بررسی همگرایی ترتیبی کراندار و بی کران در مشبکه هاى باناخ

هدکشناد مولع

یشزومآ هورگ اهدربراک و تایضایر

نایاپ هجرد تفایرد یارب همان سانشراک

ی دشرا

هتشر ضحم یضایر شیارگ

زیلانآ

یب و رادنارک یبیترت ییارگمه یسررب رد نارک

هکبشم خاناب یاه

رگشهوژپ :

هدازردنکسا ارهز دیتاسا امنهار :

رتکد یبلطم اضردمحم

رتکد قح مظاک رذآ داژن

رواشم داتسا :

یتاجن سابع رتکد هداز یولع یضر دیس رتکد

هامید 8931

رثا تیکلام و تلاصا گرب

تاعارتخا ،تاراکتبا ،جیاتن رب تبترم یونعم و یدام قوقح یمامت یروآون و هب قلعتم ،شهوژپ نیا ماجنا زا یشان ِیاه

هاگشناد

یلیبدرا ققحم یم

ا نیا زا بلطم لقن .دشاب تارّرقم تیاعر اب ،رث

امنهار داتسا مان ،یلیبدرا ققحم هاگشناد مان رکذ اب و هطوبرم .تسا عناملاب وجشناد و

بناجنیا هدازردنکسا ارهز

شناد هتخومآ سانشراک

ی دشرا هتشر

ضحم یضایر شیارگ

زیلانآ هدکشناد

یلیبدرا ققحم هاگشناد مولع

هرامش هب ییوجشناد

1044262969 رات رد هک

خی 42 / 96 / 9911 زا

نایاپ

" :ناونع تحت دوخ یلیصحت همان یبیترت ییارگمه یسررب

یب و رادنارک هکبشم رد نارک

خاناب یاه هدومن عافد "

دهعتم ،ما

یم :هک موش

1 نایاپ نیا ) چیه تفایرد يارب ًلابق ار همان

يلیصحت كردم هنوگ

هاگشناد ریاس رد یشهوژپ تیلاعف هنوگره ناونع هب ای ه

و ا

هدومنن هئارا روشک زا جراخ و لخاد یشهوژپ و یشزومآ تاسسؤم -

.ما 2 نایاپ تاجردنم یمامت مقس و تّحص تیلوئسم ) همان

دوخ یلیصحت

یم هدهع رب ار .مریگ

3 نایاپ نیا ) یم بناجنیا طسوت هدش ماجنا شهوژپ لصاح ،همان

-

.دشاب 4 نارگید يشهوژپ و يملع ياهدرواتسد زا هك يدراوم رد )

هدومن هدافتسا تیاعر اب و هطوبرم تارّرقم و طباوض قباطم ،ما

تاصخشم ریاس و هدافتسا دروم عبنم مان ،یملع یرادتناما لصا هدومن ركذ عبانم تسرهف و نتم رد ار نآ .ما

5 هنوگ ره ای هدافتسا دصق ،لیصحت زا تغارف زا دعب هچنانچ )

هرهب ... و عارتخا تبث ،باتك رشن زا معا يرادرب نیا زا

نایاپ هزوح زا ،مشاب هتشاد ار همان

یرواّنف و يشهوژپ تنواعم

.میامن ذخا ار مزلا ياهزوجم ،یلیبدرا ققحم هاگشناد 6 هئارا تروص رد ) هلاقم

نایاپ نیا زا جرختسم شیامه رد همان

-

سنارفنک ،اه ییامهدرگ ،اهرانیمس ،اه

مان ،تلاجم عاونا و اه

ار یلیبدرا ققحم هاگشناد وجشناد( ناگدنسیون مان رانك رد

.میامن رکذ )رواشم و امنهار دیتاسا و 7 بقاوع ،دوش تباث قوف دراوم فلاخ ،ينامز عطقم ره رد هچنانچ )

يلیصحت كردم لاطبا هلمج زا( نآ زا يشان طسوت تیاکش حرط ،

يم ار )... و هاگشناد ار یلیبدرا ققحم هاگشناد و مریذپ

یم زاجم بناجنیا اب مناد

راتفر هطوبرم تارّرقم و طباوض قباطم

.دیامن

هدازردنکسا ارهز اضما خیرات

هدکشناد مولع

یشزومآ هورگ اهدربراک و تایضایر

نایاپ هجرد تفایرد یارب همان

سانشراک ی

دشرا

زیلانآ شیارگ ضحم یضایر هتشر رد

:ناونع

یب و رادنارک یبیترت ییارگمه یسررب کبشم رد نارک

- ه

خاناب یاه

:رگشهوژپ هدازردنکسا ارهز

نایاپ نارواد هتیمك هدش بیوصت و يبایزرا هجرد اب همان

...

مان و مان یگداوناخ

هبترم يهاگشناد تمس

ءاضما

یبلطم اضردمحم رتکد قح مظاک رتکد داژن

رذآ رایشناد

رایشناد و امنهار دیتاسا

نارواد هتیمک ناسییر

رتکد سابع

یتاجن

رتکد دیس

یضر یولع

هداز داتسا

رایشناد دیتاسا

رواشم

رتکد رقابدمحم

یمیقم رایشناد

رواد

52 هامید 31

ناونع :روآدیدپ مان و یب و رادنارک یبیترت ییارگمه یسررب

هکبشم رد نارک خاناب یاه

هدازردنکسا ارهز–

داتسا امنهار : یبلطم اضردمحم رتکد

- قح مظاک رتکد ن

رذآ داژ

داتسا :رواشم رتکد

سابع یتاجن - رتکد دیس یضر یولع هداز

خیرات :عافد

دادعت حفص :تا 29

.ص

نایاپ هرامش :همان

نایاپ هرامش / هورگ مان همان

:هدیکچ نایاپ نیا رد ،همان

موهفم -𝑢𝑛 یم میمعت عبالم ترووووصب ار ییارگمه :میهد

مرن هکبوووشم کی𝑋 و هدوب راد

هکبوووشم کی𝑌

هکیروطب دوشاب یرادرب هدیا𝑋

رد یبیترت لاگچ لآ ره یازا هب میئوگ تروصنیا رد ،تسا𝑌

𝑥 ∈ 𝑋₊ روت ،

(𝑦_𝛼) 𝑢𝑛 ، - ارگمه

𝑦 هب 𝑌 رد هب تبسن هاگره تسا𝑋

‖|𝑦_𝛼 − 𝑦| ∧ 𝑥‖ →0 هرابرد دوجوم جیاتن نیدنچ نینچمه .

-𝑢𝑛 و ییارگمه -𝑢𝑛

ارووش رد ار یژولوپوت یم تباث دیدج طی

یم ر ن رد ار یووصاخ تلاح .مینک هک میریگ

عیمکت کی𝑌 زا یلک یزاووس

رگا .دووشاب𝑋

𝑌 = 𝐿₀(𝜇) باوت مامت یاوضف ،

-𝜇 هزادنا و ،ریذپ رد یبیترت هتسویپ خاناب یعبات یاضف𝑋

هاگنآ دشاب𝑌 -𝑢𝑛

یور ییارگمه

رگا نینچمه .توووسا یکی هزادونا رد ییارگمه اوب𝑌 و هدوب یبیترت عماک و یمتا𝑋

𝑌 = ℝ⁴ هاگنآ

-𝑢𝑛 یور ییارگمه اب𝑌

هفلوم ییارگمه .تسا یکی راو

هژاو :یدیلک یاه مرن هکبشم ،یرادرب هکبشم ،خاناب هکبشم

،راد -𝑢𝑛 ،ییارگمه -𝑢𝑛

یژولوپوت

فلا بلاطم تسرهف

-8 ...فده و همدلم ...

