Matriks transformasi

(1)

Matriks Transformasi

A. Pengertian Transformasi

Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada bidang dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi. Transformasi gomertri adalah bagian dari geometri yang membicarakan perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk dan penyajiannya didasarkan dengan gambar dan matriks. Transformas pada bidang ada empat macam, yaitu

1. Translasi (pereseran) 2. Refleksi (pencerminan) 3. Rotasi (perputaran) 4. Dilatasi (perkalian)

Transformasi yang tidak mengubah ukuran dan bentuk bangun disebut transformasi isometri, di antaranya translasi (pergeseran), releksi (pencerminan), dan rotasi (putaran).

Adapun transformasi yang tidak isometri adalah dilatasi (perkalian) karena ukuran bayangan dapat diperbesar atau diperkecil.

B. Translasi (pereseran)

Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindahkan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu. Panjang jarak dan arah pada translasi dinyatakan oleh vektor A B atau pasangan berurutan

(

^a^b

)

dengan a merupakan komponen translasi pada arah sumbu-x dan b merupakan komponen translasi pada arah sumbu-y.

Suatu translasi dari R² (ruang dimensi dua) ke R² didefinisikan oleh pemetaan:

T : R

²^→

R

²

Titik P(x , y) , ditranslasikan oleh T =

(

^b^a

)

artinya titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan sepanjang sumbu X dan y satuan sepanjang sumbu Y, diperoleh peta Titik P’(x’,y’).sehingga berlaku hubungan:

x ꞌ=x+a y ꞌ=y+b

(2)

Hubungan ini mengandung pengertian:

1. Jika a > 0 maka arah pergeseran kekanan dan jika a < 0 arah pergeseran kekiri.

2. Jika b > 0 maka arah pergeseran keatas dan jika b < 0 arah pergeseran kebawah.

Secara geometri diperlihatkan pada Gambar baerikut :

Contoh 1 :

Tentukan bayangan titik P(2,−5) dan Q(−3,1)oleh translasi T =

(

³²

)

Jawab

Untuk titik P : P(2,-5) → P’(2+2,-5+3) = A’(4,-2) Untuk titik Q : Q(-3,1) → Q’(-3+2,1+3) = B’(-1,4)

Contoh 2 :

Tentukan hasil translasi dari persamaan parabola x = y² oleh translasi T =

(

⁻¹³

)

^.

Gambarkan grafik sebelum dan sesudah translasi.

Jawab.

Persamaan translasi adalah:

Substitusikan persamaan translasi ke persamaan parabola didapat:

(3)

Grafik parabola asal dan hasil translasi diperlihatkan pada gambar berikut :

C. Refleksi (pencerminan)

Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang memindahkan obyek menjadi bayangan seperti d i depan cermin. Misal suatu segitiga dicerminkan terhadap garis l , hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar berikut :

(4)

Pencerminan titik terhadap sumbu cermin, jarak titik asal ke sumbu cermin sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu cermin. Pada koordinat cartesius, titik P(x,y), dicerminkan terhadap sumbu x dan sumbu y hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar 8.5.6.

Titik P(x,y), dicerminkan terhadap sumbu x menghasikan P'(x,-y), bentuk persamaan hasil pencerminan ini adalah:

Dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:

Matriks

(

¹⁰ ⁻⁰¹

)

disebut matriks pencerminan terhadap sumbu x. Dengan cara yang sama dapat dicari bentuk-bentuk matriks pencerminan pada sumbu-sumbu cermin yang lain, untuk memudahkan mempelajari pencerminan bentuk-bentuk matriks pencerminan ditulis dalam tabel berikut :

(5)

Matriks Transforamasi Pencerminan

No .

Transformasi Matriks Pemetaan

1 Pencerminan terhadap

sumbu x

(

¹⁰ ⁻¹⁰

) (x,y) → (x,-y)

sumbu y

(

^{−1 0}⁰ ¹

) (x,y) → (-x,y)

titik asal 0

(

⁻¹⁰ ⁻¹⁰

) (x,y) → (-x,-y)

garis y = x

(

^{1 0}^{0 1}

) (x,y) → (y,x)

garis y = - x

(

⁻¹⁰ ⁻¹⁰

) (x,y) → (-y,-x)

garis y = x tan α

(

^{cos 2}^{sin 2}^α^α ⁻^{sin 2}^{cos 2}^α^α

)

Pengembangan pencerminan dengan mengganti sumbu cerminnya. Hasil pencerminan terhadap beberapa sumbu cermin adalah sebagai berikut:

 Sumbu cermin garis x = h

P(x,y), hasil pencerminan (bayangan) adalah P’( 2h-x , y )

 Sumbu cermin garis y = k

P(x,y), hasil pencerminan (bayangan) adalah: P'( x, 2k-y )

 Sumbu cermin garis y = mx , bentuk matriks pencerminan:

Contoh:

Koordinat-koordinat titik sudut suatu segitiga ABC adalah A(4, 0), B(6, 3), dan C(1,4).

