Penelitian Operasional I
Pertemuan Ke-2
Pengantar Programa Linier
METODA GRAFIS
Deskripsi
• Formulasi Model Programa Linier
• Penyelesaian Model Program Linier dengan
metoda grafis
Capaian Pembelajaran
• Mahasiswa mampu mendefinisikan komponen-komponen model matematis dari masalah linier sederhana
• Mahasiswa mampu menyusun model matematis programa linier sederhana
• Mahasiswa mampu mendapatkan solusi optimal model
programa linier sederhana dua variabel menggunakan metoda grafis
• Mahasiswa mampu melakukan analisis sensitivitas
menggunakan metoda grafis untuk masalah programa linear dua variabel
Isi
• Pengertian PL
• Konsep PL
• Sifat PL
• Langkah dalam penyelesaian dengan Grafis
• Ilustrasi
• Latihan
Pengertian
• Pemrograman Linier adalah suatu metoda yang dapat dipergunakan untuk memecahkan permasalahan yang timbul di dalam perusahaan, dengan tujuan untuk
memperoleh keadaan yang optimal dengan
memperhitungkan kendala-kendala yang ada. Keadaan yang optimal tersebut merupakan suatu usaha yang bertujuan untuk mendapatkan keuntungan yang paling besar (maksimum) atau ongkos yang paling kecil
(minimum).
Pengertian (2)
• Programa Linier merupakan salah satu cara yang digunakan dalam proses optimasi dari suatu persoalan yang dapat diinformasikan ke dalam bentuk model matematis. Beberapa
masalah yang sering dipecahkan dengan pemrograman linier, diantaranya adalah:
– Penentuan kombinasi beberapa macam barang
yang akan diproduksi.
Pengertian (3)
– Penentuan kombinasi beberapa macam barang yang akan dijual/dipasarkan.
– Penentuan kombinasi beberapa campuran bahan mentah.
– Penentuan penjadwalan produksi yang paling baik (meminimumkan ongkos produksi)
– Penentuan pola pengangkutan barang yang paling baik (meminimumkan total ongkos angkut).
– Menentukan pola penugasan beberapa tugas pada
beberapa operator (mesin) yang paling baik, dan lain-
Konsep
• Pada dasarnya suatu persamaan linier menggambarkan hubungan antara beberapa variabel bebas dengan
sebuah variabel tidak bebas, dimana jika dilakukan
penambahan dalam kuantitas yang sama di satu pihak, maka akan menimbulkan efek yang konstan bagi pihak lainnya.
• Jadi, persamaan linier adalah suatu bentuk persamaan yang jika digambarkan dalam bentuk grafis akan
berbentuk garis lurus.
Konsep (2)
• Oleh sebab itu, jika akan menggunakan teknik
programa linier, adanya hubungan-hubungan
yang tidak linier harus ditransformasikan ke
dalam bentuk hubungan yang linier (cara
pendekatan ke persamaan linier).
Konsep (3)
• Pada dasarnya model matematika yang
digunakan dalam Pemrograman Linier, terdiri atas 3 elemen, yaitu:
1. Variabel Keputusan dan Parameter 2. Kendala.
3. Fungsi Tujuan
Variabel dan Parameter
• Variabel keputusan merupakan sesuatu yang tidak diketahui nilai pada awalnya, dimana nilainya akan ditentukan pada hasil akhir
pemecahan, sedangkan parameter merupakan
variabel yang dikendalikan oleh sistem.
Kendala
• Kendala merupakan batasan fisik dari sistem.
Model matematika yang dipergunakan dalam
Pemrograman Linier harus melibatkan kendala
sistem, agar nilai akhir dari variabel keputusan
berada di dalam daerah yang layak (feasible).
Fungsi Tujuan
• Fungsi tujuan mencerminkan ukuran
ketetapan dalam mencapai sasaran dari
sistem. Fungsi tujuan ini dibentuk sebagai
fungsi matematika dari variabel-variabel
keputusannya.
Bentuk Umum
Fungsi Tujuan: Maksimasi atau Minimasi dari:
Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn
Dengan kendala-kendala sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn (, =, ) b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn (, =, ) b2
: : : :
: : : :
: : : :
am1x1 + am2x2 + … + amnxn (, =, ) bm
dan:
x1, x2, …, xn 0
Sifat
1. Fungsi tujuan dan fungsi-fungsi pembatas
(kendala) semuanya merupakan fungsi linier.
2. Semua variabel keputusan yang terlibat dalam masalah adalah tidak negatif.
Pemrograman Linier hanya berhubungan dengan masalah-masalah nyata dimana
harga variabel keputusan negatif adalah tidak
logis.