...

...

8

5 - قیلحت هنیشیپ و ینابم ...

...

...

...

...

. ...

...

9

8 - 5 - فیراعت و میهافم ...یتامدلم .

...

4

9 - قیلحت شور ...

...

...

....

..

...

...

...

81

8 - 9 - نارکیب یمرن ییارگمه و نارکیب یبیترت ییارگمه ...

..

..

...

...

...

...

...

81

5 - 9 un- - یژولوپوت ...

...

...

...

...

...

...

52

9 - 9 - ییاتکی -un یژولوپوت ...

...

...

...

...

...

53

4 - هتفای و جیاتن شهوژپ یاه

...

...

...

...

99

8 - 4 un- - فیعض یاهدحاو و یژولوپوت ...

...

. ...

94

5 - 4 - هکبشم یمتا خاناب یاه ...

. ...

...

91

9 - 4 - خاناب یعبات یاهاضف ...

...

..

...

...

...

48

4 - 4 - یلک یزاس عیمکت ...

...

...

49

2 - و ثحب هجیتن یریگ ...

...

...

...

...

...

. ...

25

6 - ... بانم ...

. ...

...

...

28

1 - هژاو ... همان .

...

29

8 - همدلم فده و

هنیمز زا یکی یژولوپوت هعومجم هیر ن و هسدنه زا یمیهافم تفرشیپ زا هک تسا تایضایر مهم یاه

ه ا

لاس رد یژولوپوت یخیرات هبنج زا .تسا هدمآ دوجو هب ... و تالیدبت ،لاکشا ،دعب ،اضف دننام 8141

یوس زا

ت هب زاغآ رد هک یرگید مان .دش یفرعم سواگ نادرگاش زا یکی گنتسیل یم قالطا یژولوپو

یلانآ دش تیعقوم ز

هخاش ریز یاراد یژولوپوت .دوب هطلن یژولوپوت هخاشریز نیرت یمیدق و نیرت یداینب .تسا یرایسب یاه

-

یم یدنبمه و یگتسویپ ،یگدرشف هعلاطم هب هخاش ریز نیا .تسا هعومجم .دزادرپ

هعومجم دننام یا هیادرگ هارمه هب𝑋

هعومجمریز زا𝑇 یاه

ر𝑋 هاگره دنیوگ یکیژولوپوت یاضف ا

8 ) و𝑋 هب قلعتم∅

،دنشاب𝑇

5 ) هعومجم زا هیادرگ ره عامتجا وضع یاه

هب قلعتم𝑇

،دشاب 𝑇

9 ) وضع هعومجم ود ره کارتشا هب قلعتم𝑇

.دشاب 𝑇

یم لاثم ناونع هب یژولوپوت ،یلیلح دادعا هعومجم یور ناوت

یم ینوگانوگ یاه رگا ؛درک فیرعت ناوت

هعومجم ه

هزاب نامه ار زاب یا یژولوپوت هدمآ تسدب یژولوپوت هب تروصنیا رد میریگب ر ن رد زاب یاه

یم هتفگ یلیلح دادعا هعومجم یور درادناتسا .دوش

هعلاطم یارب یدربراک و مهم یاهرازبا زا یکی هکبشم ی

نیا .تسا یبیترت ییارگمه ،یرادرب یاه

هعومجم یارب طلف ییارگمه یترت رادنارک یاه

یمن اذل و تسا هدش فیرعت یب یارب ییارگمه نیا زا ناوت

تلاح هطلن ییارگمه ،لاثم یارب .درک هدافتسا ،دنتسین یبیترت رادنارک یاهروت هک ییاه رد اهروت راو

هکبشم -

دننام هعومجم کی یور باوت زا یرادرب یاه ،عکشم نیا عح یارب لاح .تسا تلاح نیا زا هنومن کی 𝐸

ه زا میمعت کی هکبشم کی یور دوجوم یاهروت مامت رب هک دراد دوجو یبیترت ییارگم

لامعا عباق یرادرب ی

هطلن ییارگمه عماش و هدوب یم زین راو

یب یبیترت ییارگمه ار ییارگمه نیا .دشاب یم نارک

فم .میمان موه

یب یبیترت یارگمه وناکان طسوت ادتبا نارک

لاس رد 8

8341 هلالم رد و ی

9184

( Nakano, )

.دش یفرعم

یکستیورت و هدش ماجنا هنیمز نیا رد یرایسب تاعلاطم نآ زا سپ لاس رد5

5554 هلالم رد ی ( Troitsky,

4008

) .درک یفرعم ار نارکیب ییارگمه مرن موهفم راب نیلوا یارب

Nakano1

Troitsky2

نایاپ نیا هلالم ساسا رب هک همان

ی ( Kandic et al,

4092

رد تسا هدش هتشون ) 2

ز رارق هب عصف ری

:تسا هدش می نت و هیهت همدلم لوا عصف رد هعلاطم هب مود عصف رد و تسا هدش هدروآ ثحابم زا یخیرات یا

بلاطم و میهافم

یسررب هب زین موس عصف رد .تسا هدش هتخادرپ یدعب لوصف زاین دروم و هیاپ -𝑢𝑜

،ییارگمه -𝑢𝑛

ییارگمه

𝑢𝑛 و - یژولوپوت چ عصف رد .تسا هدش هتخادرپ اه

هلالم هب طوبرم بلاطم زین مراه (

Kandic et al,

4092

)

.تسا هدش هتخادرپ یریگ هجیتن هب مجنپ عصف رد ًاتیاهن .تسا هدش هدروا

5 -

قیلحت هنیشیپ و ینابم

یتامدلم میهافم و فیراعت

4 قیلحت هنیشیپ و ینابم هعلاطم هب عصف نیا رد یم یدعب لوصف رد زاین دروم بلاطم و میهافم ی

میزادرپ .

فیرعت 5 - 8 - 8 : دینک ضرف هعومجم کی𝑋

تروصنیا رد .دشاب یهتریغ ی 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → [0, ∞)

کی ار

یور رتم یم𝑋

ره یازا هب هاگره دنمان 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋

،

8 ) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥0

،

5 𝑑(𝑥, 𝑦) =0 ) رگا اهنت و رگا

𝑥 = 𝑦

،

9 ) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) .

جوز تروصنیا رد (𝑋, 𝑑)

یم رتم یاضف کی ار ان

.دنم

لاثم 5 - 8 - 5 : بات هعومجم یور ار 𝑑 یهتریغ ی

یم فیرعت ریز تروصب𝑋 مینک

𝑑: 𝑋 × 𝑋 → [0, ∞) 𝑑(𝑥, 𝑦) = {8 𝑥 ≠ 𝑦

0 𝑥 = 𝑦 .