Tentukan bayangan dari titik-titik tersebut jika direfleksikan terhadap garis x = –2.

Jawab:

Diketahui garis x = h = –2

Bayangan ditentukan dengan persamaan releksigaris x = h berikut.

x' = 2h – x

(6)

y' = y

Pada titik A(4, 0), x = 4 dan y = 0 diperoleh x' = 2h – x

= 2 (–2) – 4 = –8 y' = y = 0

Jadi, bayangan dari A(4, 0) adalah A'(–8, 0) Pada titik B(6, 3), x = 6 dan y = 3, diperoleh x' = 2h – x

= 2 (–2) – 6 = –10 y' = y = 3

Jadi, bayangan dari B(6, 3) adalah B'(–10, 3) Pada titik C(1, 4), x = 1 dan y = 4, diperoleh x' = 2h – x

= 2 (–2) – 1 = –5 y' = y = 4

Jadi, bayangan dari C(1, 4) adalah C'(–5, 4).

Segitiga ABC dan bayangan A', B', C' yang terbentuk tampak seperti gambar berikut.

D. Rotasi (perputaran)

Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi.

Arah putaran sudut positif berlawanan dengan jarum jam, sebaliknya untuk arah sudut yang negatif putaran searah dengan jarum jam. Gambar 8.5.3 memperlihatkan bangun segitiga dirotasikan dengan pusat titik O(0,0), sudut putar sebesar q searah jarum jam.

(7)

Misalkan titik P(x,y), diputar dengan titik pusat O(0,0) dengan sudut putar sebesar q radian berlawanan arah jarum jam, untuk mendapatkan titik hasil rotasi yaitu titik P'(x ',y') perhatikan Gambar 8.5.4.

OP = OP’ = r, ∠^{XOP = α,}∠^{POPꞌ = θ} xꞌ = r cos , y = r sin α

xꞌ = r cos (α+θ)

=r ( cosαcosθ –sinαsinθ) = r cosαcosθ – rsinαsinθ)

= xcosθ – ysinθ………... (1)

yꞌ = r sin (α+θ)

=r ( sinαcosθ+cosαsinθ) = r sin αcosθ+rcosαsinθ) = ycosθ+xsinθ

= xsinθ+ycosθ……… (2) Dari (1) dan (2) diperoleh:

(8)

Dalam bentuk matriks persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jadi, diperoleh rumus:

Bila titik P(x,y) diputar dengan pusat O sebesar q radian akan menjadi titik P'(x ',y') d imana:

Bentuk matriks:

MR=q =

(

^cos^sin^θ^θ ^−sin^cos^θ^θ

)

adalah matriks rotasi dengan pusat O sebesar q radian.

Dengan cara yang sama akan diperoleh, jika titik P(x,y) diputar dengan pusat A(a,b) sebesar q radian akan menjadi titik P'(x ',y') dengan

(

^{x ꞌ}^{y ꞌ}^−a⁻^b

)

⁼

(

^cos^sin^θ^θ ^−sin^cos^θ^θ

) (

^x^y^−a⁻^b

)

Contoh:

Tentukan bayangan dari persamaan parabola y = x² diputar dengan sudut putar sebesar 90° berlawanan arah jarum jam, titik pusat (2,0) Jawab.

Pusat rotasi (2,0) , besar sudut putar 90° berlawanan arah jarum jam, persamaan rotasi:

(9)

Substitusikan ke persamaan parabola y = x² didapat persamaan bayangan:

( 2 - xꞌ ) = ( yꞌ + 2 )² atau xꞌ = - (yꞌ)² - 4 yꞌ - 2

Jadi bayangan dari persamaan parabola y = x² yang diputar dengan sudut putar sebesar 90° berlawanan arah jarum jam, titik pusat (2,0) adalah x = - y² – 4y - 2

E. Dilatasi (perkalian)

Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau skala. Jika skala > 1 maka bentuk obyek diperbesar, sebaliknya jika skal < 1 maka obyek diperkecil. Perhatikan Gambar 8.5.7, suatu titik P(x,y), dilakukan dilatasi dengan pusat O(0,0) dengan skala a.

