃ 2

data ke tiga adalah 5, maka mediannya adalah 5.

b) Median Data Tunggal Genap

Sementara untuk data berjumlah genap akan ada 2 angka yang ditengah. Jadi supaya kiita bisa mendapatkan nilai mediannya, kita mesti pakai rumus yang berbeda dengan penentuan median untuk data tunggal ganjil. Jika ada jumlah angka genap dalam daftar, pasangan tengah harus ditentukan, dijumlahkan, dan dibagi dua untuk mencari nilai median.

Langkah – langkah menentukan median data tunggal genap adalah sebagai berikut :

 Urutkan kelompok data dari nilai terkecil hingga terbesar atau sebaliknya.

 Tentukan nilai tengahnya. Jumlah data Sisi kiri dan sisi kanan harus sama.

 Sisakan dua angka di tengah lalu cari rata-ratanya

Contoh soal : Hitung median dari data berikut ini:

4,8,6,2

1) pembahasan :

pertama kita urutkan datanya dari mulai yang terkecil

urutan datanya: 2,4,6,8 data ke-1 : 2

data ke-2 : 4 data ke-3 : 6 data ke-4 : 8

2) kedua, hitung banyak data : banyaknya data = n = 4

3) ketiga masukkan ke dalam rumus : Me=

xn 2+x(n

2+1) 2 Rumus :

Me=

xn 2+x(n

2+1) 2

Me=

x4 2+x(4

2+1) 2 Me=x₂+x₃

2 Me=(4+6)

2 Me=10 Me=52

jadi median dari data ini adalah 5.

Kelebihan Median :

1. Cocok untuk data heterogen.

2. Median digunakan bila terdapat data ekstrim dalam sekelompok data.

Kekurangan Median :

1. Tidak mempertimbangkan semua nilai.

2. Kurang dapat menggambarkan mean populasi.

3. Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam data. Modus sering ditulis singkat atau disimbolkan dengan Mo. Mencari modus dengan cara mencari nilai observasi yang paling muncul. Bisa terjadi dalam satu kumpulan data tidak terdapat modus atau memiliki modus lebih dari satu. Mempunyai satu modus (disebut Unimodal), mempunyai dua modus (Bimodal), atau mempunyai lebih dari dua modus (Multimodal). Cara mencari modus dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

a. Modus data tunggal

Modus dari data tunggal adalah data yang frekuensinya terbanyak.

Langkah -langkah untuk menghitung modus data tunggal :

1. Urutkan data dari yang terkecil hingga yang terbsesar.

2. Hitung frekuensi kemunculan setiap nilai dalam data.

3. Identifikasi nilai yang memiliki frekuensi kemunculan tertinggi.

 Contoh 1

a) 1 , 4, 7, 8, 9, 9, 11 b) 1, 4, 7, 8, 9, 11, 13 c) 1, 2, 4, 4, 7, 9, 11, 11, 13 d) 1, 1, 3, 3, 7, 7, 12, 12, 14, 15 Penyelesaian :

a. Modus = 9

b. Modus = tidak ada

c. Modus = 4 dan 11 d. Modus = 1, 3, 7, dan 12

 Contoh 2

Modus dari data nilai matematika siswa kelas VI:

10, 9, 8, 7, 8, 9, 8, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 7, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 8, 6, 7, 9, 10

Jawab:

Data diurutkan menjadi:

6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10

Dari data di atas bisa dilihat jika nilai modusnya adalah angka 9. Hal ini karena nilai 9 pada kelompok data tersebut merupakan yang paling banyak muncul.

 Contoh 3

Delapan buah sepeda motor sedang melaju di suatu jalan raya. Kecepatan kedelapan sepeda motor tersebut adalah sebagai berikut: 60 , 80, 70, 50, 60, 70, 45, 75. Tentukan modus kecepatan sepeda motor!

