Penentu Matriks

Aljabar Linear Elementer I MATA4112

Tutorial 5

DETERMINAN MATRIKS

Ketika di SMU, Anda pernah belajar menghitung determinan dari suatu matriks

Apabila matriks A berukuran 2 x 2:

11 12

21 22

a a ,

A a a

 

  

 

11 12

11 22 12 21 21 22

det a a

A A a a a a

a a

   

maka determinan matriks A adalah:

DETERMINAN MATRIKS

Jika matriksnya berukuran 3 × 3:

maka determinannya adalah:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

b b b

B b b b

b b b

 

 

  

 

 

11 12 13

21 22 23

31 32 33

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 33

det

b b b

B B b b b

b b b

b b b a b b

b b b

b b b b b b



 





  



11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31

det B b b b b b b b b b b b b b b b b b b

      

DETERMINAN MATRIKS

Di sini, kita akan membahas bagaimana menentukan determinan matriks berukuran

n × n

secara lebih umum. Namun, sebelumnya kita pelajari dahulu beberapa definisi berikut ini:

DEFINISI

Minor untuk unsur

a

_mn dari matriks bujursangkar

A = [a

_ij

],

dinyatakan dengan

M

_mn adalah determinan dari matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-

m

dan kolom ke-

n

pada matriks

A

.

Kofaktor untuk unsur

a

_mn dari matriks bujursangkar

A

, dinyatakan dengan

C

_mn, adalah

C

_mn

= (1)

^m+n

M

_mn

.

DETERMINAN MATRIKS

Contoh

Diberikan matriks:

1 0 2 1 2 3 1 5 0 1 2 4 3 1 1 2 B

  

 

 

  

 

  

 

Minor dari M₃₂ diperoleh dengan menghapus baris ketiga dan kolom kedua dari B, diperoleh:

DEFINISI

(i) Determinan matriks berukuran 1  1,

A = [a

₁₁

]

ialah

det A = a

₁₁

(ii) Determinan dari matriks

A

yang berukuran

n  n

adalah

det A = |A| =

M

_ik = minor dari unsur

a

_ik

, C

_ik = kofaktor dari

a

_ik

1

1 1

1

( 1)

n

m

m m m



a M



  1 1

1 n

m m

m

a C







DETERMINAN MATRIKS

Contoh:

Diketahui matriks A berukuran 3×3. Gunakan rumus di atas untuk menghitung determinannya!

1 1 2

1 1 3

1 2 2

A

  

 

  

  

 

Karena matriks A berukuran 3×3, maka kita harus menentukan:

11

,

12

,

13

M M M

DETERMINAN MATRIKS

11

1 3

2 2 , M 

 ¹²

1 3 1 2 , M 



¹³

1 1 1 2 M 

Sehingga diperoleh determinan matriks

A

sbb:

1 1

1 3

1 2

1 3

1 3

1 1

det ( 1) .1. ( 1) ( 1). ( 1) 2.

2 2 1 2 1 2

A  A  

^

 

^

  

^

 

Dalil:

Jika

A

matriks

n  n

, maka

(a) det A =

,

k = 1, 2,..., n

(Pembabaran menurut baris ke-k)

(b)

det A =

,

k = 1, 2,..., n

(Pembabaran menurut kolom ke-m)

1 n

kj kj j

a C



 1 n

im im i

a C





DETERMINAN MATRIKS

Contoh:

1 0 2

0 2 1

2 0 5

A   Hitunglah determinan matriks

A

menurut kolom pertama, kedua, dan ketiga

Menurut kolom pertama:

1 1 2 1 2 1 0 2 3 1 0 2

det ( 1) .1. ( 1) .0. ( 1) .2. 2

0 5 0 5 2 1

A A ^  ^{ }

       

 Menurut kolom kedua:

1 2

0 1

2 2

1 2

3 2

1 2

det ( 1) .0. ( 1) .2. ( 1) .0. 2

2 5 2 5 0 1

A A ^  ^{ }

       