(10)

Persamaan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan k skala dinyatakan dalam bentuk:

x ' = kx y' = ky

Persamaan matriksnya adalah:

Matriks

(

^k⁰ ⁰^k

)

disebut matriks dilatasi D [ 0 , k ]

Untuk dilatasi dengan pusat P(a,b), dengan skala k dan ditulis D[P,k], bentuk persamaannya adalah:

Persamaan dalam bentuk matriks adalah:

Contuh:

Gambarlah bayangan segitiga ABC dengan titik-titik sudutnya A(5, 0), B(6, 2), dan C(3, 3) yang didilatasi terhadap titik pusat dilatasi P(1, 1) dengan faktor dilatasi –2.

Jawab:

Pertama tentukan terlebih dahulu bayangan dari titik-titik sudutnya. Diketahui titik pusat dilatasi adalah P(1, 1) maka a = 1 dan b = 1. Faktor dilatasi = k = –2. Bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a, b).

x' = a + k(x – a) y' = b + k(y – b)

Untuk A(5, 0) maka x = 5 dan y = 0.

x' = 1 + (–2)(5 – 1) = 1 + (–8) = –7 y' = 1 + (–2)(0 – 1) = 1 + 2 = 3

Jadi, bayangan dari A(5, 0) adalah A'(–7, 3).

(11)

Untuk B(6, 2) maka x = 6 dan y = 2.

x' = 1 + (–2)(6 – 1) = 1 + –10 = –9 y' = 1 + (–2)(2 – 1) = 1 + (–2) = –1

Jadi, bayangan dari B(6, 2) adalah B'(–9, –1).

Untuk C(3, 3) maka x = 3 dan y = 3.

x' = 1 + (–2)(3 – 1) = 1 + (–4) = –3 y' = 1 + (–2)(3 – 1) = 1 + (–4) = –3

Jadi, bayangan dari C(3, 3) adalah C'(–3, –3).

Bangun datar yang terbentuk adalah sebagai berikut:

F. Komposisi Translasi

Kita dapat melakukan beberapa transformasi, misal pertama suatu obyek ditranslasi dengan T1 kemudian dilanjutkan translasi yang kedua dengan T2 yang dinyatakan dengan (T

2 o T1) (x,y) bentuk ini dinamakan komposisi dua translasi. Bentuk komposisi transformasi yang lain dengan menggabungkan bentuk-bentuk transformasi.

Misal diberikan translasi T1 =

(

^a^b

)

^{dan T}²⁼

(

^c^d

)

, komposisi dua translasi T1 dan T2

dinyatakan:

Karena jumlah bilangan bersifat komutatif, maka:

(T2 o T1) = (T1 o T2)

(12)

Catatan

 ( T2 o T1 ) artinya obyek ditranslasi oleh T1 dilanjutkan dengan T2

 ( T2 o T1 ) artinya obyek ditranslasi oleh T2 dilanjutkan dengan T1

Walaupun memberi hasil yang sama tetapi penekanan pada urutan pengerjaan translasinya berbeda.

G. Komposisi Refleksi

Misalkan titik P( x,y ), dilakukan refleksi terhadap garis x = k kemudian di lanjutkan dengan x = h , komposisi refleksi dari M1 dilanjutkan dengan M2 dinyatakan:

Secara geometri hasil dari komposisi (M2 o M1) (x,y) terhadap garis x = k dilanjutkan dengan x = h diperlihatkan pada gambar 8.6.2.