حوضوب یور رتم کی𝑑

.تسا𝑋

فیرعت 5 - 8 - 9 : یرادرب یاضف نادیم یور𝐸

مرن یطخ یاضف کی ار𝐹 گره دنیوگ راد

دننام یتشاگن ها

‖ . ‖: 𝐸 → ℝ رد

ره یازا هب هکیروطب دشاب دوجوم𝐸 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸

ره و 𝛼 ∈ 𝐹

8

‖𝑥‖ ≥0 )

،

5

‖𝑥‖ =0 ) رگا اهنت و رگا

𝑥 =0

،

9

‖𝛼𝑥‖ = |𝛼|‖𝑥‖ )

،

4

‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ ) .

یرادرب یاضف هارمه هب ار𝐸

‖ . ‖ مرن یاضف کی یم راد

.دنیوگ

لاثم 5 - 8 - 4 )فلا : هیادرگ م یلیلح باوت مامت ی یور هتسویپ رادل

[𝑎, 𝑏]

اب هک ار 𝐶[𝑎, 𝑏]

ناشن

یم .دیریگب ر ن رد ار دنهد 𝐶[𝑎, 𝑏]

مرن اب هارمه ‖𝑓‖ =𝑚𝑎𝑥_[𝑎,𝑏]|𝑓(𝑥)|

مرن یطخ یاضف کی یم راد

.دشاب

2 قیلحت هنیشیپ و ینابم )ب هعومجم کی 𝑋

فیرعت .دشاب یلاخریغ دینک

𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖.

مرن هک تسا حضاو رد 𝑑

ندوب رتم طیارش یم قدص

دنک ره یازا هب اریز ، 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋

فیرعت رد هک یصاوخ زا هدافتسا اب و 5

-

8 - 9 میراد دش نایب

8 - :میراد مرن صاوخ قبط حوضو هب

‖𝑥 − 𝑦‖≥0 هجیتن رد

𝑑(𝑥, 𝑦) ≥0 .

5 𝑑(𝑥, 𝑦) =0 - هجیتن رد

‖𝑥 − 𝑦‖ = 0 رگا اهنت و رگا

𝑥 − 𝑦 =0 𝑥 = 𝑦 ای

.

9 -

‖𝑥 − 𝑦‖ = ‖𝑦 − 𝑥‖ نوچ هجیتن رد سپ

𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) .

4 - طرش زا هدافتسا اب 4

فیرعت زا 5

- 8 - 9

،

𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ − ‖𝑦‖ + ‖𝑧‖ − ‖𝑧‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑧‖ + ‖𝑧 − 𝑥‖.

اذل 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑥) مرن یاضف ره سپ .

راد یم رتم یاضف کی دشاب

.

فیرعت 5 - 8 - 2 : مرن یاضف کی 𝐸 هلابند تروصنیا رد .دشاب راد

ی {𝑥_𝑛}_𝑛=8^∞ رد ار

هب ارگمه𝐸 دنیوگ𝑐

هاگره lim

𝑛→∞‖𝑥_𝑛− 𝑐‖ =0.

فیرعت 5 - 8 - 6 : مرن یاضف کی𝐸 هعومجمریز .دشاب راد

ی زا𝐴 هاگره دنیوگ رادنارک مرن رد ار𝑋 𝑀 >

ره یازا هب هک دشاب دوجوم نانچ یا0 𝑥 ∈ 𝐴

‖𝑥‖ ≤ 𝑀.،

فیرعت 5 - 8 - 1 : دینک ضرف هعومجم𝑋

هدوب یهتریغ یا و

هیادرگ𝜏 هعومجمریز زا یا یاه

ینعی ،دشاب𝑋

𝜏 ⊆ 𝑃(𝑥) تروصنیا رد .

رد یژولوپوت کی ار𝜏 یم𝑋

هاگره میمان ∅, 𝑋 ∈ 𝜏

،

8 ) یاضعا زا یهانتم کارتشا هب قلعتم𝜏

،دشاب𝜏

5 ) یاضعا زا هاوخلد عامتجا هب قلعتم𝜏

.دشاب𝜏

هعومجم 𝑋 ی

اب هارمه یم کیژولوپوت یاضف ار𝜏

.دنیوگ یاضعا هعومجم ار𝜏

یم زاب یاه .دنمان

لاثم 5 - 8 - 1 : دینک ضرف 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}

و هدوب 𝜏 = {∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, 𝑋}

حوضوب تروصنیارد .

رد یژولوپوت کی𝜏 اریز تسا𝑋

𝑋, ∅ ∈ 𝜏 .

8 ) یاضعا زا هاوخلد عامتجا هب قلعتم𝜏

ًالثم تسا 𝜏

6 قیلحت هنیشیپ و ینابم {𝑎} ∪ {𝑎, 𝑏} ∪ {𝑎, 𝑐} = {𝑎, 𝑏, 𝑐} = 𝑋 ∈ 𝜏,

{𝑎} ∪ {𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑏} ∈ 𝜏.

تلاح هیلب یم هداد ناشن هباشم قیرطب مه اه

.دنوش

5 ) یاضعا زا یهانتم کارتشا هب قلعتم زین𝜏

ًالثم تسا 𝜏

{𝑎} ∩ {𝑎, 𝑏} = {𝑎} ∈ 𝜏, {𝑎, 𝑏} ∩ {𝑎, 𝑐} = {𝑎} ∈ 𝜏.

تلاح هیلب یم هداد ناشن هباشم قیرطب مه اه

هجیتن رد .دنوش (𝑋, 𝜏)

.تسا کیژولوپوت یاضف کی

فیرعت 5 - 8 - 3 : دینک ضرف (𝑋, 𝜏)

و هدوب کیژولوپوت یاضف کی 𝐸 ⊆ 𝑋

تروصنیا رد . رد ار𝐸

هتسب𝑋

هک یتروص رد میئوگ رد𝑋\𝐸

رگید ترابعب ،دشاب زاب 𝑋 𝑋\𝐸 ∈ 𝜏

.

فیرعت 5 - 8 - 85 : دینک ضرف هعومجم 𝑋

رد یژولوپوت هیاپ کی زا رو نم .دشاب یهتریغ یا هیادرگ𝑋

یا

مجمریز زا تسا هعو

یاه هکیروطب )هیاپ یاضعا هب موسوم(𝑋

8 ) ره یازا هب 𝑥 ∈ 𝑋

دننام هیاپ وضع کی مک تسد ، عماش𝐵

.دشاب دوجوم𝑥

5 ) 𝑥 رگا دننام هیاپ وضع ود طلم هب قلعتم 𝐵₈

𝐵₅ و دننام هیاپ زا یوضع هاگنآ دشاب 𝐵₉

دشاب دوجوم

هکیروطب 𝑥 ∈ 𝐵₉

و 𝐵₉ ⊂ 𝐵₈∩ 𝐵₅ .