Sifat (2)
1. Kriteria pemilihan nilai terbaik dari variabel keputusan dapat ditentukan dengan fungsi linier dari variabel-variabel tersebut. Fungsi kriteria ini disebut fungsi tujuan.
2. Aturan operasi yang mengatur proses dapat
digambarkan sebagai satu set persamaan
atau kesamaan linier. Set ini disebut set
(himpunan) pembatas (kendala).
Asumsi
• Proporsionalitas
• Aditivitas
• Divisibilitas
• Deterministik
Proporsionalitas
• Asumsi ini mempunyai arti bahwa naik- turunnya nilai fungsi tujuan ( Z ) dan
penggunaan sumber atau fasilitas yang
tersedia akan berubah secara sebanding
(proporsional) dengan perubahan tingkat
aktivitasnya.
Contoh sifat proporsionalitas
– Z = c
1x
1+ c
2x
2+ … + c
nx
n• Setiap pertambahan nilai x
1sebanyak 1 unit akan
menaikkan nilai Z sebanyak c
1. Setiap pertambahan 1 unit x
2akan menaikkan nilai Z sebanyak c
2, dan
seterusnya.
– a
11x
1+ a
12x
2+ … + a
1nx
n b
1• Setiap pertambahan 1 unit x
1akan menaikkan
penggunaan sumber atau fasilitas sebanyak a
11satuan,
dan seterusnya.
Aditivitas
• Asumsi ini mempunyai arti bahwa nilai fungsi tujuan
setiap aktivitas tidak saling mempengaruhi, sehingga nilai fungsi tujuan merupakan penjumlahan dari kontribusi
setiap variabel keputusan. Atau dengan kata lain,
kenaikkan dari nilai fungsi tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikkan suatu aktivitas dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari
aktivitas lain.
Contoh sifat aditivitas
• Misal: Z = 3x
1+ 5x
2• Dimana x
1= 10, x
2= 2 ⇒ Z = 40
• Andaikan x
1bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi di atas, nilai Z akan menjadi 40 + 3 = 43. Jadi, tambahan nilai Z karena kenaikan x
1dapat langsung
ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian-bagian Z yang diperoleh dari aktivitas 2 ( x
2).
Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara x
1dan x
2.
Sifat Divisibilitas
• Asumsi ini mempunyai arti bahwa nilai dari variabel keputusan boleh berbentuk dalam bilangan pecahan (non-integer).
• Misal: x
1= 3,5
Sifat Deterministik
• Asumsi menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model matematika
pemrograman linier (a
ij, b
i, c
j) dapat
diperkirakan harganya dengan pasti.
Formulasi PL (1)
• Langkah-langkah dalam melakukan formulasi matematika 1. Memahami masalah.
2. Identifikasi variabel keputusan.
3. Penentuan fungsi tujuan sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan.
4. Menentukan konstrain sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan.
5. Identifikasi batas atas atau bawah dari variabel keputusan.
Formulasi PL (2)
• Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis pipa, yaitu: Aqua & Hydro, dengan rincian bahwa untuk membuat Aqua dan Hydro dibutuhkan jam kerja masing-masing adalah 9 jam dan 6 jam, sedangkan kebutuhan pipa adalah 12 meter untuk Aqua dan 16 meter untuk Hydro. Laba untuk masing-masing produk per unitnya adalah
$350 (untuk Aqua) dan $300 (untuk Hydro).
Setiap produk, masing-masing memerlukan satu pompa untuk proses pengerjaannya. Terdapat
Formulasi PL (3)
1.Memahami masalah.
Untuk mempermudah pengerjaan, maka diringkas sebagai berikut
Aqua Hydro
Pompa 1 1
Jam Kerja 9 jam 6 jam
Pipa 12 meter 16 meter
Laba/Unit $350 $300
Formulasi PL (4)
2.
Identifikasi variabel keputusan
X1 : jumlah pipa Aqua yang dihasilkan X2 : jumlah pipa Hydro yang dihasilkan
Formulasi PL (5)
3.
Penentuan fungsi tujuan sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan
MAX: 350X1 + 300X2
Formulasi PL (6)
4.
Menentukan konstrain sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan
1X1 + 1X2 <= 200 } pompa 9X1 + 6X2 <= 1566 } jam kerja 12X1 + 16X2 <= 2880 } pipa
Formulasi PL (7)
5.
Identifikasi batas atas atau bawah dari variabel keputusan
X
1>= 0
X
2>= 0
Formulasi PL(7)
6.
