Pradifta Syahputra 122480087 Laporan modul 1

PROGRAM STUDI REKAYASA MINYAK DAN GAS FAKULTAS TEKNOLOGI INSDUSTRI

MODUL 1

PYTHON UNTUK MENCARI AKAR AKAR PERSAMAAN

Hari, Tanggal : Rabu, 03 April 2024 Waktu : 07:30-09:40 WIB

Praktikan : Pradifta Syahputra 122480087

Koordinator : Christio Revano Mege, S.Si.,M.T

DAFTAR ISI

COVER...1

DAFTAR ISI...2

BAB I...3

1.1 Judul Praktikum... 3

1.2 Tujuan Praktikum...3

1.3 Teori Dasar...3

BAB II... 4

2.1 Hasil...4

2.1.1 Hasil Bisection 1...4

2.1.2 Hasil False Position 1... 5

2.1.3 Hasil Newtown Raphson 1... 5

2.1.4 Hasil Secant 1...6

2.1.5 Hasil Bisection 2...7

2.1.6 Hasil False Position 2... 7

2.1.7 Hasil Newtown Raphson 2... 8

2.1.8 Hasil Secant 2...9

2.2 Pembahasan...9

BAB III...12

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Judul Praktikum

Python untuk mencari akar akar persamaan

1.2 Tujuan Praktikum

 Menentukan akar persamaan polinomial menggunakan bahasa pemprograman python

 Mencari perbandingan antara metode bisection, false position, newton raphson dan secant

1.3 Teori Dasar

Pada saat kita masih berada di bangku SMP dan SMA kita sering sekali menggunakan rumus ABC untuk menyelesaikan permasalahan mencari akar. Namun, rumus ABC hanya terbatas untuk persamaan kuadrat saja. Sedangkan polinomial tinggkat tinggi membutuhkan metode analitik yang tidak mudah. Selain metode analitik, metode numerik atau komputasi juga dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan dan tidak terbatas untuk persamaan kuadrat saja.

Metode ini berguna untuk menyelesaikan permasalahan akar yang sulit dan untuk kasus kasus simulasi.

Untuk menyelesaikan polinomial pangkat tinggi biasanya digunakan 2 metode yaitu : bracketing method dan open method. Pada bracketing method diperlukan dua tebakan awal untuk akar, tebakan ini harus mengurung atau berada di kedua sisi akar, metode yang paling terkenal dari bracketing method adalah bisection method dan false position method. Berbeda dengan bracketing method yang memerlukan dua nilai awal sebagai akar, pada open method hanya membutuhkan satu nilai awal untuk menentukan akar persamaan, metode yang paling terkenal adalah newton raphson method dan secant method.

Pada praktikum kali ini menggunakan bahasa pemprograman python. Python merupakan salah satu bahasa pemprograman yang banyak digunakan dalam aplikasi web, pengembangan perangkat lunak, analisis data dan masih banyak lagi. Bahasa pemprograman python dinilai lebih mudah dan praktis dibanding dengan bahasa pemprograman yang lain sehingga pada praktikum kali ini praktikan menggunkan python sebagai simulasi.

BAB II

HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1 Hasil

2.1.1 Hasil Bisection 1

2.1.2 Hasil False Position 1

2.1.3 Hasil Newtown Raphson 1

2.1.4 Hasil Secant 1

2.1.5 Hasil Bisection 2

2.1.6 Hasil False Position 2

2.1.7 Hasil Newtown Raphson 2

2.1.8 Hasil Secant 2

2.2 Pembahasan

Pada praktikum modul ini praktikan mencari akar persamaan menggunakan bahasa pemprograman python. Untuk mencari akar persamaan diberikan empat motode yang berbeda, yaitu : bisection method, false position method, newtown raphson method dan secant method.

Dengan tiap metode yang memiliki metode dan langkah pengerjaan yang berbeda beda.

