Fungsi Monoton dan Invers

(1)

Analisis Riil II M Mahfuzh S

Fungsi Monoton Fungsi Invers Akar ke-n Fungsi

FUNGSI KONTINU

Fungsi Monoton, Fungsi Invers

Mohammad Mahfuzh Shiddiq

February 12, 2019

(2)

Fungsi Monoton

Fungsi Invers Akar ke-n Fungsi

Fungsi Monoton

Definisi

Definisi (Fungsi Monoton)

B Fungsi f :A→Rdikatakannaik diA jika dan hanya jika untuk x₁,x₂∈A dan x₁≤x₂maka f(x₁)≤f(x₂).

B Fungsi f dikatakannaik murni diA jika dan hanya jika untuk x₁,x₂∈A dan x₁<x₂maka f(x₁)<f(x₂).

B Fungsi f :A→Rdikatakanturun diA jika dan hanya jika untuk x₁,x₂∈A dan x₁≤x₂maka f(x₁)≥f(x₂).

B Fungsi f dikatakanturun murni diA jika dan hanya jika untuk x₁,x₂∈A dan x₁<x₂maka f(x₁)>f(x₂).

B Jika fungsi f naik atau turun maka f dikatakanfungsi monoton.

(3)

Fungsi Monoton

Definisi

(4)

Fungsi Monoton

Definisi

(5)

Fungsi Monoton

Definisi

(6)

Fungsi Monoton

Definisi

(7)

Fungsi Monoton

Definisi

(8)

Fungsi Monoton

Definisi

(9)

Fungsi Monoton

Example

Fungsif(x) =x²adalah naik murni di[0,∞)karena untuk sebarang x₁<x₂denganx₁,x₂∈[0,∞)mengakibatkan

x₁² < x₂² f(x₁) < f(x₂)

Fungsif(x) =x²adalah turun murni di(−∞,0]karena untuk sebarang x₃<x₄denganx₃,x₄∈(−∞,0]mengakibatkan

x₃² > x₄² f(x₃) > f(x₄)

(10)

Fungsi Monoton

Example

x₁² < x₂² f(x₁) < f(x₂)

x₃² > x₄² f(x₃) > f(x₄)

(11)

Fungsi Monoton

Example

x₁² < x₂² f(x₁) < f(x₂)

x₃² > x₄² f(x₃) > f(x₄)

(12)

Fungsi Monoton

Example

x₁² < x₂² f(x₁) < f(x₂)

x₃² > x₄² f(x₃) > f(x₄)

(13)

Fungsi Monoton

B Misalkan fungsif :A→Radalah fungsi naik, maka fungsig:=−f adalah fungsi yang turun diA.

B Misalkan fungsiϕ:A→Radalah fungsi turun, maka fungsiψ:=−ϕ adalah fungsi yang naik diA.

(14)

Fungsi Monoton

B Misalkan fungsif :A→Radalah fungsi naik, maka fungsig :=−f adalah fungsi yang turun diA.

(15)

Fungsi Monoton

B Misalkan fungsif :A→Radalah fungsi naik, maka fungsig :=−f adalah fungsi yang turun diA.

(16)

Fungsi Monoton

Lemma

Fungsi f :A→Rnaik di A maka fungsi g :−f turun di A; jika fungsiϕ:A→R turun di A maka fungsiψ:=−ϕnaik di A.

Bukti.

Diketahuif naik diA, maka untuk sebaranga≤bberlakuf(a)≤f(b)atau

−f(a)≥ −f(b)yaitug(a)≥g(b). Jadig turun diA. Dengan cara serupa didapatkanϕnaik diA.

(17)

Fungsi Monoton

Lemma

Bukti.

(18)

Fungsi Monoton

Lemma

Bukti.

(19)

Fungsi Monoton

Lemma

Bukti.

(20)

Fungsi Monoton

Lemma

Bukti.

(21)

Fungsi Monoton

Fungsi monoton tidak harus kontinu Misalkan fungsi

f(x) :=

0, jikax ∈[0,1] 1, jikax ∈(1,2] Fungsif naik pada[0,2]tapi tidak kontinu pada[0,2] Fungsig:A→Ryang didefinisikan dengan

g(x) :=JxK Fungsigturun diAtapi tidak kontinu diA.