یرعت ف 5 - 8 - 88 : دینک ضرف (𝑋, 𝜏)

رگا .دشاب کیژولوپوت یاضف کی هعومجمریز 𝑌

زا یا ،دشاب 𝑋

هیادرگ ی 𝜏_𝑌 = {𝑌 ∩ 𝑈| 𝑈 ∈ 𝜏}

رد یژولوپوت کی .تسا فورعم ییاضفریز یژولوپوت هب هک تسا 𝑌

،لاثم ناونع هب هعومجم ریز

𝑌 = [0,8] ℝ زا

ییاضفریز یژولوپوت اب ار .دیشاب هتشاد ر ن رد

یاپ کی ه

هعومجم همه زا تسا ترابع یژولوپوت نیا ییاه

تروص هب (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑌

نآ رد هک (𝑎, 𝑏)

رد یزاب هزاب ℝ

.تسا فیرعت 5 - 8 - 85 : دینک ضرف (𝑋, 𝜏)

و هدوب کیژولوپوت یاضف کی 𝐴 ⊆ 𝑋

یم رارق . میهد

𝒢 = {𝐺| 𝐺 ∈ 𝜏, 𝐺 ⊆ 𝐴},

1 قیلحت هنیشیپ و ینابم

ℱ = {𝐹| 𝑋\𝐹 ∈ 𝜏, 𝐴 ⊆ 𝐹}.

هعومجم تروصنیا رد یاه

⋃_𝐺∈𝒢𝐺 و

⋂_𝐹∈ℱ𝐹 راتسب و نورد بیترت هب ار

یم 𝐴 نورد .میمان اب ار 𝐴

𝐼𝑛𝑡(𝐴) راتسب و

اب ار𝐴 یم ناشن𝐴̅

جراخ نینچمه .میهد اب ار𝐴

𝐸𝑥𝑡(𝐴) یم فیرعت و هداد ناشن

مینک

𝐸𝑥𝑡(𝐴) = 𝐼𝑛𝑡(𝑋\𝐴).

فیرعت 5 - 8 - 89 : دینک ضرف (𝑋, 𝜏₈)

و (𝑌, 𝜏₅) ف ود

بات تروصنیا رد .دنشاب کیژولوپوت یاض 𝑓: 𝑋 →

رد ار𝑌 𝑥 ∈ 𝑋 هعومجم ره یازا هب هاگره دنیوگ هتسویپ عماش زاب ی

دننام𝑓(𝑥) هعومجم ،𝑉 دننام یزاب ی

عماش𝑈 هکیروطب دشاب هتشاد دوجو𝑥

𝑓(𝑈) ⊆ 𝑉 .

،لاثم ناونع هب ℝ :

شاب نآ رد یلومعم یژولوپوت اب یلیلح دادعا هعومجم لاح .د

𝑓: ℝ → ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑥

تروص نیا رد .دشاب ینامه بات زاب هعومجم سکع ریوصت اریز ،تسا هتسویپ 𝑓

(𝑎, 𝑏) هعومجم نیا دوخ ،

رد هک تسا .تسا زابℝ

فیرعت 5 - 8 - 84 : کیژولوپوت یاضف هطلن ود ره یازا هب هاگره دنیوگ فوردساه ار 𝑋

زیامتم ی 𝑥₈

𝑥₅ و

زا یگیاسمه ،𝑋 یاه

دننام ی 𝑈₈

و 𝑈₅ زا بیترت هب 𝑥₈

و 𝑥₅ هکیروطب دنوش تفای 𝑈₈∩ 𝑈₅ = ∅

.

،لاثم ناونع هب یسدیلقا یاضف

ℝ^𝑛 یارب اریز ،تسا فوردسواه یاضف کی 𝑥, 𝑦 ∈ℝ^𝑛

یوگ یاه یزاب

عاعش هب 𝜀 =^{‖𝑥−𝑦‖}

فیرعت طیارش هک تفای ناوت یم ار 5

5 - 8 - 84 یم قلحم ار دنک

.

ت فیرع 5 - 8 - 82 : دینک ضرف هعومجم𝑋

و هدوب یهتان یا هیادرگ𝒜

هعومجمریز یا یاه

.دشاب𝑋 ار𝒜

هاگره دنیوگ ربج کی 8 ) 𝑋, ∅ ∈ 𝒜

،

5 ) ره یازا هب 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒜

𝐴 ∩ 𝐵 ∈ 𝒜 ،

،

9 ) ره یازا هب 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒜

، 𝐴 ∪ 𝐵 ∈ 𝒜

،

1 قیلحت هنیشیپ و ینابم 4 ) ره یازا هب 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒜

، 𝐴\𝐵 ∈ 𝒜 .

فیرعت 5 - 8 - 86 : ربج کی ار 𝒜

-𝜎 گره میئوگ ربج هلابند ره یازا هب ها

ی {𝐴_𝑛}_𝑛=^∞₈ یاضعا زا

𝒜

میشاب هتشاد

⋃^∞_𝑛=8𝐴_𝑛 ∈ 𝒜 .

یم هجوت جوز هک مینک

(𝑋, 𝒜) نآ رد هک

کی𝒜 -𝜎 زا ربج هزادنا یاضف کی ار تسا 𝑋

یم ریذپ .میمان

لاثم 5 - 8 - 81 : هیادرگ هزاب زا یهانتم عامتجا ی مرف هب ییاه

[𝑎, 𝑏]

[𝑎, 𝑏) ، (𝑎, 𝑏] ، (𝑎, 𝑏) و

هزاب رد ی

[0,8] هک تسا ربج کی -𝜎

.تسین ربج

فیرعت 5 - 8 - 81 : دینک ضرف هداوناخ 𝒜

هعومجمریز زا یا یاه

نیرتکچوک .دشاب 𝑋 -𝜎

زا ربج

هعومجمریز یاه

عماش𝑋 کی ار𝒜

-𝜎 طسوت هدش دیلوت ربج اب و دنیوگ𝒜

یم ناشن𝜎(𝒜) .دنهد

فیرعت 5 - 8 - 83 : 8 بات ) هعومجم رادلم یلیلح یا

هداوناخ یور هدش فیرعت𝜇 هعومجم زا یا

𝒜 یاه

ره یارب هاگره میئوگ ) یعمج یهانتم ای ( یعمج ار هعومجم و 𝑛

یازجم یاه 𝐴₈, … , 𝐴_𝑛 ∈ 𝒜

طورش اب

⋃^𝑛_𝑖=8𝐴_𝑖 ∈ 𝒜 میشاب هتشاد

𝜇 (⋃ 𝐴_𝑖

𝑛

𝑖=8

) = ∑ 𝜇(𝐴_𝑖)

𝑛

𝑖=8

.

یم هجوت هک مینک

𝜇(∅) = 0 .

5 هعومجم بات ) رادلم یلیلح یا

هداوناخ یور𝜇 هعومجم زا یا

یاه هاگره میئوگ ارامش یعمج ار 𝒜

هعومجم ره یازا هب یازجم ود هبود یاه

𝐴₈, … , 𝐴_𝑛, … ∈ 𝒜 طرش اب

⋃^∞_𝑖=8𝐴_𝑛 ∈ 𝒜 میشاب هتشاد

𝜇 (⋃ 𝐴_𝑛

∞

𝑛=8

) = ∑ 𝜇(𝐴_𝑛)

∞

𝑛=8

.