Sehingga secara keseluruhan dapat disusun model PL sebagai berikut:
Fungsi tujuan
MAX: 350X1 + 300X2 Pembatas
1X1 + 1X2 <= 200 9X1 + 6X2 <= 1566 12X1 + 16X2 <= 2880
X >= 0
Metoda GRAFIS
Pendahuluan
Berdasarkan pada arti PL di awal pertemuan, maka dapat dibuat analogi bahwa karena
pembatas-pembatasnya dan fungsi tujuannya adalah berupa garis lurus maka akan dapat
dibuat dalam bentuk grafik untuk masing-masing persamaan garis lurus tersebut sehingga
kemudian mengetahui daerah yang layak untuk dijadikan solusi.
Pendahuluan (2)
Meskipun metoda grafis sangat mudah untuk diterapkan pada programa linier, tetapi
memiliki banyak keterbatasan.
Salah satu keterbatasan tersebut adalah
jumlah variabel keputusannya hanya dua
saja, karena apabila lebih dari dua variabel
maka penggambaran grafiknya akan sulit.
Pendahuluan (3)
Hal ini disebabkan banyaknya variabel keputusan akan menentukan banyaknya sumbu kartesius yang akan digunakan, sehingga jika dua variabel memiliki dua dimensi saja dan jika lebih maka dimensi
yang banyak tersebut akan sulit digambarkan
secara manual.
Langkah
1.
Plot garis batas setiap konstrain atau pembatas/kendala.
2.
Identifikasi daerah feasible/layak.
3.
Lokalisasi solusi optimal dengan
melakukan: perhitungan nilai setiap titik
sudut/kritis.
Contoh
Gunakan data contoh ke-2 dari formulasi
di atas.
Jawab
Langkah pertama adalah dengan mengeplotkan garis pembatas pertama dengan memberi arsir pada daerah solusi, sehingga diperoleh
X2
250
200
150
100
50
(0, 200)
Garis batas dari konstrain pompa X1+ X2= 200
Jawab (2)
Langkah kedua ialah membuat garis dari
pembatas kedua sekaligus membuat arsir daerah solusi, X
2 250
200
150
100
50
(0, 261)
(174, 0)
Garis batas dari konstrain jam kerja 9X1+ 6X2= 1566
Jawab (3)
Langkah ketiga menentukan garis pembatas ketiga dan membuat arsiran solusinya
X2
250
200
150
100
50
0
(0, 180)
(240, 0) Garis batas dari konstrain pipa
12X1+ 16X2= 2880
Daerah Feasible
Jawab (4)
Langkah ke-empat mencari solusi titik sudut
(STS). Dari keempat STS tersebut dapat dihitung untuk kontribusi terhadap nilai fungsi tujuan bagi masing-masing titik, sehingga dapat dibuat
rangkuman sebagai berikut:
titik koordinat Nilai
fungsi tujuan
A (0,180) $ 54,000
B (122, 78) $ 66,100
Jawab (5)
Menentukan solusi, dengan memilih STS yang memberikan kontribusi ke fungsi tujuan paling besar.
X2
250
200
150
100
50
(0, 180)
(174, 0) (122, 78)
(80, 120)
(0, 0)
obj. value = $54,000
obj. value = $64,000
obj. value = $66,100
obj. value = $60,900 obj. value = $0
Catt.: Metode ini tak akan berjalan jika solusinya tak terbatas
Lakukan analisis sensitivitas dari hasil
tersebut! (pelajari analisis sensitivitas
metoda grafis)
Garis selidik
Untuk menentukan nilai optimum,selain
dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang
diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis–garis sejajar dengan persamaan ax + by = k ,dengan k
merupakan bilagan Riil dan ax + by
merupakan bentuk obyektif/fungsi tujuan.
Garis selidik (2)
Karena garis – garis yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai
optimum,maka garis–garis itu disebut garis selidik.
Agar himpunan garis–garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah
dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian,
garis–garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4,
Garis selidik (3)
Garis selidik merupakan fungsi linier dari fungsi tujuan dengan nilai konstanta yang berbeda-beda.
Dari berbagai nilai konstanta yang berbeda tersebut dan jika dilakukan
perubahan secara menaik sedikit demi sedikit (untuk kasus maksimasi) atau sedikit demi sedikit ke perubahan
menurun (untuk kasus minimasi).
Garis selidik (4)
Maka garis selidik tersebut seakan-akan
seperti digeser mulai dari titik asal (titik 0) menuju ke titik tertentu yang paling jauh yang memberikan nilai pada fungsi tujuan paling besar (untuk kasus maksimasi),
yang kemudian disebut titik optimal atau sebaliknya dari mulai titik-titik yang jauh dari titik asal menuju ke titik yang
memberikan nilai paling kecil kepada
Garis Selidik (5)
Jika digunakan penyelesaian dengan
menggunakan garis selidik, maka hampir sama langkahnya dengan menggunakan cara grafik.
