فصل دوم - University of Mohaghegh Ardabili Scientific Repository

(1)

هدکشناد ی

یضایر مولع

یشزومآ هورگ دربراکو تایضایر

اه

نایاپ همان یارب هجرد تفایرد دشرا یسانشراک ی

هتشر رد ی

زیلانآ شیارگ ضحم یضایر

:ناونع

هداس کینومراه عباوت زا بیرقت یگژیو کی یسررب

داتسا امنهار :

یلابقا نیرسن رتکد

داتسا رواشم :

قح مظاک رتکد داژن

رگشهوژپ :

یفسوی دیحو

رویرهش 1493

(2)

مان يگداوناخ :وجشناد

يفسوی :مان

دیحو

ناونع نایاپ :همان هداس کینومراه عباوت زا بیرقت يگژیو کی يسررب

)دیتاسا( داتسا :امنهار

یلابقا نیرسن رتکد

)دیتاسا( داتسا :رواشم

قح مظاک رتکد داژن

عطقم :يلیصحت دشرا یسانشراک

:هتشر

ضحم یضایر

:شیارگ زیلانآ

:هاگشناد ققحم یلیبدرا

:هدكشناد یضایر مولع

خیرات

:عافد 61 / 61 / 6931 دادعت :تاحفص 11

:هدیكچ نایاپ نیا رد همان

، زریاه یرادیاپ -

هبترم يطخ لیسنارفید تلاداعم ملاوا بیارض اب نگمهریغ مود ی

يم يسررب ار تباث نینچمه .مینک

هلداعم ناسون ی يم لح ار نگمهان کینومراه زاس

جیاتن نیا و مینک

يم راک هب ار هلئسم يصوصخ باوج کی ات میرب

زریاه یرادیاپ ی -

هلداعم یارب ار ملاوا ناسون ی

زاس

.میروآ تسدب کینومراه تیاهن رد هب اب ،رفص يگیاسمه رد کینومراه عباوت زا هدافتسا اب ار يلیلحت عباوت

شور یریگراک

یرس يم بیرقت يناوت یاه .مینز

دیلک ژاو ه :اه

یرادیاپ زریاه

- ملاوا

، ان

،نگمه هلداعم

،لیسنارفید ی هلداعم

ناسون ی ت ،کینومراه ،زاس

،يلیلحت عبا

یرس یاه يناوت

(3)

فلا بلاطم تسرهف

و هرامش ناونع

بلاطم

هحفص

تسرهف ...

...

فلا

همدقم ...

...

ب

1 هافم ی م و تامدقم لوا

ی ...ه ...

...

1

6 - 6 راعت ی ف لوا ی ...ه ...

...

2

6 - 2 اپ ی راد ی اه ی زر - ملاوا ...

...

8

6 - 9 ضق ی ه ی اه ی ...زر ...

...

8

6 - 1 ضق ی ه ی سار ی ...سا ...

...

66

2 اپ ی راد ی اه ی زر - ملاوا تلاداعم د

ی سنارف ی ل طخ ی هبترم ی مود غ ی نگمهر اب

ارض ی ب ...تباث 11

2 - 6 راعت ی ف و اضق یا ی لصا ...ي ...

...

63

4 هلداعم ی ناسون زاس نومراه ی ...ک ...

...

31

9 - 6 عبات نومراه ی ...ک ...

...

12

9 - 2 هلداعم ی ناسون زاس نومراه ی ک ...هداس

...

12..

9 - 9 هلداعم ی ناسون زاس نومراه ی ک هداس ی نگمهان ...

...

16

9 - 1 هلداعم ی ناسون زاس نومراه ی ک هداس ی رقت ی ب ...ي ...

11

عبانم ...

...

22

هژاو همان سراف ی هب لگنا ی س ...ی ...

...

23

(4)

همدقم

ب

همدقم

هلئسم و یداصتقا تاعلاطم رد عونتم یاهدربراک یاراد و هدش حرطم يضایر رد زابرید زا یرادیاپ ی

هیرظن و يطخریغ زیلانآ رد نینچمه .تسا يعامتجا بیرقت ی

مامت رد ابیرقت .تسا تیمها یاراد زین

هنیمز يم حرطم لاوس نیا يضایر زیلانآ یاه کی رد يبیرقت روط هب يضایر ئش کی هک ينامز ایآ :دوش

يم قدص نیعم تیصاخ يم قدص نآ رد اقیقد هک یزیچ هب ،دنک

دنک

، تروص رد ؟ریخ ای تسا کیدزن

يم یور يكیدزن نیا يبیرقت هچ اب ،يكیدزن

؟دهد

نرق زا لیسنارفید تلاداعم 61

- ،ما هک ينامز زا نوتوین طسوت یریگ لارگتنا و قتشم میهافم

و 6

بیلا

2ستین دش یدنب لومرف

، تفرگ رارق هعلاطم دروم .