(22)

Fungsi Monoton

Fungsi monoton tidak harus kontinu Misalkan fungsi

f(x) :=

0, jikax ∈[0,1]

1, jikax ∈(1,2]

Fungsif naik pada[0,2]tapi tidak kontinu pada[0,2]

Fungsig:A→Ryang didefinisikan dengan g(x) :=JxK Fungsigturun diAtapi tidak kontinu diA.

(23)

Fungsi Monoton

Teorema

Misalkan I⊆R, f :I→Rnaik pada I. Andaikan c∈I bukan titik ujung I maka

1 lim

x→c⁻f =sup{f(x) :x ∈I,x <c}

2 lim

x→c⁺f =inf{f(x) :x ∈I,x >c}

Bukti

Jikax ∈Idanx <c makaf(x)≤f(c), sehingga himpunan

A={f(x) :x ∈I,x <c}terbatas atas olehf(c). Jadi terdapat supremum dari himpunan tersebut, misal supA=L. Jika diberikan sebarangε >0 makaL−ε bukan batas atas himpunanA. Jadi terdapaty_ε∈I,y_ε <csedemikian

sehinggaL−ε <f(y_ε)≤L.

(24)

Fungsi Monoton

Teorema

Misalkan I⊆R, f :I→Rnaik pada I. Andaikan c∈I bukan titik ujung I maka

1 lim

x→c⁻f =sup{f(x) :x ∈I,x <c}

2 lim

Bukti

Jikax ∈Idanx <c makaf(x)≤f(c), sehingga himpunan

A={f(x) :x ∈I,x <c}terbatas atas olehf(c). Jadi terdapat supremum dari himpunan tersebut, misal supA=L. Jika diberikan sebarangε >0 makaL−ε bukan batas atas himpunanA. Jadi terdapaty_ε∈I,y_ε<csedemikian

sehinggaL−ε <f(y_ε)≤L.

(25)

Fungsi Monoton

Bukti.

Karenaf naik, jikaδ_ε=c−y_εdan jika 0<c−y < δ_εmakay_ε<y <c sehingga

L−ε <f(yε)≤f(y)≤L

Oleh karena itu,|f(y)−L|< εketika 0<c−y < δε. Karenaε >0 sebarang maka bagian (1) terbukti.

(26)

Fungsi Monoton

Akibat

Misalkan I⊆Radalah interval, f :I →Rnaik pada I. Andaikan c∈I bukan titik ujung I maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen

1 f kontinu di c

2 lim

x→c⁻f =f(c) = lim

x→c⁺f

3 sup{f(x) :x ∈I,x <c}=f(c) =inf{f(x) :x ∈I,x >c}

Bukti

(1)⇔(2) Misalkanf kontinu dic. Ambil sebarangε >0, dapat dipilih δ(ε)>0 sedemikian sehingga untuk|x−c|< δ(ε)ataux−c< δ(ε)dan c−x < δ(ε)berlaku|f(x)−f(c)|< εyang

(27)

Fungsi Monoton

Akibat

Misalkan I⊆Radalah interval, f :I →Rnaik pada I. Andaikan c∈I bukan titik ujung I maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen

1 f kontinu di c

2 lim

x→c⁻f =f(c) = lim

x→c⁺f

3 sup{f(x) :x ∈I,x <c}=f(c) =inf{f(x) :x ∈I,x >c}

Bukti

(1)⇔(2) Misalkanf kontinu dic. Ambil sebarangε >0, dapat dipilih δ(ε)>0 sedemikian sehingga untuk|x−c|< δ(ε)ataux−c< δ(ε)dan c−x < δ(ε)berlaku|f(x)−f(c)|< εyang

(28)

Fungsi Monoton

Bukti.

menunjukkan bahwa

x→clim⁺f(x) =f(c) = lim

x→c⁺f(x) (2)⇔(3) Teorema sebelumnya menunjukkan bahwa

lim

x→c⁻f =sup{f(x) :x ∈I,x <c}dan lim

(29)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

Definisi (Lompatan Fungsi)

Misalkan f :I→Rnaik pada I dan c bukan titik ujung dari I. Lompatan fungsi f padac adalah

j_f(c) := lim

x→c⁺f − lim

x→c⁻f atau

j_f(c) =inf{f(x) :x ∈I,x >c} −sup{f(x) :x ∈I,x <c}

Jika I:= [a,b]makaLompatan fungsif padaa adalah

j_f(a) :=lim_x→a⁺f −f(a)danLompatan fungsif padab adalah j_f(b) :=f(b)−lim_x_→b⁻f .