بانب لاح هعومجم بات الاب فیراعت ه

یم هزادنا کی ار ربج کی یور هدش فیرعت ارامش یعمج یا یوگ

.دن

ییات هس (𝑋, 𝒜, 𝜇)

یم هزادنا یاضف کی ار هاگره میمان

یور یفنمان هزادنا کی𝜇 -𝜎

ربج هعومجمریز زا𝒜

-

یاه هزادنا نینچمه .دشاب𝑋 𝜇: 𝒜 → [0, ∞] ی

هزادنا کی ار یم تبثم ی

.میمان

3 قیلحت هنیشیپ و ینابم م لاث 5 - 8 - 55 : دینک ضرف کی𝒜

-𝜎 هعومجمریز مامت زا ربج یاه

هعومجم ره یارب .دشابℕ ی

𝐴 =

{𝑛_𝑘} یم فیرعت مینک

𝜇(𝐴) = ∑𝑘5^−𝑛𝑘. تروصنیا رد

یور هزادنا کی 𝜇 .تسا𝒜

فیرعت 5 - 8 - 58 : هعومجم بات ره یارب یفنمان یا

یور هدش فیرعت 𝜇 -𝜎

ربج عومجمریز زا𝒜

ه یاه

یم فیرعت𝑋 مینک

𝜇^∗(𝐴_𝑛) = inf {∑ 𝜇(𝐴_𝑛)| 𝐴_𝑛 ∈ 𝒜, 𝐴 ⊂ ⋃ 𝐴_𝑛

∞

𝑛=8

∞

𝑛=8

} .

𝜇^∗ هزادنا کی ار یور یجراخ ی

یم 𝒜 هعومجم .میمان ی

ار 𝐴 -𝜇 هزادنا ره یارب هاگره میئوگ ریذپ

𝜀 >0 𝐴_𝜀 ∈ 𝒜 ،

هکیروطب دشاب دوجوم 𝜇^∗(𝐴 ∆ 𝐴_𝜀) < 𝜀.

فیرعت 5 - 8 - 55 : دینک ضرف (𝑋, 𝒜, 𝜇)

.دشاب هزادنا یاضف کی هزادنا کی ار𝜇

هاگره میئوگ یهانتم ی

𝜇(𝑋) < ∞ نینچمه .

هزادنا کی ار 𝜇 -𝜎

هاگره میئوگ یهانتم 𝑋 = ⋃^∞_𝑛=8𝑋_𝑛

هکیروطب 𝑥_𝑛 ∈ 𝒜

و

𝜇(𝑥_𝑛) < ∞ .

فیرعت 5 - 8 - 59 : دینک ضرف (𝑋, 𝒜)

هزادنا یاضف کی یذپ

بات .دشاب ر 𝑓: 𝑋 → ℝ

هزادنا بات کی ار ریذپ

ره یازا هب هاگره میئوگ 𝑐 ∈ ℝ

{𝑥: 𝑓(𝑥) < 𝑐} ∈ 𝒜. ،

لاثم 5 - 8 - 54 : هزادنا یاضف یازا هب ی

(𝑋, 𝒜) بات

𝐼_𝐴(𝑥) = {1; 𝑥 ∈ 𝐴

0; 𝑥 ∉ 𝐴, 𝐴 ∈ 𝒜,

بات کی هزادنا𝒜

.تسا ریذپ

فیرعت 5 - 8 - 52 : دینک ضرف (𝑋, 𝜇, 𝒜)

،هزادنا یاضف کی هزادنا کی 𝜇

و یهانتم ی {𝑓_𝑛}

هلابند زا ی

باوت -𝜇 هزادنا هلابند تروصنیا رد .دنشاب ریذپ ی

{𝑓_𝑛} بات هب هزادنا رد ارگمه ار -𝜇

هزادنا ریذپ دنیوگ 𝑓

ره یارب هاگره 𝑐 ≥0

lim ،

𝑛→∞𝜇(𝑥 ∶ |𝑓(𝑥) − 𝑓_𝑛(𝑥)| ≥ 𝑐) = 0.

فیرعت 5 - 8 - 56 : دینک ضرف مرن یطخ یاضف کی 𝑋

.دشاب راد اهنت و رگا میئوگ خاناب یاضف کی ار𝑋

هلابند ره یازا هب رگا دننام یشوک ی

{𝑥_𝑛} 𝑋 زا دننام یوضع هب قلعتم𝑐

هکیروطب دشاب دوجوم𝑋

85 قیلحت هنیشیپ و ینابم

𝑛→∞lim‖𝑥_𝑛− 𝑐‖ =0.

لاثم 5 - 8 - 51 : دینک ضرف ℓ⁸

هعومجم ی هلابند مامت یلیلح یاه

𝑥 = (𝑥₈, 𝑥₅, … ) هکیروطب دشاب

∑^∞_𝑛=8|𝑥_𝑛|< ∞ یربج لامعا تحت .

𝑥 + 𝑦 = (𝑥₈+ 𝑦₈, 𝑥₅+ 𝑦₅, … ); 𝑥, 𝑦 ∈ ℓ⁸, 𝛼𝑥 = (𝛼𝑥₈, 𝛼𝑥₅, … ); 𝑥 ∈ ℓ⁸, 𝛼 ∈ ℝ,

حوضوب ℓ⁸ یم یرادرب یاضف کی ره یازا هب لاح .دشاب

𝑥 ∈ ℓ⁸ یور ار ریز مرن

ℓ⁸ یم فیرعت مینک

‖𝑥‖₈= ∑|𝑥_𝑛|

∞

𝑛=8

.

{𝑥_𝑛} هلابند کی رد یشوک

ℓ¹ ره یازا هب اذل .دشاب 𝜀 >0

، ره یازا هب هک یروط هب دراد دوجو یا 𝑘

𝑚, 𝑛 > 𝑘 هطبار

‖𝑥_𝑛− 𝑥_𝑚‖₈< 𝜀 یم رارقرب

.دشاب نیاربانب 𝑀 >0

روط هب دراد دوجو یا یازا هب هک ی

ره ،𝑛

‖𝑥_𝑛‖₈≤ 𝑀 ره یازا هب .

،𝑛 𝑥 = (𝑥₈^𝑛, 𝑥₅^𝑛, … ) هطبار تروص نیا رد .

|𝑥_𝑖^𝑛− 𝑥_𝑖^𝑚| ≤ ∑|𝑥_𝑖^𝑛− 𝑥_𝑖^𝑚|

∞

𝑖=8

= ‖𝑥_𝑛− 𝑥_𝑚‖₈< 𝜀, ∀𝑚, 𝑛 > 𝑘

یم باجیا تباث ره یازا هب هک دنک

هلابند ،𝑖 یلیلح یاهوضع زا یا {𝑥_𝑖^𝑛}

هلابند کی .دشاب یشوک

لاح

ره یازا هب میشاب هتشاد 𝑖

𝑥_𝑖 = lim

𝑛 𝑥_𝑖^𝑛.