هدیدپ زا یرایسب لیسنارفید تلاداعم زا هدافتسا اب باترپ ،شنارگ هلمج زا يعیبط یاه

،شاعترا ،جوم ،

هتسه کیزیف ار ... و یا

يم ت ناو .داد حیضوت

هلئسم کی يضایر لح یرادیاپ ایآ مینادب هكنیا يكی ؛تسا تیمها زئاح رظن هطقن ود زا يكیزیف ی

هیلوا طیارش رد رگا هلداعم لح ،دوش هداد )یوهس ای یدمع( یرصتخم رییغت يكیزیف متسیس نیا ی

ی

هلئسم راتفر نیاربانب و لیسنارفید ید ؟دوب دهاوخ قیرط هچ هب يكیزیف ی

هلداعم رگا هكنیا رگ لیسنارفید ی

هطقن رد

،دشاب رادیاپ يصوصخب ی هیلوا یاطخ تروص نیا رد

تابساحم ی هجیتن رد یدایز رییغت

يیاهن ی

.دروآ دهاوخن شیپ ی رظن رد ار هتسب متسیس ک ب

یریگ د ناوتب هک ار نآ

لداعم طسوت ه

ی هبترم لیسنارفید ی

وا ل

y (t)  y(t) ناشن

داد هدنیآ و لاح ،هتشذگ . طیارش و يلک لح هار هكنآ طرش هب ار متسیس نیا ی

يم ،مینادب ار لیسنارفید تلاداعم زا هیلوا يم نیاربانب ؛درک نییعت ناوت

لباق متسیس نیا هک تفگ ناوت

شیپ .تسا ينیب

يهاگ تاقوا ينوریب بیرخت لیلد هب يم داجیا يیاهاطخ ،

تسا نكمم هک دوش طسوت متسیس

1. Newton 2. Leibniz

(5)

همدقم

ج

y (t)  y(t) ن فیرعت لباق

دشاب يم اما ، یواسمان کی طسوت ناوت

تروص هب y (t)  y(t) < 

 0 هک ،تسا داد حیضوت .

شیپ نیاربانب هدنیآ زا قیقد ينیب

ی متسیس نیا لتخم

.تسا نكممان هدش

هدیدپ زا هدافتسا اب ار يعیبط یاه يم تلاداعم

یاهاطخ و تاهابتشا رطاخب اما ،مینک نایب میناوت

هزادنا نیح هداد تسا نكمم ،یریگ

شاب راظتنا زا رترود يمک هدمآ تسدب یاه ن

یاج هب ام رگا اما .د

هدیدپ نایب یارب هلداعمان زا تلاداعم يم اهاطخ نیا هاگنآ ،مینک هدافتسا يعیبط یاه

بذج دنناوت

نعی ؛دنوش تلاداعمان هب هجوت اب .دنوش زاس لكشم هک دوب دنهاوخن يتاهابتشا دح رد اهاطخ نآ رگید ي

یرادیاپ ،بلطم نیا زریاه6

- 2

ملاوا .تسا یداینب ثحبم کی لیسنارفید تلاداعم9

لاس رد 6316

هلئسم راب نیتسخن یارب ملاوا ، :درک حرطم ریز تروص هب ار يعبات تلاداعم یرادیاپ ی

مینک ضرف (G , )₁ 

،هورگ کی (G , )₂

رتم اب کیرتم هورگ کی d( , )

 0 و .دشاب هدش هداد

 0 ایآ تشاگن رگا هک یروط هب تسا دوجوم یا h : G₁G₂

یازا هب x, y G

  ₁ هطبار رد

d(h(x y),h(x).h(y))  

يتخیرمه هاگنآ ،دنک قدص H : G₁G₂

یازا هب هک يمسق هب دشاب دوجوم xG₁

:میشاب هتشاد

d(h(x),H(x))  .

لاس رد 6316

زریاه ، داد ناشن

رگا هک و X

و خاناب یاهاضف Y ره یازا هب f

x, yX رد

یواسمان f (xy)f (x)f (y)  

هاگنآ ،دنک قدص دح

n n n

f ( x) L(x) lim

  2 2

ره یازا هب xX

و دراد دوجو L : XY

:هک یروط هب تسا درف هب رصحنم يعمج تشاگن کی f (x)L(x)  .