(30)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

(31)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

Teorema

Misalkan I⊆Radalah interval, f :I →Rnaik pada I, c ∈I. f kontinu pada c jika dan hanya jika j_f(c) =0

Bukti.

Jikac bukan titik ujung dari interval maka berdasarkan akibat teorema

sebelumnya diperolehj_f(c) =0. Jikac adalah titik ujung kiri intervalI, makaf kontinu dicjhjf(c) =limx→c+f yang ekuivalen denganj_f(c) =0. Cara yang serupa jikac titik ujung kanan.

(32)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

Teorema

Bukti.

(33)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

Teorema

Bukti.

(34)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

Teorema

Misalkan I⊆Radalah interval, f :I →Rmonoton pada I. Maka himpunan titik D⊆I dimana f diskontinu adalah himpunan terhitung.

Bukti

Misalkanf naik diI: [a,b]. Berdasarkan teoremaD={x ∈I:j_f(x)6=0}dan j_f(c)≥0 untuk semuac ∈I. Selanjutnya jikaa≤x₁≤ · · · ≤x_n≤b berlaku

f(a)≤f(a) +j_f(x₁) +· · ·+j_f(x_n)≤f(b) (1) yang mana menunjukkan bahwa

j_f(x₁) +· · ·+j_f(xn)≤f(b)−f(a)

(35)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

Teorema

Misalkan I⊆Radalah interval, f :I →Rmonoton pada I. Maka himpunan titik D⊆I dimana f diskontinu adalah himpunan terhitung.

Bukti

Misalkanf naik diI: [a,b]. Berdasarkan teoremaD={x ∈I:j_f(x)6=0}dan j_f(c)≥0 untuk semuac ∈I. Selanjutnya jikaa≤x₁≤ · · · ≤x_n≤bberlaku

f(a)≤f(a) +j_f(x₁) +· · ·+j_f(x_n)≤f(b) (1) yang mana menunjukkan bahwa

j_f(x₁) +· · ·+j_f(xn)≤f(b)−f(a)

(36)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

(37)

Fungsi Monoton

Lompatan Fungsi

Bukti.

Akibatnya, terdapat paling banyakk titik dalamIdimanaj_f(x)≥ ^f^(b)−f_k ^(a) dan terdapat satu titikx ∈I denganj_f(x) =f(b)−f(a); terdapat paling banyak dua titik dalamIdenganj_f(x)≥ ^f^(b)−f₂ ^(a); terdapat paling banyak tiga titik dalamI denganj_f(x)≥ ^f^(b)−f₃ ^(a) dan seterusnya. Jadi terdapat paling banyak suatu himpunan terhitung darix dimanaj_f(x)>0. Tapi karena setiap titik dalamD berada di himpunan ini, makaDadalah himpunan terhitung.

(38)

Fungsi Invers

Lemma

Fungsi f :A→Rmempunyai fungsi invers jika dan hanya jika f injektif. Lemma

Fungsi monoton murni adalah injektif maka mempunyai fungsi invers

(39)

Fungsi Invers

Lemma

Fungsi f :A→Rmempunyai fungsi invers jika dan hanya jika f injektif.

Lemma

(40)

Fungsi Invers

Lemma

Fungsi f :A→Rmempunyai fungsi invers jika dan hanya jika f injektif.

Lemma

(41)

Fungsi Invers

Teorema (Invers Kontinu)

Misalkan I⊆Radalah interval, f :I →Rmonoton murni pada dan kontinu pada I.Maka g fungsi invers dari f monoton murni dan kontinu pada J:=f(I)

Bukti

Misalkanf naik murni. f kontinu pada intervalImakaJ :=f(I)merupakan interval (?).f naik murni makaf injektif sehingga mempunyai invers, misal f⁻¹:=g :J →R.