Jawab:

Jika data diurutkan, maka hasilnya adalah 45, 50, 60, 60, 70, 70, 75, 80.

Dari pengamatan pada data yang telah diurutkan di atas bisa kita ketahui jika angka 60 dan 70 merupakan nilai yang kerap muncul dibandingkan angka lainnya. Oleh karena itu modus pada kelompok data tersebut ada dua angka yaitu 60 dan 70.

b. Modus data kelompok

Modus data berkelompok adalah modus yang ditentukan dari data yang sudah dikelompokkan atau disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval.

Modus data berkelompok tidak dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan modus data tunggal, karena tidak dapat diketahui pasti nilai yang paling sering muncul dalam data berkelompok. Oleh karena itu, modus data berkelompok harus ditaksir atau diperkirakan dengan menggunakan rumus khusus.

Langkah-langkah menghitung modus data kelompok :

1. Tentukan kelas modus, yaitu interval kelas dengan frekuensi tertinggi.

2. Hitung bawah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak (b).

3. Hitung selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya (b1).

4. Hitung selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya (b2).

5. Tentukan Panjang kelas interval (p).

6. Setelah mendapatkan nilai, masukan ke dalam rumus modus data kelompok :

Mo = b + ( b1/ b1 + b2)p Keterangan :

1. Mo adalah modus data kelompok.

2. b adalah batas bawah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak.

3. p adalah panjang kelas interval.

4. b1 adalah selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.

5. b2 adalah selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.

 Contoh :

Tentukan modus data kelompok!

Jawab:

Kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak adalah 80 - 89, sehingga kelas ini adalah kelas modus. Dari tabel, kita dapat mengetahui bahwa:

b = 79,5 (batas bawah kelas modus) p = 10 (panjang kelas interval)

b1 = 106 = 4 (selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya)

b2 = 108 = 2 (selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya)

Maka, modus data kelompok adalah:

Mo = b + (b1/b1 + b2)p Mo = 79,5 + (4/4 + 2)10 Mo = 79,5 + (2/3)10 Mo = 79,5 + 20/3 Mo = 238,5/3

Jadi, modus data kelompok adalah 238,5/3 atau sekitar 79,83.

Kelebihan Modus :

1. Tidak terpengaruh pada nilai ekstrim.

2. Cocok untuk data homogen maupun heterogeny (dapat digunakan untuk semua jenis data).

Kelemahan Modus :

1. Kurang menggambarkan mean populasi.

2. Modus bisa lebih dari satu, atau tidak ada satu pun.

3. Teknik perhitungan ukuran ini kurang memiliki ketelitian.

DAFTAR PUSTAKA

Mayangsari, U. (2020). Pengembangan Alat Peraga Papan Statistik (Pasta) Pada Materi Median, Modus dan Mean Siswa Kelas VI di Sekolah Dasar. Universitas

Muhammadiyah Mataram.

Estuningsih, S., Susantini, E., & Isnawati. (2013).

Pengembangan Lembar Kerja Siswa (LKS) Berbasis Penemuan Terbimbing (Guided Discovery) Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Peserta Didik Kelas XII IPA SMA Pada Materi Substansi Genetika. BioEdu, 2(1).

Slameto. 2010. Belajar dan Faktor-faktor yang Mempengaruhinya. Jakarta: Rineka Cipta.

Widyantini, Theresia. 2008. Permasalahan Pembelajaran Statistika, Peluang SMP dan Alternatif Permasalahannya. Yogyakarta: Pusat

Pengembangan dan

Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.

Maryati, I. (2017). Peningkatan Kemampuan Penalaran Statistis Siswa Sekolah

Menengah Pertama melalui Pembelajaran Kontekstual.

Mosharofa, 6(1), 129-140.

Maryati, I dan Priatna, N. (2017). Analisis Kesulitan dalam Materi Statistika Ditinjau Dari Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Statistis. Jurnal Prisma,

4(2), 173- 179.