Bisection Method atau juga disebut sebagai Binary-Search Method merupakan metode pen carian akar dari suatu fungsi f(x)=0. Suatu persamaan f(x)=0 yang merupakan fungsi kontinu, me miliki paling sedikit satu akar di antara a dan b jika f(a) f(b) < 0. Untuk mendekati nilai akar, sesuai dengan nama dari metode ini, kita mulai iterasi dengan membagi dua nilai a dan b sehingga menda patkan nilai tengah m. Dengan demikian akan didapatkan dua interval baru, yakni [a, m] dan [m, b]

yang akan kita evaluasi manakah di antara interval tersebut yang terdapat akar. Iterasi ini dilakukan

bel dan kemudian mengubah nilai pengujian sesuai dengan hasilnya. Untuk mencari akar real persa maan f(x) = 0, kita pertimbangkan interval yang cukup kecil (a, b) di mana a < b sehingga f(a) dan f (b) mempunyai tanda yang berlawanan. Menurut teorema nilai antara , ini menyiratkan adanya aka r yang terletak di antara a dan b. False position method memiliki langkah pengerjaan yang mirip dengan bisection method bedanya hanya terletak pada mencari nilai tengah dari a dan b.

Berbeda dengan Bisection Method yang membutuhkan dua nilai batas interval sebagai teb akan awal akar (a dan b), pada metode Newton-Raphson kita hanya memerlukan satu nilai tebaka n untuk mendekati nilai akar yang sebenarnya. Oleh karenanya Newton-Raphson Method termasu k dalam kategori metode terbuka. Prinsip utama dari metode ini adalah apabila tebakan awal nilai u ntuk suatu persamaan f(x)=0 adalah di-xᵢ, maka jika ditarik gradient di titik f(xᵢ) menghasilkan titi k xᵢ ₁₊  yang merupakan perpotongan sumbu-x dan gradient. TItik xᵢ ₁₊  dapat dilihat sebagai pende katan terhadap nilai akar yang sebenarnya. Setelah mendapatkan rumusan untuk menentukan nila i xᵢ ₁, kita dapat mengulangi prosedur tersebut dengan melakukan iterasi hingga nilai₊  f(xᵢ) mendek ati nilai 0.

Metode keempat adalah secant method. Sesuai namanya, metode ini memanfaatkan secant line(garis potong) dari suatu fungsi f(x) untuk mendekati nilai akarnya ketimbang tangen line (gari s singgung) yang digunakan di Newton-Raphson Method. Jika garis ini diteruskan hingga memoto ng sumbu-x maka kita akan mendapatkan titik potong di x=xᵢ ₁₊  yang merupakan pendekatan kita ke nilai akar yang sebenarnya. Dengan metode ini kita dapat mendekati nilai akar yang sebenarnya tanpa harus menentukan turunan pertama dari fungsi yang diuji. Akan tetapi kita membutuhkan du a nilai tebakan yakni xᵢ dan xᵢ-₁. Hal ini mirip dengan Bisection Method, namun kita tidak perlu me mastikan bahwa nilai berada di interval xᵢ dan xᵢ-₁ dengan kata lain kita tidak membutuhkan syara t f(xᵢ)f(xᵢ-₁)<0 agar metode dapat berjalan. Jika perhitungan ini diteruskan dan maka kita bisa men dapatkan nilai f(xᵢ) yang mendekati nol.

Untuk praktikum kali ini terdapat dua soal yang akan diselesaikan. Soal pertama yaitu : x³ - 154 dengan nilai x0 = 9, x1 = 5 dan e = 0.5. Dapat dilihat pada hasil perhitungan diatas, dengan menggunakan bisection method didapatkan akar persamaan 2.42610407, dengan menggunakan fal se position method didapatkan akar persamaan 2.11180462, dengan menggunakan newton raphson method didapatkan akar persamaan 0.197531 dan dengan menggunakan secant method didapatkan akar persamaan 1.14184397. Pada soal pertama, bisection method, newton raphson method dan sec

Dari praktikum modul ini dapat disimpulkan bahwa:

 Setiap metode memiliki langkah pengerjaan yang berbeda namun memiliki hasil yang relatif sama

 Pada bisection method menjamin menemukan akar jika syarat pada teorema terpenuhi sehingga sangat penting untuk menentukan nilai awal a dan b.

 Pada newton raphson method perlu menurunkan rumus terlebih dahulu untuk mendapatkan fungsi yang akan dicari

 Pada secant method memiliki keunggulan dimana nilai akar yang sebenarnya tidak perlu berad a di antara dua nilai tebakan.

 Berdasarkan hasil pengerjaan diatas, bisection method dan newton raphson method memiliki akurasi yang lebih akurat dibandingkan dua metode lainnya