1. Stability 2. Hyers 3. Ulam

(6)

همدقم

د

لاس رد 6318

سایسار ، زریاه یرادیاپ هب هک داد میمعت ریز تروص هب ار زریاه هیضق يلک تلاح 6

-

ملاوا - :تسا فورعم سایسار

دینک ضرف و X

عبات دینک ضرف و دنشاب خاناب یاهاضف Y f : XY

یازا هب

 0 و

 

p 0 1, ره یارب و

x, yX یواسمان رد

p p

f (xy)f (x)f (y)  ( x  y )

دننام یدرف هب رصحنم يعمج عبات هاگنآ ،دنک قدص L : XY

هنوگ هب ره یارب هک تسا دوجوم یا

xX :میشاب هتشاد

p . f (x)L(x)  p x

 2 2 2

اما يسررب عورش نامز زا زریاه یرادیاپ

- لیسنارفید تلاداعم ملاوا لاح ات

دودح 22 يم لاس درذگ

.

ازولبوا دسر يم رظن هب زریاه یرادیاپ هک تسا يسک نیلوا 2

- لاس رد ار يطخ لیسنارفید تلاداعم ملاوا

6339 انیسلآ نآ زا دعب .تسا هتشون رگ و 9

هلاقم رد 1

ی زریاه یرادیاپ دوخ -

هلداعم ملاوا ی

یسنارفید ل

y (t)  y(t) يطخ .دندرک يسررب ار

عبات رگا ره یازا هب y(x)

x (a, ) یواسمان باوج

y (x) y(x)   کی هاگنآ ،دشاب

دننام تباث ددع ره یازا هب c

x (a, ) :هک یروط هب دراد دوجو

x . y(x)ce  3

يم(

هلداعم باوج ندرک ادیپ یارب يمومع باوج هک میناد يطخ لیسنارفید ی

y (x) y(x) تروص هب

y(x)cex

يم هک دشاب يم نیاربانب .)تسا تباث ددع c

هلداعم هک مییوگ لیسنارفید ی

y (x) y(x) زریاه یرادیاپ

- .دراد ملاوا

هجیتن میناوتب رگا يلرتنک عبات کی اب ار يهباشم ی

(x) یاج هب یواسمان ينعی( میروآ تسدب 

1 . Rassias 2 . Obloza 3 . Alsina 4 . Ger

(7)

همدقم

ه

تروص هب y (x) y(x)  (x)

هاگنآ ،)دشاب هلداعم هک مییوگ

لیسنارفید ی y (x)  y(x)

زریاه یرادیاپ -

ملاوا - .دراد سایسار

لاس رد یاه 2666 و 2662 ، ارویم هجیتن 6

ی رگ و انیسلآ هلداعم هكنیا تابثا اب ار لیسنارفید ی

y (x)  y(x) زریاه یرادیاپ

- طسوت .داد شرتسگ ،دراد ملاوا ارویم

و يساهاکات هلاقم 2

دش هتشون یا

هجیتن هک هلداعم یرادیاپ ی

سنارفید ی زریاه يلی

- اد شرتسگ ار ملاوا د

.

يم زاین دروم یایاضق و فیراعت هب لوا لصف رد .میزادرپ

زریاه یرادیاپ مود لصف رد -

ترم يطخ لیسنارفید تلاداعم ملاوا هب

تباث بیارض اب نگمهریغ مود ی

يم يسررب ار .مینک

هلداعم رخآ لصف رد ناسون ی

هداس ،هداس کینومراه زاس هداس و نگمهان ی

و ثحب دروم ار يبیرقت ی

يم رارق يسررب

.میهد

1 . Miura 2 . Takahasi

(8)

:لوا لصف

و میهافم

یتامدقم فیراعت

(9)

.تخادرپ میهاوخ زاین دروم یایاضق و فیراعت هب لصف نیا رد

- 1 1 . هیلوا فیراعت

فیرعت 1

- 1 - 1 : هطبار ره لقالا هک لقتسم ریغتم هب تبسن عبات تاقتشم و لقتسم ریغتم و عبات نیب یا

هلداعم کی ار دشاب تاقتشم زا يكی لماش يم لیسنارفید ی

.دنمان

فیرعت 1

- 1 - 2 : هبترم نیرتلااب هلداعم رد دوجوم قتشم ی

هبترم ،ار لیسنارفید ی هلداعم ی

ی لیسنارفید

يم .دنیوگ

لاثم 1 - 1 - 4 : عم هلدا y 10x ی هبترم زا

هلداعم ،لوا ی x y² 3ycos x0 ی

هبترم زا ی

و مود y y y هلداعم

هبترم زا لیسنارفید ی يم موس ی

شاب ن .د

فیرعت 1

- 1 - 3 : هلداعم رد هک يعبات ره هلداعم باوج ،دنک قدص لیسنارفید ی

لیسنارفید ی هدیمان

يم .دوش

لاثم 1 - 1 - 5 : عبات y e²x

هلداعم باوج ، y5y6y0 ی

.تسا

فیرعت 1

- 1 - 2 : هلداعم کی يلک لكش هبترم يطخ لیسنارفید ی

n ی هب یازا i01, ,...,n هب

تروص

:تسا ریز

n n

n n n n

d y d y dy

a (x) a (x) ... a (x) a (x)y g(x)

dx dx dx



 