Jika Titik P(x,y), direfleksikan terhadap sumbu y menghasilkan P'(x,y) dilanjutkan terhadap sumbu x menghasilkan P"(x,p) yang diperlihatkan apda gambar 8.6.3

(13)

H. Komposisi Rotasi

Misalkan titik P(x,y), dilakukan rotasi oleh R1[ O,θ1] kemudian dilanjutkan dengan R

2[ O,θ2 ] , komposisi rotasi dari R1 dilanjutkan dengan R2 dinyatakan:

Merotasikan suatu obyek menggunakan komposisi rotasi berarti merotasikan obyek tersebut dengan jumlah sudut masing-masing rotasi. Secara geometri diperlihatkan pada gambar 8.6.1

Titik P dirotasikan pusat 0 besar sudut θ1 didapat P' dilanjutkan rotasi pusat O besar sudut θ2 didapat P" atau dapat dilakukan dengan pusat 0 dengan besar sudut rotasi

θ1 + θ2. Jika R1 = R [ 0,θ1 ] dan R2 [ 0, θ2 ], maka ( R2 o R1 ) = R [ 0, (θ1 + θ2 )]

I. Komposisi Lebih dari Dua Transformasi

Contoh:

Titik P(2,3), ditranslasikan terhadap T1 , dilanjutkan rotasi dengan titik pusat O dengan θ = 90 °, selanjutnya direfleksikan terhadap sumbu x.

Jawab:

Urutan dan hasil transformasi adalah:

(14)

Jadi titik P(2,3) hasil dari tiga transformasi berurutan adalah (-5,-1)

J. Komposisi Transformasi dengan Matriks

Kita awali dengan meneliti, baik secara geometri maupun dengan matriks, transformasi komposit (majemuk) yang terdiri dari pencerminan terhadap sumbu Y (T1) dilanjutkan dengan rotasi terhadap O sebesar 90 ° (T2).

a. Secara Geometri

Oleh T1, P( a,b ) P1 (-a,b ) Oleh T2, P1 ( -a,b ) P2 (-a,-b )

Karena hal ini berlaku untuk semua titik pada bidang, maka dapat disimpulkan bahwa komposisi dari pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi terhadap O sejauh 90

° merupakan pencerminan terhadap garis y = -x

b. Dengan Matriks

M1 = matriks yang berkaitan dengan pencerminan terhadap sumbu Y M2 = matriks yang berkaitan dengan rotasi terhadap O sejauh 90 ° maka:

(15)

M1 =

(

⁻⁰^{1 0}¹

)

^dan ^M²⁼

(

⁰¹ ⁻⁰¹

)

Untuk koordinat P1 =

(

^{−1 0}⁰ ¹

) (

^a^b

) = (

^−a^b

)

Untuk koordinat P2 =

(

⁰¹ ⁻⁰¹

) (

^−a^b

) = (

^−a^−b

)

Sehingga M1 M2 merupakan matriks yang berkaitan dengan transformasi komposisi T2 o T1. Jadi, jika T1 dan T2 masing-masing adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks- matriks M1 =

(

^{a b}^{c d}

)

^dan ^M²⁼

(

^{g h}^{e f}

) , komposisi transformasi yang dinyatakan dengan :

(i) T2 o T1 bersesuaian dengan perkalian matriks M2M1 =

(

^{e f}^{g h}

) (

^{a b}^{c d}

)

(ii) T1 o T2 bersesuaian dengan perkalian matriks M1M2 =

(

^{a b}^{c d}

) (

^{e f}^{g h}

)

Catatan: perkalian matriks M2M1 belumtentu sama dengan M1M2

Transformasi beserta Matriks Transformasi

No. Transformasi Pemetaan Matriks Transformasi

1. Identitas (I)

(x,y)

^→

(x,y) (1 00 1)

2. Dilatasi dengan factor skala k

(x,y)

^→

(kx,ky) (k0 0k)

3. Refleksi terhadap sumbu X

(x,y)

^→

(x,-y) (10 −01)

4. Refleksi terhadap sumbu Y

(x,y)

→

(-x,y) (−1 00 1)

5. Refleksi terhadap titik asal O(0,0)

= setengah putaran terhadap O

(x,y)

→

(-x,-y) (−10 −01)

6. Refleksi terhadap garis y = x

(x,y)

^→

(y,x) (0 11 0)

7. Refleksi terhadap sumbu y = -x

(x,y)

^→

(-y,-x) (−10 −01)

8. Rotasi terhadap O sebesar θ x ꞌ=xcosθ−ysinθ

y ꞌ=xsinθ+ysinθ

(

^cos^sin^θ^θ ⁻^cos^sin^θ^θ

)

(16)

9. Rotasi terhadap O sebesar 90°

(x,y)

^→

(-y,x) (01 −10 )

10. Rotasi terhadap O sebesar −90°

(x,y)

^→

(y,-x) (−1 00 1)