 Menurut kolom ketiga:

DETERMINAN MATRIKS

DEFINISI

• Matriks segitiga bawah adalah matriks bujursangkar yang semua unsur atas diagonalnya sama dengan nol

• Matriks segitiga atas adalah matriks bujursangkar yang semua unsur bawah diagonalnya sama dengan nol

Dalil

Contoh:

2 1 3 2

0 3 2 5

, det 2.( 3)2.1 12

0 0 2 7

0 0 0 1

A A



 

    

DETERMINAN MATRIKS

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Dalil:

Jika

A

matriks berukuran

n  n

, maka

det A

^T

= det A

Contoh:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

 

 

  

 

 

11 21 31

12 22 32

13 23 33

T

a a a

A a a a

a a a

 

 

  

 

 

Perhitungan determinan pembabaran baris pertama:

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

det a a a a a a

A a a a

a a a a a a

  

Perhitungan det A^T dengan pembabaran kolom pertama:

22 32 21 31 21 31

11 12 13

23 33 23 33 22 32

det

^T

a a a a a a

A a a a

a a a a a a

  

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

det det det

T T T

a a a a a a

a a a

a a a a a a

           

     

                          

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

a a a a a a det

a a a A

a a a a a a

   

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Dalil

Jika matriks

A

berukuran

n  n

, dan

B

adalah hasil mempertukarkan baris ke-k dan baris ke-m pada matriks

A (m  k, m = 1, 2, … , n , k =1, 2,…, n)

maka

det B =  det A

Contoh:

11 12

21 22

a a

A a a

 

  

 

21 22

11 12

a a

B a a

 

  

 

Matriks

B

diperoleh dengan mempertukarkan baris pertama dengan baris kedua pada matriks

A

, maka

11 22 12 21

det A a a   a a

12 21 11 22

det B  a a  a a

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Contoh

Diberikan matriks

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a



31 32 33

21 22 23

11 12 13

a a a

B a a a

a a a



Matriks B didapat dari pertukaran baris ke-1 dan ke-3 pada matriks A:

12 13 11 13 11 22

31 32 33

22 23 21 23 21 22

det a a a a a a

A a a a

a a a a a a

  

det A

dihitung dengan pembabaran baris ke-3:

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

22 23 21 23 21 22

31 32 33

12 13 11 13 11 12

det a a a a a a

B a a a

a a a a a a

  

12 13 11 13 11 12

31 32 33

22 23 21 23 21 22

det a a det a a det a a det

a a a A

a a a a a a

           

                                     

Dalil ini juga berlaku jika kita melakukan pertukaran kolom

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

det B

dihitung dengan pembabaran baris ke-1:

Dalil:

Jika pada matriks A suatu baris (kolom) dikalikan dengan bilangan real p, maka determinan matriks yang baru sama dengan p det A

Dalil:

Jika A matriks n  n, maka det (pA) = pⁿ det A

Contoh

Diberikan matriks A, B, dan C berikut:

1 1 2 1

0 2 1 3

0 0 3 2

0 0 0 2 A



 

1 1 2 1

0 4 2 6

0 0 3 2

0 0 0 2 B



 

2 2 4 2 0 4 2 6 0 0 6 4 0 0 0 4 C



 

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Dalil:

Penambahan konstanta kali baris lain pada suatu baris, tidak mengubah determinan suatu matriks

Dalil:

Bila pada matriks A salah satu baris = konstanta kali baris lain maka det A = 0 Contoh

Hitung determinan matriks A berikut:

1 1 2 1

2 1 0 1

1 2 6 2

3 1 1 1

A

 

 

 

  

 

 

 

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Dengan menerapkan dalil pertama, diperoleh matriks terakhir dimana baris kedua adalah -1 kali baris ketiga, kemudian terapkan dalil kedua, diperoleh det A = 0

SIFAT-SIFAT DETERMINAN