 ₁ ¹   ₁  ₀ 

1

هک a (x)n

g ( x ) و زا يعباوت

يم و دنتسه x نینچمه و دنشاب هتشاد يتباث رادقم دنناوت

a (x)n

يم رفص فلاخم .دشاب

هلداعم رد رگا لااب ی

g(x)0 هلداعم ،دشاب

ی هلداعم ،دشاب رفص فلاخم رگا و نگمه ار لیسنارفید ی

يم نگمهریغ ار لیسنارفید .دنمان

فیرعت 1 - 1 - 7 : هلداعم يلک تروص ی

هبترم لیسنارفید ی

مرف هب ،لوا

 

f x, y, y 0 يم

.دشاب

فیرعت 1 - 1 - 1 : تروص هب هلداعم yayby0

هلداعم ار هبترم يطخ لیسنارفید ی

نگمه مود ی

(10)

يم تباث بیارض اب نآ رد هک میمان

.دنتسه تباث ریداقم و a,b

فیرعت 1

- 1 - 9 : هلداعم يمومع باوج ی

هبترم لیسنارفید n ی

لماش هک تسا يعبات ، هاوخلد تباث n

تباث هاوخلد ریداقم یازا هب عبات نیا و هدوب هلداعم رد اه

يم قدص لیسنارفید ی باوج رد رگا و دنک

تباث هب ،هلداعم کی يمومع دوش هداد نیعم ریداقم اه

، يم تسد هب هلداعم یارب يصوصخ باوج کی .دیآ

لاثم 1 - 1 - 11 yc sin x₁ c cos x₂ : هلداعم يمومع باوج

y  y 0 ی يم

.دشاب y₁sinx

y₂ cosx و باوج

هلداعم زا يصوصخ یاه يم روکذم ی

.دنشاب

فیرعت 1

- 1 - 11 : دینک ضرف

 

^c_n

یرس تروص نیا رد ،دشاب طلتخم دادعا زا هلابند کی

n n n

c z





 0

هدیمان يناوت یرس کی يم

دادعا .دوش cn

يم هدیمان یرس بیارض و دنوش

.تسا طلتخم ددع کی z

يناوت یرس ره هب

n n n

c z





 0

يم هریاد مان هب هریاد کی ناوت ی

رگا هک يگژیو نیا اب ،داد تبسن يیارگمه

یرس ،دشاب هریاد نیا نورد z

n n n

c z





 0

يم ارگمه رگا و ؛دوش

یرس ،دشاب هریاد نیا جراخ z

n n n

c z





 0

م ارگاو ي .دوش

فیرعت 1

- 1 - 12 : دننام نادیم کی زا یرادرب یاضف کی دننام هعومجم کی و ،اهرلاكسا زا F

زا V

رادرب هک تسا هدش لیكشت اه لمع

ي اهرادرب عمج مان هب يم فیرعت نآ رد

دوش رادرب جوز ره هب هک و 

رادرب کی 

   Vرد

يم تبسن ار هک یروط هب دهد

:

6 اج عمج لمع ) ب

ه اج

،تسا يی

2 یذپ تکرش عمج لمع )

،تسا ر

9 ) درف هب رصحنم يثنخ وضع عمج لمع

،دراد

1 ره یارب )

V درف هب رصحنم وضع کی

V دوجو

هک یروط هب دراد :

( ) ( )

       0

(11)

کی و لمع رگید رلاكسا برض مان هب دراد

ره یازا هب هک

V رلاكسا ره و cF

رادرب ، عقاو c.

V رد يم تبسن ار ک یروط هب دهد

ه :

6 ) ددع 6 ينامه وضع

،تسا برض لمع هب تبسن F

2 ره یازا هب ) c ,c₁ ₂F

و

V میراد (c c )_{1 2}  c (c₁ ₂)

،

9 ) ره یازا هب c ,c₁ ₂F

V و میراد 

(c₁c )₂     c₁ c₂

،

1 ) ره یازا هب c F

, V و میراد  

c(      ) c c .

فیرعت 1

- 1 - 14 : طلتخم یرادرب یاضف رلاكسا نادیم یور ار X

،مییوگ رادمرن يطخ یاضف کی F

تشاگن هاگره زا .