Andaikanx₁,x₂∈Idanx₁<x₂maka terdapaty₁,y₂∈J sedemikian sehingga y₁=f(x₁)<y₂=f(x₂). Akibatnya

g(y₁) =g(f(x₁)) =x₁<x₂=g(f(x₂)) =g(y₂)yang berartig fungsi naik murni.

(42)

Fungsi Invers

Bukti

Misalkanf naik murni. f kontinu pada intervalImakaJ :=f(I)merupakan interval (?).f naik murni makaf injektif sehingga mempunyai invers, misal f⁻¹:=g :J →R.

(43)

Fungsi Invers

Bukti

Misalkanf naik murni. f kontinu pada intervalImakaJ :=f(I)merupakan interval (?).f naik murni makaf injektif sehingga mempunyai invers, misal f⁻¹:=g:J →R.

(44)

Fungsi Invers

Bukti.

Karenag(J) =Iinterval makagkontinu. Andaikangdiskontinu di titikc ∈J makaj_g(c)6=0 sehingga lim

y→c⁻g< lim

y→c⁺g. Jikax 6=g(c)atau lim

y→c⁻g <x < lim

y→c⁺gmakax 6=g(y)untuk sebarangy ∈J. Oleh karena itu x 6∈I. KontradiksiIadalah interval

(45)

Akar Fungsi

Fungsi Pangkat

Pangkat Genap

Misalkan fungsif(x) :=xⁿuntuk semuax ∈I:= [0,∞). Diketahui bahwa jika 0≤x <y makaf(x) =xⁿ<yⁿ=f(y), jadif fungsi naik murni diI. Karenaf kontinu, makaJ :=f(I)adalah interval. Akan ditunjukkan J = [0,∞).

Ambil sebarangy ≥0, berdasarkan hukum Archimedes, terdapatk ∈N sedemikian sehingga 0≤y <k. Karena

f(0) =0≤y <k ≤kⁿ=f(k) sehinggay ∈J. Karenay ≥0 sebarang, makaJ = [0,∞)

(46)

Akar Fungsi

Fungsi Pangkat

Pangkat Genap

Misalkan fungsif(x) :=xⁿuntuk semuax ∈I:= [0,∞). Diketahui bahwa jika 0≤x <y makaf(x) =xⁿ<yⁿ=f(y), jadif fungsi naik murni diI.

Karenaf kontinu, makaJ :=f(I)adalah interval. Akan ditunjukkan J = [0,∞).

Ambil sebarangy ≥0, berdasarkan hukum Archimedes, terdapatk ∈N sedemikian sehingga 0≤y <k. Karena

f(0) =0≤y <k ≤kⁿ=f(k) sehinggay ∈J. Karenay ≥0 sebarang, makaJ = [0,∞)

(47)

Akar Fungsi

Fungsi Pangkat

Pangkat Genap

Berdasarkan teoremainvers, fungsi invers darif, fungsig, adalah naik murni dan kontinu diJ. Biasa ditulis

g(x) =x^1/n atau g(x) =√ⁿ x

untukx ≥0 genap. Fungsigdisebutfungsi akar ke-n(n genap). Karenaginvers kef maka

g(f(x)) =x dan f(g(x)) =x untuk semuax ∈[0,∞)atau

(xⁿ)^1/n=x dan x^1/nn

=x

(48)

Akar Fungsi

Fungsi Pangkat

Pangkat Genap

Berdasarkan teoremainvers, fungsi invers darif, fungsig, adalah naik murni dan kontinu diJ. Biasa ditulis

g(x) =x^1/n atau g(x) =√ⁿ x

untukx ≥0 genap. Fungsigdisebutfungsi akar ke-n(n genap).

Karenaginvers kef maka

g(f(x)) =x dan f(g(x)) =x untuk semuax ∈[0,∞)atau

(xⁿ)^1/n=x dan x^1/nn

=x

(49)

TERIMA KASIH

(50)

REVIEW

Teorema (Mempertahankan Interval)

Misalkan I adalah interval dan fungsi f :I→Rkontinu pada I. Maka f(I) adalah interval.

back1