ره یازا هب نوچ 𝑛 > 𝑘

ره و میراد𝑝

∑|𝑥_𝑖|

𝑝

𝑖=8

≤ ∑|𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖^𝑛|

𝑝

𝑖=8

+ ∑|𝑥_𝑖^𝑛|

𝑝

𝑖=8

≤ ∑|𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖^𝑛|

𝑝

𝑖=8

+ ‖𝑥_𝑖^𝑛‖₈ ≤ 𝑀 + 𝜀 < ∞

نیاربانب 𝑥 = (𝑥₈, 𝑥₅, … ) ∈ℓ¹

ره یازا هب نوچ و 𝑚, 𝑛 > 𝑘

میراد

∑|𝑥_𝑖^𝑚− 𝑥_𝑖^𝑛|

𝑝

𝑖=8

≤ ‖𝑥_𝑛− 𝑥_𝑚‖₈ <ε

نیاربانب ره یازا هب

ره یازا هب و 𝑝 𝑛 > 𝑘

،

88 قیلحت هنیشیپ و ینابم

∑|𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖^𝑛|

𝑝

𝑖=8

≤ lim

𝑛 (∑|𝑥_𝑖^𝑚− 𝑥_𝑖^𝑛|

𝑝

𝑖=8

) ≤ 𝜀,

ره یازا هب اذل و 𝑛 > 𝑘

‖𝑥 − 𝑥_𝑚‖₈≤ 𝜀 ، سپ ،

{𝑥_𝑛} هب ارگمه رد𝑥

ℓ¹ یم اذل .دشاب ℓ¹

یاضف کی

یم خاناب .دشاب

فیرعت 5 - 8 - 51 : یلیلح یرادرب یاضف بیترت اب ار 𝐸

رد هاگره میئوگ یبیترت یرادرب یاضف کی ≤

دنک قدص ریز صاوخ 8 ) ره یارب 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐸

رگا ، 𝑥 ≤ 𝑦 هاگنآ 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑦 + 𝑧

،

5 ) ره یارب 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸

ره و 0≤ 𝛼 ∈ ℝ رگا ،

𝑥 ≤ 𝑦 هاگنآ 𝛼𝑥 ≤ 𝛼𝑦 .

رادرب یبیترت یاضف زا 𝑥

هاگره میئوگ تبثم ار 𝐸 𝑥 ≥0

هعومجم . تبثم رصانع مامت ی

اب ار𝐸 𝐸⁺

یم ناشن و میهد

𝐸⁺ = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑥 ≥0}.

فیرعت 5 - 8 - 53 : دینک ضرف یترت یرادرب یاضف کی 𝐸

ره یازا هب رگا .دشاب یب 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸𝑥 ∨ 𝑦 ≔

sup{𝑥, 𝑦}

و 𝑥 ∧ 𝑦 ≔ inf{𝑥, 𝑦}

رد هاگنآ ،دنشاب دوجوم 𝐸 هکبشم ای سیر یاضف کی ار 𝐸

یرادرب ی

یم .دنمان لاثم 5 - 8 - 95 : یرادرب یاضف

ℓ⁸ = {𝑓: ℕ → ℝ: ∑|𝑓(𝑛)|

∞

𝑛=8

< ∞},

ره یازا هب .دیریگب ر ن رد ار 𝑓, 𝑔 ∈ ℓ⁸

هطبار ی یور ار یبیترت ℓ⁸

یم فیرعت ریز تروصب مینک

𝑓 ≤ 𝑔 ⟺ 𝑓(𝑛) ≤ 𝑔(𝑛); ∀𝑛 ∈ ℕ.

تروصنیا رد ℓ⁸

ره یازا هب .تسا یبیترت یرادرب یاضف کی 𝑓, 𝑔 ∈ ℓ⁸

یم فیرعت مینک

(𝑓 ∨ 𝑔)(𝑛) = max{𝑓(𝑛), 𝑔(𝑛)}, (𝑓 ∧ 𝑔)(𝑛) = min{𝑓(𝑛), 𝑔(𝑛)}.

85 قیلحت هنیشیپ و ینابم هجیتن رد ℓ⁸

اب فیراعت اب هکبشم کی ال

.تسا یرادرب ی

فیرعت 5 - 8 - 98 : ره یازا هب هکبشم زا𝑥

یرادرب ی یم فیرعت𝐸

مینک

𝑥⁺= 𝑥 ∨0, 𝑥⁻= (−𝑥) ∨0, |𝑥| = 𝑥 ∨ (−𝑥).

فیرعت 5 - 8 - 95 : یاضفریز هکبشم زا 𝐹

یرادرب ی ود ره یازا هب هاگره میئوگ هکبشمریز کی ار 𝐸

هاوخلد وضع 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹

sup{𝑎, 𝑏} ، inf{𝑎, 𝑏} و

𝐸 رد هب قلعتم .دنشاب𝐹

لاثم 5 - 8 - 99 : یرادرب یاضف 𝑐₀= {𝑓: ℕ → ℝ: lim

𝑛→∞|𝑓(𝑛)| =0}

هکبشمریز زا یا

ℓ^∞ .تسا

فیرعت 5 - 8 - 94 : هعومجمریز ی

هکبشم زا 𝐵 یادرب ی

ره یارب هاگره میئوگ دماج ار 𝐸 𝑦 ∈ 𝐵

زا ،

هطبار

|𝑥| ≤ |𝑦| ی 𝑥 ∈ 𝐵 ،

.میریگب هجیتن ار

فیرعت 5 - 8 - 92 : هکبشم زا دماج یاضفریز ره یرادرب ی

هدیا کی ار𝐸 یم لآ

.میئوگ

لاثم 85 - 8 - 96 : دینک ضرف هکبشم کی𝐸

و هدوب یرادرب ی 𝑥 ∈ 𝐸

هدیا . طسوت هدش دیلوت لآ اب ار𝑥

𝐼_𝑥 یم ناشن یم فیرعت ریز تروصب و میهد

مینک 𝐼_𝑥 = {𝑦 ∈ 𝐸: ∃𝜆 >0; |𝑦| ≤ 𝜆|𝑥|}.

یم هجوت هک مینک

𝐼_𝑥 بیترت اب هکبشم کی𝐸

.تسا یرادرب ی

فیرعت 5 - 8 - 91 : دینک ضرف هکبشم کی𝐸

هلابند .دشاب یرادرب ی {𝑥_𝑛} ⊆ 𝐸 ی

هاگره میئوگ ازجم ار

ره یارب 𝑛 ≠ 𝑚

میشاب هتشاد

|𝑥_𝑛| ∧ |𝑥_𝑚| =0 یازجم وضع ود .

و 𝑥 هکبشم زا 𝑦 یرادرب ی

اب ار 𝐸

𝑥 ⊥ 𝑦 یم ناشن .میهد

یازجم ممتم هکبشم رد𝐴

یرادرب ی اب ار𝐸

𝐴^𝑑 یم ناشن یم فیرعت ریز تروصب و میهد

مینک

𝐴^𝑑 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑥 ⊥ 𝑦; ∀𝑦 ∈ 𝐴}.

فیرعت 5 - 8 - 91 : دینک ضرف هکبشم کی 𝐸

و هدوب یرادرب ی هدیا کی𝐴

هدیا .دشاب نآ زا لآ لآ

ار𝐴

د راون کی 𝐸 ر

هعومجمریز ره یارب هاگره میئوگ 𝐷 ⊂ 𝐴 ی

رد ممیرپوس یاراد هک میشاب هتشاد تسا 𝐸

sup(𝐷) ∈ 𝐴.