یوت هب X

 

0^,^ دشاب دوجوم

هک : ) x X ; x   x

1 0 0

) x X , F ;   x . x 2

) x, y X ; xy  x  y 3



^{X, .}



جوز يم رادمرن یاضف ار

نداد رارق اب .میمان d(x, y) xy

رادمرن یاضف کی هب X

رتم اب کیرتم یاضف يم مرن طسوت هدش فیرعت رتم ار رتم نیا .دوش يم لیدبت d

.میمان

فیرعت 1

- 1 - 13 : دینک ضرف نادیم یور یرادرب یاضف کی X

(F F 

 ای عبات .دشاب )F

P : X ^ مین کی ار

يم مرن هاگره مییوگ ره یارب

x, yX

F و میشاب هتشاد

:

)P(xy)P(x)P(y), 1

)P( x)   P(x) . 2

فیرعت 1 - 1 - 15 : دینک ضرف X 

MP(X) . کی ار

- رب ربج يم X

:هاگره میمان

6 X M )

،

2 رگا ) A M هاگنآ ،

ACM

،

9 رگا )

 

^A_{i i}^_₁

هداوناخ یاضعا زا یا هاگنآ ،دشاب M

i i

A M







1

.

(12)

هرازگ 1 - 1 - 12 : X رگا و هعومجم کی FP(X)

نیرتكچوک هاگنآ ،دشاب -

دننام ربج M*

دوجو

هک یروط هب دراد FM*

.

فیرعت 1

- 1 - 17 : دینک ضرف (X, )

نیرتكچوک ،لااب هرازگ هب هجوت اب .دشاب کیژولوپوت یاضف کی -

دننام ربج هعومجم ره هک یروط هب دراد دوجو B

رد زاب ی هب قلعتم X

یاضعا .تسا B ار B

هعومجم لروب یاه

يم X .میمان

فیرعت 1

- 1 - 11 : يم ضرف مینک

کی M - رب ربج تروص نیا رد ،دشاب X

(X,M) یاضف کی ار

هزادنا يم ریذپ .میمان

فیرعت 1

- 1 - 19 : يم ضرف مینک

(X,M) هزادنا یاضف

،ریذپ (Y, ) و کیژولوپوت یاضف

f : XY

عبات .دشاب عبات کی هزادنا ار f

يم ریذپ هعومجم ره یارب هاگره ،میمان

زاب ی رد W

:میشاب هتشاد Y f^¹(w)M.

فیرعت 1

- 1 - 21 : هزادنا یاضف ریذپ

(X, B) دیریگب رظن رد ار

هاگره . f : XY

هتسویپ تشاگن کی

X زا و هدوب (Y, ) ب کیژولوپوت یاضف

هعومجم ره یارب هاگنآ ،دشا زاب ی

رد W

، Y هعومجم ی

یزاب

X رد میراد هب هكیروط : .

f^¹(W)B

زا هتسویپ تشاگن ره رگید ترابع هب هزادنا X

يم لروب ریذپ تشاگن .دشاب

هزادنا یاه ار لروب ریذپ

تشاگن يم لروب عباوت ای لروب یاه .میمان

فیرعت 1

- 1 - 21 : هلابند

 

^x_{n n}_ ی یرتم یاضف رد

يم يشوک ار X دنمان

ره یازا هب هاگره

 0 ،

دننام يعیبط ددع ره یارب هک دشاب دوجوم N

n,mN میشاب هتشاد

n m

d(x , x )  .

فیرعت 1

- 1 - 22 : دننام رادمرن یاضف ره لماک يیاضف ،مرن هلیسو هب يیاقلا کیرتم هب تبسن هک ار X

يم خاناب یاضف کی ار دشاب رگید ترابع هب .میمان

هلابند ره یازا هب هاگره تسا خاناب یاضف کی X ی

دننام يشوک

 

^x_{n n}_

X رد دننام یوضع ، xX

هک یروط هب دشاب هتشاد دوجو

(13)

nlim xn x

  0

.

فیرعت 1

- 1 - 24 : (X,d) رگا ،دشاب کیرتم یاضف کی

T : XX يم يضابقنا تشاگن کی ار

مییوگ

دننام یددع هاگره دشاب هتشاد دوجو k

یروط هب هک

 k

0 1

و دشاب ره یارب x, yX

ریز طرش

دشاب رارقرب :

d(Tx,Ty) kd(x, y) .

هیضق 1 - 1 - 23 : (X,d) رگا و دشاب کیرتم یاضف کی

T : XX تروص نیا رد دشاب ضابقنا کی

هطقن T ی تباث قیقد ترابع هب .دراد درف هبرصحنم کی رت

xX هک یروط هب دراد دوجو

T(x)x

. :ناهرب مینک ضرف

xX يم رارق .دشاب هاوخلد

:میهد x₁x

x₂ Tx₁Tx x₃ Tx₂ T x² ₁ .