Perbedaannya adalah bahwa pada saat selesai membuat grafik untuk daerah
layak untuk solusi maka tidak perlu dicari Solusi Titik Sudut (STS)-nya melainkan diganti dengan membuat banyak
persamaan garis untuk beberapa
Contoh
Sebagai contoh, dapat dilihat kembali contoh
sebelumnya yang sudah diperoleh daerah solusi layak seperti yang terlihat
Contoh (2)
Apabila dibuat garis selidik 350 X1 + 300 X2 = 0, maka akan melewati titik asal. Konstanta 0 yang ada pada garis selidik itu kemudian ditambah sedikit demi sedikit,
sehingga seakan-akan bergerak menjauh dari titik asal
tersebut menuju ke titik yang ada pada daerah solusi yang paling jauh.
X2
250
200
150
100
50
(0, 116.67)
(100, 0)
Fungsi Tujuan 350X1+ 300X2= 35000
X2
Contoh (3)
Apabila nilai konstanta mencapai angka 35.000, bahwa
masih ada titik-titik terjauh di daerah solusi yang mungkin, sehingga perlu ditingkatkan lagi nilai konstantanya.
X2
250
200
150
100
50
(0, 116.67)
(100, 0)
Fungsi Tujuan 350X1+ 300X2= 35000
X2
Contoh (4)
X2
250
200
150
100
50
0
0 100 150
(0, 175)
(150, 0) Fungsi Tujuan
350X1+ 300X2= 35000
Fungsi Tujuan 350X1+ 300X2= 52500
Demikian juga, jika konstantanya menjadi 52.500, tetap belum memberikan solusi terbaik, sehingga perlu
ditingkatkan kembali nilainya.
Contoh (5)
250
200
150
100
50
350X1+ 300X2= 35000
350X1+ 300X2= 52500 Solusi Optimal
350X1+ 300X2= 66100
Pada saat angka konstanta menjadi 66.100, maka garis selidik menyentuh titik terjauh dari daerah solusi layak.
Titik tersebut merupakan perpotongan antara garis X1 + X2
= 200 dan 9 X1 + 6 X2 = 1566.
Contoh (6)
Garis selidik tersebut tidak menyentuh selain satu titik tersebut, sehingga disebut sebagai penyelesaian tunggal.
Apabila titik terjauh yang disentuh oleh garis selidik itu lebih dari satu, maka masalah
tersebut memiliki penyelesaian jamak.
Contoh (7)
Bahkan solusinya mungkin berupa garis
selidik itu sendiri, dimana banyak titik-titik solusi optimal yang membentuk sebuah garis linier.
Nilai konstanta dari garis selidik yang menyinggung titik optimal tersebut
merupakan hasil optimal yang diperoleh dari
titik optimal tersebut.
Latihan 1
Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg
bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.
Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00
maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?
Latihan 2
Sebuah perusahaan memproduksi 2 macam barang, yaitu A dan B. Proses produksi kedua macam barang tersebut dilakukan dengan 3 mesin yang ada, yaitu mesin 1, mesin 2, dan mesin 3. Setiap satuan barang A diproses selama 2 jam di mesin 1 dan 6 jam di
mesin 3. Sedangkan setiap satuan barang B diproses selama 3 jam di mesin 2 dan 5 jam pada mesin 3.
Jam kerja maksimum setiap hari masing-masing mesin adalah 8 jam, 15 jam, dan 30 jam (mesin 3 lebih dari 1 unit). Keuntungan untuk setiap satuan barang A adalah sebesar RP. 3000 dan setiap satuan barang B adalah sebesar Rp. 5000. Berapakah jumlah
Latihan 3
Suatu perusahaan akan memproduksi 2 macam barang yang jumlahnya tidak boleh lebih dari 18 unit. Keuntungan dari kedua produk tersebut
masing-masing adalah Rp. 750,- dan Rp. 425,- per unit. Dari survey terlihat bahwa produk I harus dibuat sekurang-kurangnya 5 unit
sedangkan produk II sekurang-kurangnya 3 unit.
Mengingat bahan baku yang ada maka kedua produk tersebut dapat dibuat paling sedikit 10 unit. Apabila terjadi perubahan sebagai berikut, maka tentukan solusi optimalnya.
Referensi
Sumber bahan
Taha, H. A., Operations Research: An
Introduction, Macmillan Publishing Co,
Inc., New York.