89 قیلحت هنیشیپ و ینابم یم هجوت راون هک مینک

زا𝐵 یریوصت یطخ تشاگن هاگره دنیوگ یریوصت راون ار𝐸 𝑃: 𝐸 → 𝐵

دوجوم

ره یازا هب هکیروطب دشاب 𝑥 ∈ 𝐸⁺

0≤ 𝑃𝑥≤ 𝑥 ، .

فیرعت 5 - 8 - 93 : دینک ضرف و 𝑥

هکبشم زا یرصانع 𝑦 یرادرب ی

هکیروطب دنشاب 𝐸 𝑥 ≤ 𝑦

هزاب . ی

یبیترت [𝑥, 𝑦]

هعومجمریز زا یا

یم فیرعت ریز تروصب هک تسا𝐸 [𝑥, 𝑦] = {𝑧 ∈ 𝐸: 𝑥 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦}.دوش

هعومجمریز 𝐴 ی

هکبشم زا یرادرب ی

هزاب کی رد هاگره میئوگ یبیترت رادنارک ار𝐸 دریگ رارق یبیترت ی

.

فیرعت 5 - 8 - 45 : هکبشم یرادرب ی ره یارب هاگره میئوگ یسدیمشرا ار 𝐸

𝑥 ∈ 𝐸⁺ ره و

𝑛 ∈ ℕ ،

میشاب هتشاد

8 𝑛𝑥 ↓0 .

فیرعت 5 - 8 - 48 : یطخ رگلمع 𝑇: 𝐸 → 𝐹

هکبشم ود نیب ار یم یبیترت رادنارک یرادرب ی

هاگره میمان

هعومجمریز یبیترت رادنارک یاه

هعومجمریز هب ار𝐸 ترت رادنارک یاه

یبی .دربب𝐹

هیادرگ کعبات مامت ی هکبشم یور یبیترت رادنارک یطخ یاه

یرادرب ی اب ار𝐸

𝐸^~ یم ناشن نآ و میهد

یبیترت ناگود ار یم𝐸

یبیترت ناگود .میمان 𝐸^~

اب ار 𝐸^~~

یم ناشن .میهد

فیرعت 5 - 8 - 45 : هکبشم یرادرب ی ره میئوگ )دنیکدد عماک ( یبیترت عماک ار 𝐸

هعومجمریز ره هاگ ی

هباشم روطب .دشاب ممیرپوس یاراد رادنارک الاب زا یلاخریغ عماک ار 𝐸

-𝜎 ره هاگره میئوگ دنیکدد

هعومجمریز .دشاب ممیرپوس یاراد رادنارک الاب زا یارامش و یلاخریغ ی

فیرعت 5 - 8 - 49 : ییاتود میئوگ (𝑋, ≤)

هداوناخ کی تهج ی

هاگره تسا راد هطبار کی≤

یور دشاب𝑋

هکیروطب 8 ) ره یارب 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

میشاب هتشاد 𝑥 ≤ 𝑦, 𝑦 ≤ 𝑧 ⇒ 𝑥 ≤ 𝑧.

5 ) ره یازا هب 𝑥 ∈ 𝑋

، 𝑥 ≤ 𝑥 .

9 ) ره یارب 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

، 𝑧 ∈ 𝑋 هکیروطب دشاب دوجوم یا 𝑥 ≤ 𝑧, 𝑦 ≤ 𝑧.

فیرعت 5 - 8 - 44 : یکیژولوپوت یاضف رد روت کی زا رو نم دننام یتشاگن 𝑋

هعومجم زا 𝜑 تهج ی

راد

غ یلاخ ری هب𝐼

هلیسو هب ًالومعم روت کی .تسا𝑋 ی

(𝑥_𝛼)_𝛼∈𝐼 یم هداد شیامن

نآ رد هک دوش 𝑥_𝛼 = 𝜑(𝛼)

.

84 قیلحت هنیشیپ و ینابم یم هجوت دامن هک مینک

𝑥_𝛼 ↓ 𝑥 هدنهد ناشن

روت هک تسا نیا ی (𝑥_𝛼)_𝛼

و هدوب یلوزن inf{𝑥_𝛼}_𝛼 = 𝑥

دامن نینچمه و 𝑥_𝛼 ↑ 𝑥

هدنهد ناشن هک تسا نیا ی

(𝑥_𝛼)_𝛼 و هدوب یدوعص sup{𝑥_𝛼}_𝛼 = 𝑥

.

فیرعت 5 - 8 - 42 : دینک ضرف هکبشم کی𝐸

و هدوب یرادرب ی 𝑒 ∈ 𝐸⁺

تروصنیا رد .

8 ) ره یازا هب هاگره میئوگ یوق دحاو ار𝑒 𝑥 ≥0

، 𝑛 ∈ ℕ هکیروطب دشاب هتشاد دوجو یا 𝑥 ≤ 𝑛𝑒

.

5 𝑒 ) ارب هاگره میئوگ فیعض دحاو ار ره ی

𝑥 ∈ 𝐸⁺ میشاب هتشاد

𝑥 ∧𝑛𝑒↑ 𝑥.

9 𝑒 ) هطلن ار زا ینورد هبش ی یم 𝐸

ره یازا هب هاگره میمان 𝑥 ≥0

𝑥 ∧ 𝑛𝑒 ، هب یمرن یارگمه

𝑥

ره یازا هب رگید ترابعب دشاب 𝑥 ∈ 𝐸⁺

𝑥 ∧ 𝑛𝑒^{‖ .‖}→ 𝑥.،

فیرعت 5 - 8 - 46 : هکبشم ریز یرادرب ی

هکبشم زا𝐹 یرادرب ی

ار𝐸

8 ) گ یبیترت لاگچ ره یارب هاگره دنیو

0≠ 𝑥 ∈ 𝐸⁺ ،

𝑦 ∈ 𝐹 هکیروطب دشاب هتشاد دوجو یا 0<

𝑦 ≤ 𝑥 .

5 ) ره یارب هاگره دنیوگ یلصا 𝑥 ∈ 𝐸⁺

، 𝑦 ∈ 𝐹 هکیروطب دشاب هتشاد دوجو یا 𝑥 ≤ 𝑦

.

فیرعت 5 - 8 - 41 : دینک ضرف هعومجمریز تروصنیا رد .دشاب یرادرب یاضف کی 𝐸

یلاخریغ ی زا𝐴

𝐸

هاگره میئوگ بذاج ار ره یارب

𝑥 ∈ 𝑋 ، 𝜆 >0 هکیروطب دشاب دوجوم یا 𝑥 ∈ 𝜆𝐴

.