. .

n

n n

x Tx _₁T ^¹x₁

T نوچ میراد ،تسا يضابقنا :

n m n n n n m m

d(x , x )d(x , x _₁)d(x _₁, x _₂) ... d(x _₁, x )

n n m

k ^d(x , x) k ^ d(x , x) ... k d(x , x)

 ¹ ₁  ² ₁   ₁

.

m

n n m k

(k k ... k )d(x , x) d(x , x) k

 

    

1 2 

1 1

1

m رگا يب هب دنک لیم تیاهن نوچ ،

 k

0 1

تسا

، يم هک تفرگ هجیتن ناوت

 

^x_{n n}_

هلابند کی ی

رد يشوک .تسا X

انب نوچ ضرف هب (X,d)

سپ ،تسا لماک کیرتم یاضف کی

 

^x_{n n}_

ارگمه

(14)

يم ضرف اذل .تسا مینک

xn a نوچ ،

تسا يضابقنا T

، T سپ نیاربانب .تسا هتسویپ :

.

n n

T(x )T(a)  x _₁T(a)

میراد اما xn_₁a

. انب صحنم هب يم هجیتن دح ندوب درف هب ر

میریگ T(a)a .

يم ضرف لاح مینک

a هطقن ی هک دشاب یرگید تباث T(a ) a

میراد تروص نیا رد . :

d(Ta,Ta ) d(a,a ) kd(a,a )  (1k)d(a,a ) 0

نوچ

 k

0 1

سپ ،تسا :

(1k)d(a,a ) 0

اذل d(a,a ) 0 نیاربانب .

aa

.

فیرعت 1

- 1 - 25 : مینک ضرف و X

عبات ،دنشاب خاناب یاهاضف Y f : XY

هاگره مییوگ يعمج ار

ره یارب x, yX

میشاب هتشاد :

f (xy)f (x) f (y) .

فیرعت 1

- 1 - 22 : رگا k عبات ،دشاب f : Xk Y

k ار - ،ریغتم ره هب تبسن هاگره مییوگ يعمج

.دشاب يعمج فیرعت 1

- 1 - 27 : عبات f : XY ی رعقم ار

يم نسن ره یارب ریز طرش رد هاگره میمان

x, yX

.دنک قدص x y f (x) f (y)

f (  ) 

2 2

فیرعت 1

- 1 - 21 : عبات f : XY k ار

- يم زتیش پیل ره یارب ریز طرش رد هاگره میمان

x, yX

:دنک قدص f (x)f (y)  k x y .

يم زتیش پیل تباث ار k میمان

.

فیرعت 1

- 1 - 29 : مینک ضرف و يقیقح رادمرن یرادرب یاضف X

تروص نیا رد ،دشاب خاناب یاضف Y

(15)

عبات

 ار - يم يعمج ره یازا هب هاگره میمان

x, yX :دنک قدص ریز یواسمان رد

f (xy)f (x)f (y)  

فیرعت 1 - 1 - 41 : طلتخم عبات هطقن رد f

z₀ :رگا تسا يلیلحت

6 ) طلتخم عبات هطقن رد f

z₀ قتشم

،دشاب ریذپ

2 ) طلتخم عبات يگیاسمه کی هطقن ره رد f

z₀ قتشم .دشاب ریذپ

فیرعت 1 - 1 - 41 : هطقن ی x  x₀ هطقن کی يتروص رد

هلداعم یداع ی لیسنارفید ی

n (n )

y an_₁(x)y ^¹  ... a (x)y₁ a (x)y₀ f (x)

عباوت هک تسا

n n

f(x),a (x),a (x),...,a₀ ₁ _₂(x),a _₁(x) هطقن رد

x x₀ ی ریغ رد .دنشاب يلیلحت

هطقن تروص نیا x x₀ ی

هطقن کی ار يم نیكت ی

.میمان

1 - 2 زریاه یرادیاپ . -

ملاوا

فیرعت 1

- 2 - 1 : دینک ضرف مرن یاضف کی X

نادیم یور راد نادیم( دشاب K

يم ار K ناوت ای

دینک ضرف ،)تفرگ رظن رد I

زاب کی یاه کعبات دینک ضرف .دشاب زاب ه a ,...,a : I₀ n K

و

عبات g : IX دنشاب هتسویپ عباوت

y : IX و عبات کی

قتشم راب n هک دشاب ریذپ

یازا هب

 0

xI و هلداعمان رد ی

يم قدص ریز دنک

:

(n) (n )

n n

a (x)y (x)a _₁(x)y ^¹(x) ... a (x)y (x)  ₁  a (x)y(x)₀ g(x)  

هتسویپ عبات رگا قتشم راب n

ریذپ y : I₀ X هک دشاب هتشاد دوجو

یازا هب xI

هطبار رد ی

(n) (n )

n n

a (x)y (x)a _₁(x)y ^¹(x) ... a (x)y (x)  ₁  a (x)y(x)₀ g(x) 0

و دنک قدص y(x)y (x)₀  k( )

هک ، k( ) کی عبات

 زا دح اب lim k( )

  

0 0

دشاب

، هاگنآ

عبات مییوگ یرادیاپ y(x)

اه زری - .دراد ملاوا

1 -

4 هیضق .

زریاه ی

(16)

هیضق ی 1 - 4 - 1 : مینک ضرف مینک ضرف .دشاب هاوخلد تباث 

و رادمرن یرادرب یاضف X یاضف Y

رگا .دشاب خاناب f : XY

ره یارب هک دشاب يتشاگن x, yX

ينعی ،يشوک لضافت طرش رد f (xy)f (x)f (y)  

دننام یدرف هب رصحنم و يعمج تشاگن تروص نیا رد ،دنک قدص g : XY

هک یروط هب دراد دوجو

ره یارب xX

راد می : f (x)g(x)  

:ناهرب ره یارب هیضق ضرف قبط

x, yX :میراد

( 6.6 )

f (xy)f (x)f (y)  

هطبار رد ی

( 6.6 یاج هب )

، y يم رارق x :میراد .میهد

( 2.6 )

f ( x)2 2f (x)  

هطبار ی ( 2.6 رب ار ) 2 يم میسقت تشاد میهاوخ نیاربانب ،مینک

( 9.6 )

f ( x)

f (x) 

 

2

2 2

هطبار رد لاح ی

( 9.6 ) یاج هب رادقم x

2x داد رارق رب میسقت ار هجیتن و ه 2

يم مینک

( 1.6 )

f ( x)² f ( x)  

2 2

2 2 2

هطبار زا یاه ( 9.6 ) و ( 1.6 ) يم هجیتن هک دوش

( 1.6 )

f ( x) .

f (x) ( ) ( ^ )

      

2 2

2 1 1

2 1 2

2 2

همادا اب تشاد میهاوخ ارقتسا اب ،قوف دنور

( 1.6 )

nf ( nx) f (x) ( n) .

     

2 2 1 2

يم رارق میهد

n n

g (x)n 2^ f (2 x) يم تباث و

مینک g (x)n

هلابند کی لكش هب .تسا ارگمه ی

رد

(17)

هطبار ی ( 1.6 ) یاج هب رادقم x

mx يم رارق 2 رب ار هجیتن و میهد 2m

يم میسقت :میراد .مینک

(m n )f ( m nx) mf ( mx) m .

       

2 2 2 2 2

Y نوچ انب ،تسا خاناب یاضف نیارب

xlim g (x)n

ور نیا زا .تسا دوجوم 

يم عبات ناوت g : XY

ار

هطباض اب ی

x n

g(x) lim g (x)

 

.درک فیرعت اذل

هطبار رد رگا ی

( 1.6 ) n ، يب هب ار تیاهن میهد لیم

،

آن ره یارب هاگ xX

میراد g(x)f (x)   .

ندوب يعمج لاح يم ناشن ار g

.میهد هطبار رد روظنم نیا یارب ی

( 1.6 ) یاج هب و x

بیترت هب y

ریداقم

nx 2

n و 2 y يم رارق رب ار لصاح و میهد 2n

يم میسقت :تشاد میهاوخ نیاربانب ،مینک

nf ( n(x y)) nf ( nx) nf ( n y) n .

        

2 2 2 2 2 2 2

رد رگا هطبار ی لااب يب هب ار n تیاهن ره یارب هاگنآ ،میهد لیم x, yX

میراد : g(xy)g(x) g(y) .

یدرفب رصحنم لاح يم ناشن ار g

.میهد دننام یرگید عبات مینک ضرف g : X Y

هب دشاب دوجوم

هطبار رد هک یروط g (x) f (x)   ی

.دشاب زین يعمج ،نیا رب هولاع و دنک قدص دینک ضرف

دننام یرصنع yX

هک دراد دوجو g (y) g(y)

ره یارب هک اجنآ زا . xX

میراد

g (x) f (x)  

، :نیاربانب g(x)g (x)  g(x) f (x)  g (x)  f (x) 2 .

ددع يم باختنا یروطار k

هک مینک k g(y)g (y)  2

. عبات ود ره نوچ و g

يعمج g

،دنا

:نیاربانب g(ky)g (ky)  k g(y) g (y)  2 .

ره یارب نیاربانب .تسا ضقانت نیا هک xX

میراد g(x)g (x) .

هیضق رد ی

يعمج عبات قوف g : XY

ار عبات زا میقتسم روط هب دروآ تسدب هدش هداد f

می .