فیرعت 5 - 8 - 41 :

‖ . ‖ مرن هکبشم یور یرادرب ی

هکبشم مرن ار𝐸 ره یارب هاگره میئوگ یا

𝑥, 𝑦 ∈

رگا ،𝐸

|𝑥| ≤ |𝑦|

هاگنآ

‖𝑥‖ ≤ ‖𝑦‖

هکبشم هاگره . مرن یرادرب ی

𝐸 راد هاگنآ ،دشاب مات هکبشم ار𝐸

خاناب ی

یم .دنمان لاثم 5 - 8 - 43 : هکبشم هدش هداد مرن و ریز بیترت تحت ریز یاهاضف مامت :دنتسه خاناب یاه

𝑓, 𝑔: Ω → ℝ,

𝑓 ≤ 𝑔 ⟺ ∀𝜔 ∈ Ω, 𝑓(ω) ≤ g(ω), (𝑓 ∨ 𝑔)(ω) = 𝑓(ω) ∨ 𝑔(ω),

(𝑓 ∧ 𝑔)(𝜔) = 𝑓(𝜔) ∧ 𝑔(𝜔).

82 قیلحت هنیشیپ و ینابم 8 ) ℓ^∞ هلابند یاضف : مرن اب رادنارک یلیلح یاه

𝑥 = (𝑥_𝑛)_𝑛∈ℕ ∈ ℓ^∞, ‖𝑥‖_∞= sup|𝑥_𝑛|

5 ) هلابند یاضف :𝑐 مرن اب ارگمه یلیلح یاه

‖ . ‖_∞ .

9 ) 𝑐₅ هلابند یاضف : مرن اب رفص هب ارگمه یلیلح یاه

‖ . ‖_∞ .

فیرعت 5 - 8 - 25 : یطخ رگلمع 𝑇: 𝐸 → 𝐹

هکبشم ود نیب هکبشم مسیفرومومه ار یرادرب ی

دنیوگ یا

ره یازا هب هاگره 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸

اد میشاب هتش 𝑇(𝑥 ∨ 𝑦) = 𝑇(𝑥) ∨ 𝑇(𝑦).

یم هجوت رگا هک مینک

دشاب اشوپ و کی هب کی𝑇 هکبشم مسیفروموزیا کی ار𝑇

یم یا نینچمه .میمان

رگلمع یقاحلا رگلمع یم فیرعت ریز تروصب ار𝑇

مینک 𝑇^∗: 𝑌^∗→ 𝑋^∗. [𝑇^∗𝑓](𝑥) = 𝑓(𝑇(𝑥)),

اجنیا رد هک 𝑓 ∈ 𝑌^∗

و 𝑥 ∈ 𝑋 .

ت فیرع 5 - 8 - 28 : رگلمع 𝑇: 𝑋 → 𝑌 تبثم تباث ددع ود هاگره میئوگ هدنناشن ار خاناب یاضف ود نیب

𝐾

𝑀 و ره یازا هب هکیروطب دنشاب دوجو 𝑥 ∈ 𝑋

میشاب هتشاد 𝐾‖𝑥‖ ≤ ‖𝑇(𝑥)‖ ≤ 𝑀‖𝑥‖.

،تلاح نیا رد زا هتسب یرادرب یاضفریز کی𝑇(𝑥)

یم هک تسا𝑌 طسوت دناوت

یاضف .دوش صخشم𝑋

اب 𝑇(𝑋) خان زا یپک کی ار رد𝑋

یم زین𝑌 خاناب یاضف .دنمان یاضف رد ندناشن عباق ار𝑋

روطب ای ( دنیوگ𝑌

دنیوگ هداس یوتب 𝑋

یم𝑌 زا هدنناشن کی هاگره ) دنیشن هب 𝑋

.دشاب دوجوم𝑌

هدنناشن هاگره لاح 𝑇: 𝐸 → 𝐹

هکبشم ود نیب هکبشم مسیفرومومه کی خاناب ی

دشاب زین یا هاگنآ

ارنآ

هدنناشن کی هکبشم ی

یم یا هکبشم .دنمان خاناب ی

هکبشم ندناشن عباق ار𝐸 هکبشم یوتب یا

یرگید خاناب ی

دننام هدنناشن کی هاگره دنیوگ𝐹

هکبشم ی نیب یا

و𝐸 .دشاب دوجوم𝐹

86 قیلحت هنیشیپ و ینابم فیرعت 5 - 8 - 25 :

‖ . ‖ مرن هکبشم یور هدش فیرعت خاناب ی

ره دنیوگ یبیترت هتسویپ ار𝐸 ره یارب هاگ

(𝑥_𝛼)_𝛼 روت 𝑥_𝛼 ↓0 رگا

هاگنآ (𝑥_𝛼)_𝛼 مرن هب تبسن

‖ . ‖ هکبشم ره .دوش ارگمه رفص هب مرن اب خاناب ی

هتسویپ هکبشم ار یبیترت ی هتسویپ خاناب ی

یم یبیترت ی .دنمان

لاثم 5 - 8 - 29 : هکبشم خاناب ی (𝑐₀, ‖𝑓‖_∞ = sup_𝑛|𝑓(𝑛)|),

هک نآ رد 𝑐₀= {𝑓: ℕ →

ℝ: lim

𝑛→∞|𝑓(𝑛)| =0}

هتسویپ مرن یاراد .تسا یبیترت ی

فیرعت 5 - 8 - 24 : دینک ضرف هکبشم کی𝐸

رادرب .دشاب یرادرب ی 𝑒 >0

𝐸 زا هاگره میئوگ متا کی ار

𝑥 ∧ 𝑦 =0 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 𝑒] و

دهد هجیتن 𝑦 =0

ای 𝑥 =0 رادرب ًالداعم . 𝑒 >0

هاگره دنیوگ متا کی ار

هدیا طسوت هدش دیلوت لآ .دشاب یدعب کی ،𝑒

فیرعت 5 - 8 - 22 : هکبشم یرادرب ی هدش دیلوت هاگره دنیوگ یمتا ار 𝐸

متا زا یطخ ی لاگچ ،شیاه

رد یبیترت .دشاب𝐸

هیضق 5 - 8 - 26 خاناب هکبشم ره یازا هب : هرازگ𝐸

لداعم ریز یاه دنا

8 ) هتسویپ مرن یاراد𝐸

؛تسا یبیترت ی

5 ) رد رگا شاد𝐸

میشاب هت 0≤ 𝑥_𝑛 ↑≤ 𝑥

هاگنآ ، {𝑥_𝑛} هلابند کی

؛تسا یشوک مرن ی

9 ) رگا ،𝐸 -𝜎 رد و هدوب یبیترت عماک میشاب هتشاد 𝐸

𝑥_𝑛 ↓ 0 هاگنآ

‖𝑥_𝑛‖ ↓0

؛

4 ) هدیا کی𝐸 زا لآ

𝐸^′′

؛تسا

2 ) هزاب ره زا یبیترت ی .تسا فیعض هدرشف𝐸

:ناهرب هیضق هب تابثا یارب ی

4.3 جرم زا (

Aliprantis and Burkinshaw,

4002

) .دینک هعجارم

∎

مل 5 - 8 - 21 : هرازگ لداعم ریز یاه :دنا

8 ) یور مرن هتسویپ 𝐸

.تسا یبیترت ی

5 ) هلابند ره یازا هب یازجم ی

{𝑥_𝑛} ⊂𝑏𝑎𝑙𝑙(𝐸^′) رد

𝜎(𝐸^′, 𝐸) یتقو

یم عیم تیاهنیب هب 𝑛 دنک

میراد 𝑥_𝑛 →0 .