،شور نیا يم هدیمان میقتسم شور

دیاپ يسررب یارب یدنمتردق رازبا و دوش ددعتم يعبات تلاداعم یرا

(18)

يم .دشاب

1 - 3 هیضق . سایسار ی

لاس رد 6318

هتفای میمعت تروص سایسار هیضق ی

يشوک لضافت هک ضرف نیا اب ار زریاه ی

.داد رارق يسررب دروم ،دشاب يهانتمان هیضق یو

ی .درک تابثا میقتسم شور زا هدافتسا اب ار ریز

هیضق ی 1 - 3 - 1 : مینک ضرف ،رادمرن یاضف X

و خاناب یاضف Y

  0 ره یارب رگا .دشاب

x, yX

p و 0 1 ،

عبات f : XY هطبار رد

ی دنک قدص ریز :

( 1.6 )

p p f (xy)f (x)f (y)  ( x  y )

هاگنآ عبات درف هب رصحنم

n

g(x) 1nf ( x) 2 2

دراد دوجو ره یارب هک

xX هطبار رد

ی قدص ریز

يم دنک

( 8.6 )

p . f (x)g(x)  p x

 2 2 2

ره یارب رگا هولاع هب تشاگن x

x : Y

 

هطباض اب ی

x(t) f (tx)

 

هاگنآ ،دشاب هتسویپ g

.تسا يطخ :ناهرب يم ناشن ارقتسا هب

يعیبط ددع ره یارب میهد ره و n

 0 :میراد

( 3.6 )

.

n

n n

m(p ) p

m

f ( x)

f (x) x

 





 



¹ ¹

0

2

2 2

یارب n1 ضرف اب xy

هطبار رد ( ی

1.6 ) تشاد میهاوخ

p p p p

f ( x)

f (x) f ( x) f (x) f (x) f ( x) f (x)

,

x x x x

   

   



2

2 2 2 2

2

هطبار اذل ( ی

3.6 ) تلاح رد n1

.تسا رارقرب

يم ضرف يعیبط ددع ره یارب هطبار نیا مینک

یارب میهد ناشن دیاب ،دشاب رارقرب n n1

رارقرب زین

(19)

.تسا هطبار ،ارقتسا ضرف هب انب :میراد ار ریز ی

n

n n

m(p ) p

m

f ( x)

f (x) x

 





 



¹ ¹

0

2

2 2

یراذگاج اب 2x

یاج هب هطبار رد x

قوف ی :تشاد میهاوخ

n

n n

m(p ) p

m

f ( ( x))

f ( x) x

 





 



¹ ¹

0

2 2 2

2 2

2

نیاربانب

n

n n

m(p ) p p

m

f ( x)

f ( x) x



 





 



1

1 1

0

2 2

2

:تشاد میهاوخ هجیتن رد

n

n n

m(p ) p p

m

f ( x)

f ( x) x



 



 



 



1

1 1

1

1 0

2 1

2 2

2

میراد هاگنآ

n

n n

m(p ) p p

m

f ( x)

f ( x) x



 

 





 



1

1 1

0

2 1

2 2

2 2 2

.

n n

(p )(m ) m(p )

m m

   

 

 



¹ ¹ ¹  



¹

0 1

2 2

هجوت اب لاح واسمان هب

ثلثم ی يم هجیتن ي هک دوش

(20)

Family name: Yousefi Name: Vahid

Title of Thesis An approximation property of simple harmonic functions Supervisor(s): Nasrin Eghbali (Ph.D)

Advisor(s): Kazem Haghnejad (Ph.D) Graduate Degree: M.Sc.

Major: Pure mathematics Specialty: Analysis

University: Mohaghegh Ardabili Faculty: Mathematical Sciences Graduation date: Sep – 2015 Number of pages: 64

Abstract:

In this thesis, we investigate the Hyers-Ulam stability of nonhomogeneous liner differential equations of second order. Also we solve the inhomogeneous simple harmonic oscillator equation and apply this result to obtain a partial solution to the Hyers-Ulam stability problem for the simple harmonic oscillator equation.

Finally, we applying the power series method, we approximate analytic functions by simple harmonic functions in a neighborhood af zero.

Keywords:

Hyers-Ulam stability, inhomogeneous, differential equation, oscillator equation, harmonic, analytic function, power series

(21)

University of Mohaghegh Ardabili Faculty of Mathematical Sciences

Department of Mathematics and Applications

Thesis submitted in partial fulfilment of the requirements for the degree of M.Sc. in Pure Mathematics

Title:

An approximation property of simple harmonic functions

Supervisor(s):

Nasrin Eghbali (Ph.D)

Advisor(s):

Kazem Haghnejad (Ph.D)

By:

Vahid Yousefi Sep – 2015